4. Hydromechanik realer Strömungen 4.1 Reale versus ideale Strömungen: Allgemeine Betrachtungen

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1 4. Hydromechanik realer Strömungen 4.1 Reale versus ideale Strömungen: Allgemeine Betrachtungen Wie in Kap erwähnt, ist der wesentliche Unterschied zwischen einer idealen und einer realen Strömung, daß bei letzerer die durch die Viskosität bedingte innere Reibung, die zu thermischen Verlusten führt, eine bedeutende Rolle spielt. Solche Reibungsverluste sind jedoch von Bedeutung in a) der Rohrhydraulik, inbesondere bei kleinen Rohrquerschnitten mit rauer Innenwandung b) der Hydraulik in natürlichen und konstruktiven Gerinnen c) der Analyse von Widerstandskräften, die umströmte Körper in einem Fluid erfahren. Zudem können viele der in den Abbildung von Kap. 3.1 dargestellten Fluidphenomene nur unter Berücksichtigung der Physik realer Fluide quantitativ beschrieben werden. 4. Hydromechanische Kennzahlen Grundlage der Beschreibung realer Fluide sind sogenannte hydromechanische Kennzahlen, die i.a. Kombination von geometrischen Größen + physikalischen Eigenschaften eines Fluids sind. Das besondere an den Kennzahlen ist, daß sie keine Dimension besitzen. Für den Hydrauliker sind von Bedeutung: a) REYNOLDS - Zahl Re Re ' L ( v µ / ' L ( v ' [ / ] (4..1a) mit L = Geometrische Länge (für Rohre der Rohrdurchmesser d) v = Fluid-Geschwindigkeit = µ / = kinematische Viskosität b) FROUDE - Zahl Fr (Bei Strömungen mit freier Oberfläche) Fr ' v g ( h (4..a) mit v = Fluid-Geschwindigkeit g = Erdbeschleunigung =9,81m/sec h = Wassertiefe Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.1

2 Beispiel 4..1: Physikalische Bedeutung von Re und Fr Man zeige daß gilt: Re ' Trägheitskraft Reibungskraft (4..1b) und Fr ' Trägheitskraft Schwerkraft (4..b) Lösung: a) Re-Zahl: Für die Trägheitskraft F T gilt nach Newton: F T = m a = V a Für die Reibungskraft F R gilt nach dem Newtonschen Schubspannungansatz: F R = A µ dv /dy Betrachtet man nun lediglich die charakteristischen Dimensionen der einzelnen Größen, so ist : F T ~ L 3 * L / T F R ~ L * µ / T F T / F R = ( L 3 * L / T ) / (L * µ / T ) = L / (Tµ) = (L/T)* L/ µ = v L / (µ/ ) F T / F R = Re Q.e.d b) Fr -Zahl: Für die Schwerkraft F S gilt F S = m g = V g F S ~ L 3 * g Hier ist es zweckmäßig F T so zu dimensionieren: F T / F S F T ~ L 3 * v /L = ( L 3 * v /L ) / ( L 3 *g) = v / (L*g) F T / F S = Fr Q.e.d. Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.

3 4.3 Ähnlichkeitsgesetze und das Prinzip der hydraulischen Modellbildung Die hydromechanische Kennzahlen sind die Grundlage von Ähnlichkeitsgesetzen und der hydraulischen Modelbildung von realen Strömungsvorgängen in einem anderen geometrischen Maßstab, z.b. a) Nachbildung der realen Strömung in einem Stausee-Überlaufwehr in einem Labor b) Modellierung des Geschiebetransports in schiffbaren Flüssen und Kanälen im Labor c) Messung von Widerstandskräften an Bauwerken und Fahrzeugen im Windkanal Kann man modelmäßig dafür sorgen, daß die reale und labormodellierte Strömung ähnlich sind, können die Ergebnisse des Labormodels direkt auf das Naturmodel übertragen werden. Zwei Strömungen sind ähnlich wenn sie a) geometrisch ähnlich sind, d.h. gewisse geometrische Aspektverhältnisse (Breite, Länge, Höhe) für beide Strömungen gleich sind. b) Die wichtigen hydromechanischen Kennzahlen gleich sind. Dies ist für die meisten hydraulischen Problemen die Re-Zahl, bzw. bei Gerinneströmung die Fr-Zahl. Es ist jedoch meistens nicht möglich, alle Kennzahlen identisch zu wählen. Beispiel 4.3.1: Ähnlichkeit eines Automodells im Windkanal Es soll das Strömungsverhalten um ein Automobil bei einer realen Geschwindigkeit von v r =150 km/h untersucht werden. Dazu wird ein 1:5 Model im Windkanal verwendet. Wie groß muß die Windgeschwindigkeit v m im Windkanal sein, um ähnliche Verhältnisse zu bekommen?. Lösung: Die Bedingungen für die Ähnlichkeit sind: a) Das Automobilmodel muß geometrisch ähnlich dem Original sein. Dies ist durch die 1:5 maßstäbliche Modelskalierung bereits der Fall. b) Die Re-Zahlen für die reale und die Modelströmung müssen gleich sein: Re r = Re m v r * L r / L = v m * L m / L ( L = kinematische Viskosität von Luft) v r * L r = v m * L m v m = v r * L r / L m Es ist L r :L m = 5 : 1 v m = v r * 5 / 1 = 150 * 5 = 750 km/h Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.3

