Ein-Blick in die Mathematik

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1 Ein-Blick in die Mathematik Von Richard Bamier und Christian Reiher et al. Aulis Verlag Deubner Köln

2 Inhaltsverzeichnis Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 13 In diesem Artikel führen fundierte Betrachtungen über mathematische Aussagen (und wie man zu ihnen kommt) hin zum Prinzip der vollständigen Induktion. Anschaulich wird an Hand von Beispielen demonstriert, wie dieses Prinzip funktioniert und wie man damit beweist. Danach wird dargelegt, in welchem Sinne man die vollständige Induktion als Axiom respektieren muss. Abschließende Übungsaufgaben aus unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik ermuntern den Leser, die vollständige Induktion als neues, unentbehrliches Werkzeug" in sein Beweis- Repertoire aufzunehmen. 1.1 Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion Vorbemerkungen Allgemeine und spezielle Aussagen Die Übergänge" Deduktion und Induktion Beispiele zu Induktionen: Falsch oder richtig? Beweisen mit vollständiger Induktion Kann man das Prinzip der vollständigen Induktion beweisen? Besonderheiten, weitere Beispiele und Übungen Literatur 26 Der Euklidische Algorithmus 27 Rekursionen 33 Der Artikel gibt einen breiten Überblick bezüglich Wettbewerbsaufgaben zum Thema Rekursionen". 3.1 Lineare Rekursionen Substitution Periodizität Satz von Beatty Abstruses 45

3 3.6 Aufgaben Literatur 53 4 Lernzirkel zur Kongruenzenrechnung 55 In diesem Lernzirkel werden zunächst die notwendigen Grundlagen der Teilbarkeitslehre wiederholt. Dann wird darauf aufbauend die Kongruenzenrechnung eingeführt und anhand früherer Wettbewerbsaufgaben illustriert, welche zahlentheoretischen Probleme damit lösbar sind. Als Krönung wird noch in Abschnitt 4.7 die EuLERsche «^-Funktion eingeführt und der kleine Satz von FERMAT bewiesen. 4.1 Einführung in die Teilbarkeitslehre ggt und Teilerfremdheit Primzahlen und Primfaktorzerlegung Einführung in die Kongruenzenrechnung Einteilung der ganzen Zahlen in Restklassen Rechenregeln für die Kongruenzenrechnung Potenzen einer Zahl modulo m betrachtet Allgemeine Betrachtung Die EuLERsche ^-Funktion Sätze und Anwendung der Modulo-Rechnung Verändern des Modulus Wichtige Sätze Anwendung bei diophantischen Gleichungen Aufgaben aus der elementaren Zahlentheorie Lösungen 77 5 Polynome 85 Dieses Kapitel bietet eine Einführung in die Welt der Polynome. Es werden Schritt für Schritt bekannte Begriffe, wie 'Teilbarkeit' und 'Primfaktorzerlegungen' auf die Menge der Polynome übertragen. Parallel dazu werden mit dem erworbenen Wissen zahlreiche interessante Themen der Algebra angerissen. Diese reichen von den 'komplexen Zahlen' und 'Lösungen diophantischer Gleichungen' bis zur Konstruktion einer Lösungsformel für kubische Gleichungen. 5.1 Einführung Teilbarkeit Division mit Rest Der Euklidische Algorithmus Primzahlen und irreduzible Polynome Primfaktorzerlegungen Ein abschreckendes Beispiel 110

