Deskriptive Statistik

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1 Seminar für Statistik Universität Mannheim Lösungen zu den Zusatzaufgaben der Veranstaltung Deskriptive Statistik

2 Lösung zu Zusatzaufgabe 1 In einem Histogramm mit Klassenbreiten b i und Säulenhöhen h i sind die absoluten Häufigkeiten N i bzw. die relativen Häufigkeiten N i / N als Flächeninhalte F i = b i h i dargestellt. Aus Abb. 1 ergibt sich Tab. 1. Tab. 1: Klasse Breite Höhe (Häufigkeitsdic hte) Nr. i b i h i Flächeninhalt Fi = b i hi 1 2 0,05 0, ,10 0, ,05 0, ,025 0,2 Da sich nach Tab. 1 die Flächen F i zu 1 addieren, gilt hier F i = b i h i = N i / N. Die relative Häufigkeit H für Gemeinden mit mindestens und höchstens Einwohnern ist der Flächeninhalt im Histogramm, der über dem Intervall zwischen und liegt, also H = (6 5) 0,1 + (12 6) 0,05 + (16 12 ) 0,025 = 0,5 = 50%. Demnach ist die gesuchte Gemeindezahl die Hälfte von den 110 Gemeinden, also 0,5 110 = 55. ERGEBNIS: Bei 55 von den 110 Gemeinden liegen die Einwohnerzahlen im Bereich zwischen und Einwohnern. Lösung zu Zusatzaufgabe 2 Aussage C ist falsch. Denn bei einem Säulendiagramm(Histogramm) werden die absoluten bzw. Relativen Häufigkeiten grafisch als Flächeninhalte F i der rechtecksförmigen Säulen mit Breite b i und Höhe h i dargestellt. Aus der Forderung F i = N i folgt h i = N i / b i, also eben nicht h i = N i! Säulendiagramme sind konzipiert für stetige und gruppierte diskrete Merkmale, also ist Aussage A richtig. Stabdiagramme hingegen sind konzipiert für nominale, ordinale und nicht-gruppierte diskrete Merkmale. Somit ist Aussage E falsch. Kumulierte absolute bzw. Relative Häufigkeiten werden für ordinale und nichtgruppierte diskrete Merkmale in Form einer Summentreppe, für stetige Merkmale in Form einer Summenlinie dargestellt. Also ist Aussage B richtig. Aussage D ist richtig: Bei Kreisdiagrammen (umgangssprachlich auch Kuchendiagramme genannt) werden die relativen bzw. absoluten Häufigkeiten grafisch als Flächeninhalte von Kreissektoren ( Kuchenstücken ) dargestellt.

3 Lösung zu Zusatzaufgabe 3 Da die kumulierten Häufigkeiten in Form einer Summenlinie dargestellt sind, ist das betrachtete Merkmal stetig. Für stetige Merkmale werden die Häufigkeiten in Form eines Histogramms dargestellt. Das Bild A ist jedoch ein Stabdiagramm und daher nicht das gesuchte Histogramm. Aus der dargestellten Summenlinie läßt sich Tab. 1 erstellen: Tab. 1: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Kl. Nr. j Obergrenze g j Breite b j Kum. Abs. Häuf. K j Abs. Häuf. N j Rel. Häuf. N j / N Säulenhöhe h j =(N j /N) / b j ,2 0, ,3 0, ,5 0,01 Summe : 1,0 Im Histogramm werden die relativen Häufigkeiten grafisch als rechtecksförmige Flächeninhalte F j mit Breite b j und Höhe h j dargestellt, d.h. also N j / N = b j h j. Demnach gilt h j = (N j /N) / b j, wobei h j die sogenannte relative Häufigkeitsdichte ist. Wie Spalte (7) von Tab.1 zeigt, haben alle Säulenhöhen h j den Wert 0,01. Somit ist Grafik D das gesuchte Histogramm, das zeigt, dass sich die Daten gleichmäßig im Daten bereich von 0 bis 100 verteilen. Bei Grafik B wurden unter Missachtung der unterschiedlichen Klassenbreiten fälschlicherweise die relativen Häufigkeiten N j / N als Säulenhöhen eingezeichnet. Bei Grafik C wurden die Säulenhöhen fälschlicherweise den kumulierten relativen Häufigkeiten K j / N gleichgesetzt.

