Statistische Versuchsplanung

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1 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 1 von 344 Statistische Versuchsplanung Theorie und Praxis mit Tabellenkalkulation V1.2 (profit) (non-profit) Seite 1 von 344

2 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 2 von 344 Vorwort Dieser Lehrgang vermittelt solides Hintergrundwissen zu statistischer Versuchsplanung, und richtet sich besonders an den Praktiker. Alles theoretisch Abgehandelte, sowie alle 10 Versuchsplanungsbeispiele, werden Schritt für Schritt mit konkreten Zahlenwerten durchgerechnet. Methodik und Rechengang orientieren sich an den Möglichkeiten von Tabellenkalkulations- Programmen wie z.b. MS Excel, die heute jedermann zur Verfügung stehen. Alle in diesem Lehrgang dargestellten Berechnungen stehen in einer separaten Exceldatei zur Verfügung. Alle Versuchsplanungsbeispiele können somit als Vorlage für eigene Studien und Versuche verwendet werden. Die konsequente Anlehnung an die Gegebenheiten von Tabellenkalkulationsprogrammen soll dem Anwender das Spielen mit Zahlen ermöglichen. Dadurch bekommt er ein praktisches Gefühl für das bei vorgegebenen Rahmenbedingungen Machbare. Dieser Lehrgang verheimlicht nicht die realen Gegebenheiten in der statistischen Versuchspraxis. Genauso wie Prozesse selten fähig, und Weibullplots fast nie signifikant sind, gibt es in der Statistischen Versuchsplanung nur selten Situationen, wo man Wechselwirkungen (siehe Kapitel 4) tatsächlich vernachlässigen könnte. Gerade deshalb sind die Beispiele so aufgebaut, dass schöne Ergebnisse kaum vorkommen. Zusammen mit noch weiteren eingebauten Tücken bilden sie daher die praktisch vorzufindende Realität gut ab, die freilich auch gescheiterte Versuche beinhaltet. Das bedeutet allerdings nicht, dass Statistische Versuchsplanung an sich oft scheitert, sondern vielmehr, dass die betreffenden Anwender mangels methodischer Kenntnisse die Situation falsch einschätzen. Meistens sind es unerkannte Wechselwirkungen, die aus nichtlinearen Zusammenhängen zwischen Variablen resultieren. Dieser Lehrgang vermittelt alle notwendigen Kenntnisse, damit der angehende Versuchsplaner vor derartigen Enttäuschungen bewahrt wird. Alle Berechnungen sind sehr ausführlich dargestellt. Es kommen keine nur in bestimmten Fällen funktionierenden Tricks vor. Insbesondere die Taguchi Methodik (Kapitel 17) kann durch Verzicht auf statistisches Fundament wohl ziemlich schnell beigebracht werden, doch gerade wegen der fast immer gegenwärtigen Wechselwirkungen erfordert ausgerechnet sie besondere Erfahrung in Statistischer Versuchsplanung. Ohne ausreichende Kenntnisse in der klassischen Versuchsplanung, und dazu gehört unbedingt ein solides Fundament in allgemeiner Statistik, ist die Anwendung der Taguchi Methodik in der Regel zum Scheitern verurteilt. Daher ist Anfängern grundsätzlich zu empfehlen, mit klassischer Versuchsplanung zu beginnen. Abgesehen davon, dass sich keine klare Grenze zwischen klassischer Versuchsplanung und Taguchi Methodik ziehen lässt, sollte letztere als ein Spezialwerkzeug verstanden werden, das nur für ganz bestimmte Zwecke einsetzbar ist. Warum? Die Natur kümmert sich nicht darum, ob man Wechselwirkungen berücksichtigen will; es kommt allein darauf an, ob sie objektiv vorhanden sind, und ausschliesslich danach hat sich valide Versuchsplanung zu richten. Die Taguchi Versuchspläne, wenn man sie vollständig verwendet, setzen die Nichtexistenz von Wechselwirkungen, also lineares und additives Verhalten der Faktoren voraus. (profit) (non-profit) Seite 2 von 344

3 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 3 von 344 Doch gerade dann braucht man überhaupt keine Statistische Versuchsplanung, weil man nämlich mit der einfachen Methode immer nur einen Faktor ändern genauso schnell zum Ziel kommt. Umgekehrt ist die Taguchi Methodik immer dann ungeeignet, wenn mit vielen Wechselwirkungen zu rechnen ist, oder wenn man die Wechselwirkungen schlecht einschätzen kann; beides ist der praktische Regelfall. Was für die Taguchi Methodik bleibt, ist eine Nische, in der tatsächlich nur wenige ausgewählte Wechselwirkungen vorkommen, die obendrein noch gut einschätzbar sein müssen. Damit ist die Anwendung der Taguchi Methodik faktisch beschränkt auf Six Sigma Projekte, also auf die weitere Verbesserung bereits gut funktionierender Prozesse. Datum, Version Änderungsliste Änderungsgrund , V1.0 Erstausgabe , V1.1 Vollständige Überarbeitung. Kapitel 23, Computergestützte Verfahren, hinzu , V1.2 Vollständige Überarbeitung. Kapitel 22.9, Alpha-Anpassung nach Bonferroni hinzu. Stichwortverzeichnis hinzu. Viele Textpassagen ausführlicher formuliert, dadurch insgesamt ca. 25 Seiten mehr. Diverse formale Korrekturen, insbesondere in Ausdrücken der Art t 14;0,95 Korrektur diverser in Tabellen falsch abgebildeter oder gerundeter Zahlenwerte. Anmerkung: Der Verfasser verwendet kein ß. (profit) (non-profit) Seite 3 von 344