4 5.8 Ist q,[x] faktoriell? Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein Nicht-klassische Konstruktionen 129 In der Geometrie versteht man unter Konstruktionen" in aller Regel Konstruktionen mit Zirkel und Lineal". Dass sogar noch einfachere Zeichengeräte erstaunlich leistungsfähig sind, zeigt dieser Artikel. 6.1 Das Lineal mit zwei Markierungen Dreieckskonstruktionen mit Lineal und verrostetem" Zirkel Zwei Bemerkungen Algebraische Theorie des skalierten Lineals Aufgaben aus Russland 159 Russland hat eine sehr lange Tradition in der Olympiademathematik. Schon 1935 gab es die Moskau-Olympiade, 24 Jahre bevor die erste IMO (Internationale-Mathematik-Olympiade) stattfand. Auch jetzt schneidet Russland, sowie viele andere ehemalige Sowjetrepubliken bei der IMO hervorragend ab. Hier sind einige Aufgaben, die Ihnen einen Überblick über russische Problemlösestrategien verschaffen sollen. 8 Finanzmathematik Annuitätendarlehen 167 Der folgende Artikel ist nicht so sehr für Mathematiker geschrieben als vielmehr für Leute, die sich für Geld interessieren. Es wird aber schnell klar, dass man mit der Sprache der Mathematik viele zunächst unklare Begriffe und Zusammenhänge man denke z.b. an den effektiven Jahreszins leicht durchschauen kann. Auch wenn hier nur ein kleiner Ausschnitt der Finanzmathematik, nämlich das Annuitätendarlehen, behandelt wird, lässt sich das Gesagte doch leicht verallgemeinern. Denn es kommt klar zum Ausdruck, dass allen finanziellen Überlegungen das eherne Gesetz der exponentiellen Kapitalvermehrung zu Grunde liegt. Der Beitrag schließt mit einer kurzen Betrachtung, warum das so sein muss. 8.1 Einleitung Mathematisches Rüstzeug Die geometrische Summenformel Die exponentielle Kapitalvermehrung Unterjährige Zinsberechnung der Banken Die Kreditformel und Folgerungen daraus Aus der Praxis Aufgaben 182

5 8.6 Anhang: Warum exponentielle Kapitalvermehrung? Melonengeometrie 189 Die Geschichte erzählt von Mr McMelon, der dringend zu seiner Freundin muss, und auf dem Weg dorthin manches Problem zu lösen hat. Dass dabei der Leser so ganz nebenbei in die sphärische Geometrie eingeführt wird, ist ein nicht ganz ungewolltes Nebenprodukt. Aber lesen Sie selbst, wie die Geschichte verläuft! 10 Ungleichungen Die Mittelungleichungen für zwei Variablen Die Mittelungleichungen für drei Variablen Die Mittelungleichungen für n Variablen Trigonometrische Substitution Cauchy-Schwarz-Ungleichung Höhere Mittelungleichungen Umordnungs-Ungleichung zusätzliche Übungsaufgaben Die Jensen-Ungleichung 227 Vom anschaulichen Konzept der Konvexität einer Funktion ausgehend, wird Konvexität dann sogleich als Ungleichung formuliert. Danach werden sämtliche Mittelungleichungen mit Hilfe entsprechender konvexer (bzw. konkaver) Funktionen auf die Jensen-Ungleichung zurück geführt. Die Konvexität der entsprechenden Funktionen wird dabei mittels der zweiten Ableitung gezeigt. Zum Verständnis sind dann also Kenntnisse in Analysis von Nöten Von der Konvexität zur Ungleichung Mittelungleichungen Aufgaben Der harmonische Oszillator 233 Schwingungen sind eines der grundlegendsten Phänomene in der Physik. Es gibt unzählige verschiedene Arten von Oszillatoren, vom Faden- und Federpendel bis hin zu Schwingungen von einzelnen Atomen. Aber alle Gleichungen für diese verschiedenen Schwingungsarten können mit Hilfe eines einzigen Ansatzes gelöst werden. 13 Von der elementaren Geometrie Vorkenntnisse Kreise 249

6 Eine kleine Übung Über Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende Eine interessante Eigenschaft des Höhenschnittpunktes Weiteres über den Höhenschnittpunkt Eine Aufgabe aus Baden-Württemberg Aus einer Nordeuropäischen Mathematikolympiade Die Simsongerade Der Schmetterling Eine Formel Leonhard Eulers Aus dem fernen Osten Rumänische Qualifikationsklausur Eine IMO-Aufgabe Strecken Umkreis und Fläche Der Inkreis Der Ankreis Die Flächenformel des Heron Eine geometrische Ungleichung Der Kreis des Apollonios Die Parallelogrammformel Stewart Ptolemaios Die Diagonalen im Sehnenviereck Brahmagupta Carnot Menelaos und Ceva Orientierte Strecken Das Teilverhältnis Der Satz von Menelaos Der Satz von Ceva Gergonne Pazifik Pappos Pascal Polen CruxMathematicorum Inversion am Kreis Definition der Inversion Konstruktion Was passiert mit Geraden? 302

7 Kreise nicht durch O Abstand Nochmals Ptolemaios Österreich und Polen Ostsee Nochmals Euler Vorklausur Aufgaben Lösungen Literatur 399