Spieltheorie Vorlesungsskrip

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1 Spieltheorie Vorlesungsskrip Peter Ockenfels Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt Wirtschaftstheorie 2. November 25

2 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung 3 2 Spiele in Normalform 5 2. Grundbegriffe Bekannte Beispiele Spiele in extensiver Form 2 3. Grundlagen Spiele mit vollkommener Erinnerung und der Satz von Kuhn Spiele mit unvollständiger Information Teilspielperfektheit Beispiele für extensive Spiele mit vollständiger Information Perfektheit Sequenzielle Gleichgewichte Grundzüge eine Gleichgewichtsauswahltheorie für 2 2-Spiele Auszahlungdominanz Risikodominanz

3 Vorbemerkung Ein Spielthoeretiker muß kein erfolgreicher Spieler sein. In aller Regel sind auch erfolgreiche Spieler keine Spieltheoretiker. Schachspieler, Entscheidungsträger in Wirtschaft und Politik, die mehr oder weniger ihr Geschäft beherrschen, d.h. erfolgreich in Turnieren spielen oder erfolgreich eine Firma führen, haben in Normalfall keine spieltheoretischen Kenntnisse. Auch ist es nicht offensichtlich, dass spielthoeretisches Wissen zu wesentlich besseren Erfolgen im Spiel, oder im Geschäftsleben verhilft. Wozu also Spieltheorie? Spieltheorie ist die Logik des rationalen Entscheidens in sozialen Situationen des Konflikts oder der Kooperation. Es ist eine formale Theorie. Es werden mathematische Strukturen untersucht. Nicht das Entscheiden in der realen Welt von realen Menschen ist unmittelbarer Gegenstand der Theorie, sondern es werden Modelle von der Welt und auch Modelle von Entscheidungsträgern betrachtet. Eine direkte Erklärung des realen Entscheidens ist so noch nicht möglich. Zumindest muß noch der Zusammenhang von Realität und Modell überprüft werden. Eine direkte Übertragung und Anwendung der spieltheoretischen Ergebnisse in realen Entscheidungssituationen ist also nicht möglich. Wichtig ist eine Theorie aber auch, wenn sie ein konsistentes System von Begriffen und Methoden entwickelt, welches dann als Scheinwerfer dient um die Realität zu durchleuchten. Mit Hilfe einer widerspruchsfreien, logisch konsistenten Theorie läßt sich Realität strukturieren, ein wesentlicher Schritt für eine empirisch fundierte Theorie des menschlichen Entscheidungsprozesses. Die Spieltheorie, wie sie bis heute entwickelt wurde geht von dem Modell des homo oeconomicus aus. Dies ist ein Entscheider mit einer konsistenten Präferenzrelation (speziell werden in spieltheoretischen Modellen Nutzenfunktionen von Neumann-Morgenstern-Typ angenommen, die auch die Risikoeinstellung des Entscheiders abbilden). Damit ist die Spieltheorie in meinen Augen noch weit davon entfernt eine positive Theorie zu sein, also eine Theorie die das empirisch beobachtet Entscheidungsverhalten von Menschen erklärt. Vielfach wird im Anschluß an die neoklassiche Mikroökonomie behauptet, dass die logisch formal entwickelte Theorie auch eine positive Theorie sei. Eine empirische Überprüfung sei nicht notwendig, bzw. sei aufgrund des nicht beobachtbaren Präferenzrelation nicht möglich. Trotz allem hat sich ein expandierender Zweig innerhalb der Wirtschaftswissenschaften herausgebildet, der kritisch die logischen Aussagen auf ihre empirische Aussagekraft überprüft. Die experimentelle Wirtschaftsforschung 3

4 hat sich dies zu Aufgabe gestellt. Als eine inderdizipiläre Methode macht sie sich psychologische Instrumente, Fragestellungen und Theorien zu eigen. In kontrollierten Situationen, Experimenten, werden spieltheoretische (und auch andere wirtschafttheoretische) Aussagen überprüft und explorative Erklärungsmuster gefunden. Die klassische (formale) Spieltheorie beginnt sich dabei auszuweiten. Abweichungen des tatsächlichen Verhaltens vom spieltheoretisch vorhergesagten werden als Modifikationen oder Einschränkungen des homo oeconomicus- Modell interpretiert. Dabei lassen sich wenigstens drei Richtungen unterscheiden. Arbeiten, die die Nutzenfunktion modifizieren um insbesondere das Wahlverhalten in Risikosituationen besser zu erklären (bekannte Paradoxien wie von Allais oder von Ellsberg zeigen die empirische Unvollkommenheit der Standardnutzenkonzeption). Arbeiten, die den Spieler als eine Entscheidungsmaschine mit beschränkter Speicher- und Verarbeitungskapazität betrachten. Arbeiten, die bestimmte Informationsannahmen, die in der Spieltheorie voraussetzt werden, hinterfragen. Hier ist insbesondere die Common Knowledge-Annahme zu nennen. Arbeiten, die die Existenz einer Nutzenfunktion und das individuellen Optimierens problematisieren. Diese Basis bedarf einer kritischen empirischen Überprüfung, wenn sie für die Konstruktion einer umfassenden empirisch Entscheidungstheorie gelten sollen. Lerntheorien und Erkärungsmuster der Evolution gehen in diese Richtung. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich allerdings darauf, die formalen Grundlagen der Spieltheorie zu entwickeln. Dieser kurze skeptische Blick auf die Aussagekraft der formalen logischen Modell zu Anfang warnt allerdings den Leser vor zu gewagten Anwendungen der Ergebnisse auf das tatsächliche Leben. Die formale Theorie der Logik des Entscheidens ist ein erster und damit auch sehr wichtiger Schritt in eine positive empirische Theorie. Die Spieltheorie gliedert sich traditionell in eine kooperative und in eine nichtkooperative Theorie. Wesentliche Grundlage der kooperativen Theorie ist die exogen vorhandene Möglichkeit der Spieler bindende Verträge einzugehen. Besteht diese Möglichkeit werden rationale Spieler versuchen ein effizientes Ergebnis zu erzielen. Der Gegenstand der Theorie ist im wesentlichen dann die Erklärung für die Aufteilung des gemeinsamen Gewinns. Aufteilungsnormen haben eine bedeutende Rolle in der kooperativen Theorie. Fehlt 4

