Gefahrene km Anzahl der. eine Summenlinie beziehungsweise Summentreppe zur graphischen Darstellung einer Häufigkeitsverteilung geeignet? 3.

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1 SEMINAR FÜR STATISTIK Stand 17. April 23 UNIVERSITÄT MANNHEIM Aufgabensammlung zur Veranstaltung Deskriptive Statistik 1. Aufgabe Geben Sie für die Merkmale Einkommen Haarfarbe soziale Stellung Körperlänge Beruf Zahl der Kontobewegungen pro Monat Qualität von Wein Intelligenzquotient Beispiele von Grgesamtheiten Merkmalsausprägungen an, nennen Sie die zugehörige Skalenart. 2. Aufgabe Bei welcher Merkmalart (nominal, ordinal, diskret oder stetig) ist ein Histogramm beziehungsweise ein Stabdiagramm eine Summenlinie beziehungsweise Summentreppe zur graphischen Darstellung einer Häufigkeitsverteilung geeignet? 3. Aufgabe 5 Autobesitzer wurden nach der von ihrem privaten Auto im Jahre 1995 zurückgelegten Kilometerzahl befragt. dabei erhielt man folgende Häufigkeitsverteilung: Gefahrene km Anzahl der in 1 Autobesitzer bis über 1 bis über 25 bis 4 72 über 4 bis 8 43 über 8 22 (a) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung in Form eines Histogrammes dar! (b) Zeichnen Sie die Summenkurve dieser Verteilung! (c) Wie viele Prozent der Autobesitzer legen im Jahre zwischen 15 5 Kilometer zurück? (d) Welche Jahresfahrleistung wird von 5% der Autobesitzer überschritten? 1 4. Aufgabe Die Beschäftigten eines Betriebes wurden nach der Entfernung (in km) zwischen Wohnung Betrieb gefragt. Aus den Daten erhielt man folgendes Histogramm für die absoluten Häufigkeiten: km In welcher der nachstehenden Grafiken A bis D sind die zu diesem Histogramm gehörenden kumulierten absoluten Häufigkeiten korrekt dargestellt? C: km D: km A: km B: km

2 6. Aufgabe Eine Arbeitstättenzählung im Einzelhandel eines Landes ergab: Arbeitstätte Arbeit- Beschäftigte stätten [in Tausend] bis 5. Aufgabe Das nachstehende Histogramm zeigt die Häufigkeitsverteilung der in 4 Umsatzklassen eingeteilten Monatsumsätze von 8 Filialen eines Einzelhandelskonzernes. absolute Häufigkeit Klassenbreite [1 ] Monatsumsatz [1 ] Welche Aussage lässt sich aus diesem Histogramm ablesen? Je höher der Monatsumsatz ist, desto A: kleiner ist die Zahl der Filialen je Umsatzklasse. B: kleiner ist der Anteil der Filialen je Umsatzklasse. C: geringer ist die Datendichte innerhalb einer Umsatzklasse. D: größer ist der Umsatzanteil je Umsatzklasse. E: gleichmäßiger verteilt sich der Monatsumsatz einer Umsatzklasse auf die zugehörigen Filialen. F: gleichmäßiger verteilen sich die Umsatzdaten über dem Wertebereich innerhalb einer Umsatzklasse. mit 3 Beschäftigten [in Tausend] (a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve! (b) Wie viele % der Beschäftigten arbeiten in den 5% kleinsten Arbeitstätten? (c) In wie viel % der größten Arbeitstätten sind 5% der Beschäftigten tätig? (d) Bestimmen Sie den Zentralwert das arithmetische Mittel für die Zahl der Beschäftigten je Arbeitstätte! 7. Aufgabe Für die 2 landwirtschaftlichen Betriebe in einer Gemeinde liegen folgende Daten vor: Betriebsfläche [ha] Anzahl der Betriebe (a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve! (b) Welchen Anteil an der gesamten Betriebsfläche bewirtschaften die 5 größten Betriebe? 5% größten Betriebe? 4

