Arbeitsblätter MATHEMAGIE

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1 Schutzgebühr: Fr (inkl. MWST) Arbeitsblätter Inhaltsverzeichnis Seite Tipps für einen Schulbesuch (Lehrkräfte) 1 Tipps für einen Schulbesuch (Schüler) 2 Denkspiele logische Knobeleien 3 Wolf Ziege Kohlkopf 3 Lights on 3 Turm von Hanoi 4 Kurven und Flächen 5 Pythagoras wiegt schwer 5 Spiegelwinkel 5 Alle Dreiecke sind gleich 6 Möbius-Band 6 Zahlenraum 7 Ausladungen - Wer kommt am weitesten raus? 7 Maschine in Granit 8 Würfel-Zerfall 8 Efronsche Würfel 9 Geburtstag in Pi 9 Antworten 10 Technoramastrasse 1 Tel. +41 (0) Internet: CH-8404 Winterthur Fax +41 (0) info@technorama.ch

2 Tipps für einen Schulbesuch (Lehrkräfte) Arbeitsblätter Seite 1 Allgemeine Hinweise für einen Technorama-Besuch Nehmen Sie sich einerseits genug Zeit, um mit Ihren Schülern gemeinsam Phänomene zu erkunden, und lassen Sie auf der anderen Seite Ihren Schülern möglichst viel Freiraum, um das Technorama "auf eigene Faust" zu entdecken. Unsere Empfehlung: Um einer "Reizüberflutung" durch die Vielzahl an Exponaten entgegenzuwirken, erkunden Sie doch zusammen mit Ihren Schülern zunächst einen oder zwei Sektoren für jeweils ca. eine Stunde. In diesen gemeinsam erkundeten Sektoren sollte auch der im freien Teil angesiedelte Arbeitsauftrag erfolgen. Die gemeinsame Erkundung sollte durch eine (ebenfalls gemeinsame) Pause abgeschlossen werden. Für die Phänomene, die die Schüler und Schülerinnen am meisten interessieren, sollen sie sich Zeit nehmen. (Man kann sich bei einem Besuch nicht allen Versuchen intensiv widmen.) Es gilt vor allem, nach eigenen Erklärungen zu suchen und sie am Experiment zu überprüfen. Wir danken der Jacobs Foundation sowie der UBS Stiftung für Soziales und Ausbildung für die grosszügige Unterstützung unseres Schuldienstes. Weiter unterstützt auch die VTW (Vereinigung für Technik und Wirtschaft) das Technorama in seinem ausserschulischen Freizeitangebot. Bemerkungen zu den Fragen in diesen Arbeitsblättern sowie Tipps zur Einführung der Schüler Der Schwierigkeitsgrad der Fragen ist unterschiedlich. Nur wenige der Fragen beziehen sich auf den Unterrichtsstoff der Sekundarstufe I (6.-9. Jahrgang). Die meisten Fragen beziehen sich auf mathematische Phänomene, die nicht direkt zum Unterrichtsstoff gehören, sondern über ihn hinausgehen bzw. ihn ergänzen. Es empfiehlt sich, vorab eine auf die Gruppe abgestimmte Auswahl zu treffen. Die Lösungen zu den Aufgaben geben die Hintergründe zu den Versuchen teilweise mathematisch anspruchsvoll wieder sind also nicht für die Schüler sondern für die Lehrkraft. Fachbücher vermitteln tiefergehende Informationen. Das Hauptziel der Arbeitsblätter besteht darin, Schülerinnen und Schüler zu genauem Beobachten anzuspornen. Deshalb muss ihnen auch das Gefühl vermittelt werden, dass sie in ihren Erklärungen und Meinungen ernst genommen werden. Ob ihre Antworten richtig oder falsch sind, finden wir eher zweitrangig. Auch diese Arbeitsblätter dienen in erster Linie dem Ziel, die Schüler zu intensiver Beobachtung und einigem Nachdenken über ein Phänomen anzuregen. Benutzen Sie die Schülertipps (folgende Seite) für ein Vorgespräch.

3 Tipps für einen Schulbesuch (Schüler) Arbeitsblätter Seite 2 So geht's... Teilt euch bitte in kleine Gruppen zu zweit oder zu dritt auf. Geht durch die ganze Ausstellung Mathe- Magie und schaut euch erst einmal alles kurz an. Hier dürft und sollt ihr die Experimente anfassen, be-greifen, ausprobieren und mit ihnen spielen. Für die Phänomene, die euch am meisten interessieren, solltet ihr euch Zeit nehmen. (Man kann sich bei einem Besuch nicht allen Versuchen intensiv widmen.) Es gilt vor allem, nach eigenen Erklärungen zu suchen und sie am Experiment zu überprüfen. Versucht euch bitte so zu verhalten, dass ihr die Klassenkollegen und auch die anderen Besucher nicht beim Experimentieren stört. Denkt bitte daran, dass andere Besucher das Experiment auch noch benutzen wollen - bitte behandelt es anständig und hinterlasst es ordentlich. Wichtig: Falls ein Experiment einmal nicht funktionieren sollte, sagt es bitte der Technorama-Betreuung, damit es schnellstmöglich repariert werden kann. Wenn ihr Fragen oder Probleme habt, wendet euch bitte an eine(n) Technorama- Betreuer(in) (Technorama-Gilet oder -Shirt) oder an eure Lehrkraft. Die Texte an den Experimenten können euch entscheidende Tipps und Informationen geben.

