D E S K R I P T I V E S T A T I S T I K

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1 Dr. T. Deutler Seminar für Statistik Universität Mannheim Denkanstöße und Lernkontrollfragen zur Veranstaltung D E S K R I P T I V E S T A T I S T I K 1. Grundbegriffe, Darstellung statistischer Ergebnisse 1.1. Wodurch unterscheiden sich nominale, ordinale und metrische Merkmale? 1.2. Woran erkennt man im konkreten Einzelfall zu welcher Merkmalart das interessierende Merkmal gehört? 1.3. Wie wirkt sich der Unterschied der Merkmalarten bei der Erfassung bzw. Auswertung der Daten aus? 1.4. Ist die Zuordnung eines Merkmals zu einer Merkmalart stets eindeutig? Wovon ist die Zuordnung ggf. abhängig? 1.5. Weshalb lässt sich ein metrisches Merkmal auch wie ein ordinales bzw. wie ein nominales Merkmal auswerten? Was sind die Konsequenzen, wenn ein metrisches Merkmal wie ein ordinales bzw. wie ein nominales ausgewertet wird? 1.6. Weshalb können nominale Merkmale nicht wie ordinale oder metrische und ordinale nicht wie metrische behandelt werden? 1.7. Welche graphischen Darstellungsmöglichkeiten von Häufigkeitsverteilungen gibt es? In welchen Anwendungssituationen werden diese jeweils benutzt? 1.8. Enthalten tabellarische und entsprechende graphische Darstellungen dieselben Informationen? Lässt sich eine Darstellung in eine andere überführen, wenn ja, wie? 1.9. Zu welchen Zwecken benutzt man relative anstelle von absoluten Häufigkeiten? Welche Vor- und Nachteile sind mit der Gruppierung von Daten verbunden? Wozu dienen kumulierte Häufigkeiten bzw. die Summenkurve oder die Summentreppe? Für welche Merkmalarten lassen sich kumulierte Häufigkeiten bilden? Wie konstruiert man aus einem Stabdiagramm die Summentreppe bzw. aus einem Histogramm die Summenlinie und umgekehrt? In welchen Fällen benutzt man zur Darstellung von Häufigkeiten anstelle eines Stabdiagramms ein Histogramm? Weshalb sollte man bei einem Histogramm mit unterschiedlich breiten Klassen nicht die Säulenhöhen sondern die Säulenflächen proportional zu den Klassenhäufigkeiten zeichnen? Wie ist bei einem Histogramm der Zahlenwert der Säulenhöhe zu interpretieren? Wann benutzt man verschieden breite Klassen anstelle von Klassen gleicher Breite? Für welche Bereiche der Merkmalachse sollte man die Klassen breit bzw. eng wählen? Unter welcher Bedingung könnte man in einem Histogramm zur Darstellung von Häufigkeiten die Säulenhöhen (anstelle der Säulenflächen) verwenden, ohne dass sich die Gestalt des Histogramms verändert? Aus welchen Gründen nimmt man beim Gruppieren Informationsverluste in Kauf? Durch welche Annahme ersetzt man im Histogramm die durch das Gruppieren verloren gegangene Information? Welche Probleme können offene Klassen mit sich bringen? 2. Konzentrationsmessung 2.1. Weshalb und in welchen Anwendungssituationen (Beispiele!) interessiert man sich für die Konzentrationsmessung? 2.2. Worin besteht der Unterschied zwischen Aussagen zur absoluten und zur relativen Konzentration? 2.3. Wie stellt man absolute bzw. relative Konzentration grafisch dar?

