Thermodynamik. Kapitel 9. Nicolas Thomas. Nicolas Thomas

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1 Thermodynamik Kapitel 9

2 Wärmestrahlung Wir wissen, dass heisse Objekte Energie abstrahlen. Jedes Objekt mit einer Temperatur > 0 K strahlt Energie ab. Die Intensität und Frequenzverteilung (oder Wellenlänge) dieser Emission ist temperaturabhängig. Aus Erfahrung wissen wir außerdem, dass Objekte Energie (Photonen) absorbieren können (denken Sie daran, was passiert, wenn Sie ein Stück schwarzes Papier in die Sommersonne legen). Das Gleichgewicht zwischen absorbierter und emittierter Energie durch Photonen (Strahlungs-)Prozesse ist ein weiteres wichtiges Konzept in der Physik.

3 Absorption und Reflektion Wir definieren Absorption als A(ν,T) = A ν (T), wobei ν die Frequenz ist. Wir benutzen die Frequenz, weil sie unabhängig vom Medium ist, durch die das Photon sich bewegt. Im freien Raum und für viele Anwendungen kann dies mithilfe einfacher Relationen in Wellenlänge umgerechnet werden c E ' hc λ ' hν c d d 2 Wir definieren Reflektion R ν (T) auf dieselbe Art.

4 1 R ν (T) = 1 -A ν (T) A ν (T) Der absorbierte Teil ist Eins minus dem reflektierten Anteil. A ν (T) ist dimensionslos und stellt die Fähigkeit dar, Energie zu absorbieren.

5 Strahlungsdichte dω Abgestrahlte Energie n du ν ' E ν (T)cosφ dν dω dσ dt Frequenzintervall dσ E ν ist die Strahlungsintensität [W m -2 sr -1 Hz -1 ] (Auch als Spektrale Strahlungsdichte bezeichnet oder spektrale spezifische Ausstrahlung). Dies definiert den Energiefluß durch ein Oberflächenelement pro Raumwinkeleinheit, zwischen ν und ν + dν, pro Zeiteinheit. dσ cos n ist die Projektion des Oberflächenelements auf die senkrecht zum Lichtstrahl stehende Ebene.

6 Der Raumwinkel -Steradian Der Winkel, den vom Zentrum einer Kugel aus gesehen ein gegebenes Flächenstück der Kugel umfasst. Der numerische Wert des Raumwinkels ist gleich der Grösse des Flächenstücks im Verhältnis zum Quadrat des Radius der Kugel. Max steradian = 4 π

7 Schwarzkörperstrahlung Der Begriff Schwarzer Körper wurde 1860 von Gustav Kirchhoff geprägt. Wenn A ν (T) = 1, haben wir einen sogenannten Schwarzkörper. Ein Schwarzkörper absorbiert alles Licht, bei allen Wellenlängen und aus allen Richtungen. Er ist ein idealer, perfekter Absorber. Solche Oberflächen existieren in der Wirklichkeit natürlich nicht (Lampenruss kommt dem nahe) und Objekte, die bei einer Wellenlänge schwarz erscheinen, können bei einer anderen Wellenlänge hochgradig reflektiv sein. Eine Näherung an einen Schwarzkörper kann mithilfe eines Gehäuses erreicht werden.

8 Schwarzkörper in der Praxis System in einem geschlossenen, isolierten Kasten mit stark absorbierenden Oberflächen. Eindringende Strahlung wird teilweise absorbiert und teilweise reflektiert. Das Loch ist so klein, dass nur eine vernachläsigbar kleine Menge an Strahlung hinaus gelangen kann. Die Wände werden bei gleichmässiger Temperatur gehalten.

9 Die Strahlungsenergie die durch das Flächenelement dσ strömt ist gegeben durch du ν ' K ν (T)cosφ dν dω dσ dt Wir sind im Gleichgewicht. K ν E ν K ν (1-A ν ) Absorptionskoeffizient K ν (T) ' E ν (T) % K ν (T) (1& A ν (T))

10 Kirchhoff sches Gesetz K ν (T) ' E ν (T) A ν (T) A ν (T)K ν (T) ' E ν (T) Gute Absorber sind gute Emitter

11 Video Time

12 Die Strahlungsfeld-Energiedichte Die von einem Oberflächenelement emittierte Energie bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und daher füllt sie ein Volumen, das gegeben wird durch c dt dv ' cosφ cdσ dt n dσ du ν ' K ν (T)cosφ dν dω dσ dt