4 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 4 von 344 Kurzbeschreibung der Rechenbeispiele Beispiel_1 Seite 96 Beispiel_2 Seite 125 Beispiel_3 Seite 137 Beispiel_4 Seite 148 Beispiel_5 Seite 165 Beispiel_6 Seite vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt. Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen. Im Zentralpunkt wird 4x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen. Die Effekte werden zunächst visualisiert, dann mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. Effekte und Wechselwirkungen werden zusätzlich mittels ANOVA-Tabelle und F-Test auf Signifikanz geprüft. Schliesslich wird aus den gewonnenen Daten ein Vorhersagemodell aufgestellt, das jedoch nicht weiter getestet wird teilfaktorieller Versuchsplan. Zunächst wird ein 2 5 vollfaktorieller Plan auf reduziert und die Konsequenzen aufgrund der dadurch entstehenden Vermengungen aufgezeigt. An 4 Stellen wird 2x gemessen, an allen anderen Stellen nur 1x. Alle Effekte und Wechselwirkungen werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. 3 2 teilfaktorieller Versuchsplan. An allen Stellen wird nur 1x gemessen. Einführung in die Kleinste Quadrate Methode, und in die dafür nötige Matrizenrechnung. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface. Quantitative Überprüfung des Modells. 3 3 teilfaktorieller Versuchsplan. An allen Stellen wird nur 1x gemessen. Zunächst Ausprobieren eines nicht funktionierenden Versuchsplanes. Die inverse Matrix als Indikator für a) funktionierende, und b) gute Versuchspläne. Entwicklung eines funktionierenden, aber schlechten Versuchsplanes anhand der inversen Matrix. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung des Modells. 3 3 Box-Behnken Versuchsplan. Im Zentralpunkt wird 4x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung).. Quantitative Überprüfung des Modells. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. 3 3 Sternpunkt Versuchsplan. Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 2x gemessen. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung des Modells. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. (profit) (non-profit) Seite 4 von 344

5 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 5 von 344 Beispiel_7 Seite 200 Zusammenhängende Strategie aus 2 Versuchsplänen. Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen. Erster Versuchsplan: 2 2 vollfaktoriell mit Zentralpunkt. Im Zentralpunkt wird 6x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen. Die Effekte werden mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. Aufstellen eines linearen Vorhersagemodells. Dieses Modell dient als Grundlage zur Entwicklung des zweiten Versuchsplans. Beispiel_8a Seite 225 Beispiel_8b Seite 232 Beispiel_8c Seite 236 Beispiel_9 Seite 259 Zweiter Versuchsplan: 3 2 teilfaktoriell mit Zentralpunkt. Im Zentralpunkt wird 2x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen. Zur Erhöhung der Varianzinformation überschneiden sich die beiden Versuchspläne in einem Messpunkt. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung und Visualisierung des quadratischen Modells. Ausführliche Beschreibung des Zusammenhangs zwischen gepoolter Varianz, Varianz-Kovarianz Matrix und Modellkoeffizienten Die Koeffizienten des quadratischen Modells werden mit dem t-test auf Signifikanz geprüft. Am Schluss wird das lineare Modell des ersten Versuchsplanes (anstelle mit der Methode der linearen Kontraste) mit der Kleinsten Quadrate Methode aufgestellt, und die Modellparameter auf Signifikanz geprüft. Randomisierter Blockversuch. Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Auswertung verschiedener Effekte mit dem F-Test. Auswertung verschiedener Effekte mit dem t-test. Lateinisches Quadrat Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Split Plot Versuchsplan. Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Auswertung verschiedener Effekte mit ANOVA Tabellen (F-Tests). Taguchi Versuch 2 3 Designmatrix + Taguchi L 4 Rauschmatrix. Festlegung einer Verlustfunktion. Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 4x gemessen. Die Lageeffekte werden zunächst mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt, und dann visualisiert. (profit) (non-profit) Seite 5 von 344

6 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 6 von 344 Beispiel_10 Seite 270 Die Dispersionseffekte werden mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Anwendung des Welch-Satterthwaite Verfahrens bei inhomogenen Varianzen. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden auf Signifikanz geprüft. Taguchi Versuch mit Dummyfaktorstufen Taguchi L 16 Designmatrix + Taguchi L 16 Rauschmatrix. Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2- stufige Faktoren anwendbar ist. Nach enttäuschender Versuchsbilanz neue Auswertung von nur einem Teil der Daten. Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2- stufige Faktoren anwendbar ist. Überprüfung der neuen Auswertung auf Signifikanz mit dem t-test. Inhaltsverzeichnis, nur Grosskapitel 1 Einleitung Allgemeine Grundlagen Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_ k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie Teilfaktorieller Plan, Beispiel_ k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate Methode, Theorie und Beispiel_ Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_ Box-Behnken Versuchspläne, Theorie Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_ Sternpunkt Versuchspläne, Theorie Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_ Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_ Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c Statistische Versuchsplanung nach Taguchi Taguchi: Beispiel_ Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen Signal-Rauschverhältnisse Orthogonale Felder Verschiedenes Computergestützte Verfahren Zusammenfassung Stichwortverzeichnis (profit) (non-profit) Seite 6 von 344

7 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 7 von 344 Inhaltsverzeichnis, alle Unterkapitel 1 Einleitung Grundkonzepte Statistische Methoden Verteilungsfunktionen Varianz Orthogonale Felder, Versuchspläne Freiheitsgrade Signifikanz versus Relevanz Matrizenrechnung Allgemeine Grundlagen Varianz, Standardabweichung und Freiheitsgrade Freiheitsgrade Beispiel: Mittelwert Beispiel: Varianz Mittelung von Varianzen, Pooling Veranschaulichung der Varianz, Normalverteilung Kovarianz Zentraler Grenzwertsatz, Normalverteilung Veranschaulichung t-verteilung Vertrauensintervall von Mittelwerten, Signifikanz Abgrenzung Zufallsstreubereich - Vertrauensintervall Alpharisiko und Signifikanz t-test für 1 Stichprobe, Signifikanz & Rechenbeispiele Szenario Szenario Szenario Szenario Szenario t-test für 2 Stichproben, Signifikanz & Rechenbeispiele Gleiche Varianzen Szenario Szenario Szenario Ungleiche Varianzen Szenario Szenario Szenario F-Test auf Varianzunterschiede, Signifikanz & Rechenbeispiele Szenario Szenario Fallzahlplanung Betarisiko Herleitung Beispiel Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs Abschätzung Betarisiko aus dem bisher verwendeten Beispiel Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip Abgrenzung ANOVA mit F-Test versus t-test. Diverse theoretische und praktische Aspekte Faktor auf 2 Stufen: 2 1 Versuchsplan Faktoren auf je 2 Stufen: 2 2 Versuchsplan Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen (profit) (non-profit) Seite 7 von 344