5 diese Möglichkeit oder ist die Vereinbarung von bindenden Vertägen zwischen den Spieler endogener Gegenstand des Modells so werden der individuellen Handlungsmöglichkeiten, die Informationsbedingungen und die individuellen Bewertung der Ergebnisse Gegenstand der Theorie. In der nichtkooperativen Theorie wird die Interaktion und die gegenseitige Abhängigkeit der Spieler explizit modelliert. Nicht die Möglichkeit der Absprache zwischen den Spielern ist das wesentliche Unterscheidungsmerkmal zwischen kooperativer und nichtkooperative Theorie, wie die Bezeichnung dies nahe legen würde, sondern die Existenz von Mechanismen die bindenden Absprachen zulassen. Diese Darstellung der Spieltheorie wird sich auf die nichtkooperative Theorie beschränken. In dem ersten Kapitel werden die wichtigsten Grundbegriffe der Spieltheorie entwickelt. In dem folgenden Kapitel wird dann das Grundmodell der nichtkooperativen Spieltheorie, die Spiele in Normalform, durch die Modellierundmöglichkeit der extensiven Spiele erweitert. Für diese Modelle wird dann auch das im ersten Kapitel entwickelte Lösungskonzept, der (Nash-) Gleichgewichtspunkt durch weitere Kriterien verschärft. 2 Spiele in Normalform Auf einer sehr abstrakten Ebenen haben viele Entscheidungen in Firmen, auf Märkten, in Politik und Verwaltung, aber auch im privaten Bereich sehr große Ähnlichkeit mit gesellschaftlichen (Glücks-) Spielen. Immer ist eine mehr oder weniger große Anzahl an Entscheidern mit unterschiedlichen persönlichen Interessen daran beteiligt. Das Ergebnis, welches sich letztendlich herausstellt, wird von diesen unterschiedlichen Entscheidungen beeinflußt, und in aller Regel wird es von den Beteiligten sehr unterschiedlich bewertet. Die Formalisierung diese Idee liefert das Konzept der Spiele in Normalform. 2. Grundbegriffe Ein Spiel in Normalform ist gegeben durch das Tripel Dabei bezeichnet: G = (N, S, U) N = {, 2,..., n} die Menge der Spieler. Dies sind die voneinander unabhängigen Entscheider in einer sozialen, d.h. n >, Konfliktsituation. Die Mengen der individuellen Entscheidungsalternativen ist durch S gegeben. S = S S 2... S n = n i=s i 5

6 Die Element von S i, die Entscheidungsalternativen, werden als Strategien s i,j des Spieler i bezeichnet S i = {s i,, s i,2,...s i,mi } Bei dieser Schreibweise wird unterstellt, dass die Menge der individuellen Alternativen S i endlich ist, d.h. m i <. Auf diese Annahme kann im allgemeinen verzichtet werden. Oft wird auch auf den Z ahlindex j =, 2,..., m i verzichtet. Ein Strategientupel ist ein Element von S, und wird mit s = (s, s 2,..., s n ) notiert. Die Auszahlungsfunktion U = (U, U 2,..., U n ) ist eine Abbildung, die jedem Strategientupel s einen individuellen Nutzen, d.h. eine reelle Zahl zuordnet. U i : S R (s, s 2,..., s n ) U i (s, s 2,..., s n ) Anmerkung: Diese Nutzenfunktion soll kardinal sein. Wird in einem gegebenen Strategientupel s = (s, s 2,..., s n ) die Strategie s i durch eine andere Strategie s i ersetzt, so wird dies häufig durch die folgende abkürzende Schreibweise dargestellt. (s, s 2,..., s i,..., s n ) = ( s i, s i ) Mit Ω(M) bezeichen wir die Menge alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen über einer Menge M. Definition Unter einer gemischten Strategie q i = (q i,, q i,2,..., q i,mi ) des Spielers i versteht man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der reinen Strategien q i Ω(S i ), d.h. für endliche Strategienmengen bezeichnet q i,j die Wahrscheinlichkeit mit der der Spieler i seine reine Strategie s i,j wählt. Oft wird auch die Notation q i (s i,j ) für q i,j gewählt. Da q i eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, gilt: m i q i,j =, und q i,j. j= Ein reine Strategie s i,j kann nun mit der gemischten Strategie q i, mit q i (s i,j ) =, identifiziert werden. Die reinen Strategien bilden somit eine Teilmenge aller gemischten Strategien. Die Menge aller gemischten Strategien 6

7 eines Spielers i bezeichnen wir mit Q i. Analog zu der Definition der reinen Strategienkombination ist q = (q, q 2,..., q n ) das n-tupel der gemischten Strategien, und Q die Menge aller solcher Kombinationen. Da die Auszahlungen U i (s) kardinale Nutzenfunktionen sind, ist es m oglich sie von der Menge der reinen Strategienkombinationen auf die Menge der gemischten fortzusetzen. Die Auszahlung des Spieler i für ein gemischte Strategienkombination q ist gegeben durch: U i (q) = s S q(s) U i (s) wobei n q(s) = q i (s i,j ) i= Die Aufgabe eines Spielers besteht in seiner Entscheidung eine unter seinen möglichen (gemischten) Strategien auszuwählen. Ein rationaler Entscheider wird nun die Strategie wählen, die für ihn den grösst möglichen Nutzen bringt. Damit steht aber er aber nun vor dem eigentlichen spieltheoretischen Problem. Sein Nutzen hängt nicht nur von seiner Entscheidung, sondern auch ganz wesentlich von den Entscheidungen der anderen Spieler ab. Er muss sich Erwartungen bilden über das Verhalten der anderen Spieler. Er kann sein Entscheidungsproblem nur lösen, wenn er das Entscheidungsproblem aller Spieler löst, denn nur dann kann er sich sinnvolle Erwartungen bilden über das Verhalten der anderen Spieler. Die Aufgabe eines Spielers besteht also darin eine Strategienkombination q Q unter allen möglichen Kombinationen zu bestimmen. Sie beschreibt sein Verhalten q i und seine Erwartungen über das Verhalten der anderen Spieler q i. Daraus folgt nun, dass die Kombinationen die die einzelnen Spieler wählen sich nicht unterscheiden dürfen. Alle müssen die gleiche Strategienkombination wählen. Diese bezeichnen wir als Lösung des Spiels. Die folgenden Untersuchungen stellen in gewisser Weise nichts anders dar als diese Lösung zu bestimmen, indem sie bestimmte Strategienkombinationen ausschlieen, oder nur Kombinationen mit bestimmten Eigenschaften als Kandidaten für die Lösung zulassen. An dieser Stelle soll auch betont werden, dass sich nicht alle Spieltheoretiker in diesem Vorgehen einig sind. Manche akzeptieren bestimmte Forderungen an die Lösung nicht, andere bezeichnen auch eine nicht einelementige Menge von Kandidaten als Lösung eines Spieles. Definition 2 Eine Strategie s i S i eines Spielers i heißt streng dominiert, wenn es eine andere (gemischte) Strategie q i für i gibt, so dass gilt: U i ( s i, s i ) < U i (q i, s i ) für alle s i S i 7

8 Die Strategie q i ist also gegenüber allen Verhaltensweisen der übrigen Spieler besser als s i. Es gibt also keinen rationalen Grund die dominiert Strategie s i zu wählen. Stattdessen sollte man q i spielen. Gilt die strenge Ungleichung nur für ein s i S i und ansonsten nur die Relation nicht schlechter ( ) so spricht man von dominierten Strategien. Wendet man diese Überlegung systematisch an, so erhält man eine erste Lösungsmethode. Sie lautet: Alle Spieler streichen unabhängig voneinander und gleichzeitig ihre streng dominierten Strategien aus ihren Strategienmengen. Existiert nun Common Kownledge über die Rationalität aller Spieler, d.h. alle wissen, dass alle wissen, das keiner eine dominierte Strategie wählt, so können sie diese Elimination ein weiteres Mal in dem reduzierten Spiel durchführen (d.h. sie streichen die dominierten Strategien im reduzierten Spiel. Beachte das sich nun die Definition der dominierten Strategie auf das reduzierte Spiel bezieht). Da dies auch wieder Common Kownledge ist, ist die Elimination ein drittes mal, ein viertes mal,..., durchzuführen, bis ein reduziertes Spiel entsteht, in dem kein Spieler noch über dominierte Strategien verfügt. Der Ausschluß von dominierten Strategien anderer Spieler kann gesehen werden als ein Ausschluß von Erwartungen über das Verhalten von anderen Spielern. Alle Strategienkombinationen des ursprünglichen Spiels, die diese Prozedur überstehen gelten für einige Spieltheoretiker als Lösung des Spiels. Für uns sollen sie aber nur Lösungskandidaten sein, d.h. wir wollen in diese Menge weiter nach Lösungen suchen. Definition 3 Eine Strategienkombination s heißt auszahlungsdominiert, falls es eine andere Kombination s gibt, so daß U i ( s) U i (s ) U i ( s) < U i (s ) für alle i N für mindestens ein i N gilt. Sie heißt streng auszahlungsdominiert, falls die strenge Ungleichung für alle Spieler gilt. Alle nicht auszahlungsdominierten Strategienkombinationen heißen effizient. Anmerkung: Zu Ehren des Ökonom Pareto werden die auszahlungsdominierten bzw. effizienten Strategienkombinationen auch Paretodominiert bzw. Paretoeffizienz genannt. In der nichtkooperativen Spieltheorie ist der Stellenwert von Effizienzargumenten für die Lösungskonzepte aber bei weitem nicht so bedeutend, wie in der kooperativen Spieltheorie oder in der mikroökonomischen Wohlfahrtstheorie. Definition 4 Ein (gemischte) Strategie q i Q i eines Spielers i heißt beste Antwort auf das (n )-Tupel q i wenn gilt: U i (q i, q i ) U i (q), für alle q i Q i 8