4 Beispiel 4.3.: Ähnlichkeit eines Schiffsmodells im offenen Schleppkanal Ein im Maßstab 1:0 reduziertes Schiffsmodel soll im Schleppkanal untersucht werden. Wie groß muß die Schleppgeschwindigkeit sein, um eine reale Fahrgeschwindigkeit von 30 km/h ähnlich abzubilden? Lösung: Hier sollen zweckmäßigerweise die Fr-Zahlen übereinstimmen, d.h. Fr r = Fr m v r / %L r g = v m / %L m g v r /%L r = v m / %L m v m = v r * %L m / %L r Es ist L r :L m = 0 : 1 v m = 30 * 1 / % 0 = 6,7km/h 4.4 Laminare und turbulente Strömungen Wie in Kap. 3.1erwähnt, unterscheidet man Laminare Strömungen, bei denen einzelne Stromfäden in geordneten Schichten zueinander laufen. Turbulente Strömung, bei denen die Strömung sich mit weitgehend zufällig schwankender Geschwindigkeit um einen Mittelwert Gv nach Größe und Richtung ändert (s. Abb. in Kap. 3.1) Experimente zeigen, daß bei geringer Strömungsgeschwindigkeit v die Strömung i.a. laminar und beim Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit turbulent wird, d.h. C laminar : v < v krit. C übergangsmäßig : v. v krit. C turbulent : v > v krit. Genauer gesagt zeigt sich, daß für die Strömung gilt : C laminar : Re < 300 C übergangsmäßig : 300 < Re < 4000 C turbulent : Re > 4000 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.4

5 Beispiel 4.4.1: Bestimmung der Strömungskonfiguration in einer Öl-Rohrleitung Gegeben: Durchmesser der Ölleitung d= 5 cm; Durchflußrate Q= L/s; Öl = 0*10-6 m /s Gesucht: Art der Strömung Lösung: Für die Re-Zahl gilt Re = v * L / mit v = Q/A = Fließgeschwindigkeit = *10-3 m 3 /s / ( /4 * 0,05 m) = 1,0 m/s Re = 550 L = d = Rohrdurchmesser = 0,05 m = 0*10-6 m /s Die Strömung ist turbulent 4.5 Reale Strömungen in Rohren Das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE Gegeben: Ein Rohr der Länge L; Radius R; Druck am Einlauf p 1 und am Auslauf p Gesucht: (a) Geschwindigkeitsverteilung v(r) und (b) Durchfluß Q Annahme: Die Strömung ist laminar L F 1 R r F F R x Bild Geschwindigkeitsverteilung bei der laminaren Rohrströmung (a) Berechnung des Geschwindigkeitsprofiles Kräftebilanz: F 1 & F ' F R F 1 ' p 1 ( A F ' [ p 1 % p ] ( A mit: p ' Mp Mx ( L F ' [ p 1 % Mp Mx ( L ] ( A Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.5

