Temperaturentwicklung des Universums

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1 Der Urknall und seine Teilchen Temperaturentwicklung des Universums Alexander Bett 20. Mai 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Temperaturabhängigkeiten Strahlungsdominiertes Universum Materiedominiertes Universum Zusammenfassung Die Phasen des Universums 7 4 Quellenangaben 10 1

2 1 Einleitung Die folgende Abbildung gibt einen Überblick über die Entwicklung des Universums vom Urknall bis heute. Abbildung 1: Entwicklung des Universums Man erkennt hier, dass das Universum sich vom Urknall bis heute ausdehnt und dabei kälter wird. Zunächst sollen im Kapitel Temperaturabhängigkeiten einige Zusammenhänge zwischen Temperatur, Energiedichte und der Größe des Universums hergeleitet werden. Weiterhin soll die zeitliche Temperaturentwicklung untersucht werden. Wie schon in Abbildung 1 zu erkennen ist, dominiert zu Beginn die Strahlung im Universum, später dann die Materie. Dies liegt daran, dass die Energiedichte der Strahlung schneller abnimmt, als die Energiedichte der Materie, wie wir später sehen werden. Daher ist es nötig, bei der Herleitung der Proportionalitäten zwischen den genannten Größen, Strahlung und Materie zu unterscheiden. Im Kapitel Die Phasen des Universums sollen dann die wichtigsten Etappen der Entwicklung des Universums kurz vorgestellt werden. 2

3 2 Temperaturabhängigkeiten Im folgenden sollen nun Zusammenhänge zwischen Temperatur, Energiedichte und der Größe des Universums, hergeleitet werden. Hierzu muss zwischen Strahlung und Materie unterschieden werden. 2.1 Strahlungsdominiertes Universum Wir betrachten zunächst ein strahlungsdominiertes Universum. Die Energiedichte ɛ der Strahlung ist durch das Plancksche Strahlungsgesetz gegeben: dɛ = 8πhc λ 5 dλ exp ( hc k B T λ ) 1 Um die gesamte Energiedichte zu berechnen, muss über alle möglichen Wellenlängen integriert werden: ɛ = 8πhc ˆ Für die Strahlung gilt also ɛ T 4. 0 dλ 1 λ 5 Weiterhin gilt für die Strahlungsenergiedichte: 1 ( ) exp hc k B T λ 1 = 8π5 kb 4 15 (hc) 3 T 4 ɛ = E V = hν V = hc V λ Es ist V S 3, wobei S der kosmische Skalenfaktor ist, der die Größe des Universums in Einheiten der heutigen Größe angibt (Per Definition ist S heute = 1). Der Skalenfaktor wurde eingeführt, da die Größe des Universums nicht bekannt ist. Mit dessen Hilfe kann man sie jedoch immerhin im Verhältnis zur heutigen Größe angeben. Die Wellenlänge ist proportional zu S. Durch die Expansion des Universums werden nämlich die Wellenlängen auseinander gezogen. Man spricht von der Rotverschiebung. Insgesamt gilt also ɛ S 4. Mit ɛ T 4 ergibt sich daraus auch sofort ein Zusammenhang zwischen dem Skalenfaktor und der Temperatur: Es gilt S T 1. Schließlich soll noch ein Zusammenhang zwischen Temperatur und Zeit hergeleitet werden. Hierzu benutzt man die erste Friedmann-Gleichung. Die beiden Friedmanngleichungen beschreiben die Dynamik des Universums. Man erhält sie, indem man das kosmologische Prinzip (das Universum ist homogen und isotrop) in den Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie anwendet. Hier benötigen wir nur die erste Friedmanngleichung: Ṡ 2 + kc 2 S 2 = 8π 3c 2 Gɛ 3