9 die Menge aller besten Antworten des Spielers i auf eine Strategienkombination q = (q i, q i ) wird mit B i (q) bezeichnet. Ein rationaler Spieler wird immer eine beste Antwort bezüglich seinen Erwartungen wählen. Daraus folgt, dass er niemals eine Strategie wählen wird, die nicht beste Antwort auf seine Erwartung ist. Damit lassen sich die Strategien aus seiner Strategienmenge ausschlieen, die auf keine Erwartung beste Antwort sind. Wenn es nun Common Knowledge ist, dass alle Spieler rationale Entscheider sind, lässt sich hier auch das Verfahren der wiederholten Elimination anwenden. Die Menge der Strategien q i die diesen Prozess der Eliminierung der Nie-Besten-Antworten übersteht heien rationalisierbare Strategien des Spielers i. Ein Strategientupel q heit rationalisierbar, wenn jede Komponente rationalisierbar ist. Da eine streng dominierte Strategie niemals beste Antwort sein kann, werden diese natürlich bei dem Eliminierungsprozess ausgeschlossen. Also sind die rationalisierbaren Strategien eine Teilmenge der Strategien, die den Prozess der Elimination von streng dominierten Strategien übersteht. Es stellt sich die Frage, ob es eine echte Teilmenge ist, d.h. existieren Strategien, die die den ersten Eliminations Prozess überstanden haben aber nicht rationalisierbar sind? Für Zwei-Personen-Spiele kann dies verneint werden. Hier führen beide Prozesse zum gleichen Ergebnis. Im allgemeinen muss dies aber nicht gelten. Ein Beweis für diese Behauptungen soll aber hier nicht geführt werden. Das Konzept der rationalisierbaren Strategien wurde in die Literatur gleichzeitig und unabhänig voneinander von Bernheim und Pearce eingeführt. Eng mit diesem Konzept verwandt ist der Prozess der Elimination von inferioren Strategien, der auf Harsanyi und Selten zurückreicht. Definition 5 Die Menge der gemischten Strategientupel q = (q i.q i ) für die q i beste Antwort auf das (n-)-tupel q i ist heißt der Stabilitätsbereich der Strategie q i, und wird mit SB(q i ) bezeichnet. Eine reine Srategie s i des Spieler i heißt inferior, wenn es für i eine andere Strategie s i gibt, so dass gilt: (SB( s i ) SB(s i) und nicht SB(s i) SB( s i )) oder: (SB( s i ) = SB(s i) und (s i dominiert s i )) Anmerkung: Eine inferiore Strategie sollte von einem rationalen Spieler nicht gewählt werden, da er definitonsgemäß über eine andere Strategie verfügt, die für ihn immer dann auch beste Antwort ist, wenn die inferiore Strategie es ist, aber darüber noch hinaus auch auf andere Verhaltensweisen der Gegner beste Antwort ist. Deshalb ist es erforderlich das oben beschriebene Eliminationsverfahren für dominierte Strategien auch auf die inferioren 9

10 Strategien auszudehnen. Die Strategien, die beim Prozess der Rationalisierbarkeit heraus fallen, sind die inferioren Strategien, deren Stabilitätsbereich leer ist. Somit ist die Menge der Strategien, die den Eliminationsprozess der inferioren Strategien überlebt im Zweifelsfall noch kleiner. Die nun folgende Definition ist die wohl wichtigste in der nichtkooperativen Spieltheorie und aus meiner Sicht auch die wichtigste in den normativen Sozialwissenschaften. Definition 6 Ein Strategientupel q = (q, q2,..., qn) heißt Gleichgewichtspunkt, wenn qi beste Antwort auf q i für alle i N ist, d.h. U i (q ) U i (q i, q i), für alle q i Q i und für alle i N. Anmerkung: Ein GP ist eine sich selbst stabilisierendes Verhalten. Kein Spieler hat einen Anreiz von einer Verhaltensempfehlung, die ein GP q ist, abzuweichen. Immer, wenn i glaubt, dass die anderen sich gemäß dem GP entscheiden werden, d.h. i erwartet, dass die anderen Spieler gemäß q i entscheiden, besteht für ihn kein Grund nicht seine beste Antwort q i zu wählen. Wir wollen für die Lösung eines Spiels fordern, dass sie ein GP ist. Würden wir annehmen, dass eine Strategienkombination, die kein GP ein Lösung des Spiels wäre, so gäbe es definitionsgemäß einen Spieler j, der einen Abweichungsanreiz besitz. Eine solche Kombination ist in der Erwartung der Spieler nicht stabil. Sie zerstört sich also selbst, und kann daher keine Lösung des Spiels sein. Gilt anstelle der schwachen Ungleichung die strikte Größerrelation, so heißt der Gleichgwichtspunkt strikt. Mit Hilfe des Begriffs der beste Antwort läßt sich die Definition des GP auch noch auf eine andere Weise formulieren: q ist GP genau dann wenn q B i (q ) für alle i N. Nash konnte das folgende Theorem über die Existenz von GP beweisen (siehe [Nas5]). Daher wird auch oft die Bezeichnung Nash-Gleichgewicht statt GP gewählt. Theorem Jedes endlich Spiel in Normalform hat mindestens einen Gleichgewichtspunkt. Anmerkung: Die Anzahl der GP ist im allgemeinen ungerade und besteht auch aus gemischten Strategien. Der Existenzbeweis beruht im wesentlichen auf dem Fixpunktsatz von Kakutani, einer Verallgemeinerung des Brouerschen Fixpunktsatzes. Der besagt, dass jede stetige Abbildung einer kompakten Menge auf sich selbst einen Fixpunkt hat. Es wird also eine stetige Abbildung mit Hilfe der besten Antwortbedingung konstruiert, die die Menge der Strategienkombinationen S auf sich selbst abbildet. Die Fixpunkte dieser Abbildung sind die GP.