6 F R ' & [ µ ( Mv Mr ] ( L ( r mit: & µ ( Mv Mr ' Newtonsche Schubspannung A p 1 ( A & [ p 1 % Mp Mx ( L ] ( A ' & [ µ ( Mv Mr ] ( L ( r & Mp Mx ( L ( A ' & [ µ ( Mv Mr ] ( L ( r Mp Mx ( r ' µ ( Mv Mr ( r µ ( Mv Mr ( r r ' Mp Mx Mv Mr ' Mp Mx ( 1 µ ( r Integration liefert : m Mv ' Mp Mx ( 1 µ ( m r dr v(r) ' Mp Mx ( 1 µ ( r % C für r ' R v(r) ' 0 (Haftbedingung) A 0 ' Mp Mx ( 1 µ ( R % C C ' & Mp Mx ( 1 µ ( R v(r) ' 1 4µ ( Mp Mx ( [ r & R ] (4.5.1) Die Geschwindigkeit v(r) nimmt quadratisch von der Mitte des Rohres zum Rande hin ab. A n m e r k u n g : D a s q u a d r a t i s c h e Geschwindigkeitsprofil gilt nur für eine laminare Rohrströmung. Bei einer turbulenten Rohrströmung ist v(r) mehr konstant in der Mitte des Rohres und fällt erst am Rande innerhalb der sogenannten Grenzschicht auf Null ab. (s. Abb.) Abb. 4.5.: Experimentelles Geschwindigkeitsprofil in einer turbulenten Rohrströmung (die gestrichelte Parabeln repräsentieren das laminare Profil) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.6

7 Für r=0, in der Mitte des Rohres: v max ' & 1 4µ ( Mp Mx ( R (4.5.) (b) Berechnung des Durchflußes Q Da v nicht mehr über dem Querschnitt des Rohres konstant ist, gilt nicht mehr sondern Q û v * A!! Q = I v * da Abb : Zur Berechnung von Q und v m A Q ' m R 0 v(r) ( r dr ' m R 0 Mp Mx ( 1 4µ (r & R ) r dr ' Mp Mx ( 1( µ m 0 R (r & R ) r dr mit : Mp Mx ( 1( µ ' C ' C m R 0 (r & R ) r dr ' C m R 0 (r 3 & R r) dr ' C [ 1 4 r 4 & R 1 r ] R 0 ' &C ( 1 4 R 4 Q ' & dp dx 8µ ( R 4 (4.5.3) Für den Druckgradienten -dp/dx gilt über die Länge des Rohres L: -dp/dx = - p / L = (p 1 -p ) /L Damit erhält man das sogenannte HAGEN - POISEUILLE - GESETZ für laminare Strömungen Q ' p L 8µ ( R 4 (4.5.4) Bei Verdoppelung von R A 16-fache!!!! Erhöhung des Durchflußes ( Q. R 4 ) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.7

8 Für die mittlere Geschwindigkeit v m gilt: v m ' Q / A ' p L ( 8µ ( R 4 / ( ( R ) v m ' p L ( R 8µ (4.5.5) bzw. infolge (4.5.) v m ' 1 v max (4.5.6) (s. Abb ) Beispiel : Druckverlust im Rohr Gegeben : Öl, µ = 0,4 Pasec; = 900 kg / m³ Länge des Rohres L =10m; Rohrdurchmesser d = 0,0 m Gesucht: Wie groß ist p, um einen Durchfluß Q = * 10-3 m³ / sec zu erzeugen? Lösung : Ist die Strömung laminar? ( Nur dann gilt Hagen-Poiseuille! ) Re ' v m ( d µ / ' Q A ( d µ / Re ' ( 10 3 m /sec ( 0,0 m ( 0,01 m ( 0,4 Pasec ( 900 kg/m 3 Re ' 6,37 ( 10 m/sec ( 0,0 0,4 ( 900 mit : v m ' 6,37 ( 10 m/sec Re ',86 < 300 A Strömung ist laminar Anwendung von HAGEN&POISEUILLE : Q ' p L ( 8µ ( R 4 ' p L ( 18µ ( d 4 p ' Q ( 18 ( µ ( L d 4 ( ' ( 10 3 ( 18 ( 0,4 ( 10 0,0 4 ( p ' 037 kpa ',037 ( 10 6 Pa Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.8

