Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus

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Damian Neumann
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1 Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus Fast Viktor 21. November 2007

2 Inhaltsverzeichnis Sätze und ihre Beweise Satz von Menelaus Satz von Ceva Winkelhalbierendenschnittpunkt Höhneschnittpunkt Winkelhalbierendenschnittpunkt Trapezaufgabe Inkreisaufgabe

3 Satz von Menelaus Satz (Transversale und Dreieck) Sei ein Dreieck ABC und eine Transversale g gegeben, sodass g die Gerade BC im Punkt A, die Gerade AB im Punkt C und die Gerade AC im Punkt B schneidet. Dann gilt: A C A B C B C A B A B C = 1.

4 Satz von Menelaus

5 Satz von Menelaus Wir fällen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz:

6 Satz von Menelaus Wir fällen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz: DaBC CN : A C A B = CN BM (1)

7 Satz von Menelaus Wir fällen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz: DaBC CN : A C A B = CN BM DaBM AL : C B C A = BM AL (1) (2)

8 Satz von Menelaus Wir fällen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz: DaBC CN : A C A B = CN BM DaBM AL : C B C A = BM AL DaCN AL : B A B C = AL CN (1) (2) (3)

9 Somit ist der Beweis erbracht. Satz von Menelaus Wir fällen aus den Punkten A, B und C die Senkrechten auf die Transversale g, die die Transversale in den Punkten L, M und N schneiden. Jetzt gilt nach dem zweiten Strahensatz: DaBC CN : A C A B = CN BM DaBM AL : C B C A = BM AL DaCN AL : B A B C = AL CN Durch Multiplikation der Beziehungen (1), (2) und (3) folgt: (1) (2) (3) A C A B C B C A B A B C = CN BM BM AL AL CN = 1

10 Satz von Menelaus Satz (Satz von Menelaus) Erfüllen drei Punkte A BC, B AC und C AB die Beziehung: A C A B C B C A B A B C = 1, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden (A, B, C sind dann kollinear). Ist die Rückrichtung des obigen Beweises.

11 Der Satz von Ceva Satz (Geraden durch einen Eckpunkt und einen inneren Punkt eines Dreiecks) Sei ein ABC ein Dreieck und Q ein Punkt in diesem Dreieck. Seien die Schnittpunkte Geraden AQ, BQ und CQ mit den Seiten des Dreiecks die Punkte A, B und C. Dann gilt: A C A B B A B C C B C A = 1

12 Der Satz von Ceva Für das Dreieck ABA und die Transversale CC gilt nach dem Satz des Menelaus: CA CB C B C A QA QA = 1 (4)

13 Der Satz von Ceva Für das Dreieck ABA und die Transversale CC gilt nach dem Satz des Menelaus: CA CB C B C A QA QA = 1 (4) Analog gilt für das Dreieck AA C und die Transversale BB : BC BA QA QA B A B C = 1 (5)

14 Der Satz von Ceva Für das Dreieck ABA und die Transversale CC gilt nach dem Satz des Menelaus: CA CB C B C A QA QA = 1 (4) Analog gilt für das Dreieck AA C und die Transversale BB : BC BA QA QA B A B C = 1 (5) Wir multiplizieren die Beziehungen (4) und (5): 1 = BC BA QA QA B A B C BC BA QA QA B A B C = A C A B B A B C C B C A

15 Der Satz von Ceva Der Kehrsatz dieses Satzes ist der Satz von Ceva Satz (Satz von Ceva) Sei ABC ein Dreieck mit A BC, B AC und C AB. Wenn die Beziehung: A C A B B A B C C B C A = 1 gilt, dann schneiden sich die Graden AA, BB und CC in einem Punkt. Ist die Rückrichtung des obigen Beweises.

16 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Satz Sei ABC ein Dreieck, w die Winkelhalbierende durch den Punkt A und F der Fusspunkt von w auf BC. Dann gilt: AC CF = AB BF.

17 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Satz Sei ABC ein Dreieck, w die Winkelhalbierende durch den Punkt A und F der Fusspunkt von w auf BC. Dann gilt: AC CF = AB BF. Da EB AF folgt nach dem Strahlensatz von C aus: CF AC = AE + AC CF + FB CF (AE + AC) = AC (CF + FB) CF AE+CF AC = AC CF +AC FB CF AE = AC FB CA CF = AE BF Und da AE = AB ist die Aussage bewiesen.