3 1. Aufgabe Ein Unternehmen stellt für seine im Laufe eines Quartales erhaltenen Aufträge folgende Daten zusammen: Auftragswert Zahl der Wert der Aufträge Klasse i von Aufträge in in Klasse i ) Klasse i (in 1 bis unter 8. Aufgabe Nach Durchführung eines Glücksspieles möge sich eine Aufteilung des Gewinnes auf die Spieler ergeben haben, deren LORENZ-Kurve der Streckenzug durch die Punkte der nachstehenden Tabelle sei: kumulierte Anteile der Spieler,5 1 kumulierte Gewinnanteile Welche Aussage lässt sich aus dieser LORENZ-Kurve ablesen? A: Der GINI-Koeffizient hat den Wert,25. B: Der GINI-Koeffizient hat den Wert,5. C: 5% der Spieler gewinnen nichts. D: Der Gewinn verteilt sich gleichmäßig auf 5% der Spieler. E: Ein Spieler erhält 5% des Gewinnes. F: 5% des Gewinnes verteilt sich gleichmäßig auf alle Spieler bis auf einen (der die restlichen 5% erhält). 9. Aufgabe Ein Industriezweig umfasse 1 Betriebe. 6 kleine Betriebe seien mit je 1 3 mittlere Betriebe mit je 8 am Umsatze aller Betriebe beteiligt, während auf die 1 Großbetriebe je 7% des Gesamtumsatzes entfallen. (a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve! Infolge der Marktentwickelung müssen die 6 Kleinbetriebe schließen, wobei sich ihr Umsatz gleichmäßig auf die Mittelbetriebe verteile keine anderen Umsatzänderungen stattfinden. (b) Zeichnen Sie die Lorenzkurve! (c) Vergleichen Sie die beiden Lorenzkurven aus (a) (b): Hat sich die relative Konzentration erhöht? (d) Hat sich die absolute Konzentration, gemessen an den 1 bzw. 15 umsatzstärksten Betrieben, erhöht? (a) Zeichnen Sie die relativen Summenhäufigkeiten für die Zahl der Aufträge für die Auftragswertanteile! (b) Zeichnen Sie die Lorenzkurve! (c) Wie viel Prozent der Aufträge haben einen Mindestwert von 75? (d) Wie viel Prozent des Gesamtauftragswertes entfallen auf Aufträge über 75? (e) Welcher Anteil am Gesamtauftragswerte entfällt auf die 9% kleinsten Aufträge? (f) Auf wie viel Prozent der größten Aufträge entfallen 5% des Gesamtauftragswertes? (g) Im darauffolgenden Jahre zeigt sich, dass auf die 1% größten Aufträge 77% des Gesamtauftragswertes entfallen. Hat sich der Gini-koeffizient geändert? 11. Aufgabe Man fragt die Hörer einer Vorlesung, im wievielten Semester sie sich befinden, erhält folgende Angaben: (a) Stellen Sie die Häufigkeitstabelle auf! (b) Berechnen Sie alle Mittelwerte, die Ihnen zweckmäßig erscheinen!

4 14. Aufgabe Man wirft 5mal jeweils gleichzeitig 5 Münzen zählt nach jedem Wurfe, wie viele Münzen Kopf zeigen. Es ergebe sich folgende Häufigkeitstabelle: Anzahl Kopf Häufigkeit Aufgabe Betrachten Sie die Urliste: Welche der folgenden Größen kann man nicht bestimmen: (a) das arithmetische Mittel? (b) den Modalwert? (c) den Median? (d) das geometrische Mittel? (e) den Variationskoeffizienten? 13. Aufgabe Eine Kraftfahrzeughaftpflichtversicherung gebe für 22 folgende Häufigkeitstabelle für die Zahl der gemeldeten Schadensfälle je Vertrag an: Zahl der Schadens- Anzahl der Verträge fälle je Vertrag (in Millionen) 1,5 1,35 2,1 3,5 4 mehr, 2, Die Gesamtschadenssumme der gemeldeten Schadensfälle belaufe sich auf 3 5 Millionen. Welchen Wert hat die mittlere Schadenshöhe je (a) Vertrag? (b) Schadensfall? (a) Bestimmen Sie arithmetisches Mittel, Zentralwert Modalwert! (c) Vertrag mit Schadensfall? 7 (b) Berechnen Sie die Streuungsmaße: mittlere absolute Abweichung bezogen auf das arithmetische Mittel bezogen auf den Zentralwert, sowie die mittlere quadratische Abweichung bezogen auf den Zentralwert bezogen auf das arithmetische Mittel! 15. Aufgabe In den Abbildungen 1 bis 3 sind Stabdiagramme für die dimensionslosen gegeben:, diskreten Merkmale Abbildung 2 Abbildung 1 3/12 3/12 2/12 2/12 1/ / Abbildung 3 3/12 2/12 1/ Welche Größenrelationen bestehen zwischen den?, (a) Mittelwerten?, (b) Standardabweichungen (Bemerkung: Versuchen Sie, die Aufgabe nicht durch Rechnen zu lösen, sondern die Lösung aus den Bildern abzulesen.) 8