4 Seite 3 Denkspiele logische Knobeleien Wolf Ziege Kohlkopf Ein eigentlich altes Problem aus der Mathematik es zeigt aber schön, wie Mathematiker denken. Man soll die drei "Objekte" Wolf (W), Ziege (Z) und Kohlkopf (K) über den Fluss bringen. Leider haben sie die Eigenschaft, einander aufzufressen, sobald der Fährmann (F) sie miteinander alleine lässt: Der Wolf würde die Ziege und die Ziege den Kohlkopf fressen. Es gibt neben dieser "Regel" noch eine zweite Regel der Fährmann kann immer nur ein "Objekt" zur Zeit transportieren. Wie lässt sich diese Aufgabe mit möglichst wenigen Überfahrten (Hin- und Rückfahrten) lösen? Trage die Zeichen (W, Z, K, F) und Fahrtrichtung ein! Ufer A Überfahrt Ufer B Start W, Z, K, F 1.Zug?,? Stand 2.Zug Stand 3.Zug Stand 4.Zug Stand 5.Zug Stand 6.Zug Stand 7.Zug Stand Die Lösung ist zuerst meist überraschend "davon" hat ja keiner was gesagt! Sehr hilfreich ist es, genauer über die "Objekte" nachzudenken ist eines vielleicht anders als die anderen? Übrigens, man kann es mit sieben Überfahrten schaffen! Lights on Sieben Leuchten mit sieben Schaltern ein- oder ausschalten das klingt ja ganz leicht. Der Trick steckt in einem kleinen Detail jeder Schalter schaltet nicht nur "seine" Leuchte, sondern auch die beiden benachbarten Leuchten um! Schalte erst einmal eine Grundsituation, d.h. ALLE Leuchten EIN oder AUS. Schalte aus dieser Grundstellung alle Leuchten um (wenn sie vorher EIN waren, schalte alle AUS, bzw. umgekehrt). Wie oft musst du schalten? Worauf kommt es an? Übrigens, Könner schaffen es aus jeder Stellung heraus mit maximal sieben Schalterbetätigungen!

5 Seite 4 Denkspiele logische Knobeleien (Forts.) Turm von Hanoi Die folgende Geschichte veröffentlichte der französische Mathematiker Edouard Lucas ( ) anlässlich der Weltausstellung von 1889 in Paris. Lucas ist somit Erfinder des "Turms von Hanoi" (manchmal auch "Turm des Brahma" oder "Puzzle vom Ende der Welt" genannt). "Im grossen Tempel zu Benares, der den Mittelpunkt der Welt bezeichnet, stehen drei diamantene Säulen. Auf eine davon hat der Herr zu Beginn der Zeiten 64 goldene Scheiben gesteckt, welche von unten nach oben einen kleiner werdenden Durchmesser haben; dieser Turm ist dem Brahma geweiht. Tag und Nacht sind die Tempelpriester damit beschäftigt, den Turm nach folgenden Regeln umzubauen: Die Scheiben dürfen nur einzeln umgesetzt, eine Scheibe darf nie auf eine kleinere Scheibe gelegt, und zum Umbau des Turms dürfen alle drei Säulen benutzt werden. Wenn das Werk vollendet, d.h. der Turm von der ersten auf die zweite Säule umgesetzt ist, zerfallen Turm und Priester zu Staub, und das Ende der Welt ist gekommen." Hier sind es ja nur fünf Scheiben leider nicht aus Gold. Setze zuerst alle Scheiben auf einen Stift und schichte sie dann den Regeln gemäss um, bis sich alle Scheiben auf einem anderen Stift befinden. Wie viele Züge musst du mindestens machen? Probiere es zuerst nur mit drei Scheiben dann findest du schneller heraus, wie es am besten geht. Kannst du eine Regel finden, mit der es besonders einfach ist? Wenn du es zuerst mit wenigen Scheiben versuchst, bemerkst du sicherlich, dass die Anzahl der Züge mit der Anzahl der Scheiben sehr schnell wächst. Für Zahlenfresser: Wie viele Züge müssten wohl die Priester in der Geschichte machen? Wie lange würden die Priester brauchen, wenn sie in jeder Sekunde einen Zug machen könnten (ohne Pausen zu machen!)? a einige Tausend Jahre b einige Millionen Jahre c einige Milliarden Jahre d einige Billionen Jahre Schau dir auch das Exponat "Maschine in Granit" an und frage deine Lehrkraft nach der Sage vom Schachspiel und den Reiskörnern. Übrigens folgt auch die Ausbreitung von Computerviren und würmern den gleichen mathematischen Prinzipien d.h. mit jedem befallenen Computer wächst die Geschwindigkeit mit der sich der Virus/Wurm ausbreitet. Der bisher schnellste Wurm "Sapphire/Slammer" hat innerhalb von nur 30 Minuten weltweit über 75'000 Computer infiziert (anfangs hat sich dabei alle 8.5 Sekunden die Zahl der infizierten Computer verdoppelt).