8 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 8 von Faktoren auf je 2 Stufen: 2 3 Versuchsplan A-Haupteffekt B- und C-Haupteffekt AB Wechselwirkung AC und BC Wechselwirkung A Haupteffekt + BC Wechselwirkung Haupteffekt A + AB Wechselwirkung ABC Wechselwirkung Alle Effekte A Haupteffekt A + AB Wechselwirkung, keine Messwiederholung Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_ Fallzahlbestimmung Visualisierung der Messwerte Lineare Kontraste Methode Signifikanzbetrachtungen Gepoolte Varianz Varianz des Gesamtmittelwertes Varianz eines Effektes Varianz einer Wechselwirkung Nichtlinearität Varianz des Mittelwertunterschieds t-test Effekte und Wechselwirkungen Nichtlinearität, Krümmung ANOVA Tabelle, F-Test Vorhersagemodell Zusammenfassung von Beispiel_ k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie Motivation Versuchsplan und Taguchi L Versuchsplan, sinnvoll reduziert Versuchsplan, nicht sinnvoll reduziert Versuchsplan / Taguchi L Vermengung Plackett- Burman Versuchspläne Screening Teilfaktorieller Plan, Beispiel_ Vermengung Zahlenbeispiel Signifikanz der Effekte und Wechselwirkungen Gepoolte Varianz Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung t-test Effekte und Wechselwirkungen: Lineare Kontraste Zusammenfassung von Beispiel_ k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie Abgrenzung zu 2 k Versuchsplänen, Motivation k Versuchspläne Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate Methode, Theorie und Beispiel_ Kleinste Quadrate Methode: Einleitung Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Theorie Auflösen nach e Ableiten nach c Auflösen nach c (profit) (non-profit) Seite 8 von 344

9 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 9 von Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Zahlenbeispiel X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y Modellgleichung Visualisierung des Modells Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_ Ungeeigneter Versuchsplan X T X (X T X) Mittelmässig geeigneter Versuchsplan X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y Modellgleichung Zusammenfassung von Beispiel_ Box-Behnken Versuchspläne, Theorie Box Behnken Versuchsplan Box-Behnken Versuchsplan Räumliche Vorstellungshilfe Tesserakt (Hyperwürfel) Box-Behnken Versuchsplan Höherdimensionale Box Behnken Versuchspläne Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_ Allgemeine Berechnung X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y BB Versuchsplan mit 4 Zentralpunkt Runs, Zahlenbeispiel X T X (XTX) X T Y (X T X) -1 X T Y Modell Signifikanzbetrachtungen Gepoolte Varianz Varianz des Gesamtmittelwertes Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität t-test Effekte und Wechselwirkungen Nichtlinearität Zusammenfassung von Beispiel_ Sternpunkt Versuchspläne, Theorie Sternpunkt Versuchsplan Sternpunkt Versuchsplan und höherdimensionale Sternpunkt Versuchspläne Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_ Allgemeine Berechnung X T X (X T X) X T Y (profit) (non-profit) Seite 9 von 344

10 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 10 von (X T X) -1 X T Y Sternpunkt Versuchsplan mit Zentralpunkt, Zahlenbeispiel X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y Modell Signifikanzbetrachtungen Gepoolte Varianz Varianz des Gesamtmittelwertes Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität t-test Effekte und Wechselwirkungen Nichtlinearität, Krümmung Zusammenfassung von Beispiel_ Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_ Fallzahlplanung vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt Berechnung einiger Varianzen Varianz des Gesamtmittelwertes Varianz eines Haupteffektes und einer Wechselwirkung Varianz der Nichtlinearität t-test für Effekte, Wechselwirkung und Krümmung Modellgleichung Teilfaktoriell mit Zentralpunkt: Hineinzoomen X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y Modellgleichung Signifikanz der Modellparameter: Varianz-Kovarianz Matrix Gepoolte Varianz Varianz-Kovarianz Matrix Signifikanz der Kovarianzen Wie kann man sich die Entstehung der Kovarianzen vorstellen? Vertrauensintervalle von Parametern bei Vorhandensein von Kovarianzen Signifikanz der Modellparameter Test des Modells Visualisierung des Modells Nochmal Lineares Modell, nun mit Matrixrechnung X T X (X T X) X T Y (X T X) -1 X T Y Varianz-Kovarianz Matrix Signifikanz der Modellparameter Zusammenfassung Beispiel Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c Abgrenzung zu Randomisierung Blockbildung Blockfaktor, Randomisiertes Blockmodell, Beispiel_8a Beispiel Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade Signifikanzbetrachtungen (profit) (non-profit) Seite 10 von 344

11 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 11 von a) Unterscheiden sich die Dünger signifikant? b1) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? F-Test b2) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? t-test und mehr Blockfaktoren: Lateinische Quadrate, Beispiel_8b Beispiel Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade Signifikanz Split Plot Versuchsplan, Beispiel_8c Beispiel Übung: Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade Auswertung ANOVA Tabelle Einzeltests, Paarvergleiche Statistische Versuchsplanung nach Taguchi Grundsätzliche Kritik zur Taguchi Methodik Taguchis Qualitätsphilosophie Andere qualitätstechnische Ansätze Alt und bewährt Statistische Prozessregelung (SPC): Taguchis Verlustfunktion Beispiel für ein Optimierungsproblem Lieferant Abnehmer Bezug zur Versuchsplanung Taguchis Robust Design und Parameter-Design Methode Zusammenfassung Taguchi: Beispiel_ Lageeffekte, lineare Kontraste Dispersionseffekte, lineare Kontraste Signifikanzbetrachtungen Varianzhomogenität Gepoolte Varianz Varianz des Gesamtmittelwertes Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität t-test Effekte und Wechselwirkungen Nichtlinearität, Krümmung Zusammenfassung von Beispiel_ Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen Beschreibung des Experiments Designfaktoren Rauschfaktoren Stufenbelegungen Graphische Darstellung der Effekte Signifikanz der Lageeffekte Signifikanz der Dispersionseffekte Zwischenbilanz Neue Auswertung Graphische Darstellung der Effekte Signifikanz der Lageeffekte Signifikanz der Dispersionseffekte Signifikanz der neuen Auswertung Zusammenfassung von Beispiel_ Signal-Rauschverhältnisse Taguchis Verlustfunktion Je näher am Zielmass, desto besser (profit) (non-profit) Seite 11 von 344