9 4.5. Energiegleichung für verlustbehaftete Strömungen Im 3. Kapitel wurde bereits die Energiegleichung (Bernoulli-Gleichung) für reibungslose, stationäre und inkompressible Strömungen eingeführt. Bei der Energieumsetzung in wirklichen Fluiden muß die zur Überwindung der Reibung (s. Gesetz von Hagen-Poiseuille) und von Strömungsstörungen (z.b. Wirbel ) erforderliche Energie berücksichtigt werden. Reibungsverluste und Verwirbelungsenergie werden in Wärmeenergie und Schallenergie umgesetzt. Es wird wiederum die Energieumsetzung zwischen zwei verschiedenen Stellen einer Stromröhre betrachtet.dann erhält man die C Erweiterte BERNOULLI-Gl. mit Reibungsverlusten : H ' z 1 % p 1 g % v 1 g ' z % p g % v g % h R (4.5.7) mit h R = Reibungs-Verlusthöhe zwischen Punkt (1) und (); entsteht durch a) Reibungsverlust an Wand und zwischen Fluidstromfäden b) Lokale Geschwindigkeitsfluktuationen (bei Turbulenz und / oder rauhen Rohren) Daneben entstehen an Einläufen, Ausläufen, Rohrübergängen, Ventilen, Muffen, usw. noch weitere zunächst noch unspezifizierte Verluste, die man als örtliche Verluste h Ö bezeichnet Abb : Zur Bernoulli-Gl. mit Verlusten C Allgemeine BERNOULLI-Gl. mit Reibungs- und örtlichen Verlusten : H ' z 1 % p 1 g % v 1 g ' z % p g % v g % h R % h Ö (4.5.8) Die Summe h v = h R + h Ö bezeichnet man als die allgemeine Verlusthöhe h v Beachte: Obwohl die Verluste eigentlich eine Energie E darstellen, sind sie durch die Normierung E/mg in eine äquivalente Höhe umgerechnet worden. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.9

10 4.5.3 DARCY-WEISBACH Gesetz für die Reibungsverlusthöhe h R Nach dem Gestz von Hagen-Poiseuille gilt für die mittlere Geschwindigkeit v m in einem Rohr der Länge L und Radius R (=d/) (Gl ). Aufgelöst nach p ergibt sich umgekehrt der Druckverlust p = 8 µl v m / R Durch einfache Erweiterungen ergibt sich suksessive: p = 3 µl v m / d = 3* * * L v m / d = 64/ (v m *d/ ) * L/d * v m / p ' 64 Re ( L d ( v m (4.5.9) bzw. für den äquivalente Reibungs-Druckverlusthöhe h R = p/ g für laminare Rohrströmungen m h R ' 64 Re ( L d ( v g (4.5.10) Setzt man = 64/Re, so folgt das DARCY - WEISBACH - Gesetz für laminare und turbulente Rohrströmungen h R ' ( L d ( v m g (4.5.11) mit = Rohrreibungszahl bzw. Widerstandsbeiwert Das Darcy-Weisbach Gesetz gilt in dieser Form auch für turbulente Strömungen, wobei jedoch dann nicht mehr durch = 64/Re gegeben ist, sondern eine komplexere Abängigkeit von Re, und der sogenannten relativen Rohrrauigkeit k/d besitzt. Damit gilt zusammenfassend = 64/ Re für laminare Strömungen Re < 300 (4.5.1a) = f (Re,k/d) für turbulente Strömungen Re >300 (4.5.1b) Der Widerstandsbeiwert für turbulente Rohrströmungen Für die allgemeine Form der Funktion = f (Re,k/d) für turbulente Strömungen hat sich empirisch die Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.10

11 Prandlt-Colebrook Formel 1 ' & log,51 Re % k/d 3,7 (4.5.13) mit k = Rohrrauigkeit [mm] (s. Tab. 4.1) d = Durchmesser des Rohres [mm] Re = Reynolds-Zahl als am geeignesten herausgestellt. Dies ist eine implizite Formel für, d.h. sie kann nur iterativ ausgewertet werden. Eine explizite Näherung ist für Re>5000: ' ln 1,35 5,74 Re 0,9 % k/d 3,7 (4.5.14) Aus (4.5.13) ergeben sich die Sonderfälle für : hydraulisch glattes Rohr: k/d ==> 0 hydraulisch rauhes Rohr: k/d ==> % Tab. 4.1: Wandrauhigkeiten k von Rohrmaterialen Rohrmaterial Rauhigkeit k [mm] Die Wandrauhigkeit k ist in der Glas glatt Tat ein Längenmaß für die Höhen Kunststoff (neu) glatt und Tiefen der Wandunebenheiten. gezogenes Stahlrohr 0,03-0,1 k kann empirisch durch Einbringen einer Sandschicht mit Korngröße k geschweißtes Stahlrohr in einem Rohr ermittelt werden neu 0,05-0, angerostet 0,8-1,5 leicht verkrustet 0,3-0,5 Gußeisen mit Anstrich 0,1 angerostet 1,0-1,5 Betonrohr mit Anstrich 0,3-0,8 roh 1,0-3, Der Widerstandsbeiwert kann neben der analytischen Berechnung auch graphisch aus dem sogenannten Nikuradse-Moody Diagram ermittelt werden: Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.11