6 Seite 5 Kurven und Flächen Pythagoras wiegt schwer Der Satz des Pythagoras (Pythagoras von Samos, 6. Jahrhundert v. Chr.) gilt für rechtwinklige Dreiecke. Im rechtwinkligen Dreieck heisst die Seite, die dem rechten Winkel (90 ) gegenüberliegt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten Katheten. Mit diesen Worten lautet der Satz des Pythagoras: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats." Das bedeutet unter anderem auch, dass die Hypotenuse länger ist als die einzelnen Katheten. a 2 b 2 c 2 Probiere auch das Exponat "Pythagoras ganz flüssig". Wiege die Quadrate, Häschen und Sterne von Hypotenusen (blau) und Katheten (gelb und rot) gegeneinander: Und? Wiegen sie immer gleich viel? Von Sternen und Häschen hat Pythagoras aber nichts gesagt! Letztlich handelt der Satz des Pythagoras von einer Flächenverwandlung. Die Sterne und Häschen sind aber nicht einmal Flächen sondern Körper! Frage für Spezialisten: Warum funktioniert es trotzdem? Spiegelwinkel Öffne zuerst den Spiegel ganz so ergibt sich ein ganz normaler Flachspiegel, in dem man unter anderem einen schwarzen Punkt sieht. Aussen findest du eine Winkeleinteilung, die dir anzeigt, in welchem Winkel die beiden Spiegel zueinander stehen (in dieser Stellung sind es 180 ). Klappe jetzt den Spiegel langsam zu und achte darauf, wann ein zweiter schwarzer (ganzer) Punkt zu sehen ist. In welchem Winkel stehen die Spiegel jetzt zueinander?

7 Seite 6 Kurven und Flächen (Forts. "Spiegelwinkel") Suche jene Positionen, in denen zwei, drei und mehr (ganze) Punkte sichtbar werden: 2 Punkte 3 Punkte 4 Punkte 5 Punkte 6 Punkte Lege auch einmal deine Hand zwischen die Spiegel und betrachte die Spiegelbilder. Was fällt dabei auf? Alle Dreiecke sind gleich Aber die Drahtdreiecke sehen doch völlig unterschiedlich aus! Wie kannst du mit so unterschiedlichen Dreiecken die gleichen Schatten an der Wand bewirken? Für Fortgeschrittene: Warum ist das so? Möbius-Band Diese "komisch verdrehte" Stahlband birgt einige Überraschungen: Fahre mit der Hand (parke das Lokomotivpaar an deinem Startpunkt) am Rande des Bandes entlang so weit du kannst. Wohin führt dich deine Reise? Starte nun mit deiner Fahrt am gegenüberliegenden Rand (lass das Lokomotivpaar an deiner vorherigen Startposition). Fällt dir dabei etwas Besonderes auf? Wie viele Ränder hat das Möbius-Band? Wiederhole das Gleiche mit den Flächen. Wie viele Flächen hat das Band? Für Wissbegierige: Mache dir selbst ein Möbius-Band. Nehme einen relativ schmalen und langen Streifen Papier und klebe die Enden "verdreht" zusammen. Diskutiere anhand deines Modells folgende Frage mit deinen Kollegen, Lehrern oder Eltern: Wie kann etwas gleichzeitig ohne Ende und doch nicht unendlich sein?

8 Seite 7 Zahlenraum Ausladungen - Wer kommt am weitesten raus? Baue mit den Holzklötzen eine Brücke über den "Abgrund". Anders als bei "normalen" Brücken hast du aber keine Nägel, Schrauben, Kleber oder andere "Verbinder" zur Verfügung. Falls es nicht klappt, versuche zuerst die untere Aufgabe. Wie schaut deine Brücke aus? Zeichne auch andere Lösungen, bei denen du aber eventuell mehr Klötze brauchst, auf. Tischplatte Spiegel Tischplatte Spiegel Tischplatte Vielleicht wird es einfacher, wenn du zuerst versuchst, vier der Holzklötze so zu stapeln, dass einer der Klötze sozusagen "frei" über dem Spiegel zu liegen kommt. Zeichne deine Lösung auf! Tischplatte Spiegel Tischplatte Spiegel Tischplatte Spiegel Lade deine Kollegen/Kolleginnen zu einem kleinen Wettbewerb ein: Wer die Vorderkante des Klotzes am weitesten (cm) überstehen lassen kann, hat gewonnen. Wie viele cm hast du geschafft? Tischplatte Spiegel