12 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 12 von Je mehr desto besser Je weniger desto besser Andere Schreibweisen Je weniger, desto besser Je mehr, desto besser Orthogonale Felder Taguchi Versuchspläne Plackett Burman Versuchspläne Umgang mit orthogonalen Feldern Auswahl geeigneter orthogonaler Felder Beispiel 1a: 2 3 vollfaktoriell mit Messwiederholung und Zentralpunkt (ZP) Beispiel 1b: 2 3 Taguchi L 4 teilfaktoriell mit Messwiederholung und ZP Beispiel 1c: 2 3 Taguchi L 4 teilfaktoriell mit Messwiederholung Beispiel 1d: 2 3 Taguchi L 4 teilfaktoriell ohne Messwiederholung Beispiel 2a: 2 4 Taguchi L 8 teilfaktoriell, 1 Wechselwirkung Beispiel 2b: 2 4 Taguchi L 8 teilfaktoriell, 3 Wechselwirkungen Beispiel 2c: 2 8 Taguchi L 16 teilfaktoriell, 5 Wechselwirkungen Beispiel 3a: 2 2 x4 1 Taguchi L 8 teilfaktoriell, keine Wechselwirkungen Beispiel 3b: 2 2 x4 1 Taguchi L 8 teilfaktoriell, eine Wechselwirkung Beispiel 3c: 4 5 Taguchi L 16 teilfaktoriell mit Dummyfaktorstufen Vermengung, teilweise oder ganz Vollständige Vermengung: Taguchi L Teilweise Vermengung: Taguchi L Teilweise Vermengung: Taguchi L Verschiedenes Was sind Wechselwirkungen Kategoriale Prozessergebnisse Dummyfaktorstufen Vertrauensintervalle Gepoolte Varianz eines 2 k vollfaktoriellen Versuchsplans Varianz des Mittelwerts eines 2 k vollfaktoriellen Versuchsplans Varianz eines Haupteffektes oder einer Wechselwirkung eines 2 k vollfaktoriellen Versuchsplans Varianz der Krümmung eines 2 k vollfaktoriellen Versuchsplans Varianzhomogenität Welch Satterthwaite Formel Beispiele Vertrauensintervalle für Varianzen Schätzmethoden Kleinste Quadrate Methode, OLS Maximum Likelihood Estimation, MLE Korrelation Korrelation zwischen x und y Korrelation der x untereinander Bedingt durch den Versuchsplan Technisch bedingt Korrelation der y untereinander Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni Computergestützte Verfahren optimale Versuchspläne: Motivation Zu 1. Orthogonalität Zu 2. Viele Versuchsläufe Zu 3. Budgetvorgaben Beispiel optimale Versuchspläne: Theorie (profit) (non-profit) Seite 12 von 344

13 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 13 von Klassisch Computerbasiert T-optimal A-optimal G-optimal I-optimal V-optimal D-optimal Zusammenfassung Kernaussagen Versuchsplanung vs. klassisch Der Grad des (Nicht-) Wissens & Budget Taguchi Fallzahlbestimmung Orthogonale Felder "Block what you can, randomize what you can not" Felddaten versus Experiment Links und weiterführende Dokumente Stichwortverzeichnis Abbildungsverzeichnis Hinweis: Manche Elemente können sowohl als Tabelle, als auch als Bild aufgefasst werden. Im Zweifelsfall wurde als Tabelle eingeordnet. Bild 1: Dichtefunktion der Normalverteilung...28 Bild 2: Verteilungsfunktion der Normalverteilung...28 Bild 3: Detail von Bild Bild 4: Binomialverteilung für verschiedene Anzahlen Münzwürfe...33 Bild 5: Zufallszahlen mit Gewichtungsprofil...34 Bild 6: Zentraler Grenzwertsatz, Veranschaulichung...34 Bild 7: t-verteilung mit 1 Freiheitsgrad...36 Bild 8: t-verteilung mit 5 Freiheitsgraden...37 Bild 9: t-verteilung mit 10 Freiheitsgraden...37 Bild 10: t-verteilung mit 25 Freiheitsgraden...38 Bild 11: Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse allgemein...41 Bild 12: t-verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...43 Bild 13: t-verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...45 Bild 14: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...46 Bild 15: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...48 Bild 16: t-verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...52 Bild 17: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...53 Bild 18: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...55 Bild 19: t-verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...57 Bild 20: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...59 Bild 21: t-verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...60 Bild 22: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant...63 Bild 23: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...64 Bild 24: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H Bild 25:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H Bild 26:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H Bild 27:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H (profit) (non-profit) Seite 13 von 344

14 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 14 von 344 Bild 28: ANOVA einfaktoriell, Veranschaulichung...76 Bild 29: ANOVA-Tabelle einfaktoriell...77 Bild 30: ANOVA zweifaktoriell, Veranschaulichung...79 Bild 31: ANOVA zweifaktoriell, Gesamte Streuung...79 Bild 32: ANOVA zweifaktoriell, Innere Streuung...79 Bild 33: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor Bild 34: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor Bild 35: ANOVA zweifaktoriell, Streuung der Wechselwirkung...81 Bild 36: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen allen 4 Stufen beider Faktoren...82 Bild 37: Dreifaktoriell, Räumliche Veranschaulichung...83 Bild 38: ANOVA, Haupteffekt A...84 Bild 39: ANOVA, Haupteffekt B...86 Bild 40: ANOVA, Haupteffekt C...86 Bild 41: ANOVA, Wechselwirkung A-B...87 Bild 42: ANOVA, Wechselwirkung A-C...89 Bild 43: ANOVA, Wechselwirkung B-C...89 Bild 44: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C...90 Bild 45: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B...91 Bild 46: ANOVA, Wechselwirkung A-B-C...92 Bild 47: ANOVA, alle Effekte und Wechselwirkungen...93 Bild 48: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B, ohne Messwiederholung...94 Bild 49: Dreifaktoriell mit Zentralpunkt, Räumliche Veranschaulichung...96 Bild 50: ANOVA, dreifaktoriell mit Zentralpunkt...99 Bild 51: Fläche Y = 1 + X 1 + X 2 + X 1 *X Bild 52: 1 + X + Y + X*Y + X 2 + Y 2 Fläche Bild 53: Ausgeschriebene Matrixgleichung Bild 54: Quadratische Kurve im Raum Bild 55: Quadratische Kurve im Raum Bild 56: 3 3 Box Behnken Veranschaulichung Bild 57: Tesserakt (4D-Würfel) Bild 58: Tesserakt, Verbindungsflächen zw. Innerem und äusserem Würfel Bild 59: 3 3 Box Behnken Veranschaulichung Bild 60: 3 3 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung Bild 61: Tesserakt Bild 62: 3 3 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung Bild 63: Lineares Modell, Flächendarstellung im Raum Bild 64: Zweistufiger Versuchsplan, Visualisierung Bild 65: Gepoolte Varianz bei überlappenden Versuchsplänen Bild 66: Quadratische Kurve im Raum Bild 67: 2 3 Designmatrix mit Taguchi L 4 Rauschmatrix, Veranschaulichung Bild 68: Taguchi, Minimierung der Streuung, Veranschaulichung Bild 69: 2 3 Designmatrix mit Taguchi L 4 Rauschmatrix, Veranschaulichung Bild 70: 2 3 vollfaktoriell mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L 4 Rauschmatrix: Lageeffekte, Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung Bild 71: Taguchi, visuelle Darstellung von Effekten Bild 72: 2 3 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Dispersionseffekte, Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung Bild 73: 2 3 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte, Signifikanz Bild 74: Graphische Ergebnisdarstellung "vorher" Beispiel_ Bild 75: Graphische Ergebnisdarstellung "nachher" Beispiel_ Bild 76: Graphische Ergebnisdarstellung vorher + nachher Beispiel_ (profit) (non-profit) Seite 14 von 344