5 16. Aufgabe Die Befragung von 3 Arbeitskräften in einem Betriebe ergab für die 3: 1, 2, [ /h], Stenlöhne folgende Urliste 14,7 15,15 14,1 15,3 14,55 15,45 15, 16,35 14,4 15,6 15,45 14,85 13,5 15,6 15, 13,8 16,2 14,85 15,9 15,15 16,8 14,4 13,35 14,55 15,45 13,5 15,75 15, 15,45 14,85 (a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz den Variationskoeffizienten! (Hinweis: 45 ; 677,295) Es werden folgende Lohngruppen gebildet: 18. Aufgabe 13, bis unter 14, 14, 14,5 14,5 15, 15, 15,5 15,5 17, Für 4 Urlistenwerte ergab sich das arithmetische Mittel 2 die Varianz 25. Nachträglich stelle sich heraus, dass die Urliste noch durch den Wert 5 15 zu ergänzen sei. (b) Berechnen Sie für die gruppierten Daten das arithmetische Mittel, die Varianz den Variationskoeffizienten! Wie lauten arithmetisches Mittel Varianz für die Urliste mit 5 Werten? 19. Aufgabe 24 Jungen Mädchen einer Schulabgangsklasse werden nach dem Motiv gefragt, das für ihre Berufswahl ausschlaggebend war. Man erhält folgendes Ergebnis (J=Junge, M=Mädchen, ID=ideelle Motive, IN=Interesse, EI=Eignung, MA=materielle Motive): Schüler Nr Geschlecht J M M M J J M J M M J M Motiv EI ID IN ID MA ID IN EI IN IN ID EI Schüler Nr Geschlecht M M J M J M M M M M J M Motiv MA EI IN ID IN EI IN IN EI ID IN MA (a) Stellen Sie die zugehörige Kontingenztabelle auf! (b) Wie teilen sich die Mädchen die Jungen bzw. alle Schüler auf die Motive auf? (c) Sind die Merkmale Geschlecht Motiv unabhängig? 2. Aufgabe Von den 2 Angehörigen eines Betriebes sind 12 männlichen 8 weiblichen Geschlechtes. 5 % der Männer 4 % der Frauen sind Raucher. Berechnen Sie ein geeignetes Maß, das die Stärke der Abhängigkeit zwischen den Merkmalen Geschlecht Rauchverhalten angebe! 1 (c) Lösen Sie (a) unter der Annahme, dass alle Löhne um 2 [ /h] erhöht werden! 17. Aufgabe Bei der Ausschreibung eines Bauauftrages reichten 1 Unternehmen ihre Angebote ein. 1) betrugen in : 1, 2, ( Die Kostenvoranschläge ! Bestimmen Sie die zugehörige Standardabweichung Hinweis: Sie können sich die Arbeit wesentlich erleichtern, wenn Sie von den Werten zu den Werten mit geeignet gewählten Werten für übergehen. 9