9 Seite 8 Zahlenraum (Forts.) Maschine in Granit Dass Zahlenreihen manchmal sehr schnell anwachsen können, hast du vielleicht schon beim "Turm von Hanoi" erlebt. Dort verdoppelt sich ja die Anzahl der notwendigen Züge mit jeder zusätzlichen Scheibe. Hier werden die Zahlen (genauer die Drehzahlen, also die Drehgeschwindigkeit der Zahnräder) sehr klein. Das Zahnrad des Motors dreht sich ständig (und das seit einigen Jahren!) mit 200 Umdrehungen pro Minute. Die einzelnen Getriebestufen untersetzen jeweils 50:1, d.h. das vorhergehende Zahnrad muss sich fünfzig Mal drehen, damit das Ausgangszahnrad sich einmal dreht. Insgesamt stehen zwölf Getriebestufen zwischen dem ständig laufenden Motor und dem mit dem Granitblock fest (unbeweglich!) verschraubten Zahnrad. Wie kann das gehen? a Irgendwo gibt es eine Unterbrechung, die Zahnräder sind gar nicht alle verbunden. b Nachts dreht der Motor rückwärts, um wieder mehr Spiel zur Verfügung zu haben. c Es hat genug Spiel in den Getrieben, um einige Monate laufen zu können. Dann wird ein Zahnrad wieder um einen Zahn zurückgedreht. d Selbst wenn es kein Spiel hätte, würde der Motor einige hundert Jahre drehen können, bis sich das letzte Zahnrad auch nur um einen Atomdurchmesser drehen müsste. Würfel-Zerfall Auch hier kannst du erleben, wie sich Zahlen entwickeln können. Bei den Würfeln sind zwei Seiten mit einem roten Kreis versehen, die restlichen vier Seiten sind weiss. Benutze beim ersten Wurf alle Würfel. Nehme die Würfel, die mit dem roten Kreis nach oben liegen, heraus und staple sie in der ersten Kolonne links aufeinander. Wiederhole die Prozedur mit den restlichen Würfeln und staple die "roter-kreis-oben-würfel" in der nächsten Kolonne auf. Führe dieses Verfahren so lange durch, bis kein Würfel mehr übrig bleibt. (Wenn einmal kein roter Kreis oben liegt, musst du eine Kolonne auslassen.) Wie oft musstest du würfeln, bis kein Würfel mehr übrig blieb? Wie gross ist der Anteil an "roter-kreis-oben- Würfel" von der Gesamtanzahl der geworfenen Würfel bei jedem Wurf (im Durchschnitt)? a die Hälfte b ein Drittel c ein Sechstel Man kann jetzt eine mehr oder weniger deutliche Kurve erkennen - vielleicht sogar mit statistischen "Ausreissern. Die gleiche Kurve ergibt sich auch bei anderen statistischen Vorgängen, z.b. dem radioaktiven Zerfall. Hier ein Beispiel:

10 Seite 9 Zahlenraum (Forts.) Efronsche Würfel Das Spiel ist nicht fair der Zweite gewinnt nämlich fast immer! Aber es sind auch keine normalen Würfel schau dir die einzelnen Würfel genau an. Am besten ist es, wenn zwei Spieler für zehn Runden gegen einander antreten. In jeder Runde erhält derjenige einen Punkt, der die höhere Zahl geworfen hat. Wer nach zehn Runden mehr Punkte erzielt hat, ist Sieger. Wiederholt das Ganze, bis alle Würfel einmal gegeneinander angetreten sind. Welcher Würfel ist der beste? Zeichne ein, welcher Würfel gegen welchen Würfel gewinnt (benutze einen Pfeil vom Gewinner- zum Verliererwürfel): 6/2er 3er 5/1er 4/0er Geburtstag in Pi Pi ist die Kreiszahl und gibt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser des Kreises an Pi=U/d. Die ersten Stellen von Pi kennst du vielleicht schon aus dem Mathematikunterricht Pi= Die Punkte am Ende bedeuten, dass die Ziffernfolge dort noch nicht beendet ist genauer gesagt hört sie nie auf! Trage dein Geburtsdatum (oder auch eine andere bis zu sechsstellige Zahl) ein und lass den Computer die Zahl Pi danach durchsuchen. Bei welcher Nachkommastelle von Pi findet sich deine Zahl? Wenn deine Zahl in den ersten 20'000 Nachkommastellen enthalten ist, findest du sie auch auf der Spirale des Posters hinter dir. Kommt deine Zahl jedoch gar nicht vor, dann bist du ein seltener Fall. Über 99 % aller sechsstelligen Zahlenkombinationen finden sich in den ersten 10 Millionen Stellen von Pi (so viele durchsucht das Programm). Was ist daran etwas ungewöhnlich?

11 Seite 10 Antworten Denkspiele Wolf Ziege Kohlkopf Ein Objekt wird hin- und hergefahren die Ziege und das soll erlaubt sein? In den Regeln steht nicht, dass es verboten ist genauer gesagt steht darüber gar nichts drin, und damit ist es auch erlaubt. Ein typisches Problem mit den Mathematikern die müssen immer alles wörtlich nehmen. Es muss die Ziege sein, da sie sich gegenüber den anderen Objekte durch eine besondere Eigenschaft auszeichnet: Sie kann gefressen werden (vom Wolf) und selber fressen (den Kohl) Hier eine der beiden Minimallösungen (Wolf und Kohl sind gegeneinander austauschbar): Start 1.Zug Ufer A Überfahrt Ufer B W, Z, K, F Z, F Stand W, K Z, F 2.Zug Stand W, K, F Z 3.Zug F K, F Stand W Z, K, F 4.Zug Z, F Stand W, Z, F K 5.Zug W, F Stand Z W, K, F 6.Zug Stand Z, F W, K 7.Zug Stand Lights On F Z, F W, Z, K, F Meistens sucht man nach einem bestimmten Muster einer Regel, wie die Tasten gedrückt werden müssen. Auch hier existiert solch eine Regel: Jeder Knopf muss genau einmal gedrückt werden. Da nichts über eine Reihenfolge gesagt ist, ist es auch unerheblich in welcher Reihenfolge gedrückt wird. Egal aus welchem Zustand heraus alle Leuchten EIN oder alle AUS oder ganz gemischt nach spätestens sieben gedrückten Tasten hat man einen Zustand erreicht, in dem alle Leuchten EIN oder AUS sind. Turm von Hanoi Wie viele Züge braucht man für das Umschichten? Versucht man es zuerst mit nur ein, zwei, drei Scheiben, zeigt sich schnell ein Zusammenhang: Anzahl der Scheiben Anzahl der Züge = Anzahl der Züge nur anders geschrieben 2 3 2x2-1 = x2x2-1 = x2x2x2-1 = x2x2x2x2-1 = x2x2x2x2x2-1 = n (beliebig viele Scheiben) 2x2x2x x2x2-1 = 2 n -1 Man kann mathematisch beweisen, dass das Problem des Turms von Hanoi lösbar ist. Genauer gesagt braucht man mindestens 2 n -1 Schritte, um n Scheiben von einem Stab auf einen anderen zu bewegen, und es gibt Verfahren, bei denen man mit 2 n -1 Schritten auskommt. Selbst im günstigsten Fall müssten die Priester zu Benares Züge ausführen, um den Turm gemäss der Regeln zu versetzen. Auch wenn die Priester für das Bewegen einer einzelnen Scheibe nur eine Sekunde benötigen, dauert das Versetzen des gesamten Turms fast 585 Milliarden Jahre. Geht man davon aus, dass die Entstehung der Welt durch den Urknall vor weniger als 20 Milliarden Jahren stattfand, so müssen wir uns um ein baldiges Ende der Welt keine allzu grossen Sorgen machen. Es handelt sich hier um eine exponentiell wachsende Anzahl von Zügen mathematisch