15 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 15 von 344 Tabellenverzeichnis Hinweis: Es sind insgesamt weit über 200 Tabellen. In dieses Verzeichnis wurden nur diejenigen Tabellen aufgenommen, die grundlegende Zusammenhänge darstellen. Tabellen, die lediglich Rechenschritte oder einfache Ergebnisse darstellen (dies sind die meisten), wurden nicht in das Tabellenverzeichnis aufgenommen. Tabelle 1: Kovarianz Veranschaulichung...31 Tabelle 2: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, alle Effekte und WW aufgelöst...81 Tabelle 3: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, Effekte und WW nicht aufgelöst...82 Tabelle 4: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A signifikant...85 Tabelle 5: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt B signifikant...86 Tabelle 6: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt C signifikant...86 Tabelle 7: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B signifikant...88 Tabelle 8: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-C signifikant...89 Tabelle 9: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung B-C signifikant...89 Tabelle 10: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C signifikant...90 Tabelle 11: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant...91 Tabelle 12: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B-C signifikant...92 Tabelle 13: ANOVA-Tabelle, alle Effekte und Wechselwirkungen signifikant...93 Tabelle 14: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant, ohne Messwiederholung...94 Tabelle 15: 2 3 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste Tabelle 16: 2 3 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste, Signifikanz Tabelle 17: ANOVA-Tabelle, Haupteffekte A und B + Wechselwirkung A-C Tabelle 18: Vergleich der mit t-tests und ANOVA berechneten Signifikanzniveaus Tabelle 19: 2 3 Versuchsplan: Effekte und daraus berechnete Modellkoeffizienten Tabelle 20: Plan, Haupteffekte und Wechselwirkungen Tabelle 21: Taguchi L Tabelle 22: Taguchi L 8 und L 8 W Tabelle 23: Plackett-Burman Feld PB Tabelle 24: Plackett Burman Feld PB 12 Vermengung, Beispiel Tabelle 25: 2 5 Vollfaktorieller Plan Tabelle 26: Teilfaktorieller Plan Tabelle 27: teilfaktorieller Plan, Zahlenbeispiel Tabelle 28: Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz Tabelle 29: Anzahl Faktorstufenkombinationen und Anzahl Modellkoeffizienten Tabelle 30: 3 2 teilfaktorieller Plan Tabelle 31: 22 vollfaktorieller Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse Tabelle 32: 3 3 teilfaktorieller Plan, nicht funktionierend Tabelle 33: 3 3 teilfaktorieller Plan, mässig geeignet Tabelle 34: Vollfaktorieller 23 Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse Tabelle 35: 3 3 Box Behnken Plan Tabelle 36: 4 3 Box Behnken Plan, inoffiziell Tabelle 37: 4 3 Box Behnken Plan, offiziell Tabelle 38: 5 3 Box Behnken Plan, offiziell Tabelle 39: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Box Behnken Plänen Tabelle 40: 3 3 Box Behnken Plan, Beispiel mit 3 Zentralpunkt Versuchsläufen Tabelle 41: 3 3 Box Behnken Plan mit 4 Zentralpunkt Versuchsläufen Tabelle 42: BB 3 3 Versuch mit Modell 2. Ordnung: Modellergebnisse vs. Messergebnisse Tabelle 43: 3 3 Box Behnken Plan Auswertung, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz Tabelle 44: BB 3 3 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten Tabelle 45: 3 3 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt (profit) (non-profit) Seite 15 von 344