12 Abb 4.5.5: Nikuradse-Moody Diagramm für als Funktion von Re und relativer Rauhigkeit k/d Beispiel : Berechnung der hydraulischen Verluste in einem Rohr (Eisengußrohr) Gegeben : Rohr: L = 45 m d = 0,15 m Öl: v = 1 m/sec = 900 kg/m³ µ = 0,08 Pasec Gesucht : Reibungs-Druckverlust ( äquivalenter Höhenverlust ) Lösung : Re ' v ( d ' v ( d µ / ' 1 ( 0,15 0,08 / 900 A Strömung ist laminar! laminar ' Es gilt: =? A ist abhängig von der Strömungsart laminar ' 64 Re ' 3,79 ( 10 h R ' ' 1687 < 300 h R ' 3,79 ( 10 ( 45 0,15 ( ( 1 m/sec ) 9,81 m/sec ' 0,58 m ( L d ( v m g Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.1

13 Beispiel : Rohrverluste nach Moody Gegeben : Rohr d =,5 m; Wasser von 15 C I = h R / L = 1,5 m / 1000 m Rohrlänge Gesucht : Abflußkapazität des Rohres? Lösung : h R ' ( L d ( v g ' ( 1000,5 ( v (9,81 m/sec Av ( ' h R (,5 ( ( 9, ' 49 ( 10 3 ( h R v ( ' 74 ( 10 3 A Iterative Berechnung der Lösung! 1.) Annahme : ' 0,015 Grenzen allgemein : 0,01 < < 0,08 A 0,015 ( v ' 74 ( 10 3 A v ' 74 ( ,015 1/ ', m/sec Überprüfung : Re ' v ( d ', (,5 1,1 ( 10 6 ' 5 ( 106 Annahme : k ' 0,0008 (angerostetes geschweißtes Stahlrohr) k / d ' 0,0008 /,5 ' 3 ( 10 4 A aus dem MOODY&Diagramm : ' 0,0145 > 0, Iterationsschritt : 0,0145 ( v ' 74 ( 10 3 A v ',6 m/sec A Re ' 5,13 ( 10 6 A. 0,0145 Weiterer Iterationsschritt nicht erforderlich! Berechnung der Abflußrate Q : Q ' v ( A ',6 ( ( 1,5 ' 6,86 m 3 /sec Beispiel : Ausfluß aus einem Behälter Frage : Wie groß ist der Durchfluß Q a) ohne Reibungsverlust; b) mit Reibungsverlust, für eine (1) angerostetes; () neues Stahlrohr? c) Zeichen Sie Energie- und Piezometerlinien für beide Fälle Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.13

14 Abb 4.5.6: Ausfluß aus einem Behälter Lösung : a) BERNOULLI ohne Verluste : z 1 % p 1 g % v 1 g ' z % p g % v g v ' g ( z 1 & z ) ' ( 9,81 ( 60 & 40) v ' 19,8 m/sec A Q ' v ( A ' v ( ( d / 4 ' 19,8 ( ( 0,5 / 4 Q ' 3,89 m 3 /sec b) BERNOULLI mit Reibungsverlusten : z 1 % p 1 g % v 1 g ' z % p g % v g % ( L d ( v g z 1 ' z % v g ( ( 1 % ( L d ) v g ' z 1 & z ( 1 % ( L d ) v ' g ( (z 1 & z ) ( 1 % ( L d ) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.14

15 Annahme : ' 0,0 1. Iterationsschritt : v ' 19,8 ( 1 1 % 0,0 ( 100 0,5 ' 8,86 m/sec A Re ' v ( d ' 8,86 ( 0, ' 4,43 ( 10 6 Annahme : k Stahl ' 3 ( 10 4 (leicht verkrustet) A k d ' 3 ( ,5 ' 6 ( 10 4 Aus MOODY&Diagramm A ' 0,019. Annahme ' 0,0 0 & 1 ' 0,0 & 0,019 ' 0,001 (Differrenz sehr klein A Iteration beendet!) A v (oben) ist korrekt! A v ' 8,86 m/sec A Q ' v ( A ' 8,86 ( 0,5 / 4 ' 1,74 m 3 /sec Vergleiche : Q (ohne Verluste) ' 3,89 m 3 /sec Q (mit Verlusten) ' 1,74 m 3 /sec Neues Stahlrohr mit k ' 5 ( 10 5 Annahme : ' 0,0 1. Iterationsschritt : v ' ( 9,81 ( (60 & 40) 1 % 0,0 ( 100 0,5 ' 8,86 m/sec A Re ' v ( d ' 8,86 ( 0,5 ' 4,43 ( 10 6 A k 10 6 d ' 5 ( ,5 ' 1 ( 10 4 Aus MOODY&Diagramm A ' 0,014 û Annahme ' 0,0. Iterationsschritt : v ' ( 9,81 ( (60 & 40) 1 % 0,014 ( 100 0,5 ' 10,6 m/sec A Re ' v ( d ' 10,6 ( 0, ' 5,31 ( 10 6 Aus MOODY&Diagramm A ' 0,013. 0,014 A Q ' v ( A ' 10,6 ( 0,5 / 4 ',09 m 3 /sec > 1,74 m 3 /sec Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.15