4 Lösung zu Zusatzaufgabe 4 Aus den Anzahlen N i der Unternehmen und deren Umsatzwerten U i erstellt man Tab. 1: Tab.1: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Kl. Nr. N i N i /N [%] K i / N [%] U i U i / U [%] kum. U i / U Summe Die Kurve der relativen Konzentration (d.h. die Lorenzkurve) ist der Polygonzug durch die Punkte (K i / N ; kum. U i /U ), ergänzt um den Punkt ( 0 ; 0 ), siehe Abb Umsatzanteile Anteile von Unternehmen Aus Zeile 1 von Tab.1 ist direkt zu entnehmen, dass Aussage B richtig und Aussage C falsch ist. An der Lorenzkurve liest man ab, siehe Abb. 1, dass auf die 90% umsatzstärksten Unternehmen 75% des Gesamtumsatzes entfallen. Somit ist Aussage D richtig und Aussage E falsch. Bemerkung: Aussage B ist eine Aussage zur absoluten und Aussage D zur relativen Konzentration.

5 Lösung zu Zusatzaufgabe 5 Von 1982 bis 1984 hat sich die Zahl der Unternehmen von 3 auf 2 verringert, während der Gesamtumsatz in beiden Jahren den Wert 200 hat. Da der Umsatzanteil des jeweils größten Unternehmens von 90/200 = 45% in 1982 auf 150/200 =75% in 1984 gestiegen ist, hat sich die absolute Konzentration erhöht; also ist Aussage D richtig und Aussage C falsch. Je weniger sich die Umsatzwerte voneinander unterscheiden, je gleichmäßiger sich also der Gesamtumsatz auf die Untenehmen der Branche verteilt, je weniger also die Umsatzwerte streuen, umso schwächer ist die relative Konzentration. Da die Umsatzwerte im Jahr 84 stärker streuen als im Jahr 82, hat die relative Konzentration zugenommen. Also ist Aussage A richtig und Aussage B falsch, vgl. auch die beiden Lorenzkurven in Abb.1 (Lorenzkurve für 1982 bzw ist Reihe 1 bzw. Reihe 2) 1 0,9 0,8 Kumulierte Umsatzanteile 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Reihe1 Reihe2 Reihe ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 kumulierte Unternehmensanteile Lösung zu Zusatzaufgabe 6 Aussage A ist richtig, denn der Bereich umfasst die Klassen 2 und 3, deren Häufigkeiten 40% und 30% sich zu 70% addieren. Aussage B ist richtig, denn das Kreditvolumen für Kredite bis also für die ersten beiden Kreditklassen, ist 10% +20% = 30%. Aussage C ist richtig, denn auf die 10% größten Kredite in der Kreditklasse der Kredite über entfällt 30% des Kreditvolumens. Komplementär dazu entfällt dann 70% des Kreditvolumens auf die 90% kleinsten Kredite. Aussage D ist richtig, denn die 40% größten Kredite sind diejenigen der Kreditklassen 3 und 4 mit Kredithöhen über Also ist deren Kreditvolumen