16 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 16 von 344 Tabelle 46: 3 4 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt Tabelle 47: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Sternpunkt-Plänen Tabelle 48: 3 3 Sternpunkt Plan, Beispiel mit einem Zentralpunkt Versuchslauf Tabelle 49: 3 3 Sternpunkt Versuchsplan, Zahlenbeispiel Tabelle 50: 3 3 Sternpunkt Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz Tabelle 51: Sternpunkt 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten Tabelle 52: 2 2 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt, codierte Werten, tatsächlichen Einstellwerten und Messwerten Tabelle 53: 2 2 Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz Tabelle 54: 3 2 vollfaktorieller Versuchsplan mit Messergebnissen Tabelle 55: Varianz-Kovarianzmatrix Tabelle 56: Quadratisches Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz Tabelle 57: Lineares Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz Tabelle 58: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen Tabelle 59: Lateinische Quadrate Tabelle 60: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen Tabelle 61: Split Plot Beispiel, Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen Tabelle 62: Split Plot Beispiel, Erklärung unterschiedlicher Quadratesummen-Zerlegungen Tabelle 63: Split Plot Beispiel, zweckmässige, jedoch nicht orthogonale Quadratesummen- Zerlegung Tabelle 64: Split Plot Beispiel, ANOVA Tabelle Tabelle 65: 2 3 Plan Designmatrix mit Taguchi L 4 Rauschmatrix: Versuchsplan Tabelle 66: 2 3 Versuchsplan Tabelle 67: Taguchi L Tabelle 68: 2 3 Plan Tabelle 69: Taguchi L Tabelle 70: Taguchi L Tabelle 71: Taguchi L 16 (e) Tabelle 72: Taguchi L 16 Designmatrix mit Taguchi mit L 16 Rauschmatrix. Beispiel 10 vorher Tabelle 73: Taguchi L 16 Designmatrix mit Taguchi mit L 16 Rauschmatrix. Beispiel 10 nachher.279 Tabelle 74: Taguchi L 4 mit Wechselwirkungstabelle Tabelle 75: Taguchi L 8 mit Wechselwirkungstabelle Tabelle 76: Taguchi L 16 mit Wechselwirkungstabelle Tabelle 77: Taguchi L Tabelle 78: Taguchi L 8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen Tabelle 79: Taguchi L 8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen Tabelle 80: Taguchi L Tabelle 81: Taguchi L Tabelle 82: Taguchi L 16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (schlecht) Tabelle 83: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L 16 modifiziert (schlecht) Tabelle 84: Taguchi L 16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (besser) Tabelle 85: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L 16 modifiziert (besser) Tabelle 86: Taguchi L 8, Vermengungen Tabelle 87:Taguchi L 9, Vermengungen Tabelle 88: Taguchi L 25, Vermengungen Tabelle 89: Welch Satterthwaite Formel bei Varianzinhomogenität, Zahlenbeispiele Tabelle 90: Varianz der Varianz, Zahlenbeispiele Tabelle 91: Vertrauensintervall der Varianz, Zahlenbeispiele Tabelle 92: Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni Tabelle 93: Determinanten, Beispiele Tabelle 94: Versuchsplanung versus Ausgangslage Tabelle 95: Links und weiterführende Informationen Tabelle 96: Stichwortverzeichnis (profit) (non-profit) Seite 16 von 344

17 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 17 von Einleitung In diesem Kapitel wird grob umrissen, was den Leser erwartet. Es werden die grundsätzlichen Methoden angesprochen, ohne in die Tiefe zu gehen. Die statistischen Grundlagen werden ab Kapitel 2 behandelt. Bis zum Ende des Kapitels 2 werden alle notwendigen Grundlagen vermittelt, um den Einstieg in Statistische Versuchsplanung zu ermöglichen. In späteren Kapiteln, insbesondere in jedem der 10 Beispiele, kommen weitere Grundlagen hinzu. Beispielsweise wird die Varianz-Kovarianzmatrix erst in Beispiel_7 vorgestellt, obwohl damit auch vorhergehende Beispiele (tiefergehend) behandelt werden könnten, und Dummyfaktorstufen kommen sogar erst im Beispiel_10 vor. In diesem Lehrgang sind viele Elemente farblich markiert. Gleiche Farben sollen auf inhaltlich Zusammenhängendes oder Gleiches hinweisen und das Verständnis erleichtern; dies kann sich in Einzelfällen auch über mehrere Seiten hinweg erstrecken. 1.1 Grundkonzepte Alle Rechenbeispiele, sowie alles, was in diesem Lehrgang in Form einer Berechnung vorgeführt wird, liegt in einer separaten Exceldatei vor. Alle Rechenbeispiele sind so aufgebaut, dass sie als Vorlagen für eigene Experimente verwendet werden können. Die Exceldatei richtet sich an diejenigen, die statistische Versuchsplanung operativ anwenden möchten, und ist für diesen Lehrgang nicht zwingend notwendig. Die Detailtiefe der Rechenschritte orientiert sich daran, was angesichts der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen naheliegend erscheint. Konsequenterweise wurde daher auf besondere Rechentricks, die in Zeiten ohne Software hilfreich gewesen sein mögen, verzichtet. Die Komplexität der Beispiele ist so bemessen, dass sie ohne spezielle Software, dafür mit Tabellenkalkulationsprogrammen, noch gut handhabbar ist. Gleichzeitig vermitteln die Beispiele ein Gefühl dafür, ab wann es angeraten ist, auf geeignete Statistiksoftware zurückzugreifen. Die Hyperlinks in diesem Lehrgang dienen der Vertiefung, und stellen die jeweiligen Sachverhalte meistens in einem allgemeineren Kontext dar. Für diesen Lehrgang sind sie nicht zwingend notwendig. 1.2 Statistische Methoden Design of Experiments bzw. Statistische Versuchsplanung bedient sich zweier grundlegender mathematischer Methoden: 1. Varianzanalyse 2. Regression Beide erfüllen völlig unterschiedliche Zwecke, und daher ist auch die Motivation, die eine oder die andere im Rahmen von Statistischer Versuchsplanung zu verwenden, verschieden. (profit) (non-profit) Seite 17 von 344

