= 1, i2 Z. Bemerkung Ein auf einer beliebigen abgeschlossenen und invarianten Teilmenge

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1 .Ò Shiftabbildungen Abb 1 Ein Subshift vom endlichen Typ Ò Beispiel Der Graph in Abbildung 1 legt fest, dass auf 1 nur 1 und 2, auf 2 nur 2 und 3, und auf 3 nur 1 folgen kann. Eine zulässige Folge ist somit Formal werden solche Bedingungen durch quadratische Übergangsmatrizen beschrieben, die aus 0 und 1 bestehen. Die Matrixkomponente A ist dabei 1 genau dann, wenn auf das Symbol k das Symbol l folgen kann. Definition Sei A N ={1, 2,...,N}. Ist A = (A ) 1 k,l N 2{0, 1} N N, so heißt der Raum A Õ s 2 N : A si s i+1 = 1, i2 Z mit dem auf ihn eingeschränkten Linksshift A Subshift vom endlichen Typ, und die Matrix A seine Übergangsmatrix. 8 Notiz A ist abgeschlossen in N und invariant unter A. Bemerkung Ein auf einer beliebigen abgeschlossenen und invarianten Teilmenge von N definierter Linksshift wird allgemein als Subshift bezeichnet. Aber nicht jeder Subshift ist vom endlichen Typ, wie man sich leicht überlegt. «9.Ò Beispiele a. Die Übergangsmatrix zu Beispiel 7 ist A = 0 1 1C A b. Besteht F Õ{1} N N nur aus Einsen, so ist F = N und F =. c. Für die Identitätsmatrix I ist I ={s = (... iii... ) : 1 i N}'A N, I = id. (c)-machobs: 8/5

2 .Ò HomoinePunkteundShiftabbildungen Abb 2 Graph zur Übergangsmatrix H in Beispiel 9 N 1 2 N 1 3 d. Zum Graphen in Abbildung 2 gehört die Übergangsmatrix H =..... B 0 1A 1 0 e. Zur Kodierung von Beispiel 6 gehört die Übergangsmatrix (A ) mit A = 1 a '(A k )ÚA l. Bei einem Subshift ist der Verwendung der Symbole eingeschränkt. Um unnötige Symbole zu vermeiden, stellen wir noch folgende 10 Zusatzbedingung Jede Zeile und jede Spalte einer Übergangsmatrix enthält wenigstens eine 1. Enthält jede Zeile von A wenigstens eine 1, so hat jedes Symbol wenigstens einen Nachfolger. Enthält jede Spalte eine 1, so tritt jedes Symbol mindestens einmal als Nachfolger auf. Insbesondere kann jedes Symbol auf beiden Seiten zu einer Folge in A fortgesetzt werden und ist somit in mindestens einer Folge von A enthalten. Eigenschaften Fragen nach der Existenz und Anzahl periodischer Bahnen, der Existenz dichter Bahnen und Ähnliches lassen sich anhand der Übergangsmatrix beantworten. Definition Ein zulässiges Wort der Länge n in A ist jede Symbolfolge s 0 s 1...s n mit A si s i+1 = 1, 0 i n 1. s 0 heißt der Anfang, s n das Ende des Wortes. 8/6 (c)-machobs:

3 Shiftabbildungen Aufgrund der Zusatzbedingung tritt jedes zulässige Wort auch in einer Folge s 2 A auf. 11 Lemma Für die Anzahl N n aller zulässigen Wörter der Länge n + 1, die mit k beginnen und mit l enden, gilt N n = An Õ (An ). Der Beweis erfolgt durch Induktion über n. Für n = 1 ist die Aussage richtig, denn es kommt nur die Symbolfolge selbst in Betracht, und diese ist ein zulässiges Wort genau dann, wenn A = A 1 = 1. Nun der Induktionsschluss. Nach den Regeln der Matrixmultiplikation ist A n+1 = X A ks1 A s1s 2 A sn 1s n A snl s 1,...,s n = X X A ks1 A s1s 2 A sn 1s n A snl. s n s 1,...,s n 1 Der Term in Klammern ist nach Induktionsannahme gleich N n ks n. Also folgt A n+1 = X m N n km A ml. Dies ist aber genau N n+1. Denn ist A ml = 0, so gibt es kein Wort der Länge n + 2 mit Endung ml. Ist dagegen A ml = 1, so lassen sich genau N n km solcher Wörter mit Anfang k bilden. Summation über alle Symbole m ergibt deshalb A n+1 = X m N n km A ml = N n+1. Die Anzahl aller periodischen Orbits fester Periode können wir nun sofort angeben. Die Periode muss hierbei nicht minimal sein. 12 Korollar Die Anzahl der periodischen Orbits der Periode n 1 unter A ist Per n ( A ) = spur A n. Die Anzahl der periodischen Orbits der Länge n ist Per n ( A ) = N n 11 + Nn Nn NN, denn ein geschlossener Periodenabschnitt hat die Länge n + 1 und beginnt und endet mit demselben Symbol. Mit dem letzten Lemma folgt daraus Per n ( A ) = A n 11 + An An NN = spur An. Wir betrachten nun dichte Bahnen. Ihre Existenz ist gleichbedeutend mit der Irreduzibilität von A. (c)-machobs: 8/7

4 238 8 HomoinePunkteundShiftabbildungen Definition Eine Übergangsmatrix A heißt irreduzibel, falls sup A n > 0, 1 k, l N. n 1 Eine Übergangsmatrix A ist also irreduzibel, wenn für jedes Indexpaar k, l ein n 1 existiert, so dass A n 1. Damit existiert auch ein zulässiges Wort mit Anfang k und Ende l, dessen Länge ist dabei beliebig. Diese Eigenschaft lässt sich besonders leicht am Graphen zu A überprüfen..ò Beispiel In Beispiel 9 sind genau die Übergangsmatrizen A, F und H irreduzibel..ò 13 Lemma In A existiert ein dichter Orbit genau dann, wenn A irreduzibel ist. ) Die Bahn der Folge s 2 A sei dicht. Wegen der Zusatzforderung 10 muss jedes Symbol in dieser Folge vorkommen, und zwar unendlich oft. Also existiert zu jedem Anfangssymbol k und Endsymbol l ein zulässiges Wort k...l in A. Es ist also N n 1 für ein n 1. Aufgrund von Lemma 11 ist für dieses n damit auch A n 1. ( Bilde alle Wörter der Länge 1, 2, 3,... und reihe diese hintereinander auf. Damit dies eine Folge in A wird, fügen wir außerdem zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Wörtern mit Ende k respektive Anfang l die Symbolfolge s 1 s 2...s n 1 eines beliebigen zulässigen Wortes ks 1 s 2...s n 1 l ein. Diese existieren für jedes Paar k, l, da A reduzibel. Vor dem ersten Wort setzen wir diese Folge nach links beliebig, aber zulässig fort. Die so konstruierte Folge gehört dann zu A, und ihre Bahn ist dicht. Als Teilraum von N ist auch jeder Unterraum A total unzusammenhängend. Er ist aber nicht perfekt, wenn A zum Beispiel eine Permutationsmatrix ist. Es genügt aber, dass A»nur wenig«davon abweicht. 14 Satz Ist A irreduzibel und X A ml 2 (1) 1 l N für wenigstens ein m in 1 m N, so ist A perfekt. Da A irreduzibel ist, existiert zu jedem k mindestens ein Wort mit Anfang k und Ende m. Wegen (1) können wir dieses Wort auf mindestens zwei verschiedene Weisen am rechten Ende fortsetzen, so dass N n > 0 für ein n 1 und mindestens zwei verschiedene l. Mit Lemma 11 existiert daher fur jedes 1 k N ein n 1, so dass X A n = X N n 2. 1 l N 1 l N 8/8 (c)-machobs:

5 .Ò Homoine Punkte und Linksshift Sei nun s 2 A beliebig und betrachte die Umgebungen U n (s) ={q 2 A : q i = s i für i n} für n 1. Dann existieren zum Symbol s n mindestens zwei verschiedene zulässige Wörter mit Anfang s n. Wir können daher die Folge rechts von s n auf eine Weise fortsetzen, die sie von s unterscheidet. Somit existiert eine Folge s n in A mit s n 2 U n (s), s n î s, die gegen s konvergiert. Da s beliebig war, ist A perfekt..ò Beispiel In Beispiel 9 sind genau die Räume A, F und H perfekt. 8.2 Homoine Punkte und Linksshift 15 Lemma Es gibt positive Zahlen >"> 0 mit folgender Eigenschaft. Sind q und q zwei Punkte in B " (r ), deren Orbits ganz in U ( ) enthalten sind und die immer zur selben Zeit nach U " (r ) zurückkehren, so ist q = q. Es wird also verlangt, dass ' k (q) 2 U " (r ) a ' k ( q) 2 U " (r ) für alle k 2 Z. Nicht verlangt wird, dass dies unendlich oft geschieht. Die Idee ist, die Orbits von q und q als Schattenbahnen derselben Pseudeobahnen darzustellen und daraus ihre Gleichheit zu schließen. Wähle dazu >0 so ein, dass jede -Pseudobahn auf genau eine Schattenbahn besitzt. Außerdem sei so gewählt, dass r der Punkte r k Õ ' k (r ), k 2 Z, U (p) und keiner den Rand der Kugel U (p) trifft. Dann existieren eindeutige ganze Zahlen k < 0 <k + so, dass r k± 2 U (p), r k U (p), k <k<k +. Dazu existiert ein 0 < < so, dass die Kugeln U (r k ) für k k k + sämtlich disjunkt sind und den Rand von U (p) ebenfalls nicht treffen. Aus Stetigkeitsgründen existiert schließlich ein ">0 so ein, dass ' k (U " (r )) U (r k ), k k k +. (2) (c)-machobs: 8/9

6 240 8 HomoinePunkteundShiftabbildungen Abb 3 Zum Beweis von Lemma 15 r 1 U " (r ) r r k U (p) U (r k ) r 1 p r k+ r k Siehe Abbildung 3. Betrachte nun einen exakten Bahnabschnitt q a q a+1...q b 1 q b, q a,q b 2 U " (r ), der ganz in U ( ) enthalten ist. Wegen (2) gilt notwendigerweise q a+k 2 U (r k ), 0 k k +, q b+k 2 U (r k ), k k 0, (3) q l 2 U (p), für alle übrigen Indizes. Einem solchen Bahnabschnitt ordnen wir den Pseudobahnabschnitt r 0 r 1...r k+ p...pr k...r 1 r 0 zu. Nach Konstruktion handelt es sich um den Abschnitt einer -Pseudobahn, die von q a q a+1...q b 1 q b -beschattet wird. Seien jetzt q und q zwei Punkte in U " (r ), deren Orbits ganz in U ( ) enthalten sind und die immer zur selben Zeit nach U " (r ) zurückkehren, und zwar unendlich oft in der Zukunft wie in der Vergangenheit. Mit der vorangegangenen Konstruktion können wir diesen Orbits zwischen zwei aufeinander folgenden Wiederkehrzeiten ein und denselben -Pseudobahnabschnitt auf zuordnen. Fügen wir diese aneinander, so erhalten wir für die Bahnen von q und q ein und 8/10 (c)-machobs:

7 Homoine Punkte und Linksshift dieselbe -Pseudobahn auf, die sie -beschatten. Da solche Schattenbahnen eindeutig sind, folgt hieraus q = q. Es bleibt noch der Fall zu betrachten, dass die Orbits von q und q vor oder nach einem gewissen Zeitpunkt nicht mehr nach U " (r ) zurückkehren. Sei beispielweise q a 2 U " (r ), aber q a+k U " (r ) für alle k>0. Zu betrachten ist dann der Bahnabschnitt q a q a+1 q a+2..., q a 2 U " (r ). Hierfür gilt (3) entsprechend, nämlich q a+k 2 U (r k ), 0 k k +, q a+k 2 U (p), k > k +. Diesem exakten Bahnabschnitt können wir daher den Pseudobahnabschnitt r 0 r 1...r k+ pp... zuordnen. Es gelten dann dieselben Schlussfolgerungen wie zuvor. (c)-machobs: 8/11