12 Seite 11 Antworten (Forts.) gesprochen eine Exponentialfunktion wie bei der "Maschine in Granit", dem "Würfel-Zerfall" und der Sage vom Erfinder des Schachspiels. Übrigens sind auch das Bevölkerungswachstum (jedenfalls auf einen längeren Zeitraum betrachtet) oder der radioaktive Zerfall Exponentialfunktionen. Peter Buneman (Universität Pennsylvania) und Leon Levy (von AT&T Laboratories) haben 1984 eine einfache Zugfolge gefunden, mit der man ohne nachzudenken ans Ziel kommt. Man muss nur folgende Schritte abwechselnd ausführen: Lege die kleinste Scheibe auf den im Uhrzeigersinn nächsten Stab. Versetze die nächste Scheibe auf den freien Stab. Diese Lösungsstrategie ist sehr effizient (sogar die bislang effizienteste ihrer Klasse) mit einer fast unglaublich kleinen Zahl an Anweisungen! Die Grundidee zu dieser Lösung besteht darin, sich die Stäbe als im Kreis angeordnet vorzustellen. Kurven und Flächen Pythagoras wiegt schwer Es ist völlig egal, welche Form die Flächen über den Seiten des Dreiecks haben solange sie einander "mathematisch ähnlich" sind. Ähnlich bedeutet hier, dass sich die Längen- und Breitenverhältnisse bei den unterschiedlichen Grössen nicht ändern. Bestimmend für die Fläche jedes Objektes ist die Länge der entsprechenden Dreiecksseite. Da alle Objekte gleich dick sind, macht sie auch der Schritt in die dritte Dimension, den Körper, nicht weniger ähnlich. Übrigens, man kennt heute über 400 Beweise für den Satz des Pythagoras. Diese bauen auf zahlreichen Zusammenhängen des Satzes mit den verschiedensten Bereichen der Elementargeometrie auf. Über den folgenden besonders schönen Beweis sagte der Mathematiker W. Lietzmann: "... ein Blick auf die Figur genügt, um den Beweis zu erfassen; er kann sich auf das eine Wort SIEHE! beschränken." Durch simples Umklappen erhält man aus den beiden Kathetenquadraten das Hypotenusenquadrat: Da die Kathetenquadrate in dieser Darstellung nebeneinander liegen, wurde dieser Beweis schon im 9.Jahrhundert von den Indern als "Stuhl der Braut" bezeichnet. Spiegelwinkel Wenn man die Spiegel eng zusammendrückt, so dass man kaum mehr hineinschauen kann, gibt es unglaublich viele Spiegelbilder. Manchmal ergeben sich besonders regelmässige Muster; dann geht es auf, das heisst, man sieht vollständige Spiegelbilder der Figur. Dies hängt vom Winkel zwischen den beiden Spiegeln ab. Zum Beispiel ergeben sich bei den Winkeln 90, 60 oder 72 besonders schöne Muster. Stellen wir uns zunächst vor, dass die beiden Spiegel im Winkel von 60 (3 Punkte) zueinander stehen. Die Spiegelbilder der beiden Spiegel werden nochmals gespiegelt, und auch diese werden wieder gespiegelt. Insgesamt sehen wir das Objekt sechsmal (also 6 halbe Punkte). Jetzt passiert nichts Neues mehr, denn weitere Spiegelbilder sind identisch mit den schon vorhandenen.