11 Definition 7 Der Träger einer gemischten Strategie bezeichnet die Menge der reinen Strategien, die mit positiver Wahrscheinlichkeit gewählt werden: T (q i ) = {s i,k S i : q i (s i,k ) > } Gleichgewichtspunkte in gemischten Strategien sind nie strikt. Es lsst sich zeigen, dass für jeden Spieler die Auszahlungserwartung sich nicht ndert, wenn er von seiner gemischten Strategie abweicht, solange (a) die anderen Spieler bei Ihren gemischten Gleichgewichtsstrategien bleiben, und (b) er selbst nur nur solche Strategien whlt, die er auch bei seiner Gleichgewichtsstrategie mit positiver Wahrscheinlich whlt. Er kann also innerhalb des Trgers der gemischten Strategie beliebig die Wahrscheinlichkeiten verteilen ohne, dass sich seien Auszahlung verndert. Das folgende Theorem ist die exakte Formulierung für diesen Sachverhalt. Theorem 2 Sei q i B i (q) dann und genau dann gilt: wenn U i (s i,k, q i ) < U i (s i,l, q i ), dann q i (s i,k ) = für alle s i,k, s i,l S i Beweis: Zuerst zeigen wir die umgekehrte Richtung, d.h. aus der zweiten Aussage folgt die erste. Angenommen q i (s i,k ) >. Dann gilt offensichtlich q i (s i,k ) U i (s i,k, q i ) + ( q i (s i,k )) U i (s i,l, q i ) < U i (s i,l, q i ). Das ist aber ein Widerspruch zu der Eigenschaft, dass q i beste Antwort ist. Folglich ist diese Richtung des Theorems richtig. Umgekehrt folgt aus der Bedingung der besten Anwort für q i, dass s i,k mit der Wahrscheinlichkeit gwählt werden muß, da sonst sich die erwartete Auszahlung verringern würde. Anmerkung: Aus dieser Aussage folgt sofort die Behauptung: Die Auszahlung des i ist konstant für alle seine reinen Strategien, die zum Träger der besten Antwort q i gehören. Dies kann benutzt werden um GP in reinen Strategien zu berechnen. Siehe hierzu den folgenden Übungsteil. wird als Maximin-Strategie be- Definition 8 Eine gemischte Strategie qi zeichnet, wenn für sie gilt: U i (q i, q i ) = max {min {U i (q i, q i ) : für alle q i Q i } : für alle q i Q i } Anmerkung: wählt ein Spieler eine Maximin-Strategie, so ist er sicher, dass seine Auszahlung nicht kleiner als U i (q i, q i ) werden kann, gleichgültig welche Strategien seine Mitspieler auch wählen. Die Wahl einer Maximin- Strategie entspricht einem extrem risikoscheues Entscheidungsverhalten des Spielers. Eine Kombination von Maximin-Strategien q = (q, q 2,..., q n) ist eine rationale Lösung des Spiels für solch extreme risikoaverse Spieler. Im

12 Anfang der spieltheoretischen Forschung wurde dieses Konzept favorisiert. Allerdings sind solche Maximin-Strategien nur im Ausnahmefall auch (sich selbst stabilisierende) Gleichgewichtspunkte, d.h. es gilt nur unter besonderen Bedingungen qi B i (q ). Ein Spieler, der also erwartet, dass seine Gegner Maximin-Strategien wählen, kann sich in den meisten Fällen verbessern wenn er von qi zu qi B i (q ) abweicht. Heute hat das Konzept der Maximin- Strategien nur noch eine geringe Bedeutung für die Spieltheorie. Sie werden noch benutzt im Rahmen der Theorie der (unendlich) wiederholten Spiele. 2.2 Bekannte Beispiele Im folgenden sollen einige in der Literatur bekannte Spiele vorgestellt werden. Für 2-Personen-Spiele hat sich eine besondere Darstellungsform, die Bimatrix, als besonders übersichtlich erwiesen. Bei dieser Form sind die n Zeilen die Strategien des Spieler und die m Spalten die Strategien des Spieler 2. In das Tabellenfeld k, l der Matrix werden die Auszahlungen der beiden Spieler eingetragen, die sie erhalten, wenn Spieler die Strategie s,k und Spieler 2 die Strategie s 2,l wählt Gefangendilemma Das bekannteste Spiel ist wohl das Gefangendilemma. In seiner Grundform hat jeder der beiden Spieler zwei Strategien, die häufig mit C i (für Cooperation) und D i (für Defection) bezeichnet werden. C 2 D 2 b C a a D b Abbildung : Gefangendilemma, a >, > b. Ein Analyse zeigt sofort, dass C i für beide Spieler eine streng dominierte Strategie ist, weil < a und b <. Weiterhin ist auch D = (D, D 2 ) ein strikter GP. Es gibt also keinen Grund D nicht als die eindeutige Lösung des Spiels zu akzeptieren. Bitter ist allerdings, dass diese Lösung auszahlungsdominiert wird von der Strategienkombination C = (C, C 2 ). Beide Spieler 2

13 könnten sich verbessern, wenn sie gemeinsam ihre Strategie wechseln würden. Die Gleichgewichtslösung ist nicht effizient. Dies hat zu viele Diskussionen unter Spieltheoretikern geführt, und es wurden immer wieder Argumente aufgeführt, die versuchten C als Lösung des Spiels zu rechtfertigen. Individuelle Rationalität und voneinander unabhängige Entscheidungträger als die Grundannahmen der kooperativen Spieltheorie lassen allerdings keinen berechtigten Zweifel entstehen, dass die Lösung D ist. Die Symmetrie des Spiels, d.h. man kann Spieler und 2 vertauschen, ohne das sich die Bimatrix ändert, hat auf die Grundstruktur des Gefangendilemma keinen Einfluß. Sie ist nicht notwendig Kampf der Geschlechter Die Dramaturgie des Namens lenkt von der Struktur des Spiels eher ab, als das sie erhellt. Tats achlich handelt es sich eher um ein Koordinationsspiel. X 2 Y 2 a X Y b Abbildung 2: Kampf der Geschlechter, a, b >. Das Spiel besitzt 2 strikte GP in reinen Strategien, X = (X, X 2 ) und Y = (Y, Y 2 ). Auch findet man noch einen GP in gemischten Strategien, (p, q) mit p = (p X, p X ), q = (q X, q X ) p X = b + b, und q X = + a Zur Berechnung des gemischten GP wird obiges Theorem genutzt. Es gilt somit, dass die Erwartungsauszahlung aller reinen Strategien, die zum Träger des gemischten GP gehören, gleich sind: U (X, q) = U (Y, q) und U 2 (p, X 2 ) = U 2 (p, Y ). Hieraus folgt nun: q X a = ( q X ) und p X = ( p X )b 3

14 Dieses Beispiel zeigt eine allgemeine Eigenschaft des gemischten Gleichgewichtspunktes. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Strategiemenge eines Spieler wird nicht von eigenen Auszahlungsparametern, sondern von denen der anderen Spieler bestimmt. Jeder Spieler muss im Gleichgewicht so mischen, dass die anderen indifferent sind zwischen Ihren reinen (Träger-) Strategien. Die Vielfalt der Gleichgewichtspunkte verhindert für diese Spiel eine einfache, d.h. eindeutige Empfehlung. Keine der beiden reinen Strategien kann als irrational ausgeschlossen werden. Um zu einer eindeutigen Verhaltensempfehlung zu gelangen ist eine Gleichgewichtsauswahltheorie notwendig, die in der Menge der GP genau einen GP als Lösung des Spiels auswählt. Auf eine solche Theorie wollen wir an dieser Stelle nicht weiter eingehen Knobeln Dieses bekannte Spiel l aßt sich als ein 2-Personen-Bimatrixspiel formalisieren, indem jeder der beiden Spieler zwischen den Strategien L i und R i w ahlen kann. L 2 R 2 L R Abbildung 3: Knobeln. Wie man sofort erkennt, existiert kein GP in reinen Strategien. Jedoch verfügt das Spiel über einen vollständig gemischten GP, indem beide Spieler gleichmssig zwischen ihren beiden Strategien randomisieren. Spiele, für die sich die Gewinne und Verluste der einzelnen Spieler ausgleichen, d.h. ( n i= U i (s) = für alle s S), heißen Nullsummenspiele. Knobeln fällt in dieses Klasse. Für diese Klasse von Spielen existieren hoch entwickelte mathematische Algorithmen zur Bestimmung der GP, die auf der Maxmin- Eigenschaft der GP beruhen. Darauf soll aber hier nicht weiter eingegangen werden, da die praktische Relevanz solcher Spiele doch sehr gering ist. 4

