Weiterhin ist der tatsächliche Radius des Universums unbekannt, so dass keine Bezugsgröße bezüglich Längen vorhanden ist.

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1 DIE EMPERAURENWICKLUNG DE UNIVERUM 1. Kosologische Grundlagen 1.1. Der kosische kalenfaktor (t) Aufgrund der Hubble-Expansion, die ja bekanntlich eine der wichtigeren äulen des Big-Bang- Modells ist, dehnt sich das Universu bezüglich Rau und Zeit aus. Daher sind natürlich auch sätliche Abstände r(t), Voluina V(t) und dait auch Dichten (t) zeitabhängig, denn V t r t und 1/ V 1/ r. Weiterhin ist der tatsächliche Radius des Universus unbekannt, so dass keine Bezugsgröße bezüglich Längen vorhanden ist. Daher führt an die diensionslose Größe des kalenfaktors (t), der die relative Expansion des Universus angibt, wie folgt ein: da r V t, r V t r t und da 1/ V 1/ r V Dabei sind die Größen r, V, und auf die heutige Zeit t t bezogen. Der kalenfaktor zur heutigen Zeit ist der Einfachheit auf 1 festgelegt, so dass also gilt: r, V und Weiterhin folgt aus de Hubble-Gesetz v H d it der Einführung des kalenfaktors (t) die t H t t Definition des Hubble-Paraeters H(t): H oit gibt der Hubble-Paraeter H(t) also die zeitliche Änderung des kalenfaktors relativ zu kalenfaktor selbst an und ist daher eine Art Expansionsrate. Außerde kann an auch die Rotverschiebung it Hilfe des kalenfaktors (t) wie folgt ausdrücken: z + 1 λ Epfänger / λquelle / da das Licht der Wellenlänge λ Epfänger zur heutigen Zeit t t geessen wird und dait it de kalenfaktor (ebenfalls bezogen auf die heutige Zeit t t ) skaliert. Analog wird natürlich Licht der Wellenlänge λ Quelle von einer bestiten Galaxie zu Zeitpunkt t ausgesendet, so dass diese dann it de kalenfaktor (t) zu Zeitpunkt t skaliert. Also: 1.. Die Friedann-Leaître-Gleichungen z + 1 t Diese beschreiben die Evolution und Dynaik des Universus und achen daher auch Voraussagen öglich über dessen Expansion oder Kontraktion. ie stellen also eine Art Bewegungsgleichungen dar. Die Friedann-Leaître-Gleichungen folgen durch Anwendung des Kosologischen Prinzips ( Das Universu ist hoogen und isotrop.) aus den Feldgleichungen der Allgeeinen Relativitätstheorie. ie lauten: 1 Hauptseinar: Der Urknall und seine eilchen --- Verfasser: Johannes chwarz --- eite 1 von 5

2 k H G ( + + ) π p Gπ c Dabei beschreibt (t) die trahlungsdichte, (t) die Materiedichte, die zeitlich konstante Dichte der Vakuusenergie, k die Krüung und p(t) den Druck. Die zweite Friedann-Leaître- Gleichung erhält an durch zeitliche Ableitung der ersten (siehe Vorlesung Kosologie ).. Vergleich zwischen strahlungs- und ateriedoinierter Ära trahlungsdoinierte Ära (trahlung und relativistische Materie) Materiedoinierte Ära (Nicht-relativistische Materie) a) Adiabatische Expansion Das Universu kann beschrieben werden als ideale Flüssigkeit bestehend aus i therischen Gleichgewicht liegenden Photonen und freien Eleentarteilchen. Universu expandiert adiabatisch. Mitbewegtes Voluen: V Energiedichte: E / V it E hν Erster Hauptsatz der herodynaik it Q (adiabatisch) und W -pdv (Expansion durch Voluenarbeit): de pdv Das Universu kann aufgrund seiner ittlerweile enoren Größe als hoogenes Universu beschrieben werden. Universu expandiert fast adiabatisch. Mitbewegtes Voluen: V Energiedichte: c aus E c bzw. V E / Erster Hauptsatz der herodynaik it Q (adiabatisch) und W -pdv (Expansion durch Voluenarbeit): de pdv b) Energiedichte bzgl. kalenfaktor E hν hc 1 V V V λ c c 1 V V und vergrößern sich bei einer Expansion. ändert sich bei einer Expansion nicht. oit fällt also u den Faktor -1 schneller ab als, d.h. it zunehender Expansion des Universus gilt nach ca. 1 Jahren:. Vor diese Zeitpunkt spricht an daher von der strahlungsdoinierten Ära, da während dieser die Gesatenergiedichte hauptsächlich durch trahlung bereitgestellt wurde. Nach diese Zeitpunkt spricht an schließlich von der ateriedoinierten Ära, da hier doiniert. Heute ist (noch) unbekannt aufgrund der Existenz von Dunkler Materie. Hauptseinar: Der Urknall und seine eilchen --- Verfasser: Johannes chwarz --- eite von 5