2 2.4. Welche Angaben benötigt man zum Zeichnen einer Lorenzkurve und wie erstellt man aus diesen Angaben die Lorenzkurve? 2.5. Welche Ablesungen lassen sich an einer Lorenzkurve vornehmen? 2.6. Wie ist Gleichverteilung bzw. vollständige Konzentration zu interpretieren? (Erläuterung an Beispielen!) 2.7. Wie sieht die Lorenzkurve bei Gleichverteilung bzw. bei vollständiger Konzentration aus? Welche Werte nimmt der Gini- Koeffizient in diesen beiden Extremfällen an? 2.8. Wie verändern sich Lorenzkurve bzw. Gini-Koeffizient, wenn im Zeitverlauf die Konzentration zunimmt? 2.9. Lässt sich beim Vergleich zweier Lorenzkurven stets angeben, bei welcher von beiden stärkere Konzentration vorliegt? Kann es vorkommen, dass zu verschiedenen Lorenzkurven der gleiche Wert des Gini-Koeffizienten gehört? Ist bei einem Konzentrationsprozess mit dem Ansteigen der absoluten Konzentration stets auch ein Anstieg der relativen Konzentration verbunden? Überlegen Sie sich ökonomische Fragestellungen, bei denen ein Konzentrationsprozess besser anhand der absoluten als anhand der relativen Konzentration beschrieben wird und umgekehrt Was ist der Unterschied zwischen Häufigkeitsverteilung und Merkmalsverteilung? Was bedeutet Gleichverteilung eines Merkmals und wie erkennt man sie? Was bedeutet Gleichverteilung von Häufigkeiten und wie erkennt man sie? Was wird bei einer Häufigkeitsverteilung verteilt und auf wen wird verteilt? Was wird bei einer Merkmalsverteilung verteilt und auf wen wird verteilt? 3. Lagemaße ( Mittelwerte ) 3.1. Wie ist das arithmetische Mittel µ für ein Merkmal in einer Grundgesamtheit definiert? 3.2. Wie berechnet man µ bei vorgegebener Urliste bzw. bei gruppierten Daten? 3.3. Was ist ein gewogenes Mittel? 3.4. Welche anschauliche Bedeutung haben die Gewichte beim gewogenen Mittel und wie lässt sich dementsprechend dieses Mittel anschaulich interpretieren? 3.5. Warum summieren sich die (gewogenen) Abweichungen der Daten vom arithmetischen Mittel µ zum Wert Null? 3.6. Wie bestimmt man aus dem arithmetischen Mittel für ein metrisches Merkmal x das arithmetische Mittel für das linear transformierte Merkmal y = a + b x? 3.7. Lässt sich allein aus dem arithmetischen Mittel für ein metrisches Merkmal x das arithmetische Mittel für das transformierte Merkmal y = f(x) bestimmen, wenn f(x) nicht linear ist? 3.8. Wie ist der Median Me definiert? Bei welchen Merkmalarten lässt sich der Median bestimmen? 3.9. Wie bestimmt man den Median für eine Urliste bzw. für gruppierte Daten? Wie ist der Modalwert Mo definiert? Wie bestimmt man den Modalwert? Existiert für jeden Datensatz ein Modalwert? Ist der Modalwert stets eindeutig? Wie bestimmt man das geometrische Mittel? In welchen Anwendungssituationen hat man anstelle des arithmetischen Mittels das geometrische Mittel zu benutzen? Welche Voraussetzungen muss ein Merkmal erfüllen, damit die Berechnung des geometrischen Mittels stets möglich und sinnvoll ist?

3 3.17. In welchen Fällen ist die Berechnung von µ aus gruppierten Daten nicht möglich? In welchen Fällen ist der Median bei gruppierten Daten nicht bestimmbar? Weshalb unterscheiden sich die Formeln zur Bestimmung des Medians für gerade und ungerade Anzahl von Daten? Stimmt der Mittelwert für eine Urliste mit dem Mittelwert für die aus der Urliste gebildeten gruppierten Daten überein? Wenn nein, worauf ist der Unterschied zurückzuführen? Wozu dienen Mittelwerte? Welche Mittelwerte kann man bei einem nominalen bzw. ordinalen bzw. metrischen Merkmal bestimmen und benutzen? Bei welcher Merkmalart sind sowohl arithmetisches Mittel als auch Median als auch Modalwert bestimmbar? Anhand welcher Kriterien wählt man im Fall, dass mehrere Lagemaße bestimmbar sind, das geeignete aus? Welche der in den Daten enthaltenen Informationen werden bei der Bestimmung von µ bzw. Me bzw. Mo genutzt? Welches Lagemaß ist unempfindlich gegenüber extrem kleinen bzw. extrem großen Merkmalwerten (sogenannten Ausreißern )? Welche Lagemaße lassen sich bei offenen Randklassen nicht bestimmen? Welche Relationen bestehen bei einem metrischen Merkmal zwischen µ, Me und Mo im Fall einer symmetrischen bzw. asymmetrischen eingipfligen Häufigkeitsverteilung? 