15 2.2.4 Taube-Falke-Spiel Dieses Spiel wurde von theoretischen Biologen modelliert. Damit sollten grundlegende Verhaltensmuster und Eigenschaften von Tieren, wie sie die Evolution hervorgebracht hat erklärt werden. Aus biologischen Sicht gibt es keine individuellen Spieler, die zwischen Strategien frei wählen können, sondern es wird untersucht wie sich Verhaltensprogramme (Gene) in einer Population ausbreiten. Bei dem Taube-Falke-Spiel wird angenommen, dass zwei Verhaltensprogramme auftreten. Das erste Programm (Falke) bewirkt, dass sein Träger agressiv um ein Territorium kämpft. Das zweite Programm (Taube) veranlaßt den Träger sich friedlich zu verhalten. Das einzelne Tier wählt nicht das Programm, sondern es folgt dem Muster, dass es in sich trägt. Tiere, die das erfolgreichere Programm besitzen, werden sich in der Population durchsetzen. Sie haben die größere Fitness und werden dieses Programm an mehr Nachkommen vererben, so dass sich dieses Programm langfristig in der Population durchsetzen wird. Zur Interpretation der Spieltheorie in der theoretischen Biologie siehe auch den Abschnitt über evolutionsstabile GP. Das Taube-Falke-Spiel hat die folgende Struktur: T F v 2 v T v 2 v c 2 F v v c 2 Abbildung 4: Taube-Falke-Spiel, < v < c. v ist der Wert des Territoriums und c sind die Kosten eines Kampfes, indem die Gefahr verletzt zu werden sehr groß ist, wenn beide agressiv kämpfen. In einer reinen Tauben -Population würde sich ein Falke sehr leicht durchsetzen, da diese Strategie dann aufgrund der erhöhten Fitness,v > v/2, sich durchsetzen würde Eine reine Falke -Population ist allerdings auch nicht stabil, da eine Taube hier eine höhere Fitness erlangen kann als ein Falke, ( v c <.) Die beiden reinen asymmetrischen GP, (T, F ) und (F, T ), 2 sind keine Lösungen, die die theoretische Biologie akzeptieren kann, denn dies würde ein bewusstes Entscheiden implizieren. Nur wenn es eine natürliche Asymmetrie zwischen den Tieren gibt, also z.b. zwischen dem Besitzer eines Territoriums und einem Eindringling, erscheinen auch solche asymmetrischen Gleichgewichte als plausibel. Als Lösung des Spiels können daher nur 5

16 symmetrische GP in Betracht kommen. Das Taube-Falke-Spiel besitzt genau einen symmetrischen GP. Dieser ist in gemischten Strategien zu finden. Dabei wird die Taube -Strategie mit der Wahrscheinlichkeit p T = c v c gewählt. Das heißt, in der Population werden beide Verhaltensprogramme nebeneinander existieren. Der Anteil von Tauben wird sich bei p T stabilisieren. Damit die Lösung langfristig stabil ist, ist außer der Gleichgewichtsbedingung noch eine zusätzliche Eigenschaft von der Lösung gefordert, auf die hier allerdings noch nicht eingegangen werden soll Verhandlungen mit Outside-Option Dieses einfache 2-Personen-Spiel, in dem jeder der beiden Parteien über drei reine Strategien verfügt, ist eine Erweiterung des Spiels Kampf der Geschlechter. X 2 Y 2 Z 2 a X d Y a d c c c Z d Abbildung 5: Verhandlung mit Outside Option, < a, < c, d < a. Beide Spieler verfügen über eine Strategie Z i, die ihnen die sichere Auszahlung c, bzw. d liefert. Das Spiel hat die reinen GP X = (X, X 2 ), Y = (Y, Y 2 ) und Z = (Z, Z 2 ). Um die Lösung nher zu bestimmen, müssen wir einige Fallunterscheidungen treffen. () Gilt die Bedingung c, d >, so dominiert Z die Strategie X und Z 2 die Strategie Y 2. Das reduzierte Spiel hat nur noch den Gleichgewichtspunkt Z. (2) Ist genau ein und nur einer der beiden Werte größer als, also z.b. < c < < d < a so wird im ersten Schritt X 2, und im zweiten Schritt dann X eliminiert. Das reduzierte Spiel besitzt zwei reine GP Y und Z und einen vollständig gemischten GP mit q (Y ) = d/a und q 2 (Y 2 ) = c. (3) Sind sowohl c als auch d kleiner als, so 6

17 Y 2 Z 2 Y a d c c Z d Abbildung 6: Reduziertes Verhandlungsspiel, mit < c < < d < a. existieren neben den drei reinen GP noch gemischte. Allerdings hängt die Struktur der GP, d.h. ob der Träger alle reinen oder nur eine Teilmenge der reinen Strategien umfaßt noch von den konkreten Auszahlungswerten ab. Für einen vollständig gemischten GP muß gelten: Daraus folgt:. q = q 2 a = d 2. q 2 a = q 22 = c 3. q + q 2 + q 3 = 4. q 2 + q 22 + q 23 = 5. q i,j > q = d q 2 = d/a q 3 = d d/a a > d/( d) für die Wahrscheinlichkeiten des Spieler 2 gelten die entsprechenden Werte. Ist die letzte Ungleichungsbedingung nicht erfüllt, so existieren nur unvollständig gemischte GP, die nach dem gleichen Verfahren berechnet werden können Heterogenes Oligopol In diesem Beispiel wird ein Spiel mit einer kontinuierlichen Strategiemenge betrachtet. Zwar gilt dann nicht mehr der Satz von Nash, aber es lassen sich analoge Theoreme beweisen. Sei also die Strategiemenge der n Spieler die Menge der nichtnegativen reelen Zahlen. Die Spieler wählen einen Preis p i R. Die Menge die jeder Anbieter dann absetzt bestimme sich gemäß der folgenden Preis-Absatzfunktion: x i (p) = max, α p i + p j n 7 j i

18 Die Kostenfunktion sei linear: K i (x i ) = k i + c i x i, mit k i, c i Die Gewinnfunktion (Auszahlungen) der Spieler berechnet sich gemäß: G i (p) = x i (p) (p i c i ) k i () Es läßt sich sehr einfach nachweisen dass diese Funktion in p i konkav ist. Zur Bestimmung des Gleichgewichtspunktes können wir deshalb das System der notwendigen Bedingungen für ein Maximum betrachten. Dies ist die direkte Anwendung der Definition des Gleichgewichtspunktes: Bestimme die beste Antwort zu einem gegeben Verhalten der anderen Anbieter. G i (p) p i = α 2p i + p j + c i = für alle i =, 2,..., n (2) n j i Addiert man alle n Gleichung auf, so erhält man: woraus folgt: 2 n j= p j n n n n p j = nα + c j (3) j= j= in: n + n n n p j = nα + c j (4) j= j= Die Summe p j ist also eine Konstante. Gleichung 2 läßt sich umformen 2n + p i = α + c i + n n n p j (5) j= Einsetzen und einige Umformungen ergibt dann die Lösung des Gleichungssystem: p i = n ( α + (n + )c i + n ) j= c j, für alle i =, 2,..., n (6) n + 2n + Sind die Kostenparameter für alle Anbieter gleich c, so vereinfacht sich die Gleichung zu: p i = n(α + c) n + (7) 8