3 c) eperatur bzgl. kalenfaktor Aufgrund des therischen Gleichgewichts zwischen den Photonen und den freien Eleentarteilchen stellen die Photonen einen idealen schwarzen trahler dar. Für diesen gelten u.a. das Plancksche trahlungsgesetz, das Wiensche Verschiebungsgesetz und das tefan- Boltzann-Gesetz. I Einheitsvoluen und de Frequenz-intervall (, +d) gilt für die Anzahl der Photonen it der Energie h nach de Planckschen trahlungsgesetz: π ν dν n ( ν ) dν hν / k c e 1 Integriert an diese über alle Frequenzen, so erhält an die Anzahldichte N : N n k hc ( ν ) dν, π N Für die Gesatenergiedichte gilt analog das tefan-boltzann-gesetz: a π 5 h ν n ( ν ) dν 15 Bekannt aus b): k ( hc) a 1 Die Ruheasse nicht-relativistischer Materie- eilchen darf nicht vernachlässigt werden. oit gilt für deren Energie und deren Druck geäß der Zustandsgleichung: E c + p c und p kin Die Bewegung von N eilchen i Voluen V bei der eperatur verursacht folgenden Druck (it der eilchendichte n N / V ): p nk Also gilt für die Energiedichte V : + ruhe kin nc E / + p nc + nk etzt an diese in den ersten Hauptsatz für eine adiabatische Expansion ein, dann gilt: de d( V ) dnc V + nkv! c d( nv ) + kd ( nv ) pdv nk Also: c d nv + k d nv + nvd nk dv [ ] dv Mit der Näherung der eilchenzahlerhaltung! dn d nv und V gilt dann: d d( ) Diese lineare DGL 1. Ordnung ist lösbar it Hilfe der rennung der Veränderlichen. Man erhält schließlich: Bekannt aus b): Die eperatur nicht-relativistischer Materie zeigt also eine andere Abhängigkeit vo kalenfaktor als die eperatur der trahlung bzw. relativistischer eilchen. oit kühlt sich bei der Expansion des Universus nicht-relativistische Materie auch schneller ab als trahlung. Kalte Materie und heiße trahlung liegen daher bezüglich kosischer Zeiträue nieals i therischen Gleichgewicht. Daher ist auch eine getrennte Herleitung von und erlaubt. Für hohe eperaturen doiniert zude i Gegensatz zu, weshalb zu Beginn des Universus bei hohen eperaturen doiniert. Man spricht daher von der strahlungsdoinierten Ära. / Hauptseinar: Der Urknall und seine eilchen --- Verfasser: Johannes chwarz --- eite von 5

4 d) Die erste Friedann-Leaître-Gleichung Für die strahlungsdoinierte Ära gilt it der bekannten Konstanten a aus de tefan- Boltzann-Gesetz: a >>,, k c c Dait gilt für die erste F.L.-Gleichung: a H t G π c Für die ateriedoinierte Ära gilt it der Proportionalitätskonstanten b: b >>,, k c Dait gilt für die erste F.L.-Gleichung: b H t G π e) Zeitabhängigkeit der Proportionalitäten 1 Bekannt aus c): b it der Proportionalitätskonst. b Das Differential davon lautet: 1 b b d bd d d d b d d d d b Die Multiplikation it 1/dt davon ergibt: d d H dt dt Dies kann an nun in die erste F.L.-Gleichung für die strahlungsdoinierte Ära (siehe d)) einsetzen und erhält: a H Gπ c Gπa c Diese lineare DGL 1. Ordnung ist lösbar it Hilfe der rennung der Veränderlichen. Man erhält schließlich: Es gilt also: c 1 Gπa t 1 1/ 1,5 1 K 1s t Die erste F.L.-Gleichung für die ateriedoinierte Ära (siehe d)) ist eine lineare DGL 1. Ordnung, die it Hilfe der rennung der Veränderlichen wie folgt lösbar ist: b H t Gπ t 1 t d dt 1/ d / 1 dt t t / Leider ist die Proportionalitätskonstante b nicht / bekannt, aber es gilt trotzde: Weiterhin folgt it - / und... aus c) - aus b) / Weiterhin folgt it 1/ und aus c) aus b) 1/ Hauptseinar: Der Urknall und seine eilchen --- Verfasser: Johannes chwarz --- eite von 5

