Der Goldene Schnitt. Ist Schönheit messbar? Gibt es bestimmte Charakteristika oder ein Maß, nach welchem man den Grad des Schönen bestimmen kann?

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1 Der Goldene Schnitt Was ist Schönheit? Ist sehr subjektiv. Meist alles was man als schön, harmonisch oder angenehm empfindet. Es können tote Gegenstände oder auch Lebewesen wie Pflanzen, Tiere und Menschen als schön bezeichnet werden. Aber auch nichtmateriellen Erscheinungen wie Gedankengängen, Empfindungen, Taten und Geschehnissen werden diese Eigenschaft zugeschrieben. Wir verstehen unter dem Schönen eine subjektive Empfindung, die nichts mit den emotionslosen wissenschaftlichen Regeln oder Gesetzmäßigkeiten zu tun hat. Die beiden Begriffe Schönheit und Naturgesetz scheinen also einander entgegenzustehen! Die Wissenschaftler versuchen die Schönheit auf bestimmte äußere Proportionen und Formen zu reduzieren, um sie»greifbar«machen zu können. Dabei stellte sich die Frage: Ist Schönheit messbar? Gibt es bestimmte Charakteristika oder ein Maß, nach welchem man den Grad des Schönen bestimmen kann? Der Wissenschaftler John Cleese stellte 00 in einer Studie Fotos von verschiedenen menschlichen Gesichtern zusammen. Diese Gesichter wurden von zahlreichen Menschen unterschiedlichster Nationalitäten nach dem Grad ihrer Schönheit und Attraktivität geordnet. Das vorrangige Ziel der Studie war es, das scheinbar subjektive Schönheitsempfinden jedes einzelnen Menschen auf objektive Parameter zu untersuchen. Das Ergebnis war beeindruckend: Erstaunlicherweise wählten knapp 90% der Versuchspersonen die gleiche Reihenfolge der Bilder! Mit anderen Worten: Es wurden immer die gleichen Gesichter von der Mehrzahl der Personen als schön oder auch als hässlich bewertet. Das scheinbar subjektive Schönheitsempfinden musste demnach eine objektive Grundlage haben. Welches sind die Schönheitskriterien? Genaue Vermessungen der unterschiedlichen Gesichter im Computer haben ergeben, dass vor allem die Gesichter einheitlich als schön empfunden wurden, die einen hohen Grad an Ordnung und Proportionalität aufwiesen. Viele wissenschaftliche Untersuchungen zeigen, dass der Begriff der Schönheit eng mit der Eigenschaft der Symmetrie in Zusammenhang steht. Die Symmetrie ist also ein Ausdruck der Ordnung und Proportionalität der einzelnen Bestandteile und Elemente eines Ganzen, die wir mehrheitlich als schön und harmonisch empfinden. Symmetrie in der Natur Bei genauer Betrachtung wird schnell offensichtlich, dass das Prinzip der Symmetrie die ganze Natur durchzieht. Die Schönheit der Natur scheint also im wesentlichen auf der Proportionalität der Symmetrie zu beruhen. Spiegelsymmetrie:

2 Drehsymmetrie: Kugelsymmetrie: Symmetrie ist eine Form, aber auch ein Muster in der Entwicklung. Bis in die Chromosomen und Gene findet wir eine sich auswirkende symmetrische Teilung. Somit ist Symmetrie nicht nur eine Äußerlichkeit, sondern auch eine Entwicklungs- und Wachstumsmuster. Doch bei genauer Betrachtung erkennt man, dass die rechte Seite des Schmetterlings kein exaktes Spiegelbild der linken ist, man erkennt im Detail eine gewisse Unsymmetrie. Aus einer psychologischen Untersuchung aus dem Jahr 999 (RIKOWSKI & GRAMMER 999), in welcher der Grad der Symmetrie eines Gesichtes mit dessen Attraktivität verglichen wurde, geht genau hervor, das insbesondere die Frauengesichter als besonders attraktiv eingestuft, deren Gesichter kleine Asymmetrien aufwiesen. Der sogenannte»schönheitsfleck«deutet darauf hin und scheint eine besondere Rolle zu spielen. Das amerikanische Topmodel und Schönheitsideal Cindy Crawford überlegte beispielsweise am Anfang ihrer Laufbahn, den kleinen Leberfleck über ihrer Oberlippe operativ entfernen zu lassen. Der kleine Makel aber ist ihr individuelles Markenzeichen geworden. Durch kleine Asymmetrien gewinnen Gesichter nicht nur an Menschlichkeit, sie gewinnen an Qualität. Wissenschaftler (ECKERT & al. 003) vom McKnight Brain Institute der University of California wiesen beispielsweise nach, dass die Asymmetrie und ungleiche Größe der Gehirnhälften wesentliche Faktoren für den hohen Intelligenzgrad des Menschen sind. Mittlerweile ist bekannt, dass die als»funktionale Asymmetrie«bezeichnete Gestaltung des menschlichen Gehirns Voraussetzung für die Ausbildung der individuellen Fähigkeiten, Eignungen und Neigungen ist. Eine bilaterale (symmetrische) Kontrolle einzelner Funktionen dagegen führt zu erheblichen Störungen und Behinderungen. So werden beispielsweise Krankheitsbilder wie Legasthenie oder Epilepsie auf Störungen der funktionalen Asymmetrie des Gehirns zurückgeführt (ECKERT & al. 003).