6 Lösung zu Zusatzaufgabe 7 Mit folgenden Bezeichnungen für die 3 Gewinnklassen i = 1 bis 3 E = Einsatz je Spieler a i = Ausprägung für eine Auszahlung in Gewinnklasse i A i = Gesamtauszahlung an die N i Spieler mit Auszahlung in Gewinnklasse i A = Σ A i = Gesamtauszahlungsbetrag an alle Spieler läßt sich aus dem Aufgabentext Tab. 1 erstellen. Tab. 1: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Klasse i a i N i N i / N K i / N A i = a i N i A i / A kum. A i / A /3 1/ E 10 1/3 2/3 10E 1/3 1/3 3 2E 10 1/3 1 20E 2/3 1 Summe E = A 1 Die Lorenzkurve ist der Polygonzug durch die Punkte (x ; y ) = ( K i / N ; kum. A i / A ), ergänzt um den Punkt ( 0 ; 0 ). Demnach liegen auf der Lorenzkurve die Punkte A = ( 0 ; 0 ) ; B = ( 1/3 ; 0 ) ; G = (2/3 ; 1/ 3) und M = ( 1 ; 1 ). Lösung zu Zusatzaufgabe 8 Sind beim Gruppieren die Klassen so gebildet, dass in mindestens einer Klasse die Daten unterschiedliche Werte besitzen, dann ist der Gini-Koeffizient kleiner als bei nicht-gruppierten Daten. Denn der beim Gruppieren entstehende Informationsverlust über die tatsächliche Merkmalsverteilung innerhalb einer Klasse wird ersetzt durch die Annahme Alle Daten innerhalb einer Klasse besitzen gleichen Wert, d.h. es wird Gleichverteilung des Merkmalsbetrages auf die Merkmalsträger innerhalb einer Klasse unterstellt. Diese Annahme führt dazu, dass die Lorenzkurve der gruppierten Daten näher bei der Gleichverteilungs-Linie, d.h. der Hauptdiagonalen im Einheitsquadrat, liegt. Dieser Sachverhalt läßt sich am besten anschaulich an einem konkreten Beispiel klar machen. Sind die Klassen jedoch so gebildet, dass jeweils innerhalb einer Klasse alle Daten den gleichen Wert besitzen, dann bleibt durch das Gruppieren die Lorenzkurve und damit auch der Gini-Koeffizient unverändert. Aus den obigen Ausführungen geht hervor, dass Aussage A richtig ist, und somit die Aussagen B, C und D falsch sind.

7 Lösung zu Zusatzaufgabe 9 Aus dem Histogramm läßt sich Tab. 1 erstellen: Tab.1: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Kl. Nr. j Kl.-einteilung Kl.-breite b j Kl.-mitte m j Säulenhöhe h j Rel. Häufigk. N j / N = h j b j ,010 0, ,015 0, ,010 0, ,001 0,1 Summe 1,0 Median M e : Laut Definition ist der Median M e diejenige Ausprägung, die von höchstens 50% der Daten unter- bzw. überschritten wird. Aus Spalte (6) der Tab. geht hervor, dass diese Definition auf die Klassengrenze 40 zwischen der Klasse 2 und 3 zutrifft, so dass M e = 40 ist. Arithmetisches Mittel µ : Für gruppierte Daten errechnet man µ als gewogenes Mittel der Klassenmitten m j mit den relativen Häufigkeiten N j / N als Gewichte nach der Formel: = J Nj µ mj. J= 1 N Hieraus ergibt sich mit m j und N j / N aus Tab.1 das arithmetische Mittel zu µ = 48. Lösung zu Zusatzaufgabe 10 Für die ungerade Anzahl 31 der Schüler ist der Median die mittlere erzielte Leistung, also die 16. beste. Da 15 Schüler Note 1 oder Note 2 erreicht haben, ist die 16. beste Leistung die Note 3. Der Median ist auch bestimmbar als die Note, die von höchstens 50% der Schüler unterschritten und von höchstens 50% der Schüler überschritten wird. Diese Eigenschaft trifft zu auf die e Note 3 : Sie wird von 15 bzw. 7 Schülern (also von jeweils weniger als der Hälfte) unter- bzw. überschritten.

8 Lösung zu Zusatzaufgabe 11 Lösung zu Zusatzaufgabe 12 Die gegebene Darstellung der kumulierten absoluten Häufigkeiten hat die Gestalt einer Treppenfunktion, also ist das betrachtete Merkmal diskret. Dessen Ausprägungen x i befinden sich an den Stellen der Treppenstufen. Die absolute Häufigkeit N i für x i entspricht der Stufenhöhe an der Stelle x i. Somit ergibt sich folgende Häufigkeitstabelle: Tab.1 : Ausprägung x i Summe Absolute Häufigkeit N i Bestimmung des arithmetischen Mittels µ : 1 Durch Einsetzen dieser Daten in die Formel µ x i N findet man den Wert µ = 4,2. Bestimmung des Medians Me : = i N (a) Durch Ablesung an der Summentreppe: Bringt man die Waagrechte durch K i /N=50%, d.h. durch K i =150 zum Schnitt mit der Summentreppe und lotet den Schnittpunkt auf die Merkmalachse, dann erhält man als Lotpunkt den Median 4. (b) Durch Ablesung aus Tab.1 durch Probieren : Die Ausprägung 2 kann nicht Median sein, denn rechts davon liegen 180 von 300 und damit mehr als 50% der Daten im Widerspruch zur Definition des Medians. Auch 6 kann nicht Median sein, denn links davon liegen mehr als 50% der Daten. Da links und rechts von 4 jeweils nicht mehr als 50% der Daten liegen und damit die Definition des Medians erfüllt ist, gilt Me = 4.

