Physik 4, Übung 5, Prof. Förster

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1 Physik 4, Übung 5, Prof. Förster Christoph Hansen kontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls ihr Fehler findet oder etwas fehlt, dann meldet euch bitte über den kontakt. Inhaltsverzeichnis Aufgabe 2 2 Aufgabe Erklärung Erklärung Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 9 4 Aufgabe 5. a b c d

2 C. Hansen 2 Aufgabe Das Glas mit der schwarzen Tusche erwärmt sich schneller, da die schwarze Farbe alle Wellenlängen absorbiert. 2 Aufgabe 2 2. Erklärung Die Energieverteilung der Teilchen bei einer bestimmten Temperatur kann man mittels der Maxwell Bolzmann Verteilung bestimmen. Daraus resultiert, das bei 2 C weniger Teilchen mit hoher Energie, also Energie sodass diese sieden würden, also bei 7 8 C. Bei der zweiten Erwärmung geht also von vornherein mehr Energie an die Umgebung verloren und deshalb muss man mehr Energie hineinstecken, also bei der ersten Erwärmung. 2.2 Erklärung 2 Die Leistung, die man hineinstecken muss, steigt mit der vierten Potenz der Temperatur nach dem Stefan Bolzmann Gesetz. Es gilt umgekehrt heißes kühlt schneller ab. 3 Aufgabe 3 Wir können das Argument aus der Aufgabe 2 verwenden! Zuerst lassen wir den Kaffee seine Energie an die Umgebung abgeben. Die Geschwindigkeit mit der die Energie des Kaffees abnimmt ist exponentiell. Das heißt je höher die Anfangstemperatur ist, desto mehr Energie strahlt er ab. Wir lassen also den Kaffee solange abkühlen, bis wir nur noch eine bestimmte Menge Milch zugeben müssen, um die gewünschte Temperatur zu erhalten. Es gilt ungefähr das Newtonsche Abkühlungsgetz, solange die Anfangstemperatur nicht zu weit von der Umgebungstemperatur weg liegt: T = T u + (T A T u e t τ 4 Aufgabe 4 Wir verwenden das Stefan Bolzmann Gesetz um die Abstrahlleistung zu berechnen. Diese Leistung müssen wir kontinuierlich zuführen, damit wir die Temperatur halten können: P = e σ A T 4 = (.4.2 e σ (T } {{ } 4 T 4 Fläche des Zylinders =.4 kw 5 Aufgabe 5 Wir haben hier eine Intensität gegeben, die wir zunächst in S I Einheiten umrechnen: I =.38 J cm 2 = 38 W m 2

3 C. Hansen 3 Wir wissen auch wie die Intensität definiert ist: I = P A Wir müssen und klarmachen, dass die Fläche in beide Richtungen abstrahlt.das können wir in das Stefan Bolzmann Gesetz einsetzen: P Ab A = 2 σ A T 4 A Im folgenden betrachen wie der Einfachheit halben eine Fläche von einem Quadratmeter. Wir stellen nun nach T um: P T = 4 2 σ = K Das heißt unsere schwarze Fläche wird im Weltraum 59. C warm. Das ist bei einer Umgebungstemperatur von C schon beachtlich. 6 Aufgabe 6 Wir machen uns zunächst klar, das nur die Strahlung die auf die Linsenfläche trifft zur Erhitzung der Wolframkugel beitragen kann. Wir berechnen also zunächst die Fläche der Linse: A L = π r 2 = m 2 Daraus können wir die Leistung, die auf die Kugel gerichtet ist einfach errechnen: P = I A =.75 W Aus der gegebenen Brennweite und Gegenstandsweite g (Entfernung Erde - Sonne können wir die Bildweite berechnen: f = g + b b = f g =.2 m Unser Bild liegt also sehr nah im Brennpunkt. Das heißt nicht das es punktförmig ist!! Jetzt berechnen wir die Bildgröße: B = b g G Man kann die Gegenstandsgröße relativ einfach über den Winkeldurchmesser der Sonne berechnen, aber ich nehme hier einfach den Literaturwert für den Durchmesser der Sonne. Damit erhalten wir: =.94 3 m Um die Fläche dieser kreisförmigen Abbildung zu erhalten, machen wir folgendes: A = 4 π B 2 = m 2 Mit dem Stefan Bolzmann Gesetz können wir nun die Temperatur ermitteln T = 4 P ɛ σ A = 2489 C