4 Hierbei ist S der Skalenfaktor, G die universelle Gravitationskonstante, ɛ die Energiedichte und k ein Krümmungsparameter. Da ɛ S 4, gilt für kleine S: kc S 2 8π 8π Gɛ 3c2 3c 2 G 1 S 4 Die Friedmanngleichung vereinfacht sich also zu (Ṡ ) 2 = 8π S 3c 2 Gɛ Ṡ ( ) 1 8π S = 3c 2 Gɛ 2 Da wir einen Zusammenhang zwischen Temperatur und Zeit suchen, müssen jetzt die Größen S, Ṡ und ɛ durch T und t ausgedrückt werden: ɛ T 4 ɛ = a T 4 mit a = 8π5 k 4 B 15(hc) 3 S 1 T S = b 1 T Ṡ = ds dt = b dt T 2 dt = const. b mit b = const. und ds = dt T 2 Setzt man diese drei Größen in die vereinfachte Friedmanngleichung ein, so ergibt sich die folgende Differentialgleichung: Man separiert zunächst die Variablen: Integration liefert: dt ( ) 1 8π T dt = 3c 2 GaT 4 2 dt T 3 = 8π Ga dt 3c2 1 8π 2T 2 = 3c 2 Ga t Man sieht bereits hieraus, dass gilt t T 2 bzw. T 1 t. Formt man die integrierte Gleichung noch etwas um, so erhält man T = 1 ( ) 8π 1 2 3c 2 Ga 4 1 t Für die Energie (in MeV) erhält man (mit a = 8π5 k 4 B 15(hc) 3 ) E = k B T = k ( ) B 8π 1 2 3c 2 Ga 4 1 = 1MeV s 1 2 t t Damit kann man zum Beispiel ausrechnen, dass nach einer Zeit von 10 6 s nach dem Urknall Protonen und Neutronen (Ruheenergie im Bereich von 1GeV = 1000 MeV) enstanden sein müssen. 4

5 2.2 Materiedominiertes Universum Betrachten wir nun ein materiedominiertes Universum. Zunächst soll ein Zusammenhang zwischen dem Skalenfaktor und der Temperatur hergeleitet werden. Hierzu betrachten wir die Materie als ideales Gas und die Ausdehnung des Universums als adiabatische Expansion, das heißt es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt (δq = 0). Für ein ideales Gas gelten die Gleichungen pv = Nk B T und U = 3 2 Nk BT Hieraus ergibt sich für den Druck sofort p = 2U 3V Man verwendet jetzt den ersten Hauptsatz der Thermodynamik: du = δw + δq = pdv + 0 = 2U 3V dv Hier setzt man nun den Ausdruck für U ein: ( ) 3 d 2 Nk BT = Nk BT dv 3 V 2 k B (NdT + T dn) = Nk BT V Wir nehmen weiterhin an, dass die Teilchenzahl konstant bleibt (dn = 0). Dann ergibt sich die folgende Differentialgleichung: Die Lösung lautet: 3 dt 2 T = dv V ( ) 3 ( ) T 2 V0 ln = ln T0 V V 0 und T 0 sind Integrationskonstanten. Da V S 3 erhalten wir S T 1 2. Die Energiedichte der Materie ist gegeben durch Also gilt für Materie ɛ S 3. ɛ = E V = mc2 V Für den Zusammenhang zwischen Energiedichte und Temperatur erhält man aus ɛ S 3 und S T 1 2, dass gilt: ɛ T 3 2. dv 5