19 Die Menge und der Gewinn eines Anbieters im Gleichgewicht berechnet sich dann zu: x i (p ) = nα c n + (8) ( ) nα c 2 G i (p ) = (9) n + Diese Methode das Marktgleichgewicht zu bestimmen läßt sich auch für kompliziertere Modell, in denen z.b. auch andere Marketinginstrumente, wie Werbung, Produktqualität usw. in die Analyse einbezogen sind, ausdehnen Auktionen Eine wichtige Marktform ist die Auktion. bei der ein Verkäufer mehreren Käufern gegenübersteht. In der ökonomischen Praxis haben sich viele verschiedene Regelsysteme für Auktionen herausgebildet. An dieser Stelle wollen wir eine einfache Höchstpreisauktion untersuchen. Es wird genau eine Einheit eines unteilbaren Gutes versteigert. Die n Bieter messen diesem Gut den Wert v i bei. Die Auktion unterliegt der Regel, dass alle Bieter gleichzeitig und unabhängig ihr Gebot b i abgeben. Den Zuschlag erhält der Bieter, der das höchste Gebot abgibt und er muß als Preis auch sein Gebot zahlen. Bei mehren gleichen Höchstgeboten wird per Los der Gewinner ermittelt. Die Auszahlung des Auktionsgewinners ist v i b i. Die Auszahlung der anderen Bieter ist. Wir wollen hier so einfach wie möglich das Spiel modellieren, und annehmen, dass die Werte v i Common Knowledge sind. Ohne Einschränkung an Allgemeinheit können wir die Annahme v > v 2 >... > v n > treffen. Dieses Spiel besitzt sehr viele Gleichgewichtspunkte. v b = b 2 + ε > v 2 b i mit i > 2 und ε ist eine sehr kleine positive Zahl. Käufer erwirbt das Gut und erhät die Auszahlung v b. Die Auszahlung der Nichterwerber ist. Untersucht man das Spiel auf dominierte Strategien, so erkennt man das Überbieten b i > v i für jeden Spieler dominiert wird von der Strategie b i = v i, denn Überbieten kann nie zu einer positiven Auszahlung führen aber es gibt gegnerische Strategientupel bei denen Überbieten zu Verlusten führt (wenn i Auktionsgewinner wird). Somit bleibt als Gleichgewicht in nicht-dominierten Strategien b = v 2 + ε, b 2 = v 2, b i v i, mit i > 2 und ε >. 9

20 Ein wichtige Auktionsform ist die Zweithöchstpreisauktion. Hier erwirbt ebenfalls der Höhstbieter das Gut, aber der Preis, den er zahlen muß ist das zweithöchste Gebot. Sowohl Überbieten als auch Unterbieten sind, wie leicht zu sehen ist, dominierte Strategien. Daraus folgt, dass b i = v i eine dominante Strategie für jeden Bieter ist. Dies gilt auch wenn die Bewertungen private Informationen sind, also nur die eigene Bewertung dem Spieler i bekannt ist, aber nicht die der anderen. Ein Regelsystem, wie z.b. Auktionen, heißt anreizkompatibel, wenn für alle Spieler das Offenbaren der eigenen Nutzenfunktion (hier b ( i ) = v i ) eine dominante Strategie ist. 3 Spiele in extensiver Form Im vorhergehenden Teil sind soziale Konfliktsituationen modelliert worden ohne die explizite Darstellung der (zeitliche) Interaktion oder der Informationsbedingungen der Spieler. Dies ist keine Einschränkung der Möglichkeiten für die Spiele in Normalform, da diese Sachverhalte in den Strategiebegriff einbezogen sind. Allerdings ist es für die Modellierung oft günstiger und auch übersichtlicher wenn solche Relationen in einem Spiel explizit modelliert werden. Dies wird durch die in diesem Teil vorgestellte extensive Form erreicht. Grundlage der Darstellung ist dabei ein Graph, bestehend aus Knoten und Kanten, der eine Baumstruktur hat. Solche Graphen sind z.b. als DOS oder UNIX-Dateiverzeichnisstruktur vertraut. Dieser Baum wird mit zusätzlichen Attributen versehen, um die Entscheidungs- und Informationsstruktur des Spiels zu modellieren. 3. Grundlagen Definition 9 gegeben: Ein Spiel in extensiver Form ist durch das folgende 7-Tupel Γ = (N, T, P, I, C, F, H) Dabei bezeichnet: (i) N = {, 2,..., n} analog zu dem vorhergehenden Teil wieder die Menge der Spieler. Zustzlich führen wir noch einen formalen Spieler Natur ein, der nur Zufallszüge ausführen kann. (ii) T ist ein zusammenhängender, schleifenloser und endlicher Baum mit genau einem Ursprungsknoten o. Der Baum besteht aus Knoten und Kanten. Die Kanten verbinden die Knoten miteinander. Die Menge der Knoten wird unterteilt in Endknoten und Nichtendknoten. Ein (gerichteter) Streckenzug, Pfad, vom Ursprung bis zu einen Endpunkt wird Partie genannt. Offensichtlich ist die Menge der Endpunkte äquivalent zu der Menge der Partien. Ein 2

21 Knoten x kommt vor dem Knoten y (x < y), wenn x auf dem Pfad vom Ursprung o zum Knoten y liegt. Dann heißt y auch Nachfolger von x. Jeder Nichtendknoten hat mehrere unmittelbare Nachfolger, und jeder Nicht- Ursprungsknoten hat genau einen unmittelbaren Vorgänger. (iii) Die Menge der Nichtendknoten wird partitioniert in n + disjunkte Mengen P = (P, P, P 2,..., P n ). Damit ordnen wir jedem Nichtendknoten genau ein Spieler zu. Wir sagen auch P i ist die Menge der Entscheidungsknoten des Spieler i. An den Knoten die zu P gehören entscheidet der Zufall. P wird die Spielerzerlegung genannt. (iv) Die Mengen P i werden nochmals zerlegt in disjunkte Teilmenge I = ((I i,j ), j =, 2,..., k i, i =, 2,..., n), die wir die Informationsbezirke eines Spielers nennen. Dabei ist zu beachten: (a): Alle Knoten eines Informationsbezirkes I i,j haben die gleiche Anzahl an unmittelbaren Nachfolgern, und damit auch die gleiche Anzahl an ausgehenden Kanten. (b): Eine Partie schneidet einen Informationsbezirk höchstens einmal. I wird Informationszerlegung genannt. (v) Die Menge der ausgehenden Kanten für die Knoten eines Infornmationsbezirkes wird partitioniert, so das genau je eine Kante eines Knotens in genau eine Teilmenge fällt. Das ist aufgrund der Bedingung (iv,a) möglich. Eine solche Teilmenge c C i,j wird als Zug an dem Informationsbezirk I i,j bezeichnet. C heißt deshalb Zugzerlegung. (vi) Den ausgehenden Kanten eines Knoten, der zu P gehören, in denen also der Zufall über den weiteren Verlauf einer Partie entscheidet, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F zugeordnet. (vii) Jedem Endknoten wird ein n-dimensionaler Vektor zugeordnet, dessen i-te Komponente die Auszahlung (Bewertung) des Spieler i für die zugehörige Partie darstellt. H ist die Auszahlungsfunktion. Anmerkung: Ein Streckenzug vom Ursprungsknoten bis zu einem Endknoten heißt Partie. Eine Partie ist also die graphische Abbildung eines konkreten Spielverlaufes. Jede Partie startet im Ursprungsknoten. Die Spieler entscheiden dann jeweils in ihrem Entscheidungsknoten über den Fortgang der Partie. Dies gilt auch für den Zufall, der über den Fortgang entsprechend der Wahrscheinlichkeitsverteilung entscheidet. Liegen mehrere Entscheidungsknoten im gleichen Informationsbezirk, so bedeutet dies, dass der Spieler nicht weiß in welchem Knoten sich die aktuelle Partie gerade befindet. Er hat nur unvollständige Information über die bisherigen Züge. Da er nicht weiß in welchen Knoten des Informationsbezirks er sich befindet, kann er sich auch nicht für unterschiedliche Züge an den verschieden Knoten des Bezirks entscheiden. Daher die Partitionierung der Zugmenge. Die Partie endet in einem Endknoten. Diesem sind die Auszahlungen zugeordnet, die 2