13 Seite 12 Antworten (Forts.) Bei einem Winkel von 45 sieht man insgesamt 8 Bilder, bei einem Winkel von Bilder (jeweils inklusive des Originals). Je kleiner der Winkel, desto grösser die Anzahl der Bilder. Allgemein ist die Anzahl der Bilder 360 /α wobei α der Winkel zwischen den Spiegeln ist. Weiterführend zu Spiegelungen: Wenn man seine rechte Hand bei einem dieser Winkel zwischen die Spiegel hält, zeigt sich: Die Hälfte der Bilder sind rechte, die andere Hälfte linke Hände (das erste Spiegelbild ist eine linke Hand, das zweite Spiegelbild eine rechte Hand etc.). Alle Dreiecke sind gleich Bei diesem Experiment handelt es sich um eine Zentralprojektion. Andere Experimente zur Zentralprojektion sind in der Wahrnehmung zu finden (besonders: Schiefer Raum, Drei vertrackte Stühle, Alberti s Perspektiven-Fenster). Hier einmal die mathematische "Übersetzung": Der Dreieckshalter (mathematisch gesprochen: die Ebene E) wird mit Hilfe einer Punktlichtquelle (Zentrum Z) auf die Tafel mit den Dreiecken (Ebene E') abgebildet. Jeder Punkt des Dreiecks (Punkt P der Ebene E) wird so abgebildet, dass das Licht der Lichtquelle (die Gerade durch das Zentrum Z) durch den Punkt des Dreiecks auf die Tafel mit den Dreiecken (den Punkt P' der Ebene E') fällt (schneidet). Das Metalldreieck mit Halter (die Eckpunkte ABC) wird so auf eines der gleichseitigen Dreiecke an der Wand (A'B'C') abgebildet. Die Geraden, die jeweils durch die Ecken der beiden Dreiecke gehen (AA', BB', CC'), schneiden sich dann in einem Punkt der Lichtquelle (dem Zentrum Z). Wichtig: Die Ebenen müssen nicht parallel zueinander liegen. Der Satz von Desargues (Girard Desargues, ), einer der grundlegenden Sätze der Geometrie, behandelt dieses Problem, führt aber an dieser Stelle zu weit. Möbius-Band Eine merkwürdige Struktur eigentlich haben doch alle Objekte immer eine Vorder- und Rückseite. Das Möbius-Band, das nach August Ferdinand Möbius benannt wurde, ist mathematisch betrachte eine zweidimensionale Fläche mit nur einer Seite. Übrigens wurde das Möbius-Band 1858 wenige Monate vor Möbius schon von Johann Benedict Listing entdeckt (beide haben diese Struktur allerdings unabhängig voneinander erkannt und beschrieben). Startet man bei der Lokomotive, so kommt man auch wieder dort an was nicht unbedingt verwundert, erinnert die Figur doch auch an ein Kreisband. Was jedoch jetzt schon verwundern kann, ist die Länge des Weges. Spätestens wenn man jedoch vom gegenüberliegenden Rand startet und trotzdem an der Lokomotive ankommt, wird klar, dass dieses Objekt nur einen Rand besitzt! Das Gleiche gilt übrigens auch für die Fläche. Das Möbiusband wird hergestellt, wenn man ein Ende des Bandes um 180 verdreht an das andere Ende klebt. Damit wird die Rückseite mit der Vorderseite verbunden der Begriff der Rückseite wird für solch ein Objekt also bedeutungslos. Besonders spannend wird es, wenn man ein Möbiusband der Länge nach durchschneidet. Was entsteht? Hier noch eine Überlegung zum Verdrehen der Gehirnwindungen: Eine zweidimensionale Ameise - sozusagen der Schatten einer Ameise - kommt nach einer Wanderung durch das Band seitenverkehrt an. Die Ameise muss sich aber im Innern des Bands bewegen! Das können eben nur Schatten, keine echten Lebewesen.

14 Seite 13 Antworten (Forts.) Zahlenraum Ausladungen - Wer kommt am weitesten raus? Die übersichtlichste (und klassische) Weise herauszufinden, wie man über den Rand hinausbauen kann, ist die folgende: Man stapelt zunächst fünf Steine übereinander auf, so dass sie mit ihrer Vorderkante genau an der Kante des Podests anliegen. Dann schiebt man den obersten Klotz so weit nach vorne, dass er gerade noch hält, also bis zur Hälfte. Dann schiebt man den zweitobersten Klotz so weit, wie es geht, nach vorne, wobei der oberste Klotz mitgeschoben wird. Es geht um ein Viertel. Jetzt sind über dem Abgrund und über dem Podest jeweils vier Viertelsteine; also ist das Gebilde im Gleichgewicht weiter mit dem nächsten Klotz. Der vierte Klotz befindet sich jetzt schon ganz über dem Abgrund (theoretisch in der Praxis ist es oft erst der fünfte). Diese Methode des Aufbaus (nach der harmonischen Reihe) ist die mathematisch übersichtlichste leider aber nicht die beste! Eine Brücke bekommt man so nicht zustande! Der mathematische Schlüssel ist die sogenannte harmonische Reihe 1 + 1/2+ 1/3 + 1/ Diese divergiert, das heisst: sie wird grösser als jede vorgegebene Zahl. Praktisch bedeutet dies: Man kann die Klötze beliebig weit nach aussen bauen allerdings wird der Turm dabei ausserordentlich hoch. Wesentlich effektiver als der Bau gemäss der harmonischen Reihe ist es, konsequent auf ein Gleichgewicht zu setzen. Dafür braucht man zwar immer mindestens zwei Hände, bekommt aber letztlich die Brücke gebaut. Der Aufbau kann auf beiden Seiten des Abgrundes gleichzeitig erfolgen zum Abschluss wird der neunte Stein in der Mitte aufgesetzt. Maschine in Granit Es handelt sich hierbei um 12 Getriebestufen, die die Drehzahl in jeder Stufe jeweils im Verhältnis 1:50 heruntersetzen. Der Motor dreht mit 200 Umdrehungen pro Minute, nach der ersten Stufe sind es daher 200 geteilt durch 50 gleich 0.4 Umdrehungen pro Minute. Diese 0.4 Umdrehungen pro Minute werden in der nächsten Stufe wieder 1:50 heruntergesetzt 0.4/50=0.008 Umdrehungen pro Minute und so weiter und so weiter. Das letzte Zahnrad dreht sich daher extrem langsam, wobei "extrem" eine gewaltige Untertreibung darstellt. Es braucht schon einige hundert Jahre, bis sich ein Zahn auch nur um die Dicke (den Durchmesser) eines Atoms bewegt hat. Aus diesem Grund ist es unerheblich, ob es in dem Getriebe Spiel hat oder nicht. Das normale Spiel eines realen Getriebes reicht also schon für einige Millionen Jahre aus. Die Umdrehungszahlen werden so klein (bzw. die Umdrehungsdauer so gross), weil die gleiche