3 Somit wird deutlich, dass Asymmetrie und Ungleichheit keine lebensfeindlichen Ordnungsprinzipien sind. Im Gegenteil, sie sind unverzichtbarer Bestandteil eines Entwicklungsmusters der Evolution. Kommen wir aber nun noch einmal auf das menschliche Gesicht zurück, welches ja bezüglich einer senkrechten Achse einen hohen Grad an Symmetrie aufweist. Doch wie symmetrisch ein Gesicht ist, ist auf den ersten Blick meist schwer zu erkennen. Folgende beiden Gesichter sind Originalaufnahmen (links) einer Frau und eines Mannes. Im Vergleich dazu findet man (rechts) zwei Fotomontagen. Hier wurde das Gesicht entlang der Symmetrieachse halbiert und die fehlende Hälfte durch Spiegelung ergänzt. Die symmetrischen Bilder liefern ein eher unschönes Gesicht. Der Versuch aber im menschlichen Gesicht ein waagrechte Symmetrieachse zu suchen bleibt erfolglos. Es ist keine Ordnung erkennbar. Vielmehr wird das Gesicht in verschiedene Bereiche aufgeteilt, proportioniert. Das Gegenteil der Symmetrie ist die Asymmetrie. Bei der Betrachtung einer Strecke gibt es neben einer einzig möglichen symmetrischen Aufteilung des Ganzen unendlich viele asymmetrische Teilungsmöglichkeiten. Unter diesen unzählbaren ungleichen Trennungen tritt nun eine auf, deren Einzigartigkeit und Besonderheit immer wieder die Aufmerksamkeit auf sich zieht. 3

4 Man teilt eine Strecke so in zwei Teile, dass der kleinere Teil (Minor) sich zum größeren Teil (Major) genau so verhält wie der größere Teil wiederum zum Ganzen. Minor Ganzes Major m m M M Mathematisch ausgedrückt heißt das also: m M M M m Man nennt diese Teilung einer Strecke seit 83 den goldenen Schnitt. Diese Aufteilung übt schon seit Jahrtausenden eine besondere Anziehung auf die Menschen aus. Sie findet sich, wie wir später noch sehen werde, in der Natur, Architektur, Geometrie, Fotografie, Kunst, Musik, Astronomie, Philosophie,... immer wieder. Wir können zeigen, dass dieses Verhältnis konstant ist. Dazu formen wir obige Gleichung etwas um: m M M M m m M M m M M m m Ersetzt man den Quotienten M x m, so erhält man die Gleichung: x x Nun multipliziert man diese Bruchgleichung mit x: x x Noch eine kleine Umformung: x x 0 Die Lösungen dieser Gleichung liefert nun die Mitternachtsformel: x, x x 0,68... Da die zweite Lösung negativ ist, macht nur die Lösung 4

5 einen Sinn. x,68... Ist also M,68... m, so ist auch m M,68... M Oder anders ausgedrückt: Der Major ist um das,68... fache größer ist als der Minor, und wiederum dass das Ganze,68..mal größer ist als der Major. Dieser Zahlenwert wird auch gerne mit bezeichnet., Die Zahl ist eine irrationale Zahl (sie ist nicht als Bruch darstellbar) und steht der Kreiszahl in nichts nach.

6 In folgenden Beispielen ist der goldene Schnitt enthalten: Mensch: Tiere: Biene Ameise Pferd 6

7 Architektur: Phartenon zu Athen (Acropolis) Walhalla südlich von Regensburg Leipziger Rathaus: 7

8 Dom von Florenz Romanisches Kirchenportal Natur: Fotografie: 8

9 Überraschendes: Die Steinkeile aus Kilombe, einer Fundstelle in Kenia, wurden von Archäologen vermessen. Sie kommen dort in verschiedenen Größen, aber immer ähnlichen Grundformen vor. Das Ergebnis der Vermessungen demonstriert die linke Grafik (GOWLETT 98). In Bezug zueinander wurden Länge und Breite verschieden großer Keile gesetzt. Trotz unterschiedlicher Größe zeigtsich eine Besonderheit: Anhand der mittelnden Geraden wird deutlich, dass die Proportionen von Länge und Breite zwischen den verschieden großen Steinkeilen beeindruckenderweise immer annähernd gleich sind. Die Schlussfolgerung ist faszinierend: Bereits vor Million Jahren bevorzugte der Homo erectus eine bestimmte Proportion, die er in den Steinkeilen unbewusst umsetzte. Eine Berechnung des Verhältnisses zeigt, dass es sich hierbei sehr genau um die Proportionen des goldenen Schnittes handelt. 9