6 Schließlich soll noch ein Zusammenhang zwischen Temperatur und Zeit hergeleitet werden. Die Rechnung ist analog zum Fall der Strahlung. Wir benutzen wieder die erste Friedmanngleichung: Ṡ 2 + kc 2 S 2 = 8π 3c 2 Gɛ Da ɛ S 3 gilt für kleine S kc S 2 8π 8π Gɛ 3c2 3c 2 G 1 S 3 und die Friedmanngleichung vereinfacht sich zu (Ṡ ) 2 = 8π S 3c 2 Gɛ Ṡ ( ) 1 8π S = 3c 2 Gɛ 2 Es ist ɛ T 3 2 ɛ = α T 4 mit α = const. S T 1 2 S = β T 1 2 mit β = const. und ds = 1 2 βt 3 2 dt Ṡ = ds dt = βt 3 2 dt 2 dt Diese Größen setzt man jetzt in die vereinfachte Friedmanngleichung ein: Trennung der Variablen liefert: Die Integration liefert t T 3 4. dt ( 8π 2T dt = 3c 2 GαT 3 2 ) 1 2 T 7 8π 4 dt = Gα dt 3c2 2.3 Zusammenfassung In folgender Tabelle sind die Proportionalitäten nochmals zusammengefasst: Strahlungsdominiertes Universum Materiedominiertes Universum Energiedichte ɛ T 4 T ɛ 1 4 ɛ T 3 2 T ɛ 2 3 Skalenfaktor S T 1 T S 1 S T 1 2 T S 2 Zeit t T 2 T t 1 2 t T 3 4 T t 4 3 Tabelle 1: Zusammenhänge zwischen Temperatur und anderen Größen Aus diesen Proportionalitäten sieht man insbesondere auch Zusammenhänge zwischen der Größe des Universums und der Energiedichte. Für die Strahlung ergibt sich ɛ γ S 4, für die Materie ɛ m T 3. Die Energiedichte der Strahlung nimmt also mit der Expansion des Universums schneller ab, als die Energiedichte der Materie. 6

7 3 Die Phasen des Universums Im letzten Abschnitt soll nun ein kurzer Überblick über die verschiedenen Phasen, die das Universum in seiner Entwicklung durchlaufen hat, gegeben werden. Planck-Ära (T ; E ; t 0) Unter der Planck-Ära versteht man die Zeit unmittelbar nach dem Urknall. Die uns bekannten physikalischen Gesetze versagen in dieser Ära; auch die Begriffe von Raum und Zeit sind nicht definiert. Alle vier Grundkräfte sind in einer einzigen Urkraft vereint. In der theoretischen Physik sucht man momentan nach einer Quantengravitation, die diesen Zustand direkt nach dem Urknall beschreiben kann. GUT-Ära (T = K; E = GeV ; t = s) s nach dem Urknall spaltet die Urkraft in zwei Kräfte auf: Die Gravitation und die GUT-Kraft, die elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung vereint (GUT steht für Grand Unified Theory - große vereinheitlichte Theorie). Die Teilchen der GUT-Kraft sind die Leptoquarks X und Y, auch X- und Y-Bosonen genannt, sowie deren Antiteilchen. Diese Leptoquarks befinden sich im Gleichgewicht mit der Strahlung. Inflation (T = K; E = GeV ; t = s) Während der Inflationsphase dehnt sich das Universum um einen Faktor von ca aus. Diese Ausdehnung erfolgt in einer extrem kurzen Zeitspanne mit Überlichtgeschwindigkeit. Dies steht jedoch nicht im Gegensatz zur Relativitätstheorie, denn diese verbietet nur, dass sich etwas in der Raumzeit schneller als das Licht bewegt, nicht aber, dass sich die Raumzeit selbst mit Überlichtgeschwindigkeit ausdehnt. Baryogenese (T = K; E = GeV ; t = s) Ungefähr zur selben Zeit wie die Inflation, zerfällt die GUT-Kraft in die starke und die elektroschwache Kraft. Es gibt also jetzt drei Grundkräfte. Die Leptoquarks X und Y und deren Antiteilchen zerfallen nun in Leptonen und Quarks. Hierbei gibt es für jedes Teilchen verschiedene Zerfallsmöglichkeiten. Als Beispiel betrachten wir hier die Zerfälle von X: Das X-Boson kann in zwei up-quarks oder in ein Antidown-Quark und ein Positron zerfallen, also sowohl in Teilchen, als auch in Antiteilchen. Man vermutet, dass diese beiden Zerfälle nicht exakt gleich wahrscheinlich waren, um den Materieüberschuss im Universum zu erklären. Gäbe es exakt gleich viel Materie wie Antimaterie, so müsste es, da das uns bekannte Universum ausschließlich aus Materie besteht, auch Bereiche geben, die aus Antimaterie bestehen. An den Grenzflächen müsste also Annihilationsstrahlung entstehen, die bis jetzt aber nicht gemessen werden konnte. Daher geht man davon aus, dass während der Baryogenese ein kleiner Überschuss an Materie entstanden sein muss. 7