13 Die Strahlungsfeld-Energiedichte Die von einem Oberflächenelement emittierte Energie bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und daher füllt sie ein Volumen, das gegeben wird durch c dt dv ' cosφ cdσ dt Die Strahlungsfeld-Energiedichte innerhalb des Hohlraumes kann man schreiben als Energie pro Volumeneinheit, so dass du ν (T) ' du ν dν dv ' K ν c u ν (T) ' 1 c m K ν dω dω dσ n du ν ' K ν (T)cosφ dν dω dσ dt Die Strahlung kommt aus allen Richtungen mit derselben Intensität und kann über alle Raumwinkel integriert werden

14 u ν (T) ' 1 c m K ν dω Hier ist K ν unabhängig vom Winkel, so dass wir zu folgendem Endergebnis kommen u ν (T) ' 4π c K ν (T) [J m -3 Hz -1 ] Dies ist als die Energiedichte eines isotropen Strahlungsfeldes bekannt und stellte einen wichtigen Ausgangspunkt für die Quantenmechanik dar. Wir werden uns jetzt zwei Ansätze ansehen: den klassischen Ansatz und den quantenmechanischen Ansatz, um die Energiedichte zu berechnen.

15 Klassischer Ansatz Der klassische Ansatz beginnt damit, dass man Licht als Reihe von Wellen betrachtet und die Anzahl an stehenden Wellen, die in einem Volumen mit perfekt reflektierenden Wänden existieren kann, berechnet. In einer Dimension, von einer Seite des Kastens und zurück = 2a n x = 2 n x = 1 a x n x ' 2a λ n x = 0,1,2,3,4,... ' 2aν c

16 Für jede Ausrichtung müssen wir die Richtungskosinus der Wellenrichtung definieren und die ganze Zahl entsprechend setzen. y n ' cosα e x % cosβ e y % cosγ e z e x, e y, e z sind Einheitsvektoren α z x n@n ' cos 2 α % cos 2 β % cos 2 γ ' 1

17 Da jede Welle, egal welcher Richtung, eine stehende Welle sein muss, muss n xyz in jeder Richtung eine ganze Zahl sein. n x ' 2aν cosα c n y ' 2aν cosβ c n z ' 2aν cosγ c Wir quadrieren und addieren und erhalten n 2 x % n 2 y %n 2 z ' 4a 2 ν 2 Diese Gleichung sieht aus wie die Gleichung für eine Kugel c 2 x 2 % y 2 %z 2 ' r 2 Prinzipiell gilt, wenn wir die n s als Kartesische Koordinaten ansehen, dann beschreiben die Orte aller Punkte im n- Raum, die einem Frequenzbetrag entsprechen, die Oberfläche einer Kugel.

18 n-space y α z x n in alle Richtungen muss eine positive ganze Zahl sein, so dass nur 1/8 der Kugel mit physikalisch realistischen Lösungen gefüllt ist. Die Anzahl kompletter Wellen mit Frequenz ν ist dann Z(ν) ' 1 8 dz(ν) ' 4πa 3 c 3 ν2 dν 4π( 2νa 3 c )3 ' 4π 3 a 3 c 3 ν3 Sie können differenzieren, um die Anzahl der Wellen innerhalb dν zu bekommen.

19 dz(ν) ' 4πa 3 c 3 ν2 dν Wir können jetzt diese Gleichung nehmen und in die Gesamtenergie umwandeln, indem wir mit der zur Frequenz korrespondierenden Energie multiplizieren. ε ν dν ' 2 dz(ν) E ν Die 2 erscheint, weil Licht zwei Polarisierungen hat und daher für jede Welle zwei unabhängige Freiheitsgrade existieren, die die Energie aufteilen. E ν ' 2 1 kt ' kt 2

20 Jetzt teilen wir durch das Volumen des Kastens um die Energiedichte zu bekommen. ε ν ' 2 4πa 3 c 3 ν2 kt dz(ν) ' 4πa 3 c 3 ν2 dν ε ν V ' 8πa 3 kt c 3 ν2 a 3 u ν (T) ' ε ν V ' 8π c 3 kt ν2 Dies ist das sogenannte Rayleigh-Jeans Gesetz. ε ν dν ' 2 dz(ν) E ν Volumen des Kastens

21 Dies ist das sogenannte Rayleigh-Jeans Gesetz. u ν (T) ' ε ν V ' 8π c 3 kt ν2 Wir sollten über alle Frequenzen integrieren, um die Gesamtenergiedichte für alle Frequenzen in unserem Hohlraum zu bekommen. [J m -3 Hz -1 ] Aber wenn wir das tun... 4 u tot ' u(ν,t) dν ' m 0 8π kt c 3 4 ν 2 dν 64 m 0 Oops!

