Zahlentheorie. KPH Stams SS 14. Zahlentheorie KPH Stams

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1 Zahlentheorie KPH Stams SS 14 Zahlentheorie KPH Stams 1

2 1.Einführung 1.1. Brainstorming Was versteht man unter Zahlentheorie?

3 Zahlentheorie Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik. C.F. Gauß Elementare Zahlentheorie Algebraische Zahlentheorie Analytische Zahlentheorie Approximation und Transzedenz Multiplikative Zahlentheorie Additive Zahlentheorie Probalistische Zahlentheorie Algorithmische Zahlentheorie Zahlentheorie KPH Stams 3

4 1.2.News Eulers Erbe Mathematiker feiern Entdeckung in der Zahlentheorie Die moderne Mathematik, so sollte man meinen, befasst sich längst nur noch mit Fragen, die unendlich weit entfernt von allem sind, was ein durchschnittlich gebildeter Mensch je verstehen kann. Es mag daher überraschen, dass in der Fachwelt zurzeit die Lösung eines Problems gefeiert wird, das so einfach klingt, als könnten Grundschüler damit befasst werden. Es geht um die Frage, auf wie viele Weisen man eine natürliche Zahl als Summe darstellen Süddeutsche Zeitung München, Bayern, Deutschland Die Eine-Million-Dollar-Frage Neues Interesse an der Goldbach schen Vermutung Wahrscheinlich gibt es einfachere Wege, eine Million Dollar zu verdienen; andererseits sind die Chancen vermutlich auch nicht schlechter, als die berühmten sechs Richtigen im Lotto zu erwischen: Der britische Verlag Faber and Faber hat ein Preisgeld von einer Million Dollar für denjenigen ausgelobt, der die Richtigkeit der so genannten Goldbach schen Vermutung bestätigt. Der Preis ist Teil einer Werbekampagne für einen Roman über dieses große Rätsel der Zahlentheorie. Der Name des preußischen Mathematikers Christian Goldbach ist heute nur noch ein Begriff, weil er 1742 in einem Brief an seinen Kollegen Leonhard Euler eine Vermutung aufstellte, die in ihrer modernen Formulierung lautet: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen ausdrücken. Zahlentheorie KPH Stams 4

5 News-Fermat x^n+y^n=z^n für n>2 in ganzen Zahlen nicht lösbar Zahlentheorie KPH Stams 5

6 News Quanten-Kryptografie geknackt ohne Spuren zu hinterlassen 30. August :21 Standard Hacker können Quanten-Verschlüsselung mit Laser umgehen Forschern ist es gelungen, zwei kommerzielle Systeme für Quanten-Verschlüsslung unbemerkt zu umgehen Sicherheitsexperten von der norwegischen Universität in Trondheim soll es erstmals gelungen sein, zwei kommerzielle Systeme mit Quanten-Kryptografie zu knacken, ohne die Alarmglocken losschrillen zu lassen. Das berichtet Nature. Bislang galt es als unmöglich, derartig verschlüsselte Kommunikation auszuspionieren, ohne das System dabei merklich zu stören. Zahlentheorie KPH Stams 6

7 News standard.at 15. Februar 2013 Bisher größte Primzahl und größte Pseudoprimzahl gefunden Computer rechnete 39 Tage - Primzahl hat Stellen - gedruckt wären dies Seiten Florida/Wien - Das Zahlenmonster zu finden hat einiges an Rechnerleistung verschlungen: Insgesamt 39 Tage brauchte der Computer von Curtis Coopers, einem Mathematiker von der University of Central Missouri in Warrensburg, ehe klar war, dass 2 hoch minus 1 tatsächlich nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Damit gibt es seit kurzem eine neue Rekordprimzahl, die genau Stellen hat. Die neue Rekordprimzahl ist außerdem die (benannt nach dem französischen Mathematiker Marin Mersenne), bei der die Potenz selbst eine Primzahl ist. Geld gab es übrigens auch: Im Fall des aktuellen Rekordhalters waren dies 3000 Dollar. Für die Entdeckung der ersten Mersenne-Primzahl mit mehr als zehn Millionen Stellen wurden 2008 noch Dollar bezahlt Zahlentheorie KPH Stams 7

8 1.3.Die Arithmetik der Alten Ägypter Hieroglyphen Gruppierungssystem Additionssystem Dezimalsystem Zahl 0? ( nichts ) Zahlentheorie KPH Stams 8

9 Multiplikation Beispiel: 14x27=? (2+4+8)x27 = =378 Zahlentheorie KPH Stams 9

10 Warum funktioniert das? Brainstorming Jede ganze Zahl lässt sich als Summe von Zweierpotenzen darstellen (Binärsystem) Zahlentheorie KPH Stams 10