18 Kapitel 1.3 Statistische Versuchsplanung Seite 18 von 344 Meistens kommt nur eine der beiden Methoden, und zwar die Varianzanalyse (Analysis of Variance, ANOVA) zum Einsatz. Das Grundprinzip der Varianzanalyse ist der Vergleich von Varianzen. Aus dem Verhältnis von Varianzen kann man nämlich beurteilen, ob gemessene Unterschiede signifikant sind oder nicht. Varianzanalyse dient daher zum Auffinden von signifikanten Zusammenhängen, ist also für Situationen geeignet, wo man wesentliche Eigenschaften des zu untersuchenden Prozesses noch nicht kennt. Die Bedeutung von Signifikanz, sowie der Unterschied zu praktischer Relevanz, wird in einem späteren Kapitel erklärt. Regressionsanalyse dagegen bedeutet die Entwicklung eines mathematischen Modells, mit dem Messergebnisse - abhängig von Einstellparametern - vorhergesagt werden können. Regressionsanalyse dient daher primär der näheren Beschreibung von Zusammenhängen. In den folgenden Kapiteln werden für beide Methoden sowohl einfachere als auch komplexere Beispiele behandelt. Dadurch bekommt man ein Gefühl dafür, - ab welchem Komplexitätsgrad der Gebrauch spezieller Statistiksoftware angeraten ist, - wie umfangreich Experimente bei gegebener Komplexität sein müssen, um nützliche Ergebnisse zu erzielen. Der notwendige experimentelle Umfang ist oft geringer als man naiverweise vermuten würde, und gerade darin liegt die Rechtfertigung für statistische Versuchsplanung. Die Hürde der dafür notwendigen Einarbeitung wird sich in der Versuchspraxis schnell als lohnend erwiesen haben. 1.3 Verteilungsfunktionen Folgende Verteilungsfunktionen sind in diesem Lehrgang besonders wichtig: 1. Normalverteilung 2. t-verteilung 3. F-Verteilung Zweck und Bedeutung der Normalverteilung werden im Kapitel 2.3 veranschaulicht. Ihre besonders grosse Bedeutung in der allgemeinen Statistik (also nicht nur in diesem Lehrgang) gründet auf 2 Eigenschaften: 1. Sie ist eine "natürliche" Verteilungsfunktion, das bedeutet, sie beschreibt in der Natur tatsächlich stattfindende Vorgänge. 2. Der zentrale Grenzwertsatz. In einfachen Worten besagt er, dass Mittelwerte von hinreichend grossen Stichproben IMMER normalverteilt sind, ganz unabhängig von der Verteilungsform der zugrundeliegenden Ausgangsdaten. Das ist äusserst praktisch. Unter hinreichend gross kann man kontextabhängig bereits Stichproben ab Umfang 5, spätestens jedoch ab 15 bezeichnen. (profit) (non-profit) Seite 18 von 344

19 Kapitel 1.4 Statistische Versuchsplanung Seite 19 von 344 Da in der Praxis der Umfang sehr vieler Stichproben deutlich kleiner als 15 ist, kommt die t- Verteilung ins Spiel. Diese ist eine "praktische Erfindung", die, salopp gesagt, den zentralen Grenzwertsatz auf kleine Stichproben erweitert. Die Mittelwerte kleiner Stichproben sind damit per Definition t-verteilt. Die t-verteilung beinhaltet als Parameter jedoch eine so genannte Anzahl Freiheitsgrade, denn die Verteilung des Mittelwertes kleiner Stichproben hängt von der Stichprobengrösse ab. Die F-Verteilung ist ebenfalls eine "praktische Erfindung", die dazu dient, 2 Varianzen auf Unterschied zu testen. Weil mit 2 Varianzen in der Regel 2 unterschiedlich grosse Stichproben einher gehen, besitzt die F-Verteilung sogar 2 Anzahlen Freiheitsgrade, das bedeutet, die F-Verteilung hängt von den Grössen beider Stichproben ab. Die Varianzverhältnisse zweier Stichproben sind damit per Definition F-verteilt. 1.4 Varianz Vorweg: Varianz ist das Quadrat der so genannten Standardabweichung. Der Begriff Standardabweichung ist historisch gewachsen, allerdings sehr ungünstig gewählt; es müsste eigentlich "Standardfehler der Ausgangsdaten" o.ä. heissen, denn der Standardfehler an sich ist etwas Allgemeineres, das auch für andere Grössen existiert. Um mit der allgemeinen Übereinkunft konform zu bleiben, wird in diesem Lehrgang der Standardfehler der Ausgangsdaten Standardabweichung genannt. Konsequenterweise werden dann die Standardfehler anderer Grössen entsprechend Standardfehler der betreffenden Grösse genannt. Die Standardabweichung ist zwar populärerer als die Varianz, wahrscheinlich wegen ihrer Anschaulichkeit, allerdings ist sie schwer interpretierbar und mathematisch weniger bedeutend. Die Varianz dagegen ist mathematisch sehr bedeutsam und sehr gut interpretierbar, denn: Varianz ist Information In der Statistik unterscheidet man zwischen aufgeklärter Varianz und unaufgeklärter Varianz, entsprechend verwerteter Information und unverwerteter Information. Letztere wird meistens als Streuung, Rauschen, etc. bezeichnet. Im Grunde handelt es sich bei der Streuung um im Rahmen eines Modells nicht habhaft gewordener Information. Ziel einer jeden statistischen Methodik sollte sein, diese unaufgeklärte Information möglichst klein zu halten, allerdings ohne allzu viel Zusatzannahmen zu treffen. (Siehe z.b. die "Kleinste Quadrate Methode", welche direkt auf die Minimierung der unaufgeklärten Varianz abzielt). Im Englischen gibt es einige " least squares " genannte Methoden und Begrifflichkeiten (z.b. OLS, PLS) Beispielsweise ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, (auch Bestimmtheitsmass oder Reliabilität genannt), schlicht und einfach das Verhältnis von aufgeklärter Varianz zur gesamten Varianz, also von verwerteter Information zur gesamten, dem Datenmaterial innewohnender Information. Von der Varianz grundsätzlich zu unterscheiden ist die mittlere Quadratesumme. (profit) (non-profit) Seite 19 von 344