10 Man kann durch Messung und entsprechender Berechnung der Proportionen ermitteln ob ein goldener Schnitt vorliegt. Mit Hilfe eines goldenen Zirkels kann auch ohne Rechnung bestimmt werden ob ein goldener Schnitt vorliegt. Aufbau des linken Zirkels: Die beiden Strecken kreuzen sich im Punkt S. t Der Punkt S ist dabei so gewählt, dass er die Strecke im goldenen Schnitt teilt. m m Also gilt: M S m Da nun nach dem Streckensatz (Zentrische Streckung, X-Figur) M M gilt: T M T t m stehen auch die beiden Strecken T und t im goldenen Verhältnis. D.h. T ist Major und t Minor einer Gesamtstrecke. Aufbau des rechten Zirkels (Reduktionszirkel aus der Römerzeit): Für diesen Zirkel gilt: AM BM MP PA BQ QM PS PA QM BQ QS PM Da nun im Viereck PSQM die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind ist dieses Viereck ein Parallelogramm. Es gilt: Da APS AMB SQB (Stufenwinkel) sind die beiden Dreiecke APS und SQB kongruent (gleichschenklige Dreiecke mit gleichem Winkel bei der Spitze). In diesen beiden Dreiecken gilt nun: QSMP BS SA BS QS BS MP QS PA SA PA SA PA 0

11 Etwas Zahlenspielerei mit dem goldenen Schnitt Quadriert man den goldenen Schnitt, so erhält man den selben Wert als wenn man zum goldenen Schnitt die Zahl addiert. Also: Und diese Gleichung hatten wir ja oben schon einmal! x x mit der Lösung Bildet man den Kehrwert des goldenen Schnitts, so erhält man den selben Wert als wenn man vom goldenen Schnitt die Zahl subtrahiert. Also: Aber auch diese Gleichung hatten wir oben schon mal! x mit der Lösung x Weitere Zahlenspielerei: Quadriert man eine Zahl so erhält man den gleichen Wert als ob man zur Zahl addieren würde. Wie heißt die Zahl? Quadriert man eine Zahl so erhält man den gleichen Wert als ob man zur Zahl n addieren würde. Wie heißt die Zahl? Bildet man den Kehrwert einer Zahl, so erhält man den gleichen Wert als ob man die Zahl subtrahieren würde. Wie heißt die Zahl? Bildet man den Kehrwert einer Zahl, so erhält man den gleichen Wert als ob man die Zahl n subtrahieren würde. Wie heißt die Zahl? Betrachtet man die Gleichung: man: und multipliziert diese Gleichung mit, so erhält 3 auf der rechten Seite kann man wieder 3 für das einsetzen und man erhält: Diesen Vorgang mit der Multiplikation mit wiederholen wir nun sukzessive, so folgt: Das lässt sich nun nach belieben fortsetzen. Das Ergebnis auf der rechten Seite erhält man immer als Summe der beiden vorhergehenden Zeilen. Man erhält somit eine Folge von Zahlen (welche vor dem stehen; oder auch die ohne ),,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33,... Diese Zahlenfolge nennt man die Fibonacci-Folge oder auch die Fibonacci-Zahlen. Teilt man nun eine Fibonacci-Zahl durch ihre kleinere benachbarte Zahl, so nähert sich dieser Quotient immer mehr der Zahl an, je größer die Fibonacci-Zahl gewählt wird. Dies wollen wir in einer kleinen Tabelle mal darstellen.

12 FIBONACCI-ZAHL QUOTIENT ABWEICHUNG VON , 3,6,6 8, 6 3, 63846, , , , , , , , Ein Beispiel aus der Natur, an dem man die Fibonacci-Zahlen, und damit auch den goldenen Schnitt, recht gut beobachten kann: Bei den Sonnenblumen kann man sehr schön erkennen, dass ihre Kerne in spiralförmigen Linien angeordnet sind. Jeder Kern gehört zu genau einer links-drehenden und zu genau einer rechts-drehenden Spirallinie. Zählt man alle linksdrehenden Spiralen bei einer beliebigen Sonnenblume, so erlebt man eine Überraschung: Man erhält interessanterweise bei genauer Zählung stets Fibonacci- Zahlen. Werte, die man in der Natur beobachten kann, sind z.b., 34,, 89, 44 oder auch noch 33 linksdrehende Spirallinien in einer Sonnenblumen-Blüte. Zählt man auch noch die Anzahl der rechtsdrehenden Spiralen, so erhält man stets auch wieder eine Fibonacci-Zahl. Bei ein und derselben Sonnenblumen-Blüte erhält man jedoch interessanterweise nicht die gleiche Fibonacci-Zahl, sondern stets eine benachbarte. Bei der Sonnenblume ist dann das jeweilige Verhältnis aus links- und rechtsdrehenden Spirallinien in der Blüte also eine hervorragende Annäherung an den goldenen Schnitt.

13 Aus Papierstreifen einen Knoten machen lassen. Man erhält ein Pentragramm. Die Seiten teilen sich im goldenen Schnitt. (Beweis) Pentagram - goldener Schnitt Drudenfuss (Fünfstern), Pentagon Goldenes Rechteck Goldene Spirale Kreuz Jesus - goldener Schnitt 3