11 Division Beispiel: 114: Also: 114= =6x(1+2+16) Zahlentheorie KPH Stams 11

12 Problem? Beispiel: 83:16= Also (1+4)*16=80 und 3 Rest! Brüche! Zahlentheorie KPH Stams 12

13 Brüche Beispiel: 83:16= ½ 8 ¼ 4 1/8 2 1/16 1 Also: Zahlentheorie KPH Stams 13

14 Brüche Der Papyrus-Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus (etwa 1550 v. Chr) verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen.. datiert. Besondere Zeichen für wichtige Brüche Zahlentheorie KPH Stams 14

15 2.Teilbarkeit Zahlenmuster (Rechteck) Z.B.12 Zahlentheorie KPH Stams 15

16 2.1.Definition, Regeln Sprechweisen Schreibweise Begriffe: komplementärer Teiler, echte Teiler Beispiele Teilbarkeitsregeln Folgerungen Beweise 5. Für alle a Є N* gilt 6. Gilt d/a und d/b, so gilt auch d/(a+b) 7. Für alle n Є N gilt: Gilt d/a, so gilt auch d/(n*a) 8. Differenzregel 9.Produktregel Zahlentheorie KPH Stams 16

17 Pfeildiagramm 2.2.Teilbarkeitsrelation Darstellung im Koordinatensystem Hasse-Diagramm Zahlentheorie KPH Stams 17

18 Ordnungsrelation geordnete Zahlenpaare in NxN Transitiv Reflexiv Für alle a Є N gilt (a,a) Є R Identitiv Symmetrisch? Zahlentheorie KPH Stams 18

19 2.3.Teilermengen Teilermenge = Menge aller Teiler Beispiele: T(24) Aufzählend T(24)={1,2,3,4,6,8,12,24} Beschreibend Fragen: Wie finde ich alle Teiler? Wieviele Teiler gibt es? Zahlentheorie KPH Stams 19

20 T(0)=? Satz: Der Teiler a einer natürlichen Zahl n oder der komplementäre Teiler (n/a) sind kleiner oder gleich der Wurzel aus n. Beweis (indirekt) Beispiel T(504) T(504)={1,2,3,4,6,7,8,9,12,14,18,21, } Zahlentheorie KPH Stams 20

21 Teileranzahlfunktion Für teilerfremde natürliche Zahlen m und n gilt τ (m n) = τ(m) τ (n) n Teiler Primteiler d(n) 2 101^3,103^2 Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl n hängt nicht von der Größe dieser Zahl ab, sondern von der Häufigkeit der Primteiler. Zahlentheorie KPH Stams 21

22 3.Primzahlen 3.1. Definition Eine Zahl p Є N* heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. T(p)={1,p} 1 ist keine Primzahl Teileranzahlfunktion d(p)=2 Der kleinste von 1 verschiedene Teiler jeder natürlichen Zahl ist eine Primzahl. Eine Zahl n ЄN\{1} heißt zusammengesetzte Zahl, wenn sie keine Primzahl ist. Zahlentheorie KPH Stams 22

23 3.2.Eigenschaften 2 ist die einzig gerade Primzahl Es gibt unendlich viele Primzahlen (Euler): Beweis: Sind p 1, p 2,..., p r die vorgelegten Primzahlen, so bildet man die neue Zahl n = p 1 * p 2 *... * p r + 1. Diese natürliche Zahl n besitzt bis auf die Reihenfolge eine eindeutige Zerlegung in ihre Primfaktoren. Ist q einer der Primteiler von n, so kann er nicht unter den vorgelegten Primzahlen vorkommen, da jede der vorgelegten Primzahlen p 1, p 2,..., p r die Zahl n mit Rest 1 teilt und q als echter Teiler nicht. Somit ist q eine neue Primzahl und wegen diesem Widerspruch zur Annahme ist die Menge der Primzahlen unendlich. Gibt es eine Formel? Primzahlzwillinge Drillinge Zahlentheorie KPH Stams 23

24 3.3. Bestimmung von Primzahlen Dividieren (0 Rest) Sieb des Eratosthenes Zahlentheorie KPH Stams 24

25 weitere Tests AKS-Primzahltest (2000) Fermatscher Primzahltest (probalistisch) Der kleine Fermatsche Satz: a^p Ξ a(mod p) wobei a eine ganze Zahl und p eine Primzahl ist Glückliche Primzahlen Zahlentheorie KPH Stams 25

26 3.3. Hauptsatz der Zahlentheorie Jede natürliche Zahl n>1 besitzt (bis auf die Reihenfolge der Faktoren genau eine Primfaktorenzerlegung. Beweis: Existenz: Der kleinste von 1 verschiedene Teiler jeder natürlichen Zahl ist eine Primzahl. Eindeutigkeit: Indirekter Beweis Zahlentheorie KPH Stams 26