8 Quark-Ära (T = K; E = GeV ; t = s) Die X- und Y-Bosonen sind nun alle in Leptonen und Quarks zerfallen. Die Energie ist aber noch zu hoch, um Hadronen zu bilden. Quarks und Gluonen existieren als freie Teilchen. Man spricht von einem Quark- Gluonen-Plasma. Die Teilchen treffen ständig auf ihre Antiteilchen, werden vernichtet und aus der Strahlung wieder erzeugt. Etwas später, ungefähr s nach dem Urknall, bei einer Temperatur von K spaltet die elektroschwache Kraft in schwache und elektromagnetische Kraft auf: Ab jetzt gibt es also alle vier bekannten Grundkräfte. Hadronen-Ära (T = K; E = 1GeV ; t = 10 6 s) Bei Energien der Größenordnung 1GeV können keine freien Quarks mehr existieren. Die Quarks und Gluonen schließen sich also zu Hadronen zusammen. Mit abnehmender Energie zerfallen schwere Hadronen in leichte Hadronen, wie zum Beispiel Protonen und Neutronen und deren Antiteilchen. Auch diese Teilchen werden ständig durch Stöße mit ihren Antiteilchen vernichtet und aus der Strahlung wieder erzeugt, bis die Energie nicht mehr zur Erzeugung ausreicht. Schließlich werden alle Hadronen vernichtet, bis auf den kleinen, während der Baryogenese erzeugten Materieüberschuss. Leptonen-Ära (T = K; E = 100MeV ; t = 10 4 s) Nachdem die Hadronen größtenteils vernichtet sind, wird das Universum nun von Leptonen, wie Elektronen, Positronen und Neutrinos und natürlich von Photonen dominiert. Zu Beginn sind der Leptonen- Ära sind all diese Teilchen im Gleichgewicht. Mit abnehmender Dichte entkoppeln jedoch die Neutrinos und wechselwirken ab jetzt nicht mehr mit den anderen Teilchen. Elektronen und Positronen werden ständig erzeugt und vernichten sich dann wieder, bis die Energie unter 1MeV (Ruhemasse von e + Ruhemasse von e + ) fällt und somit keine Erzeugung mehr stattfinden kann. Die Protonen und Neutronen, die aus der Hadronen-Ära übrig geblieben sind, wandeln sich zunächst ständig ineinander um. Da jedoch das Proton etwas leichter ist als das Neutron, zerfallen mit abnehmender Energie mehr Neutronen in Protonen als umgekehrt. Schließlich wird ein Verhältnis von etwa 1:6 erreicht. Nukleosynthese (T = 10 9 K; E = 100keV ; t = 10s) Etwa 10 Sekunden nach dem Urknall beginnt die Nukleosynthese, das heißt Protonen und Neutronen fügen sich zu Nukleonen zusammen. Zunächst entstehen Deuteriumkerne, die aus einem Proton und einem Neutron bestehen. Diese werden jedoch durch Stöße mit Photonen sogleich wieder in ihre Bestandteile zerlegt. Es herrscht eine Zeit lang ein Gleichgewicht zwischen Protonen, Neutronen und Deuteriumkernen. Mit abnehmender Temperatur reicht jedoch die Photonenenergie nicht mehr aus, um die Deuteriumkerne aufzuspalten, sodass diese stabil werden und und sich mit weiteren Protonen und Neutronen zu schwereren Kernen verbinden können. 8