6 22. Aufgabe Die Fertigungsplanung einer Firma setze folgenden Zusammenhang zwischen Schweißnahtlänge in m Schweißzeit in min an:,5 1, 1,5 2, 2,5 3, 5, 8,5 12, 15,5 19, 22,5 (a) Bestimmen Sie den Pearsonschen Spearmanschen Korrelationskoeffizienten! (b) Von welcher Annahme über den Zusammenhang zwischen geht die Fertigungsplanung aus? Bei einer Zeiterfassung während der Fertigung werden folgende Datenpaare beobachtet:,5 1, 1,5 2, 2,5 3, 6, 9,5 12, 14,5 17, 19, (c) Welchen Wert hat der Korrelationskoeffizient nach Spearman der nach Pearson für die beobachteten Datenpaare? (d) Vergleichen Sie die Ergebnisse von (a) (c), erklären Sie die Unterschiede! (e) Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade! 23. Aufgabe in Abhängigkeit für das Merkmal Gegeben seien die Zeitreihenwerte von der Zeit : Welche der folgenden Aussagen über die nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelte Trendgerade ist richtig? B: A: E: D: C: Aufgabe Für welche der angegebenen Kontingenztabellen sind die Merkmale unabhängig?

7 24. Aufgabe Bei einem Gebrauchtwagenhändler werden für 1 Wagen desselben Typs Preis Alter festgestellt: liegt die Wagen Nummer Aufgabe Für zwei vollständig abhängige metrische Merkmale Kontingenztabelle der absoluten Häufigkeiten unvollständig vor: Alter in Jahren 1,5 4, 7, 1, 2, 1, 6, 2,5 5, 3, Preis in 1 6, 3, 2, 7,5 4, 9,5 1,5 4, 2,5 4, 2 2 (a) Berechnen Sie den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten interpretieren Sie das Ergebnis! (b) Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten interpretieren Sie das Ergebnis! Aufgabe 1 Für zwei unabhängige Merkmale 1 mit den Ausprägungen liege die Kontingenztabelle der relativen Häufigkeiten unvollständig vor: 1 2 % 1 (a) Geben Sie die fehlenden absoluten Häufigkeiten an! 75 % 1 % (a) Geben Sie die fehlenden relativen Häufigkeiten an! (b) Welchen Wert nimmt die mittlere quadratische Kontingenz an? (c) Welchen Wert nimmt der PEARSONsche Korrelationskoeffizient an? 13 (b) Welchen Wert nimmt die mittlere quadratische Kontingenz an? (c) Welchen Wert nehmen der PEARSONsche der SPEARMANsche Korrelationskoeffizient an? 27. Aufgabe Ein Betrieb stellt drei Erzeugnisse völlig getrennt voneinander her. Die auf eine Zeiteinheit (zum Beispiel eine Woche) bezogenen Kapazitäten die in dieser Zeiteinheit gefertigten Mengen sind aus folgender Zahlentafel ersichtlich: Verkaufspreis Erzeugte Menge Kapazität Erzeugnis 1 1 [to] 1 [to] 2 [ /to] 2 12 [Stück] 6 [Stück] 5 [ /Stück] ] ] 3 [ /m ] 3 [m 3 4 [m für die drei (a) Berechnen Sie die Kapazitätsauslastungsgrade Fertigungen. (b) Ist es sinnvoll, den Auslastungsgrad des Gesamtbetriebes durch das arithmetische Mittel zu beschreiben? (Begründung!) (c) Ist es sinnvoll, den Auslastungsgrad des Gesamtbetriebes durch das Verhältnis zu beschreiben? (Begründung!) 14