9 Lösung zu Zusatzaufgabe 13 Lösung zu Zusatzaufgabe 14 Für N=5 Urlistenwerte des betrachteten metrischen Merkmals ist der Median Me der mittlere, d.h. hier der drittgrößte Wert. Somit gilt hier Me = 17. Der Median läßt sich also hier bestimmen, obwohl der größte Wert x 5 unbekannt ist. Aus der Angabe, dass die durchschnittliche absolute Abweichung, also die geometrische Durchschnittsentfernung der Daten vom Median den Wert 8 besitzt, hat man für x 5 die Bestimmungsgleichung: ( x 5 17 ) / 5 = 8. Hieraus findet man durch Auflösen nach x 5 den Wert x 5 = 31.

10 Lösung zu Zusatzaufgabe 15 Da der Wert x 6 = 4 mit dem arithmetischen Mittel 4 der ursprünglichen Urliste übereinstimmt, bleibt das arithmetische Mittel durch Erweitern der Urliste unverändert beim Wert 4. Also ist Aussage E richtig. Die Varianz misst als mittlere quadrierte Entfernung der Daten zum Mittelwert, wie nahe die Daten durchschnittlich beim Mittelwert liegen. Da der hinzukommende Wert x 6 = 4 mit dem Mittelwert übereinstimmt, liegen die 6 Daten der erweiterten Urliste durchschnittlich näher beim Mittelwert 4 als die Daten x 1 bis x 5. Die Varianz der erweiterten Urliste Lösung zu Zusatzaufgabe 16

11 Lösung zu Zusatzaufgabe 17 Lösung zu Zusatzaufgabe 18 Da die Daten von Urliste 1 symmetrisch zum Wert 14 liegen, ist µ 1 = 14. Da die Daten von Urliste 2 symmetrisch zum Wert 5 liegen, ist µ 2 = 5. Somit gilt µ 2 < µ 1. Die Daten in Urliste 2 haben größere Entfernungen zu ihrem Mittelwert µ 2 = 5 als die Daten der Urliste 1 von ihrem Mittelwert µ 1 = 14. Folglich gilt für die beiden Standardabweichungen σ 1 und σ 2 die Relation σ 1 < σ 2, so dass Aussage D richtig ist. Aus µ 1 > µ 2 und σ 1 < σ 2 folgt für die Variationskoeffizienten v 1 = σ 1 / µ 1 und v 2 = σ 2 / µ 2 die Relation v 1 < v 2, also ist Aussage A richtig.

12 Lösung zu Zusatzaufgabe 19 Bezeichnet man die Seitenlänge von Puzzle-Teil Nr. i mit a i, i = 1,...,20, dann gilt für dessen Fläche F i : 2 F i = a i a i = a i Gesucht ist 2 F = Fi = ai. i= 1 i= 1 Gegeben ist µ = 6 und v = σ / µ = 0,5 und somit σ = 3 bzw. σ 2 = 9. Für σ 2 gilt die Formel: σ 2 1 N = a N i= 1 2 i µ 2 = 1 F µ N 2. Setzt man hier N = 20, σ 2 = 9 und µ = 6 ein und löst nach F auf, so erhält man F = 900. Lösung zu Zusatzaufgabe 20 Lösung zu Zusatzaufgabe 21