4 C. Hansen 4 7 Aufgabe 7 Wir müssen hier wiederum mit dem Stefan Bolzmann Gesetz arbeiten, allerdings ist zu beachten, dass die Außentemperatur nicht bei K liegt sondern bei 293 K. P = σa (T I 4 T A 4 = W Die abgestrahle Leistung beträgt also W. Wenn diese Leistung eine Stunde erbracht wird, sind Wh geleistet worden. In der Musterlösung ist dies falsch. Dort ist nur die Leistung angegeben und nicht die Arbeit. Das kleine h hinter dem W macht den großen Unterschied! 8 Aufgabe 8 Wir wissen den Zusammenhang zwischen ν, λ und c: ν = c λ Nun schauen wir uns die Ursprungsgleichung an. Die interessanten Stellen sind hervorgehoben: u(ν, T dν dv = 8π h ν3 c 3 exp ( h ν dν dv Die markierten Bereiche können wir einfach ersetzen und erhalten: u(ν, T dν dv = 8π h λ 3 Jetzt nutzen wir noch folgenden Zusammenhang: dν = c λ 2 dλ Wenn wir das einsetzen, dann bekommen wir dies: u(λ, T dλ dv = 8π h c λ 5 λ dν dv λ dλ dv Wenn wir jetzt die Integrationsoperatoren auf beiden Seiten weglassen, dann haben wir den gewünschten Ausdruck: u(λ, T = 8π h c λ 5 λ 9 Aufgabe 9 Uns ist bekannt, das ein Photon die Energie E = hc λ besitzt. Wenn wir also einfach den gegebenen Ausdruck durch die Energie einer Photons teilen, haben wir die Photonendichte in Abhängigkeit der Wellenlänge. Das sieht dann so aus: ρ(λ, T = 8π [ ] λ 4 Photonen exp ( h c λ m 3 m Das separierte m bedeutet Photonen pro Wellenlänge.

5 C. Hansen 5 Aufgabe. a Wir müssen einfach unsere Temperatur einsetzen, ich verwende aber der Einfachheit halber die Wellenlängendarstellung der Formel: Unter der Verwendung von: u(λ, T = 2 h c2 λ 5 T = 5778 K λ h = Js λ = 5 nm c = 3 8 m/s k = J/K erhalten wir: [ ] W ρ S = mhz.2 b Wir erhalten die spezifische Strahldichte der Sonne, indem wir zunächst die Gesamtstrahldichte bestimmen und in diese unsere Werte einsetzen. Zur Bestimmung der Gesamtstrahldichte müssen wir die spezifische Ausstrahlung M ν über alle Frequenzen integrieren. Also folgendes: P A = I = M ν dν = 2πh c 2 e hν ν 3 dν Wir wenden den Tipp an und erhalten: Nun setzen wir die Werte ein: = 2πh c 2 ( h = 2π5 h 4 T 4 c 2 h x 3 e x = W m 2 K 4 Das ist identisch mit dem Wert des Bolzmann Gesetzes. h dx

6 C. Hansen 6.3 c Zunächst berechnen wir die Gesamtleistung der Sonne mit dem Bolzmanngesetz: P Sonne = σt 4 A = σt 4 4πr 2 S = W Die Solarkonstante ist die Intensität, dieser Leitung auf einer Kugelfläche mit dem Radius Erde - Sonne I E = P Sonne A Kugel =.37 kw m 2.4 d Die Photonenrate ist einfach der Quotient aus der spektralen Auflösung und der Energie eines Photons: n = M ν E Ph = 2 ν2 c 2 exp ( h ν [ ] m 2 Hzs Dies müssen wir integrieren um die Gesamtzahl der Photonen zu erhalten: Wir verwenden dazu: n ges = x = hν = 2πk3 T 3 c 2 n 3 2 ν 2 c 2 exp ( h ν dx = h dν x 2 e x dx ν = h x } {{ } Die Lösung hierzu ist gegeben Nach dem einsetzen erhalten wir: = sm 2 Um zu berechnen wir viele Photonen die Sonne produziert und was auf der Erde ankommt setzen wir an: Die Stomdichte ist nun: n ges,s onne = n ges A Sonne =.8 45 s n ges,erde = n ges,s onne = A Kugel bis Erde sm 2 j = I A = e n ges,erde = A m 2