22 Quantenmechanischer Ansatz Lassen Sie uns annehmen, dass die Energie von Photonen gequantelt ist. Lassen Sie uns weiter annehmen, dass die Quantelung durch einen Oszillator repräsentiert werden kann. Der Oszillator besitzt nur positiv, ganzzahlige Vielfache von hν (h = Plancksche Konstante = 6, J s). P(E) ' α e &E/kT Die Anzahl Oszillatoren in jedem Zustand. N 1 ' N 0 e &hν/kt N 2 ' N 0 e &2hν/kT N 3 ' N 0 e &3hν/kT N 1 N 1 ' N 0 x N 2 ' N 0 x 2 N 1 N 3 N 2 ' N 0 x 2 N 3 ' N 0 x 3

23 N 1 ' N 0 x N 2 ' N 0 x 2 N 1 N 2 ' N 0 x 2 N 3 ' N 0 x 3 E 0 ' 0 ' N 0 hν x E 2 ' N 0 2 hν x 2 E 3 ' N 0 3 hν x 3 E 1 E tot ' N 0 hν (0 % 1x % 2x 2 % 3x 3...) N tot ' N 0 (1 % x % x 2 % x 3...) E(ν) ' E tot ' hν 0 % 1x % 2x 2 % 3x 3... N tot 1 % 1x % x 2 % x 3...

24 E(ν) ' E tot ' hν 0 % 1x % 2x 2 % 3x 3... N tot 1 % 1x % x 2 % x 3... E(ν) ' hν e hν/kt & 1 u ν (T) ' 8πhν3 1 c 3 e hν/kt & 1 Rayleigh-Jeans u ν (T) ' ε ν V ' 8π Dieser Faktor schneidet die Verteilung bei zunehmender Frequenz ab und verhindert, dass die Energiedichte unendlich wird. Das führt zu folgendem Ergebnis Planck sches Strahlungsgesetz c 3 kt ν2

25 u ν (T) ' 8πhν3 1 c 3 e hν/kt & 1 u ν (T) ' 4π c K ν (T) Aus der Beziehung zwischen Energiedichte und spektraler Intensität erhalten wir... Oder... K ν (T) ' B ν (T) ' 2hν3 1 c 2 e hν/kt & 1 B λ (T) ' 2hc 2 1 λ 5 e hc/λkt & 1 [W m -2 sr -1 Hz -1 ] [W m -2 sr -1 m -1 ]

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27 3000 K 2500 K 2000 K 1500 K 1000 K

28 Die Sonne als Schwarzkoerper

29 Planck sche Funktion (und das Wien sche Verschiebungsgesetz) 3000 K 2500 K 2000 K 1500 K 1000 K

30 Normalisierte Planck sche Funktion 3000 K 2500 K 2000 K

31 Intensitätsmaximum Um das Maximum der Funktion zu finden, müssen wir differenzieren und schauen, wo db ν dν ' 0 Wenn wir das tun und in Wellenlänge umrechnen, erhalten wir λ max T ' 0.29 cmk Wien sches Verschiebungsgesetz

32 Der Strahlungsstrom und die Leuchtkraft Wenn wir eine Messung an einem nicht auflösbaren Objekt vornehmen, drücken wir die von unserem Detektor pro Zeiteinheit empfangene Energie aus. Zu diesem Zweck benutzen wir den Strahlungsstrom (Bestrahlungsstärke). Sonnenfluss bei 1 astronomischen Einheit (AE) Dies ist ein Fluss mit der Dimension [W m -2 ] oder der spektrale Strahlungsstrom mit der Dimension [W m -2 nm -1 ] oder [W m -2 Hz -1 ]. Beispiel: Hier haben wir den Sonnenfluss von der Sonne in der Erdumlaufbahn.