13 Lösung zu Zusatzaufgabe 22 Lösung zu Zusatzaufgabe 23

14 Lösung zu Zusatzaufgabe 24 Lösung zu Zusatzaufgabe 25 Lösung zu Zusatzaufgabe 26

15 Lösung zu Zusatzaufgabe 27 Lösung zu Zusatzaufgabe 28 Lösung zu Zusatzaufgabe 29

16 Lösung der Zusatzaufgabe 30 Mit der Bezeichnung σ xy für die Kovarianz zwischen x und y gilt: σ σxy (1) b = = 0, 65 (2) xy 1 = 2 2 σ x 4 σxy σxy ρ xy = = σx σy 4 5 Aus (1) folgt σ xy = 16 0,65 = 10,40. Dies in (2) eingesetzt ergibt ρ xy = 10,40 / 20 = 0,52. Lösung zu Zusatzaufgabe 31: Das gesuchte Abhängigkeitsmaß für die beiden ordinalen Merkmale ist der Spearman sche Korrelationskoeffizient ρ S, berechnet aus den Rangzahlpaaren (r i ; s i ) nach der Formel 2 6 (ri si) ρ = 1. S 2 N (N 1) Aus den für x i und y i angegebenen Relationen ergibt sich Tab. 1: Tab. 1: i Σ r i s i ( r i s i ) Hieraus berechnet man anhand der obigen Formel den Wert ρ S = 0,5.

17 Lösung Zusatzaufgabe 32 Die angegebenen Umsatzwerte beziehen sich jeweils auf ein Jahr. Jahresumsatz ist also ein zeitraumbezogenes Merkmal. Zur Vereinfachung der Rechnung arbeitet man nicht mit den Kalenderjahren unserer Zeitrechnung, sondern mit zugeordneten Jahresnummern t = 1 bis t = 5, vgl. Tab. 1: Kalenderjahr Jahresnummer = n t Jahresumsatz U t 2 4,25 5, ,125 Die Trendgerade T(t) = b 0 + b 1 t nach der Kleinste-Quadrate-Methode wird ermittelt nach den Formeln b 1 t i U i nµ t U t 2 2 t i nµ t = und = µ b µ b 0 U 1. Hieraus ergeben sich mit den Zahlen von Tab. 1 die Werte b 0 = 0 und b 1 = 2 und damit die Trendgerade T(t) = 2t. Abb. 1 zeigt die beobachtete Zeitreihe als Polygonzug und die Trendgerade als gestrichelte Linie Reihe1 Reihe2 Die Trendgerade T(t) = 2t. steigt um 2 Mio. pro Jahr, somit ist Aussage C richtig. Der Trendwert für 1984, d.h. für t = 3, ergibt sich zu T(3) = 2 t = 6. Dieser Wert ist größer als der tatsächlich registrierte Umsatzwert 5,625 von 1984, so dass Aussage A richtig ist. Die Trendgerade beschreibt die durchschnittliche Entwicklung der Jahresumsätze im Zeitraum von 1982 bis Ablesungen an der Trendgeraden außerhalb dieses Zeitraums, also auch für jeden Wert t > 5, können als Prognosen für die weitere Entwicklung der Jahresumsätze dienen. Solche Prognosen sind jedoch um so weniger zuverlässig, je weiter in die Zukunft prognostiziert wird.