15 Seite 14 Antworten (Forts.) mathematische Operation immer wieder auf das Ergebnis der vorherigen Operation angewendet wird es handelt sich hier um eine Exponentialfunktion der Form U n =U 0 /50 n wobei U n die Drehzahl des des n-ten Zahnrades, U 0 die Eingangsdrehzahl und n die Getriebestufe bezeichnet. Würfel-Zerfall Die Würfel haben auf zwei Seiten einen roten Kreis und vier weisse leere Seiten. Bei jedem Wurf kommt etwa bei zwei von sechs Würfeln die Seite mit dem roten Kreis nach oben zu liegen. Ungefähr ein Drittel der Würfel wird also aussortiert. Weil die Anzahl der ausgeschütteten Würfel jedes Mal um etwa einen Drittel abnimmt, wird auch die Zahl der herausgepickten Würfel immer kleiner. Theoretisch erwartet man, dass beim ersten Wurf 1/3, beim zweiten 1/3 von 2/3, beim dritten 1/3 von 4/9 aller Würfel ausgesondert werden usw. Der Zufall sorgt allerdings für erhebliche Abweichungen. Je weniger Würfel vorhanden sind, umso augenfälliger werden sie. Die roten Würfel formen damit (annähernd) eine Exponentialkurve (siehe Skizze). Solche Funktionen beschreiben eben auch den radioaktiven Zerfall von Atomkernen oder, allgemeiner gesagt, wenn die Änderung einer Menge proportional zu ihrer Grösse ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein radioaktiver (instabiler) Atomkern in der nächsten Sekunde umwandelt, hat einen festen, für diesen Kern typischen Wert. Daher zerfällt von einer (im Allgemeinen sehr grossen!) Anzahl solcher Atomkerne in jeder Sekunde ein bestimmter Bruchteil. Der Bruchteil ändert sich nie, aber die Anzahl der noch vorhandenen instabilen Kerne nimmt ab, und damit die je Sekunde abgegebene Strahlung. Es kann nie im Voraus gesagt werden, wann ein bestimmter Kern zerfällt. Da man es aber meist mit einer sehr grossen Anzahl von Kernen zu tun hat, kann man sehr genau prognostizieren, wann die Hälfte der Atomkerne zerfallen ist. Diese Zeit bezeichnet man als Halbwertszeit. Betrachten wir konkret 1 Gramm des radioaktiven Cäsium-137 ( Cs137). Bei dieser Menge zerfallen jede Sekunde etwa 3 Billionen Kerne. Nach 30,17 Jahren ist noch die Hälfte, also 0.5 Gramm, vorhanden, nach 60,34 Jahren noch 1/4, nach 90,51 Jahren noch 1/8 usw. Damit in jeder Sekunde "nur" noch 3 Millionen Kerne zerfallen, muss man rund 600 Jahre warten. Bei solch grossen Zahlen ergibt sich sehr genau die Exponentialkurve bei unserem Würfelspiel müsste man es sehr oft durchführen, damit möglichst wenige Schwankungen in der Höhe der Säulen auftreten und wir eine gute Annäherung an die Exponentialfunktion erhalten. Efronsche Würfel Vorab: Es ist hier besonders wichtig, dass man wirklich mindestens 10 Runden gegeneinander spielt ansonsten können statistische Ausreisser das Bild verfälschen. Es gibt keinen "besten" Würfel. Für jeden Würfel kann man einen anderen Würfel finden, der "besser" ist (=mit dem man bei 10 Würfen recht sicher gewinnt). Dies ist eine ungewöhnliche Situation. Bei Grössenvergleichen wie z.b. Idefix ist kleiner als Asterix und Asterix ist kleiner als Obelix muss sich ergeben, dass Idefix kleiner als Obelix ist. Solche Vergleiche (auch kleiner, breiter, schneller, teurer, heller ) werden mathematisch als Relation, genauer als Ordnungsrelation bezeichnet. Die Dinge werden nach einem bestimmten Merkmal der Reihe nach angeordnet. Eine Eigenschaft, die bei Ordnungsrelationen sehr oft auftritt, ist die Transitivität. Aus Idefix < Asterix und Asterix < Obelix folgt Idefix < Obelix. Weil uns die Transitivität aus dem Alltag so vertraut ist, erwarten wir sie natürlich auch bei den Würfeln wenn der 6er Würfel den 5er schlägt