33 Die Energie, die bei der Frequenz in der Zeit auf das Flächenelement aus dem Raumwinkel dω unter dem Winkel, n, zur Flächennormale aus dem Raum empfangen wird, ist df ν (T) ' 1 dσ dν dt du ν ' K ν (T)cosφ dω Wenn das Stahlungsfeld isotrop ist, dann ist die Gesamtenergie, die die Oberfläche überquert F ν ' K ν cosφ dω m S

34 Lassen Sie uns nun annehmen, wir haben einen Schwarzkörper im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld F ν ' B ν cosφ dω m S B ν B ν B ν

35 Lassen Sie uns nun annehmen, wir haben einen Schwarzkörper im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld F ν ' B ν cosφ dω m S B ν B ν B ν F ν ' B ν m π/2 2π m φ'0 Φ'0 cosφ sinφ dφ dφ dω ' sinφ dφ dφ 2π F ν ' B ν m Φ'0 π/2 dφ m φ'0 1 2 d(sin2 φ)

36 Unter Verwendung der Standarttabellen erhalten wir F ν (T) ' πb ν (T)

37 Integrieren Sie über die Frequenz, um die Gesamtenergie, die das Oberflächenelement überquert, zu erhalten 4 4 F(T) ' F(ν,T) dν ' π B(ν,T) dν m m 0 4 F(T) ' π 2hν 3 1 m c 2 e hν/kt & 1 dν 0 0

38 Integrieren Sie über die Frequenz, um die Gesamtenergie, die das Oberflächenelement überquert, zu erhalten 4 4 F(T) ' F(ν,T) dν ' π B(ν,T) dν m m 0 4 F(T) ' π 2hν 3 1 m c 2 e hν/kt & 1 dν 0 2π k F(T) ' 4 c 2 h 3T 4 x 3 m e x & 1 dx x ' hν kt dx ' h kt dν

39 Ergebnis: Definition: F(T) ' σ ' 2π5 k 4 15 c 2 h 3T 4 2π5 k 4 15 c 2 h 3 [W m -2 ] Stefan-Boltzmann-Konstante

40 σ = W m -2 K -4 F(T) ' σt 4 [W m -2 ]

41 Leuchtkraft Diese Kalkulationen werden vorwiegend zur Berechnung der Schwarzkörperstrahlung von Sternen eingesetzt. Sterne sind natürlich sphärisch. Die Oberfläche wird durch 4πr 2 beschrieben. Wir kombinieren das mit der Schwarzkörperemission pro Flächeneinheit und erhalten die Leuchtkraft. L ' 4πr 2 F ' 4πr 2 σt 4 Der Fluss in einer bestimmten Entfernung om Objekt wird dann bestimmt, indem man die Leuchtkraft [Einheit = W] mit der isotropen Emission benutzt, so dass sich für die Sonne folgendes ergibt F À ' L À 4πd 2 F À = 1383 W m -2 bei 1 AE L À = W

42 Der Strahlungsstrom und die Leuchtkarft Wenn wir eine Messung an einem nicht auflösbaren Objekt vornehmen, drücken wir die von unserem Detektor pro Zeiteinheit empfangene Energie aus. Zu diesem Zweck benutzen wir den Strahlungsstrom (Bestrahlungsstärke). Sonnenfluss bei 1 astronomischen Einheit (AE) Dies ist ein Fluss mit der Diemension [W m -2 ] oder der spektrale Strahlungsstrom mit der Dimension [W m -2 nm -1 ] oder [W m -2 Hz -1 ]. Die Sonne lässt sich annähernd als Schwarzkörper mit einer Temperatur von 5770 K ansehen.

43 Bestrahlungsstärke Der ankommende Fluss F 2 R h F oder F u [W m -2 nm -1 ] Oft ist es am besten, den Sonnenfluss an der Erdumlaufbahn (1 AE von der Sonne entfernt) zu nehmen und wie folgt zu definieren... S F d wobei R h der Abstand von der Sonne in [AE] ist. S = Sonnenfluss über alle Wellenlängen integriert, d.h. [W m -2 ]= 1383 W m -2 bei 1 AE.

44 Beispiel...

45 Beispiel: Titan Saturnmond 10 AE zur Sonne Durchmesser = 4500 km Gleichgewichtstemperatur von Titan ist? Sonne F À ' L À 4πd 2

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