18 Zu t = 5,5, d.h. auf der Zeitskala bei der Jahresmitte 1987, liest man den Trendwert T(5,5)=2 5,5 = 11 ab. Da T(t) die Dimension [Umsatz / Jahr] trägt, darf dieser Wert 11 nicht als Umsatzprognose für das 1. Halbjahr 1987 interpretiert werden, sondern nur als Umsatzangabe für das von der Jahresmitte 1987 aus gesehen zurückliegende Jahr, d.h. für den Gesamtumsatz aus dem 2. Halbjahr 1986 und dem 1. Halbjahr Die Aussage B ist demnach falsch. Da alle Jahresumsätze im Zeitraum 1982 bis 86 unter 11 Mio. DM liegen, kann bei einem linear ansteigenden Trend die Umsatzprognose von 11 Mio. für einen Halbjahresumsatz auch schon größenordnungsmäßig nicht richtig sein. Die Umsatzprognose für 1987 findet man als Ablesung an der Trendgeraden T(t) = 2t für t = 6 zu T(6)=12. Die Aussage D ist also falsch. Denn es ist nicht korrekt, zur Prognose vom letzten beobachteten Umsatzwert, hier: 10,125, auszugehen und dann dazu die durch die Steigung b 1 = 2 beschriebene durchschnittliche Umsatzsteigerung/Jahr zu addieren. Lösung Zusatzaufgabe 33 Die Zeitreihe der Bierumsätze läßt sich qualitativ kurz wie folgt charakterisieren: - im Durchschnitt steigende Umsätze, also steigender Trend - im Sommer unterdurchschnittliche, d.h. unter dem Trend liegende Umsätze - im Winter überdurchschnittliche, d.h. über dem Trend liegende Umsätze. Die Zeitreihe besitzt demnach eine ausgeprägte Saisonkomponente, speziell im multiplikativen Modell auch Saisonindex genannt. Da eine Periode (d.h. ein Jahr) aus 2 Halbjahren, also aus einer geraden Anzahl von Zeitabschnitten, besteht, hat man hier die Trendwerte T t für das Halbjahr t als gleitende Durchschnitte zur Gliederzahl k =2 zu bestimmen, und zwar als gewogene Durchschnitte von jeweils k + 1 = 3 aufeinander folgenden Umsatzwerten y t nach der Formel: T t = ½( ½ y t-1 + y t + ½ y t+1 ), siehe Tab. 1. Tab. 1: Halbjahr S 87 W 87 / 88 S 88 W 88 / 89 S89 W 89 / 90 Umsatz y t 4,8 4,0 7,2 6,3 8,2 7,0 Trend T t *) 5,0 6,175 7,0 7,425 *) y t / T t *) 0,8 1,166 0,9 1,104 *) *) Für S 87 und für W 89 / 90 ist T t anhand von (1) nicht bestimmbar. Die Saisonkomponente s W für Winter ist im multiplikativen Modell das arithmetische Mittel der Quotienten aus den Winterumsätzen und den zugehörigen Trendwerten. Im vorliegenden Fall lassen sich nur zwei derartige Quotienten bilden. Aus diesen findet man S W = ( 0,8 + 0,9 ) / 2 = 0,85. Somit ist Aussage H richtig.

19 Lösung Zusatzaufgabe 34 Mit den Bezeichnungen y = beobachteter Zeitreihenwert T = Trendwert S = Saisonkomponente (im multiplikativen Modell auch Saisonindex genannt) I = Irreguläre Komponente lautet die Modellgleichung im multiplikativen Modell y = T S I. Zur Saisonbereinigung soll der Saisoneinfluss aus dem Zeitreihenwert y ausgeschaltet werden. Dies geschieht im multiplikativen Modell, indem man den Zeitreihenwert y durch S dividiert. Im multiplikativen Modell wird der saisonbereinigte Wert y * bestimmt durch y * = y / S. Denn gemäß der Modellgleichung gilt: y * = y / S = T I. Demnach ist y * saisonbereinigt, da es nur noch von T und I, jedoch nicht von S abhängt. Für y * = 10 und S = 1,25 ergibt sich aus (1) : y = y * S = 10 1,25 = 12,5. Das Unternehmen hat also im 1. Quartal 92 einen Umsatz von 12,5 Mio. DM erzielt. Lösung Zusatzaufgabe 35 Mit den Bezeichnungen y = beobachteter Zeitreihenwert T = Trendwert S = Saisonkomponente (im multiplikativen Modell auch Saisonindex genannt) I = Irreguläre Komponente lautet die Modellgleichung im multiplikativen Modell y = T S I. Da der Trend stets die gleiche Dimension besitzt wie die Zeitreihenwerte y, hier Mio DM, ist S und auch I dimensionslos. Somit können die Aussagen A und B nicht richtig sein. Der Faktor S = 0,8 in der Modellgleichung bewirkt eine Senkung des Trendwertes um 20%. Demnach ist Aussage C richtig und Aussage D falsch.

20 Lösung Zusatzaufgabe 36 Lösung Zusatzaufgabe 37

21 Lösung Zusatzaufgabe 38

22 Lösung Zusatzaufgabe 39