20 Kapitel 1.5 Statistische Versuchsplanung Seite 20 von 344 Zwar ist auch sie - wie die Varianz- eine Summe aus quadrierten Abweichungen dividiert durch eine Anzahl Freiheitsgrade (siehe Kapitel 1.6), doch ist die Anzahl Freiheitsgrade sehr kontextabhängig. Varianzanalytische Methoden haben - entgegen ihres Namens - viel mehr mit (mittleren) Quadratesummen als mit Varianzen zu tun, denn die varianzanalytischer Methoden arbeiten mehr mit Quadratesummen als mit Varianzen. 1.5 Orthogonale Felder, Versuchspläne In der Welt der statistischen Versuchsplanung hat sich eine recht überschaubare Anzahl an Versuchsplänen etabliert. Die Anzahl derjenigen Versuchspläne, die über eigene Namen oder Bezeichner verfügen, dürfte im Bereich von 30 liegen. Die weitaus meisten davon sind orthogonal, und werden daher "orthogonale Felder" genannt. Die Bedeutung von Orthogonalität in der Statistischen Versuchsplanung ist nicht ganz naheliegend und geht über die aus der Schulmathematik bekannte Definition von Orthogonalität hinaus. Dies wird in Kapitel 21 näher erklärt. Die Tatsache, dass es "nur relativ wenige Versuchspläne mit eigenen Namen gibt, hat den Grund, dass diese sowohl bezüglich ihrer mathematischen Eigenschaften, als auch bezüglich ihrer praktischen Eigenschaften "günstig" sind. Diese bieten nämlich für spezielle Problemstellungen meistens den geringsten Aufwand bei maximal erreichbarem Informationsgehalt. Da die Motivation für diese Versuchspläne sehr unterschiedlich ist, sehen diese Pläne auch sehr unterschiedlich aus. Zwar spricht mathematisch nichts dagegen, eigene Versuchspläne zu entwickeln, doch meistens ist es günstiger, einen bestehenden Plan zu wählen, und diesen nur teilweise zu verwenden, oder ggfs. umzugestalten (Siehe Kapitel 21). Nicht-orthogonale Felder kommen praktisch nur bei relativ grossen Versuchsplänen vor, und bei solchen Versuchsplänen, die ein nicht-lineares (in der Regel quadratisches) Regressionsmodell zum Ziel haben. Nicht-orthogonale Felder kommen in mehreren Beispielen, z.b. ab Beispiel_4 (Kapitel 10) vor. 1.6 Freiheitsgrade In statistischen Auswertungen taucht häufig der Begriff Freiheitsgrad auf. Irgend etwas habe sound-so viele Freiheitsgrade. Dieser in seiner allgemeinen Form schwer zu verstehende Sachverhalt hat eine grosse Tragweite, das heisst, mit einer fehlerhaft bestimmten Anzahl an Freiheitsgraden ist schnell die gesamte Auswertung ruiniert und es werden falsche Schlüsse gezogen. Die Bestimmung der Anzahl Freiheitsgrade gestaltet sich für den Anfänger meist schwierig. In diesem Lehrgang gibt es allerdings viele Beispiele, anhand derer der richtige Umgang mit Freiheitsgraden erlernt werden kann. Insbesondere die Beispiele 8a, b und c gehen in besonders vertiefter Weise mit Freiheitsgraden um. (profit) (non-profit) Seite 20 von 344

21 Kapitel 1.7 Statistische Versuchsplanung Seite 21 von Signifikanz versus Relevanz Man hat eine Vermutung bezüglich eines unbekannten Sachverhaltes. Ein signifikantes Ergebnis bedeutet, dass das Ergebnis statistisch gesehen ein Mindestmass an Unwahrscheinlichkeit aufweist, etwas falsches zu suggerieren. Am Beispiel der allseits bekannten Glockenkurve ist ein Ergebnis genau dann signifikant, wenn es weit weg vom Mittelwert (im Bereich einer der Schwänze) zu liegen kommt, und zwar jenseits einer vorher festgelegte Grenze. Die quantitative Aussagekraft statistischer Hypothesentests hat viel Erklärungsbedarf, daher wird auf folgende Vertiefung verwiesen: Die Quintessenz statistischer Hypothesentests kann man jedoch wie folgt beschreiben: Fall 1: Nullhypothese wird explizit formuliert; Alternativhypothese ist lediglich die Negation der Nullhypothese. --> Der Testausgang ( signifikant oder nicht) lässt keinen quantitativen Schluss auf unbekannte Sachverhalte zu. Insbesondere ist das Betarisiko unbestimmt, bzw. nicht bestimmbar. Dieser Fall ist nicht zu empfehlen; der folgende Fall ist weitaus professioneller. Fall 2: Sowohl Nullhypothese, als auch Alternativhypothese werden explizit formuliert, und beide sind durch eine sog. Effektgrösse getrennt. Sowohl Alpharisiko als auch Betarisiko werden explizit festgelegt. --> Der Testausgang kann direkt als Wahrscheinlichkeitsaussage für unbekannte Sachverhalte verwendet werden. Hat man z.b. Alpha- und Betarisiko jeweils zu 10% festgelegt, dann zeigt der Testausgang mit genau 90% Wahrscheinlichkeit die wahren Verhältnisse an; man täuscht sich also in genau 10% aller Fälle, wenn man den Testausgang immer als wahr betrachtet. Bei unsymmetrischem Alpha bzw. Betarisiko ist es einfach die Mitte: Wurden die Risiken z.b. zu 95% und 99 % festgelegt, dann täuscht man sich in genau 3% aller Fälle (3% = Mitte aus 5% und 1%). Dieser Sachverhalt gilt ganz unabhängig davon, ob der Hypothesenformulierer Experte oder Anfänger in seinem Fachgebiet ist. Unabhängig von zuvor Gesagtem ist es dem Experimentator grundsätzlich gestattet, nicht signifikante Effekte dennoch als technisch relevant, bzw. signifikante Effekte für technisch wenig bedeutsam einzustufen. Ersteres betrifft insbesondere kleine Stichproben, letzteres insbesondere kleine Effekte. Die statistischen Methoden sind (nur) ein Hilfsmittel, den Einfluss des Zufalls von systematischen Einflüssen zu unterscheiden. Abschliessende Entscheidungen über Bedeutsamkeit sollten immer bevorzugt aus technischer Sicht erfolgen. Statistische Hypothesentest sollten als eine Entscheidungshilfe verstanden werden. (profit) (non-profit) Seite 21 von 344

22 Kapitel 1.8 Statistische Versuchsplanung Seite 22 von 344 Das lässt sich verallgemeinern: Unplausible Ergebnisse sind ein starkes Indiz dafür, dass mit der Anwendung statistischer Methoden etwas nicht stimmt. Umgekehrt sind plausible Ergebnisse *tendenziell* ein Indiz dafür, dass keine grösseren methodischen Fehler gemacht wurden. 1.8 Matrizenrechnung Matrizen sind spezielle Gebilde aus der höheren Mathematik. Mit den Regeln der Matrizenrechnung kann man komplexe Gleichungssysteme darstellen und umformen, ohne dabei den Überblick zu verlieren. Da diese Regeln, wie Matrizenrechnung an sich, im Kontext der statistischen Versuchsplanung reine Rechenhilfen darstellen und keine wesentlichen Erkenntnisse bringen, wird ihr kein separates theoretisches Kapitel gewidmet, sondern es werden anhand von Beispielen die wesentlichen Schritte gezeigt (ab Kapitel 9.1). (profit) (non-profit) Seite 22 von 344