5 Das Universu expandiert also während der strahlungsdoinierten Ära proportional zu t 1/, da 1/, und während der ateriedoinierten Ära entsprechend proportional zu t /, da /. Die Voraussetzungen dafür waren allerdings, dass eine hoogene Verteilung vorliegt, die jeweilige Materiefor doiniert und die beiden Ären jeweils getrennt betrachtet wurden. Außerde fällt auf, dass in beiden Ären die jeweiligen Energiedichten und quadratisch it der Zeit abfallen trotz verschieden schneller Expansion. Allerdings uss beachtet werden, dass die obigen Proportionalitäten nur dann gelten, wenn trahlung und nicht-relativistische Materie getrennt voneinander betrachtet werden und jeweils die doinierende Materiefor ist. Weiterhin fällt auf, dass die eperatur der trahlung eine andere zeitliche Abhängigkeit aufweist als die eperatur der nichtrelativistischen Materie, denn fällt zeitlich langsaer ab als. Daher ist i nebenstehenden chaubild auch ein Knick des logarithisch aufgetragenen zeitlichen eperaturverlaufs zu erkennen. Klar zu erkennen ist auch: li t, li und li t t. Die Phasen des Universus t Phase Zeit t und E tichworte (Kräfte, Eigenschaften, ) Planck-Ära t E Urkraft, ingularität, Rau und Zeit bilden kein Kontinuu, Quantengravitation erforderlich GU-Ära t 1 - s 1 K E 1 19 GeV Gravitation & GU, X- und Y-Bosonen als rägerteilchen der GU, Dichte: 1 9 g/c³ Inflation & Baryogenese t 1-6 s 1 7 K E 1 1 GeV Gravitation & starke & elektroschwache Kraft, spontane yetriebrechung, überlichtschnelle Expansion, therisches Gleichgewicht, Quarks-Ära t 1 - s 1 5 K E 1 1 GeV Hadronen- Ära t 1-6 s 1 1 K E 1GeV Leptonen-Ära (Beginn) t 1 - s 1 1 K E,1GeV Leptonen-Ära t 1s 1 1 K (Ende) E 1MeV Priordiale t 1-1s 1 9 K Nukleosynthese E,1MeV Ende der t 1y K str.do. Ära E ev Entkopplung t y K der trahlung E,eV Heute t 1,6Mrd.y,7 K E,eV Asyetrie zwischen Materie und Antiaterie keine X- und Y-Bosonen ehr, Leptonen und Quarks, Quark-Antiquark-Gluonen-Plasa, nach t 1-1 s und bei 1 16 K: vier Naturkräfte Quarks bilden schweren Hadronen, it abnehender zerfallen diese in n und p (1:5) und deren Antiteilchen, dadurch entstehen viele Neutrinos viele,, e -, e + aus p-n-reaktionen, Paarvernichtungen, Leptogenese, Neutrinos entkoppeln p-n-reaktionen frieren aus n:p 1:6, Neutrinos vollständig entkoppelt Freeze-Out Neutronenzerfall n:p 1:7, p und n bilden erste Atokerne, Fusionsgrenzen: Photodesintegration & Coulobwall, Ende nach in Begründung: siehe.b), Ruheenergie der Materie übersteigt jetzt die Energie der trahlung Kerne fangen freie Elektronen ein, Rekobination Licht, Universu wird durchsichtig Entkopplung der trahlung als Hintergrundstrahlung (CMB) beobachtbar, Rotverschiebung Hauptseinar: Der Urknall und seine eilchen --- Verfasser: Johannes chwarz --- eite 5 von 5

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