1 Einführung. 2 Grundlagen von Algorithmen. 3 Grundlagen von Datenstrukturen. 4 Grundlagen der Korrektheit von Algorithmen

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1 Programm heute lgorithmen und atenstrukturen (für T/IT) Sommersemester 0 r. Tobias Lasser omputer ided Medical Procedures Technische Universität München inführung rundlagen von lgorithmen rundlagen von atenstrukturen rundlagen der Korrektheit von lgorithmen rundlagen der ffizienz von lgorithmen rundlagen des lgorithmen-ntwurfs ntwurfsprinzipien ivide and onquer reedy-lgorithmen acktracking ynamisches Programmieren lgorithmen-muster: reedy lgorithmen-muster: reedy greedy = gierig, gefräßig reedy Prinzip: Lösung eines Problems durch schrittweise rweiterung der Lösung ausgehend von Startlösung in jedem Schritt wähle den bestmöglichen Schritt (ohne erücksichtigung zukünftiger Schritte) greedy gefundene Lösung muss nicht immer optimal sein! reedy-muster als Pseudocode: Input: ufgabe reedy(): while ( nicht gelöst) { wähle bestmöglichen Schritt; // reedy Strategie baue Schritt in Lösung ein;

2 reedy: eispiel Wechselgeld I reedy: eispiel Wechselgeld II reedy-lgorithmus: Problem: erausgabe von Wechselgeld Voraussetzung: übliche uro-münzen e, e, 0c, 0c, 0c, c, c und c ufgabe: Wechselgeld-erausgabe mit möglichst wenig Münzen eispiel: Preis e., bezahlt mit e Münze. Wechselgeld: c Minimum nzahl Münzen: c = 0c + 0c + 0c + c + c + c Input: etrag b Wechselgeld(b): ausgegeben = 0; while (ausgegeben < b) { wähle größte Münze s mit ausgegeben + s b; // greedy print(s); ausgegeben += s; chtung: bhängig vom eldsystem liefert dieser lgorithmus nicht immer die optimale Lösung! eispiel: Münzen c, c, c. etrag: c reedy-lösung: c = c + c + c + c Optimale Lösung: c = c + c Von reedy lösbare Probleme Voraussetzungen für nwendbarkeit von reedy: feste Menge von ingabewerten Lösungen werden aus ingabewerten aufgebaut Lösungen lassen sich schrittweise durch inzufügen von ingabewerten aufbauen, beginnend bei leerer Lösung ewertungsfunktion für partielle und vollständige Lösung esucht wird eine/die optimale Lösung nwendung reedy: lasfasernetz Problemstellung: ufbau von möglichst billigem lasfasernetz zwischen n Knoten K,..., K n, so daß alle Knoten miteinander verbunden sind (u.u. mit Umweg) Input: Knoten K,..., K n Kosten d ij > 0 für direkte Verbindung zwischen K i und K j für i j, i, j {,..., n K K 0 K K K Output: Teilmenge aller Verbindungen, so daß alle Knoten verbunden sowie minimale Kosten 0

3 lasfasernetz: eispiel I lasfasernetz: eispiel II K K K K K 0 K K 0 K K K Knoten K,..., K Kosten d ij repräsentiert als gewichteter, ungerichteter raph (Kapitel ) Startknoten: K beste Verbindung: zu K, Kosten andere Kosten: (zu K ), 0 (zu K ), (zu K ) lasfasernetz: eispiel III lasfasernetz: eispiel IV K K K K 0 0 K K K K K K nächst-beste Verbindung von {K, K : zu K, Kosten andere Kosten: (zu K ), (zu K ), (zu K ) nächst-beste Verbindung von {K, K, K : zu K, Kosten andere Kosten: bzw. (zu K )

4 lasfasernetz: eispiel V lasfasernetz: eispiel VI K 0 K K K K K 0 K K K K K K K K nächst-beste Verbindung von {K, K, K, K : zu K, Kosten alle Knoten behandelt, lgorithmus fertig rgebnis: ein sog. minimaler Spannbaum (minimum spanning tree, MST) vom raphen K lasfasernetz: lgorithmus Input: eld von Knoten K (Länge n), Kostenfunktion d(i, j) Output: minimaler Spannbaum lasfasernetz(k, d): = {K ; // Startlösung while ( nicht Spannbaum von {K,..., K n ) { suche billigste Kante, die aus rausgeht; // reedy Schritt füge entsprechenden Knoten und Kante zu hinzu; Komplexität naiver Implementation: O(n ) geht besser, s. Kapitel Programm heute inführung rundlagen von lgorithmen rundlagen von atenstrukturen rundlagen der Korrektheit von lgorithmen rundlagen der ffizienz von lgorithmen rundlagen des lgorithmen-ntwurfs ntwurfsprinzipien ivide and onquer reedy-lgorithmen acktracking ynamisches Programmieren

5 lgorithmen-muster: acktracking acktracking: systematische Suchtechnik, um vorgegebenen Lösungsraum vollständig abzuarbeiten Paradebeispiel: Labyrinth. Wie findet Maus den Käse? acktracking: Labyrinth I Problem: Wie findet Maus den Käse? Lösung: systematisches bgehen des Labyrinths Zurückgehen falls Sackgasse (daher: acktracking) trial and error 0 acktracking: Labyrinth II lgorithmen-muster: acktracking Voraussetzungen: Mögliche Wege repräsentiert als aum: Lösungs(teil)raum repräsentiert als Konfiguration K K 0 ist Start-Konfiguration jede Konfiguration K i kann direkt erweitert werden (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) für jede Konfiguration ist entscheidbar, ob Lösung Input: Konfiguration K acktrack(k): if (K ist Lösung) { gib K aus; else { for each (direkte rweiterung K von K) { acktrack(k ); initialer ufruf mittels acktrack(k 0 )