4. Streuungsmaße 4.1. Woran kann man beim optischen Vergleich von zwei Stabdiagrammen (bzw. Histogrammen) oder Summentreppen (bzw. Summenlinien) gegebenenfalls erkennen, welches der beiden Merkmale stärker streut? 4.2. Wie lässt sich das Phänomen Streuung verbal erläutern? 4.3. Welche Streumaße kennen Sie? 4.4. Welche Streumaße kann man bei einem metrischen bzw. ordinalen bzw. nominalen Merkmal bestimmen und benutzen? Weshalb eignet sich die Formel ( x i ) N nicht als Streumaß? 4.6. Worin besteht der Unterschied zwischen der mittleren quadratischen Abweichung von einem Bezugspunkt c und der Varianz? 4.7. Weshalb zeichnet sich bei der mittleren quadratischen Abweichung vom Bezugspunkt c das arithmetische Mittel in besonderer Weise als Bezugspunkt aus? 4.8. Wie berechnet man die Varianz aus einer Urliste bzw. für gruppierte Daten? Gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten? 4.9. Weshalb hat in der Praxis die Standardabweichung als Streumaß eine größere Bedeutung als die Varianz? In welcher Form lässt sich die Standardabweichung auf der Merkmalachse geometrisch veranschaulichen? Wie bestimmt man aus der Standardabweichung σx für das metrische Merkmal x die Standardabweichung σy für das Merkmal y = a + bx? Was ist der Unterschied zwischen einem absoluten und einem relativen Streumaß? In welchen Anwendungssituationen benutzt man anstelle der Standardabweichung den Variationskoeffizienten? In welchen Fällen ist der Variationskoeffizient für das Merkmal x größer bzw. gleich bzw. kleiner als der Variationskoeffizient für das Merkmal y = a + b x? Welche Dimension besitzt die Varianz bzw. die Standardabweichung bzw. der Variationskoeffizient für ein dimensionsbehaftetes metrisches Merkmal? Wie beeinflusst eine Umrechnung der Maßeinheit eines metrischen Merkmals (z.b. Euro-Preise in Dollar-Preise) das

4 arithmetische Mittel, die Varianz, die Standardabweichung, den Variationskoeffizienten? 5. Indizes 5.1. Welche Arten von Indizes gibt es? 5.2. Auf welche ökonomischen Fragestellungen sollen diese Indizes Antworten geben? 5.3. Wie sind die Zähler- bzw. Nennersummen dieser Indizes ökonomisch zu interpretieren? Worüber wird dabei summiert? 5.4. Worin besteht der Unterschied zwischen den Indizes nach Laspeyres und nach Paasche? 5.5. Unter welchen Bedingungen besteht Übereinstimmung zwischen den Indizes nach Laspeyres und Paasche? 5.6. Weshalb benötigt ein Preisindex, der zur Messung von durchschnittlichen Preisänderungen berechnet wird, auch Mengenangaben für die Waren des Warenkorbes? 5.7. In welcher Form lässt sich der Preisindex nach Laspeyres als gewogenes Mittel interpretieren? Welche Größen werden dabei gemittelt und welche ökonomische Bedeutung haben die Gewichte? 5.8. Welcher Unterschied besteht zwischen einem Preisindex für die Lebenshaltung und einem Preisindex für die Lebenshaltungskosten? 5.9. Weshalb wird zur Berechnung des Preisindex für die Lebenshaltung nicht der Preisindex nach Paasche sondern nach Laspeyres benutzt? Sind beim Preisindex nach Paasche bzw. nach Laspeyres mehrere aufeinanderfolgende Werte einer Indexreihe untereinander vergleichbar? Was misst ein Wertindex? Weshalb kann man einen Wertindex nicht zur Messung einer durchschnittlichen Preisänderung benutzen? Welche formalen Zusammenhänge bestehen zwischen dem Wertindex und den Preis- und Mengenindizes? Wie könnte man ermitteln, wie viel von einer Wertindexänderung auf Mengenänderungen und wie viel auf Preisänderungen zurückgeht? Wie führt man die Preisbereinigung eines Wertindex durch? Aus welchen Gründen und auf welche Weise basiert man einen Index um? Wird die gegenseitige Beeinflussung von Preisen und Mengen bei der Berechnung eines Preis- bzw. Mengenindex berücksichtigt? 6. Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen; Abhängigkeitsmaße 6.1. Welche Fragestellungen sollen durch Abhängigkeitsmaße beantwortet werden? 6.2. Wie stellt man das Datenmaterial für zwei Merkmale gemeinsam in tabellarischer bzw. graphischer Form dar? 6.3. Wie berechnet man den Pearson schen Korrelationskoeffizienten ρ im Fall einer Urliste aus Zahlenpaaren (bzw. im Fall einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle)? 6.4. Welchen Wertebereich besitzt ρ? 6.5. Was lässt sich aus dem Vorzeichen von ρ ablesen? 6.6. Was lässt sich aus dem Zahlenwert von ρ ablesen? 6.7. Welche Struktur besitzen die Daten im Fall ρ = 1 bzw. ρ = 1 bzw. ρ = 0? 6.8. Welche Form der Abhängigkeit misst ρ? Wie ist dementsprechend der Wert ρ = 0 zu interpretieren? 6.9. Welche Dimension besitzt ρ? Wie verändert sich der Wert von ρ, wenn bei einem von beiden oder bei beiden Merkmalen die Maßeinheit verändert wird? Wozu dient die Methode der Kleinsten Quadrate? Wie lautet ihre Zielfunktion? Gehen in die Zielfunktion die vertikalen, die

5 horizontalen oder die lotrechten Abstände von den beobachteten Punkten zur Ausgleichsgeraden ein? Wozu bestimmt man eine Ausgleichsgerade und was lässt sich an der Ausgleichgeraden ablesen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung der Ausgleichsgeraden und dem Korrelationskoeffizienten ρ? Weshalb gibt es zwei (im allgemeinen voneinander verschiedene) Ausgleichsgeraden? Wodurch wird bestimmt, an welcher der beiden Ausgleichsgeraden man in einer konkreten Anwendungssituation abzulesen hat? In welchem Punkt schneiden sich die beiden Ausgleichsgeraden? In welchem Spezialfall stehen die beiden Ausgleichsgeraden aufeinander senkrecht bzw. fallen die beiden Ausgleichsgeraden zusammen? Wie ist der Spearman sche Korrelationskoeffizient ρs definiert? Welcher Zusammenhang bzw. Unterschied besteht zwischen ρs und ρ? Wie berechnet man ρs im Fall, dass beide Merkmale ordinal bzw. im Fall, dass eines oder beide Merkmale metrisch sind? Welche Regeln sind bei der Rangzuordnung zu den Ausprägungen von metrischen Merkmalen, insbesondere im Fall von Bindungen, zu beachten? Welchen Wertebereich besitzt ρs? Welche spezielle Rangzuordnung besteht zwischen zwei Merkmalen im Fall ρs = +1 bzw. ρs = 1? Welche Form der Abhängigkeit misst ρs im Fall von zwei ordinalen Merkmalen bzw. im Fall von zwei metrischen Merkmalen? Folgt bei zwei metrischen Merkmale aus ρs = 1 stets auch ρ = 1 bzw. aus ρ = 1 stets auch ρs = 1? Welche Gestalt hat eine Punktwolke mit ρs = 1 und 0 < ρ < 1? Welche in den Beobachtungen von metrischen Merkmalen enthaltene Information geht in die Berechnung von ρ bzw. ρs ein? Wie erstellt man für ein Merkmalpaar die zugehörige Kontingenztabelle? Welche Informationen kann man aus einer Kontingenztabelle entnehmen? Für welche Merkmalarten gibt es Kontingenztabellen? Wie erkennt man aus einer Kontingenztabelle, ob zwei Merkmale unabhängig bzw. vollständig abhängig sind? Was bedeutet vollständige Abhängigkeit? Besteht bei vollständiger Abhängigkeit stets eine umkehrbare eindeutige Beziehung zwischen den Ausprägungen der beiden Merkmale? Mit welcher Maßzahl lässt sich die Stärke der Abhängigkeit in einer Kontingenztabelle angeben? Welchen Wert nimmt die mittlere quadratische Kontingenz K 2 bei Unabhängigkeit bzw. bei vollständiger Abhängigkeit an? Lässt sich bei metrischen Merkmalen aus dem Wert von K 2 etwas über die Form der Abhängigkeit aussagen? Welche Abhängigkeitsmaße kann man bei den verschiedenen Paarungen aus metrischen, ordinalen bzw. nominalen Merkmalen benutzen? Erlaubt bei metrischen oder ordinalen Merkmalen der Wert eines Abhängigkeitsmaßes Aussagen über die Form des Zusammenhanges der beiden Merkmale?