22 jeder Spieler dann erhält. L R 2 L R 3 3 L R L R L R a b c x yz t Abbildung 7: Spiel in extensiver Form Spieler beginnt in den obigen extensiven Spiel 7 indem er sich zwischen den Zügen L oder R entscheidet. Nach dem Zug R ist die Reihe an dem Spieler 2, der ebenfalls zwei Zugmöglichkeiten hat. Spieler 3 kommt nur dann ins Spiel, wenn entweder den Zug L, oder wenn den Zug R und 2 den Zug L gewählt haben. Er weiß allerdings nicht nach welcher Vergangenheit er zu entscheiden hat. Seine beiden Entscheidungsknoten sind zu einem Informationsbezirk zusammengefaßt. Wenn er sich für links entscheidet kann das Spiel sowohl für ihn mit einer Auszahlung c, oder auch mit der Auszahlung enden. Spieler hat in diesem Beispiel die Chance ein zweites Mal ans Spiel zu kommen. Definition Unter einer Strategie s i des Spieler i in einem extensives Spiel Γ versteht man eine Abbildung, die jedem Informationsbezirk einen Zug an diesem Informationsbezirk zuordnet. s i : I i C i s i : I i,j c = s i (C i,j ) Anmerkung: Eine Strategie ist also ein vollständiger Verhaltensplan. Sie verlangt für jede denkbare Entscheidungssituation, in die der Spieler im Spiel kommen könnte, eine eindeutige Wahl. Man beachte, dass die Vollständigkeit 22

23 des Planes, auch kontrafaktische Überlegungen impliziert. Der Strategiebegriff verlangt auch eine Entscheidung für Situationen, die von der Strategie selbst ausgeschlossen werden. So ist z.b. in dem oben dargestellten Spiel erst (L, l) eine Strategie. Ein vollständiger Verhaltensplan verlangt von Spieler eine Wahl zwischen l und r,auch dann, wenn durch seine eigene Wahl von L die Notwendigkeit hierzu obsolet geworden ist. Der Spieler hat 4 verschiedene Strategien. Hat jeder Spieler eine Strategie gewählt, so ist damit (bis auf die Zufallszüge) eine Partie (also ein Endpunkt) bestimmt und damit auch für jeden Spieler eine Auszahlung. Kommen in dem Spiel auch Zufallszüge vor, so bestimmen die Strategien der Spieler eine eindeutige Wahrscheinlichkeit über den Endpunkten des Baumes und somit eine eindeutige Auszahlungserwartung für alle Spieler. Eine gemischte Strategie q i eines Spielers ist eine Wahrsscheinlichkeitsverteilung über seiner Strategiemenge. Hat jeder Spieler eine (gemischte) Strategie gewählt, so ist damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Endpunkten gegeben. Dies impliziert eine Auszahlungserwartung für jeden Spieler. Damit kann ein extensives Spiel mit einem Spiel in Normalform identifiziert werden. In dem obigen Spiel sind der Strategientupel ((L, r), L, L) und ((R, l), L, R) Gleichgewichtspunkte, wenn für die Auszahlungsparameter < a, b, c, t, x, y, z < gilt. Die Normalform zu dem obigen extensiven Spiel ist: L a L,l b c a L,r b c R,l R,r Spieler 3 wählt L R a a t b b c c L L,l L,r x R,l y z x R,r y z Spieler 3 wählt R R t Abbildung 8: Normalform zu 7 Außer diesen beiden GP besitzt das Spiel auch noch weitere GP. 23

24 Definition Eine Verhaltensstrategie b i eines Spielers ist eine Abbildung, die jedem Informationsbezirk eines Spielers eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Zugmenge des Spielers an diesem Informationsbezirk zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines Spielers für verschieden Informationsbezirke sind unabhängig voneinander. b i : I i,j Φ(C i,j ) Bei einer Verhaltensstrategie steht die Vorstellung des lokalen Entscheidens im Vordergrund. Der Spieler entscheidet nicht vorab, d.h. global, über sein Verhalten (bei einer gemischten Strategie wählt der Spieler einer reine Strategie gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), sondern er wählt einen Zug, oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Zugmenge an jedem Informationsbezik. Man beachte auch die völlig verschiedene Dimension für die Verhaltens- und die gemischte Strategien. Besitz ein Spieler k verschiedene Informationsbezirke und hat er in jedem Informationsbezirk a i ( 2) verschiedene Züge, so wählt er ein gemischte Strategie aus dem ( k i= a i )- dimensionalen Einheitssimplex, während die Verhaltensstrategie ein Element aus dem k i= (a i )-dimensionalen Zahlenraum ist. Die Dimension der Verhaltensstrategie ist also im allgemeinen wesentlich kleiner. Es stellt sich die Frage nach dem Zusammenhang zwischen diesen beiden Arten von Strategien. Dies wird im folgenden Abschnitt untersucht. 3.2 Spiele mit vollkommener Erinnerung und der Satz von Kuhn Ein Spieler besitzt vollkommene Erinnerung, wenn er sich () an all seine Züge erinnern kann, und (2) ein Wissen, das er früher einmal hatte nicht wieder verloren hat. Besitzt also ein Spieler vollkommene Erinnerung, so schränkt dies die potentielle Vielfalt der Informationsbezirke ein. Es dürfen demnach nicht zwei Entscheidungsknoten eines Spielers im gleichen Informationsbezirk liegen, die nach verschiedenen Zügen des Spielers an einem früheren Informationsbezirk kommen, denn dann hätte er seinen früheren Zug vergessen. Auch dürfen nicht zwei Entscheidungsknoten in einem Informationsbezirk des Spielers liegen, deren Vorgägner in verschiedenen Informationsbezirken liegen. Sei T (x) die Menge aller Knoten des Spielbaums T, die den Knoten x und all dessen Nachfolger enthält. Mit T (I i,j ) = x Ii,j T (x) bezeichnen wir die Menge aller Knoten in einem Informationsbezirk und deren Nachfolger. T (I i,j, c) sei die Teilmenge aller Entscheidungsknoten von T (I i,j ), 24