9 Ungefähr eine halbe Stunde nach dem Urknall ist die Nukleosynthese beendet. Die Temperatur beträgt noch 10 8 K. Die Materie beseht nun aus ca. 75% Wasserstoffkernen ( 1 H), knapp 25% Heliumkernen ( 4 He), 0,001% Deuteriumkernen ( 2 H) und Spuren von Lithiumkernen ( 7 Li). Sämtliche Neutronen sind in Kernen gebunden. Schwerere Elemente entstehen erst viel später in Sternen. Ende der Strahlungsära / Beginn der Materieära (T = 15000K; t = 10000J.) Da die Energiedichte der Strahlung (ɛ S S 4 ) mit zunehmender Expansion schneller abfällt als die Energiedichte der Materie (ɛ m S 3 ), kommt es irgendwann zu einem Punkt, an dem die Energiedichte der Strahlung unter die Energiedichte der Materie fällt. Dies ist nach ca Jahren der Fall. Wurde das Universum bisher von der Strahlung dominiert, so übernimmt jetzt die Materie die Dominanz. Rekombination (T = 2980K; t = J.) Nach Jahren kommt es zur Atombildung. Die in der Nukleosynthese entstandenen Kerne und die bisher freien Elektronen vereinigen sich nun zu Atomen. Bisher konnten die Photonen, die die Teilchen der elektromagnetischen Kraft darstellen, mit den geladenen Elektronen und Kernen wechselwirken. Nun sind jedoch keine geladenen Teilchen mehr vorhanden: die Photonen haben keine Stoßpartner mehr und bewegen sich frei im Raum. Man spricht von der Entkopplung der Strahlung. Diese Strahlung ist heute noch als kosmische Hintergrundstrahlung messbar. Heute (T = 2, 7K; t = 13, J.) Die kosmische Hintergrundstrahlung, die während der Rekombinationsphase entstanden ist, kann noch heute gemessen werden. Sie weist ein nahezu perfektes Schwarzkörperspektrum auf. Dem Wellenlängenmaximum kann nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz λ max T = const. eine Temperatur von 2,7K zugeordnet werden. Aus detaillierten Messungen der Hintergrundstrahlung kann man heute Rückschlüsse auf die Entwicklung des Universums ziehen. Zukunft Die weitere Entwicklung des Universums hängt von seiner Dichte ab. Da diese Dichte nicht exakt bekannt ist, ergeben sich drei Möglichkeiten: Ist die Dichte des Universums größer als eine gewisse kritische Dichte, so wird sich das Universum zunächst weiter ausdehnen. Diese Expansion wird jedoch immer langsamer voran schreiten und sich schließlich wieder umkehren: das Universum würde sich wieder zusammen ziehen und all die hier beschriebenen Phasen würden rückwärts ablaufen bis zum sogenannten big crunch. Ist die Dichte des Universums kleiner als die kritische Dichte, so wird sich das Universum ewig weiter ausdehnen. Die Temperatur würde gegen null konvergieren: Man spricht vom Kältetod des Universums. Momentan geht man davon aus, das dies das Schicksal des Universums sein wird; man beobachtet sogar eine beschleunigte Expansion. 9

10 Die letzte Möglichkeit ist schließlich, dass die Dichte des Universums genau der kritischen Dichte entspricht. Auch hier würde das Universum sich ewig weiter ausdehnen, allerdings nicht bis ins Unendliche, sondern die Expansion würde gegen eine bestimmte Größe konvergieren. Auch in diesem Fall würde das Universum den Kältetod erleiden. 4 Quellenangaben Steven Weinberg, Die ersten drei Minuten, Piper, München 1977 Prof. Dr. W. de Boer, Einführung in die Kosmologie, Skript zur Vorlesung Kosmologie Abbildung 1: 10