6 acktracking: Konfigurationen acktracking: igenschaften (,) (,) Terminierung von acktracking: nur wenn Lösungsraum endlich nur wenn sichergestellt daß Konfigurationen nicht wiederholt getestet werden (,) (,) (,) (,) (,) Konfiguration z.. repräsentiert als Pfad im aum (,) (,) Komplexität von acktracking: direkt abhängig von röße des Lösungsraums meist exponentiell, also O( n ), oder schlimmer! nur für kleine Probleme wirklich anwendbar lternative: egrenzung der Rekursionstiefe dann uswahl der bis dahin besten Lösung z.. für Schach-Programme acktracking eispiel: Traveling Salesman Traveling Salesman Problem: lgorithmus mit acktracking Traveling Salesman Problem: n Städte finde kürzeste Rundreise, die alle Städte exakt einmal besucht außer Start- und Zielort (identisch) K 0 K K K K Input: n Städte, Rundreise trip TSP(trip): if (trip besucht jede Stadt) { erweitere trip um Reise zum Startort; gebe trip und die Kosten aus; else { for each (bislang unbesuchte Stadt s) { trip = trip erweitert um s; TSP(trip ); Lösung z.. mit lgorithmen-muster acktracking

7 Traveling Salesman Problem: eispiel acktracking eispiel: cht-amen-problem cht-amen-problem: K suche alle Konfigurationen von amen auf Schachbrett K so daß keine ame eine andere bedroht 0 K K ame auf Schachbrett: K hier: Sta dte! = Rundreisen bei n Sta dten mit fixiertem Start-/Zielort gibt es (n )! Rundreisen Laufzeit von TSP hier ist O (n )! hier: ku rzeste Rundreise hat La nge z.. u ber Route K K K K K K cht-amen-problem cht-amen-problem: lgorithmus mit acktracking Zwei der mo glichen Lo sungen: Input: Zeilenindex i chtamen(i): for h = to { // probiere alle Spalten aus if (eld in Zeile i, Spalte h nicht bedroht) { setze ame auf eld (i, h); if (rett voll) { // i == gib Lo sung aus; chtamen(i + ); nimm ame von eld (i, h) wieder weg; eobachtung: jeweils nur eine ame pro Zeile/Spalte Lo sung z.. mit lgorithmen-muster acktracking 0

8 cht-amen-problem: Illustration cht-amen-problem es gibt Lösungen für das cht-amen-problem das Problem läßt sich auf n amen auf einem n n Schachbrett ausweiten nzahl Lösungen wächst stark z.. für n = gibt es Lösungen ähnliche Spiele, wie z.. Sudoku, lassen sich entsprechend lösen Programm heute ynamisches Programmieren inführung rundlagen von lgorithmen rundlagen von atenstrukturen rundlagen der Korrektheit von lgorithmen rundlagen der ffizienz von lgorithmen rundlagen des lgorithmen-ntwurfs ntwurfsprinzipien ivide and onquer reedy-lgorithmen acktracking ynamisches Programmieren ynamisches Programmieren einsetzbar für Probleme, deren optimale Lösung sich aus optimalen Lösungen von Teilproblemen zusammensetzt (z.. Rekursion) Optimalitätsprinzip von ellman Prinzip: statt Rekursion berechnet man vom kleinsten Teilproblem aufwärts Zwischenergebnisse werden in Tabellen gespeichert

9 ibonacci Zahlen ibonacci olge ie ibonacci olge ist eine olge natürlicher Zahlen f, f, f,..., für die gilt f n = f n + f n für n mit nfangswerten f =, f =. ibonacci unktion Input: Index n der ibonacci olge Output: Wert f n fib(n): if (n == n == ) { return ; else { return fib(n ) + fib(n ); ufrufstruktur für fib(): fib() fib() fib() fib() fib() fib() fib() fib() fib() eingesetzt von Leonardo ibonacci zur eschreibung von Wachstum einer Kaninchenpopulation olge lautet:,,,,,,,,,,,... berechenbar z.. via Rekursion eobachtung: Komplexität ist O( n ) gleicher unktionswert wird mehrfach berechnet! z.. x fib(), x fib(), x fib() dynamisches Programmieren ibonacci unktion: dynamisch programmiert Prinzip dynamisches Programmieren: vom kleinsten Teilproblem aufwärts Zwischenergebnisse in Tabelle Input: Index n der ibonacci olge Output: Wert f n ibyn(n): fib = leeres eld röße n + ; // Tabelle fib[] = ; // kleinstes Teilproblem fib[] = ; // kleinstes Teilproblem for k = to n { fib[k] = fib[k-] + fib[k-]; // Rekursion aufwärts return fib[n]; Komplexität dynamisch programmiert: O(n) Zusammenfassung inführung rundlagen von lgorithmen rundlagen von atenstrukturen rundlagen der Korrektheit von lgorithmen rundlagen der ffizienz von lgorithmen rundlagen des lgorithmen-ntwurfs ntwurfsprinzipien ivide and onquer reedy-lgorithmen acktracking ynamisches Programmieren