25 die nach dem Zug c an den Informationsbezirk I i,j kommen. Wir können nun den Begriff der vollständigen Erinnerung formal exakt definieren. Definition 2 Seien x k I i,k (k =, 2) zwei Entscheidungsknoten des Spieler i, und sei x 2 Nachfolger von x. Spieler i besitzt vollkommene Erinnerung wenn es genau einen Zug c C(I i, ) an dem Informationsbezirk I i, gibt, so dass I i,2 T (I i,, c). Ein Spiel hat vollkommener Erinnerung wenn alle Spieler vollkommene Erinnerung besitzen. Der nun folgende Satz von Kuhn zeigt, dass für Spiele mit vollkommener Erinnerung eine eineindeutige Beziehung zwischen gemischten Strategien und Verhaltensstrategien gibt. Theorem 3 Sei Γ ein exensives Spiel, in dem Spieler i vollkommener Erinnerung hat. Dann und nur dann gibt es zu jeder gemischten Strategie q i des Spieler i eine realisationsäquivalente Verhaltensstrategie b i. Anmerkung: Zum exakten Beweis des Satzes siehe [Kuh53]. Allerdings soll die zentrale Idee des Beweises hier aufgezeigt werden. Der Beweis erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird zu einer gegebenen gemischten Strategie q i eine Verhaltensstrategie b i definiert. Sei s i eine reine Strategie des i. Wir sagen ein Informationsbezirk I i ist durch s i erreichbar, wenn es einen Strategientupel s = (s i, s i ) gibt, so dass der dadurch gegebene Pfad den Informationsbezirk schneidet. Mit σ i (I i ) sei die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, mit der der Informationsbezirk I i unter q i erreicht wird. σ i (I i ) = I i ist erreichbar durch s i q i (s i ) weiterhin bezeichne σ i (I i, c) die Wahrscheinlichkeit, dass I i durch q i erreichbar ist und c gewählt wird. σ i (I i, c) = I i ist erreichbar durch s i s i (I i ) = c q i (s i ) Nun läßt sich die zu s i gehörige Verhaltensstrategie b i definieren als: b i (I i, c) = { σi (I i,c) σ i (I i wenn σ ) i (I i ) > s i (I i )=cq i (s i ) sonst () In folgenden muß noch gezeigt werden, dass die so definierte Verhaltensstrategie realisationsäquivalent zu gemischten Strategie ist. Dabei bedeutet realisationsäquivalent, dass alle Endknoten (Auszahlungsknoten) mit der gleichen 25

26 Wahrscheinlichkeit erreicht werden für die definierte Verhaltensstrategie und der zugrundeliegenden gemischter Strategie. Für einen gegeben Endknoten x t ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mittels der gemischten Strategie erreicht wird gleich σ i σ i (I i,m, c m ), wobei σ i eine beliebiges Strategientupel der übrigen Spieler des Zufalls ist. σ i (I i,m, c m ) sei dann die Wahrscheinlichkeit mit der Spieler i seinen letzten Informationsbezirk vor dem Entknoten x t erreicht und dort den Zug c m wählt, so das x t erreicht wird. Die Wahrscheinlichkeit dass das Spiel in dem Knoten x t endet, wenn i die in definierte Verhaltensstrategie b i wählt ist gegeben durch das Produkt von σ i und aller b i entlang des Pfades zu x t. Bei vollständiger Erinnerung heben sich diese Wahrscheinlichkeiten aber fast alle auf, da der Nenner von b i in einem Informationsbezirk gleich dem Zähler von b i des vorangegangen Informationsbezirks ist. Von diesem Kettenprodukt bleibt somit lediglich der Zähler des letzen Faktors erhalten und der ist nach gleich σ i (I i,m, c m ), womit der Satz von Kuhn in der einen Richtung bewiesen ist. Die andere Richtung (Verhaltensstrategien aus den gemischenstrategien abzuleiten) ist einfacher und soll dem Leser überlassen bleiben. Zur Illustration des Satzes soll im folgenden an einem Spiel mit unvollkommener Erinnerung (siehe Spielbaum aus Abbildung 9)gezeigt werden, dass bei gemischten Strategien eine andere Auszahlung erreicht werden kann, als bei Verhaltensstrategien S C C S - K E K E Abbildung 9: Spiel mit unvollständiger Erinnerung Spieler, der keine vollkommene Erinnerung besitzt, sonst dürfte sein zweiter Informationsbezirk nicht beide Knoten umfassen, hat vier reine Strategien (S, K), (S, E), (C, K) und (C, E). Wählt er die gemischte Strategie 26

27 (,,, ), so ist seine Auszahlung mindestens. Hat der Spieler aber nur die Wahl zwischen Verhaltensstrategien ((α, α), (β, β)) (dabei sei α (β) die Wahrschienlichkeit mit der er S (K) wählt), so ist seine Auszahlung, gleich ( α) ( ) ( β 2, wenn 2 seine Strategie S wählt, und gleich α 2 β) wenn 2 die Strategie C spielt.die maximale Auszahlung, die er sich garrantieren kann ist demnach also max α,β { min { ( α) ( β ) ( )}}, α 2 2 β =. Also kleiner als die Auszahlung, die er bei gemischten Strategien erhält. Der Begriff der Verhaltensstrategie betont das lokale Entscheiden der Spieler. Verfolgt man den Gedanken des lokalen Entscheidens weiter so wird man die zentrale Entscheidungsmacht eines Spielers kritisch betrachten. In letzter Konsequenz kann man den Standpunkt einnehmen, dass es keinen globalen Entscheider mehr gibt, sondern dass der Spieler nur aufgrund seiner lokalen Bedingungen seinen Zug in einem Informationsbezirk wählt. Ein Spieler zerfällt in seine Agenten. Jeder Agent verwaltet genau einen Informationsbezirk, und trifft im Spiel genau eine Entscheidung. Seine Auszahlung, die seine Entscheidung motiviert ist die des Spielers, dessen Informationsbezirk er verwaltet. In dem obigen extensiven Spiel tritt also der Spieler in der Form seiner beiden Agenten (.) und (.2) auf. Die hierzu gehörige Normalform heißt Agentennormalform und besteht formal aus 4 Spielern mit jeweils 2 Strategien. 3.3 Spiele mit unvollständiger Information Bisher wurde immer angenommen, dass alle Spieler vollständig über alle Teile des Spiels informiert sind. Alle kennen alle Zugmöglichkeiten, alle Informationsbedingungen und auch die Bewertungen aller Partien durch alle Spieler. Der Spielbaum ist Common Knowledge. In vielen praktisch motivierten Spielmodellen kann dies nicht unterstellt werden. Insbesondere kann nicht angenommen werden, dass die Auszahlungsfunktion der Spieler immer allen anderen Spielern bekannt ist. Ist dies der Fall so spricht man von Spielen mit unvollständiger Information. Harsanyi konnte zeigen das sich alle unvollständige Information auf ein Informationsdefizit über die Auszahlungen der Spieler reduzieren lässt. Ein Spieler, für den diese Unsicherheit in den Auszahlungen besteht, der also die entweder die Auszahlung a oder die Auszahlung b erhlt, kann formal betrachtet werden wie zwei verschiedene Spieler. Der Spieler selbst kennt seine wahre Auszahlung, aber die anderen wissen sie nicht. Für sie existieren beide Typen des Spielers mit positiver Wahrscheinlichkeit Ein Beispiel soll die Vorgehensweise verdeutlichen. 27