18 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Satz Sei ABC ein Dreick. Sei A der Fusspunkt der Winkelhalbierenden durch den Punkt A auf CB, B der Fusspunkt der Winkelhalbierenden durch den Punkt B auf AC und C der Fusspunkt der Winkelhalbierenden durch den Punkt C auf AB. Dann schneiden sich AA, BB und CC in einem Punkt.

19 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir: AC AB = A C A B (6)

20 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir: AC AB = A C A B BA BC = B C B A (6) (7)

21 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir: AC AB = A C A B BA BC = B C B A CB CA = C B C A (6) (7) (8)

22 Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Nach dem vorhergehenden Satz wissen wir: AC AB = A C A B BA BC = B C B A CB CA = C B C A Wir multiplizieren die Verhältnisse (6)(7)(8): (6) (7) (8) A C A B B A B C C B C A = AC AB BA BC CB CA = 1 Und somit gilt nach dem Satz von Ceva, dass sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden.

23 Schnittpunkt der Höhen Satz Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

24 Schnittpunkt der Höhen Satz Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. h a a = tanα, ha a = tanβ, h b b = tanβ, h b b = tanγ, hc c hc = tanγ, c = tanα,

25 Schnittpunkt der Höhen Satz Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. h a a = tanα, ha a = tanβ, h b b = tanβ, h b b Wir multiplizieren die Verhältnisse: = tanγ, hc c hc = tanγ, c = tanα, a a b b c c = h a tanα : h a tanβ h b tanβ : h b tanγ h c tanγ : h c tanα

26 Schnittpunkt der Höhen Satz Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. h a a = tanα, ha a = tanβ, h b b = tanβ, h b b Wir multiplizieren die Verhältnisse: = tanγ, hc c hc = tanγ, c = tanα, a a b b c c = h a tanα : h a tanα tanβ h a h a tanβ h b tanβ : h b tanβ tanγ h b h b tanγ h c tanγ : h c tanγ tanα = 1 h c h c tanα Somit gilt nach Ceva, dass sich die Höhen in einem Dreieck in einem Punkt schneiden.

27 Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Bemerkung Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt Der Beweis ist mit Ceva trivial.

28 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

29 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB

30 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB β = ABC = CB A = BCA = C AB

31 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB β = ABC = CB A = BCA = C AB γ = ACB = CBA = AC B = B AC

32 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB β = ABC = CB A = BCA = C AB γ = ACB = CBA = AC B = B AC ABC = ABC = AB C = A BC

33 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB β = ABC = CB A = BCA = C AB γ = ACB = CBA = AC B = B AC ABC = ABC = AB C = A BC AC = C B = A B, BC = AC = AB und AB = B C = CA.

34 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Satz Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Sei ABC ein Dreieck und A B C sein Umdreieck. α = CAB = ABC = B CA = A CB β = ABC = CB A = BCA = C AB γ = ACB = CBA = AC B = B AC ABC = ABC = AB C = A BC AC = C B = A B, BC = AC = AB und AB = B C = CA. h c = m c, h a = m a und h b = m b Da sich die Höhen in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch die Mittelsenkrechten in einem Punkt.

35 Mittelsenkrechtenschnittpunkt

36 Inkreistransversalen Satz Sei ABC ein Dreieck und K sein Inkreis mit dem Mittelpunkt M. Seien die Berührungspunkte von K mit den Seiten des Dreiecks A, B und C. Dann schneiden sich die Transversalen AA, BB und CC in einem Punkt.

37 Inkreistransversalen Satz Sei ABC ein Dreieck und K sein Inkreis mit dem Mittelpunkt M. Seien die Berührungspunkte von K mit den Seiten des Dreiecks A, B und C. Dann schneiden sich die Transversalen AA, BB und CC in einem Punkt. Da die Seiten von ABC K berühren sind sie Tangenten von K und somit senkrecht auf K. AC M = AB M, da r = C M = B M, π 2 = AC M = AB M, AM in beinen Dreiecken ist. AC = AB. Analog ist BB = BA und CA = CC. Daraus folgt sofort: AC C C CA A B BB B A = 1

38 Aufgabe Sei ABC ein Dreieck und g eine Gerade, die parallel zu AB ist, die Seite AC im Punkt E und die Seite BC im Punkt F schneitet. Weiter sei G der Fusspunkt der Seitenhalbierenden auf AB. Zeigen Sie, dass sich die Transversalen GC, FA und EB in einem Punkt schneiden.

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