6 6.39. Was ist der Unterschied zwischen einem funktionalen bzw. kausalen und einem statistischen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen? Kann aus einem starken statistischen Zusammenhang auf einen kausalen Zusammenhang geschlossen werden? Ist der Schluss in umgekehrter Richtung möglich? Was ist der Unterschied zwischen unabhängig und unkorreliert bzw. zwischen abhängig und korreliert? Welche gegenseitigen Beziehungen bestehen bei zwei metrischen Merkmalen zwischen den Abhängigkeitsmaßen ρ, ρs und K 2 bei - linearer funktionaler Abhängigkeit - umkehrbar eindeutiger funktionaler Abhängigkeit - Unabhängigkeit bzw. Unkorreliertheit - Abhängigkeit bzw. Korreliertheit? Sind unabhängige Merkmale stets unkorreliert? Sind unkorrelierte Merkmale stets unabhängig? Sind abhängige Merkmale stets korreliert? Sind korrelierte Merkmale stets abhängig? Folgt aus ρ = 0 stets ρs = 0 bzw. aus ρs = 0 stets ρ = 0? 7. Zeitreihen 7.1. Wodurch unterscheiden sich zeitpunkt- und zeitraumbezogene Merkmale? 7.2. Welche Fragen sollen durch die Zeitreihenanalyse beantwortet werden? 7.3. Welche Komponenten besitzt eine Zeitreihe und wie sind diese Komponenten zu interpretieren? 7.4. Wodurch unterscheidet sich das Modell mit additiver vom Modell mit multiplikativer Komponentenverknüpfung? Wie wirkt sich der Unterschied auf das Erscheinungsbild einer Zeitreihe aus? 7.5. Wie bestimmt man für eine Zeitreihe die Trendgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate? Wie ist diese Trendgerade und wie ist ihre Steigung zu interpretieren? 7.6. Wozu kann man diese Trendgerade benützen? 7.7. Auf welche Weise könnte man überprüfen, ob ein linearer Trendansatz sinnvoll ist? 7.8. Wie bestimmt man gleitende Durchschnitte? 7.9. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Trendgeraden (nach der Kleinste-Quadrate-Methode) in Teilbereichen und den gleitenden Durchschnitten? Welche Regeln und Prinzipien sind bei der Festlegung der Gliederzahl für gleitende Durchschnitte zu beobachten? Weshalb wird bei gerader Gliederzahl ein spezielles Wägungsschema für die Berechnung gleitender Durchschnitte verwendet und wie kommt dieses zustande? Welche Konsequenzen für die Trendlinie ergeben sich bei hoher bzw. niedriger Gliederzahl? Weshalb sollte bei Zeitreihen mit Saisonkomponente die Gliederzahl mit der Anzahl der Zeitabschnitte je Periode übereinstimmen? Welche Vor- bzw. Nachteile besitzt die Trendbestimmung nach der Kleinste-Quadrate-Methode gegenüber der Methode der Gleitenden Durchschnitte? Wie bestimmt man die Saisonkomponenten im Zeitreihenmodell mit additiver bzw. multiplikativer Verknüpfung? Was ist eine Saisonfigur? Wie bestimmt man die saisonbereinigte Reihe und wie ist diese zu interpretieren? Wie bestimmt man Prognosen für einzelne Zeitreihenwerte anhand des errechneten Trendverlaufs und der errechneten Saisonkomponenten? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Wachstumsraten und Wachstumsfaktoren?

7 7.20. Wie bestimmt man die durchschnittliche Wachstumsrate, wenn - die Wachstumsraten in den einzelnen Zeitabschnitten - Anfangswert und Endwert der Zeitreihe bekannt sind? Hat man bei einer Zeitreihe mit Z Daten zur Bestimmung des durchschnittlichen Wachstumsfaktors die (Z 1)-te, die Z-te oder die (Z+1)-te Wurzel aus dem Produkt der Wachstumsfaktoren zu ziehen? Wird bei der Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate additives Wachstum oder multiplikatives Wachstum zugrunde gelegt? Wie ist eine negative Wachstumsrate zu interpretieren? Was bedeutet Nullwachstum? Wie erstellt man anhand der durchschnittlichen Wachstumsrate Prognosen? Welche Anwendungsmöglichkeiten besitzt die durchschnittliche Wachstumsrate? Welche Relation besteht zwischen der durchschnittlichen Wachstumsrate und dem arithmetischen Mittel der Wachstumsraten?