27 Primfaktorendarstellung Beispiele Normierte Primfaktorenzerlegung n e1 e2 p1 p2... p e r r r i 1 p e i i p i P, n N i * Zahlentheorie KPH Stams 27

28 Teilermenge Anzahl: Teilermenge ( n) ( e 1) ( e 1)... ( e 1) 1 2 r T(n) = Menge der Zahlen Beispiele: 14=2*7 T(14)= T(18)={ p1 p2... p r r ( 0 i e i ) für i 1,2,..., r Zahlentheorie KPH Stams 28

29 Primzahlformeln p m 2 79 m 1601 Satz: Es existiert kein Polynom, das für alle x Primzahlwerte annimmt Ungelöste Probleme Bedeutung: Kryptographie Zahlentheorie KPH Stams 29

30 Besondere Primzahlen Fermat sche Primzahlen 2 2 k 1 Mersenn sche (Prim)zahlen k 2 1 Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch M n eine zusammengesetzte Zahl. Die n-te Mersennezahl ist im Binärsystem eine Zahl mit n Einsen Zahlentheorie KPH Stams 30

31 4.Kongruenzen/Restklassen Zwei Digitaluhren zeigen nur die Stunden 0 bis 11 an. Man stelle fest, ob sie die gleiche Zeit anzeigen: 3 15 Formel 63h 87h a b Zahlentheorie KPH Stams 31

32 4.1. Definition Zwei ganze Zahlen a und b heißen kongruent nach dem Modul m (m N*), wenn es eine ganze Zahl g gibt, sodass gilt: a b = g*m Man schreibt: a b (mod m) Man spricht: a kongruent b modulo m a b (mod m), genau dann, wenn m (a-b) (wenn sie bei der Division durch m denselben Rest lassen) Zahlentheorie KPH Stams 32

33 4.2. Rechenregeln Additionsregel a b (mod m) und c d (mod m) dann gilt: a+c b+d (mod m) Subtraktionsregel Multiplikationsregel Potenzregel Wenn a b (mod m), dann a n b n (mod m) Beweis durch vollständige Induktion Zahlentheorie KPH Stams 33

34 4.3. Äquivalenzrelation Transitiv a b (mod m) und b c (mod m) a c (mod m) Reflexiv a a (mod m) Symmetrisch a b (mod m) b a (mod m) Dadurch erfolgt eine Klasseneinteilung Zahlentheorie KPH Stams 34

35 4.4.Restklassen Die Menge der ganzen Zahlen wird durch die Kongruenzrelation modulo m in m verschiedene Restklassen zerlegt: Definition: Unter der Restklasse a verstehen wir die Menge aller ganzen Zahlen, die zur Zahl kongruent sind (bezogen auf den Modul m) a = {x ϵ Z x a (mod m)} Zahlentheorie KPH Stams 35

36 4.5. Restklassen-Eigenschaften Gruppentafeln Modulo 5 Zahlentheorie KPH Stams 36

37 Körper Zahlentheorie KPH Stams 37

38 4.6. Prüfziffern Neunerprobe nach Adam Ries Sozialversicherungsnummer IBAN EAN ISBN Kreditkarten Reisepass Prüfbits Zahlentheorie KPH Stams 38

39 5. ggt und kgv Teilermenge Vielfachenmenge Primfaktorenzerlegung Zusammenhang Zahlentheorie KPH Stams 39

40 5.1.Definition Seien n,m N zwei natürliche Zahlen. Dann heißt ggt(n,m) = max{k k teilt n und k teilt m} der größte gemeinsame Teiler (ggt) von n und m. Weiterhin heißt kgv(n,m) = min{k n teilt k und m teilt k} das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) von n und m. Zahlentheorie KPH Stams 40

41 5.2. Bestimmung PFZ n = p r1 1 p r p rk k und m =p s1 1 p s p sk k mit Primfaktoren p1,..., pk und Exponenten r1,..., rk, s1,..., sk 0 gilt ggt(n,m) = pmin(r1,s1) pmin(r2,s2)... pmin(rk,sk) kgv(n,m) = pmax(r1,s1) pmax(r2,s2)... pmax(rk,sk) Zahlentheorie KPH Stams 41

42 Beispiel n = 525 = 2^0 3^1 5^2 7^1 m = 180 = 2^2 3^2 5^1 7^0 ggt(525, 180) = 2^0 3^1 5^1 7^0 = 15 kgv(525, 180) = 2^2 3^2 5^2 7^1 = 6300 n m = = = ggt(525, 180) kgv(525, 180). Zahlentheorie KPH Stams 42