16 Seite 15 Antworten (Forts.) und der 5er den 4er schlägt und der 4er den 3er schlägt, dann muss doch auch der 6er den 3er schlagen. Aber der 3er Würfel schlägt den 6er Würfel! Diese Nicht-Transitivität ergibt sich aus dem Umstand, dass es sich hier um Gewinnwahrscheinlichkeiten handelt. Um die Gewinnwahrscheinlichkeiten dieser sog. Efronschen Würfel zu bestimmen, ist es nützlich, die entsprechenden Baumdiagramme zu betrachten. Die Würfel seien A, B, C und D. Wenn der erste Spieler den Würfel A wählt, so sollte der zweite Spieler den Würfel B wählen. Das Baumdiagramm der möglichen Spielverläufe sieht wie folgt aus: Wenn man nun die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 addiert, ergibt sich stets die Gesamtwahrscheinlichkeit 2/3. Spieler 2 besitzt also eine doppelt so grosse Chance, das Spiel zu gewinnen, wie Spieler 1. Wenn der erste Spieler den Würfel B wählt, so nimmt der zweite Spieler Würfel C. Wenn der erste Spieler Würfel C wählt, so nimmt der zweite Spieler Würfel D. Wenn der erste Spieler sich für Würfel D entscheidet, so wählt Spieler 2 Würfel A aus, um zu gewinnen. Die entsprechenden Bäume sehen wie folgt aus: Im Baumdiagramm ist am Ende jedes Asts das Ereignis aufgetragen, seitlich auf dem Ast ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu finden. Beispiel: Mit Würfel A erhält Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/3 den Wert 0 und mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 den Wert 4. Spieler 2 hingegen erhält beim Würfeln mit Würfel B die 1 und die 5 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Wenn das Würfelergebnis von Spieler 2 höher als das von Spieler 1 ist, so hat er das Spiel gewonnen, andernfalls verloren. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste. Der zweite Spieler gewinnt bei richtiger Wahl des Würfels stets mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3. Es gibt auch eine Variante mit drei Würfeln. Hierbei ist die Gewinnchance des Zweiten nur 5/9, also empirisch nicht so leicht nachzuweisen.

17 Seite 16 Antworten (Forts.) Geburtstag in Pi Dieses Programm durchsucht die ersten 10 Millionen Nachkommastellen von π nach der von Ihnen eingegeben bis zu sechsstelligen Ziffernfolge. Die Chance, eine Zahl in den Nachkommastellen von π zu finden, hängt wesentlich von der Länge der Zahl und der Anzahl der Nachkommastellen ab: Bei 100 Millionen Nachkommastellen von π sehen die Chancen für das Finden von Zahlen folgendermassen aus: Wie viele Stellen Trefferchance % 6 Nahezu 100% % 8 63% 9 9.5% %% % Geburtstage sind üblicherweise achtstellig (TTMMJJJJ, z.b ). Daher liegt die Chance, ein achtstelliges Geburtsdatum unter den ersten 100 Millionen Stellen zu finden bei ca. 63 % (bei 200 Millionen Stellen erhöht sich die Chance auf 86 %) Seit Dezember 2002 kennt man Dezimalstellen (das sind 1.24 Billionen Ziffern, die in über 600 Stunden reiner Rechenzeit eines der schnellsten Computer der Welt errechnet wurden) von π. Diese Berechnungen wurden von Prof. Yasuma Kanada von der Universität Tokio angestellt, dessen Berechungsmethode doppelt so schnell war wie alle bisherigen Methoden. Die Menge dieser Zahlen würde Bände à Seiten, bzw. 650 CDs füllen. Die Kreiszahl π zeigt einige bemerkenswerte Eigenschaften: π ist irrational (1761 von Johann Heinrich Lambert bewiesen). Das bedeutet, dass π nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Gleichzeitig bedeutet diese Eigenschaft, dass π unendlich viele Nachkommastellen hat, die nicht periodisch sind, und deshalb niemals ganz genau bestimmt werden können. π ist transzendent (1882 von Ferdinand Lindenmann herausgefunden). Das bedeutet, dass es kein Polynom (eine mathematische Formel) mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, das π als Nullstelle hat. Daraus folgt, dass die "Quadratur des Kreises" unmöglich ist. π ist normal (bislang eine unbewiesene Vermutung). Das bedeutet, dass einzelne Ziffern oder Blöcke bestimmter Länge in den Nachkommastellen von π nicht häufiger oder seltener vorkommen als andere. Diese Eigenschaft von π führt dazu, dass π als Lieferant für Zufallszahlen dienen kann. Anders ausgedrückt heisst das, dass jede vorstellbare Ziffernfolge (Geburtsdaten, Telefonnummern,...) irgendwo in den Stellen von π auftauchen muss. Oder noch weiter gedacht: Da Computer Buchstaben in einem Zahlencode darstellen, muss so auch jede Buchstabenkombination Ihr Name, der Satz "π ist die Kreiszahl." oder auch der Text eines ganzen Buches wie der Bibel in π enthalten sein. Man muss nur unter Umständen lange danach suchen und zumindest für die Bibel müssen die Computer wohl noch einige Zeit an weiteren Quadrillionen (und mehr) Nachkommastellen von π rechnen. Tatsächlich ist die Normalität von π noch nicht bewiesen. Dies ist eine der grossen offenen Vermutungen in der Mathematik. Hinweise: (1) - Hier können sie in den ersten 100 Millionen Stellen von π suchen lassen! (Seite in Englisch) (2) Eine der besten Webseiten zu π mit vielen Informationen und noch mehr Links. (Seite in Englisch) abmathemagie.doc/ /ju Änderungen vorbehalten / Technorama