8 . (d) Berechnen Sie die Größe Was misst die Größe? Ist sie geeignet, den Auslastungsgrad des Gesamtbetriebes zu beschreiben? (e) Welchen Indextyp stellt die Größe dar? 3. Aufgabe Für die Erzeugnisse eines Wirtschaftszweiges besitze der Preisindex nach LASPEYRES im Zeitpunkte 1 bezogen auf den Basiszeitpunkt den Wert 11. Durch eine Erhöhung der Mehrwertsteuer steigen zum Zeitpunkte 2 alle Warenpreise um 2% gegenüber Zeitpunkt Aufgabe Ein Unternehmen erzielte für seine drei Produkte in den Jahren folgende Preise: Welchen Wert nimmt dann der Preisindex nach LASPEYRES im Zeitpunkte 2 an? Preise Produkt A 2 25 B C Aufgabe Im Jahre 1995 konnten folgende Mengen abgesetzt werden: Für das Warensortiment einer Firma werden laufend Preis-, Mengen Umsatzindizes berechnet. Produkt Stück A 6 B 3 C 1 Welche der folgenden Aussagen ist richtig, falls für jede Ware des Sortimentes die umgesetzte Menge in der Basisperiode mit der umgesetzten Menge in der Berichtsperiode übereinstimmt? A: Preisindex nach LASPEYRES = Preisindex nach PAASCHE Um wieviel Prozent haben sich die Preise des Unternehmens von 1995 bis 1997 im Durchschnitt erhöht? B: Preisindex nach LASPEYRES = Umsatzindex 29. Aufgabe Über drei Produkte A, B, C einer Unternehmung liegen folgende Daten vor: C: Preisindex nach PAASCHE = Umsatzindex Produkt Umsatz 1995 Preisänderung Mengenänderung in in Prozent in Prozent D: Mengenindex nach PAASCHE = Mengenindex nach LASPEYRES E: Mengenindex nach PAASCHE = Preisindex nach LASPEYRES F: Mengenindex nach LASPEYRES = 1 G: Mengenindex nach LASPEYRES = Umsatzindex 32. Aufgabe Die nachstehende Tabelle zeigt die Ausgaben des Bes in den Jahren 1991 bis 1997: Jahr Mrd. 41,8 427,2 457,5 471,2 464,7 455,6 458,6 Um wieviel Prozent sind die Ausgaben von 1991 bis 1997 im Durchschnitt pro Jahr gestiegen? A 6 15 B C 1 1 Berechnen Sie die Preis- Mengenindizes nach PAASCHE LAS- PEYRES sowie den Umsatzindex für 1997 zur Basis

9 33. Aufgabe Ein Sparer möchte sein Geld in Sparbriefen mit Zinseszins bei 3jähriger Laufzeit anlegen. Er vergleicht dazu die Zinssätze von 6 Banken: Zinssatz in % im Bank 1. Jahre 2. Jahre 3. Jahre A B C D E F Geben Sie die Bank an, bei welcher der Sparer die höchste Rendite erzielt! 34. Aufgabe Zu Beginn des Jahres 2 brachte ein Unternehmen ein neues Produkt auf den Markt. In den Jahren stieg dann der Absatz jeweils gegenüber dem Vorjahre um 125 % 224 %. Um wie viel Prozent ist der Absatz 22 höher als der Absatz 2? Um wie viel Prozent stieg der Absatz von 2 bis 22 durchschnittlich pro Jahr (jeweils gegenüber dem Vorjahre)? 35. Aufgabe Die Umsätze einer Brauerei entwickelten sich wie folgt (W = Winterhalbjahr, S = Sommerhalbjahr): Halbjahr S 1998 W 1998/1999 S 1999 W 1999/2 S 2 W 2/21 Umsatz in Mill. 4,8 4, 7,2 5,6 9,6 8,8 (a) Welcher saisonbereinigte Umsatzwert ergibt sich bei Glättung der Zeitreihe durch gleitende Durchschnitte multiplikativer Verknüpfung der Komponenten für das Winterhalbjahr 2/21 (Angabe in Millionen )? (b) Welcher Wert ergibt sich für die irreguläre Komponente im Winterhalbjahre 1999/2? Aufgabe Für die Absatzmengen eines Produktes in den Quartalen der Jahre 1997 bis 22 wurde eine Trendgerade ermittelt. Diese soll benutzt werden, um die Absatzmenge für das 4. Quartal 23 zu prognostizieren. Man hat folgende Zahlen: 4. Quartal tatsächlicher Trendwert Wert ,4 1, ,5 2, ,8 2,2 2 3,1 2,4 21 3,2 2,6 22 3,4 2,8 Welcher Prognosewert für die zu erwartende Absatzmenge im 4. Quartal 23 ergibt sich, wenn der Trend vom Saisoneinfluss additiv überlagert wird? 37. Aufgabe Die nachstehende Tabelle enthält die Zahl der Lebendgeborenen in der Besrepublik für die Quartale der Jahre 1994 bis 1997: Lebendgeborene [in Tausend] im Quartal Jahr I II III IV (a) Glätten Sie die Zeitreihe mit Hilfe der Methode der gleitenden Durchschnitte! (b) Bestimmen Sie die Saisonkomponenten die irregulären Komponenten bei Zugrelegung des additiven Modelles! 18