43 5.3. Euklidischer Algorithmus Für n,m N läßt sich deren ggt mit dem Verfahren der iterierten Division (Euklidischer Algorithmus) bestimmen. Vorüberlegung: Zu n,m N, n m, existieren eindeutige q, r N 0 mit n = q m+ r, wobei 0 r < m. Zahlentheorie KPH Stams 43

44 Beispiel Bestimme ggt und kgv von 3054 und 1002 Zahlentheorie KPH Stams 44

45 5.4. Linearkombination Satz (B ezout): Seien m, n Z und d = ggt(m, n), dann gibt es Zahlen λ, μ Z, so dass d = λm + μn Umgekehrter Euklidischer Algorithmus Also: 6= 21* *1002 Zahlentheorie KPH Stams 45

46 6. Diophantische Gleichungen Definition: Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form F(x 1,x 2,x 3,.,x n ) = 0 wobei F eine Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten in mehreren Variablen in der Grundmenge der ganzen Zahlen ist. Zahlentheorie KPH Stams 46

47 6.1. Beispiele 3x+5y =21 Lösunge(n): Geometrisch x² + y² = z² ( Pythag. Zahlentripel) (Fermat sche Vermutung) Hilbert s 10.Problem: Gibt es ein Verfahren, das eine beliebige diophantische Gleichung löst? Antwort: Nein Zahlentheorie KPH Stams 47

48 6.2. Anwendungen Zahlentheorie KPH Stams 48

49 6.3. Lineare Gleichung in 2 Variablen Die lineare diophantische Gleichung mit 2 Unbekannten a*x+b*y= c besitzt eine Lösung, wenn c durch den ggt(a,b) teilbar ist. Lösungsalgorithmus: Lösung der homogenen Gleichung: Auffinden einer Partikulärlösung (mit dem umgekehrten Euklid Algorithmus) Superposition mit den Lösungen der homogenen Gleichung sämtliche anderen Lösungen der inhomogenen Gleichung Zahlentheorie KPH Stams 49

50 7. Zahlensysteme 7.1. Beispiele Dezimalsystem Hexagesimalsystem 60er System(Babylonier) Maya Binärsystem Zahlentheorie KPH Stams 50

51 7.2. g-adische Entwicklung natürlicher Zahlen Satz: Sei g >= 2 eine natürliche Zahl. Dann lässt sich jede natürliche Zahl a eindeutig in der Form schreiben, wobei a 0,..., a n ϵn, n>= 0, 0 <=n i < g und a n <> 0 falls a<> 0. Hat man für die ganzen Zahlen z mit 0 < z <= g Zeichen (Ziffern) vereinbart, so schreibt man für a auch die Aneinanderreihung der betreffenden Zeichen für a 0,..., a : Zahlentheorie KPH Stams 51

52 8.Kryptographie 8.1. Wozu Zahlentheorie KPH Stams 52

53 8.2. Wie Zahlentheorie KPH Stams 53

54 Skytale (2500 v. Chr.) Caesar 8.3.Algorithmen Enigma (2.Weltkrieg) Zahlentheorie KPH Stams 54

55 RSA Entwickelt von Rivest, Shamir und Adleman (1977) Asymmetrisch private key und public key große Primzahlen (Mersenn sche) Eulersche Phi-Funktion Anzahl aller teilerfremden Zahlen Erweiterter Euklidischer Algorithmus Der kleine Fermatsche Satz a^p Ξ a(mod p) wobei a eine ganze Zahl und p eine Primzahl ist Zahlentheorie KPH Stams 55

56 Euler sche Phi-Funktion Die eulersche Phi-Funktion (auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele zu n teilerfremde positive ganze Zahlen es gibt, die nicht größer als n sind: Die Phi-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, sodass für teilerfremde Zahlen m und n: Für Primzahlen gilt: Für Potenzen von Primzahlen: Allgemeine Berechnungsformel: Zahlentheorie KPH Stams 56

57 RSA-Schlüsselkonstrukion Konstruktion der Schlüssel Konstruktion des öffentlichen Schlüssels (public key): 1. Bestimme zwei (sehr große) Primzahlen und 2. Bilde 3. Bestimme mit 4. Wähle eine Zahl mit 5. Der öffentliche Schlüssel ist dann Konstruktion des privaten Schlüssels (private key): 1. Bestimme das Inverse zu mod, also mod. Man macht dies am einfachsten mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus, man berechnet also 2. Der private Schlüssel ist dann. Zahlentheorie KPH Stams 57

58 Weiterentwicklung Symmetrische Algorithmen (Handy) Elektronische Signatur Zertifikate Hybridsysteme Zahlentheorie KPH Stams 58