16 c) Energie (EL) und Piezometer (Druck) linien Abb 4.5.6: Energie (EL) - und Piezometer (DL) linien für Rohrausfluß aus Behälter ohne Verluste Abb 4.5.7: Energie (EL) - und Piezometer (DL) linien für Rohrausfluß aus Behälter mit Verlusten Anmerkungen zum Einzeichnen der Linien: 1) Die Reibungsverlusthöhe h R nimmt zufolge Darcy-Weisbach linear mit der Rohrlänge zu und wird von der Gesamtenergielinie H nach unten abgetragen. ) Die Energielinie EL stellt dann das untere Ende von h R dar. 3) Die Drucklinie DL liegt stets um v /g unter der Energielinie EL 4) Wegen p=0 am Ausgang des Rohres geht in beiden Fällen die Piezometerlinie DL auf die geodätische Höhe z des Rohrausganges zurück. 5) Die örtlichen Verluste h Ö (Ein- und Auslauf des Rohres) sind hier zunächst vernachlässigt Strömungen in nicht - kreisförmigen Querschnitten Verallgemeinerung der Darcy-Weisbach Gl. h R = * L/d * v /g durch Einführen des hydraulischen Radius r Hyd : r Hyd ' A L U (4.5.15) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.16

17 mit durch A = Fläche, die Wasser führt L U = benetzter Umfang (nur bei vollgefüllten Rohren gleich dem Umfang!!!!) Allgemeine DARCY-WEISBACH-Gleichung h R ' ( L 4 ( r Hyd ( v g (4.5.16) Anwendungen: a) ƒ (gefülltes Kreisrohr) A r Hyd ' r r ' r h R ' ( L 4 ( r Hyd ( v g ' 4 ( L r Hyd ( v g A h R ' ( L 4 ( r ( v g A h R ' ( L d ( v g q.e.d. (wie gehabt für das Kreisrohr) b): (Rechteck) A r Hyd ' b ( h h % b ' b ( h (h%b) h R ' ( 4 ( L b ( h (h % b) ( v g (4.5.17) DARCY-WEISBACH-Gleichung für das RECHTECK-Rohr Anmerkung: Durch Ersetzen von d ----> 4* r Hyd lassen sich alle für die Berechnung von hydraulischen Verlusten notwendigen Größen aus dem Moody-Diagramm für kreisförmigen Querschnitte auf beliebige andere Querschnitte anwenden. Insbesondere gilt dann für Re: Re ' v ( 4 r Hyd Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.17

18 Beispiel : Druckverlust für Luft im rechteckigen Stahlrohr. Gegeben: Luft mit Q =,5 m³/sec; = 1,5*10-5 m /s; rechteckiges Stahlrohr mit b = 30 cm und h = 60 cm Frage : a) Wie groß ist der Druckverlust p für 50 m Rohrlänge? b) Wie groß wäre p für ein kreisförmiges Rohr gleichen Querschnittes? Lösung : Re ' v ( 4 r Hyd ' (Q / A) ( 4 r Hyd v ' Q A ',5 m 3 /sec 0,3 ( 0,6 m ' 13,9 m sec r Hyd ' A L U ' b ( h (h % b) ' 0,3 ( 0,6 (0,6 % 0,3) ' 0,1 A Re ' 13,9 ( 4 ( 0,1 ' 3,68 ( 10 5 > 300 A TURBULENZ! 1,5 ( 10 5 k Stahl ' 3 ( 10 5 m und k ' 3 ( 10 5 m 4 ( r Hyd 4 ( 0,1 m ' 7,5 ( 10 5 Aus dem MOODY&Diagramm A ' 0,014 A h R ' ( p ' L 4 r Hyd ( v g ' 0,014 ( ( g ( h R ' 1,1 kg m 3 ( 9,81 m sec 50 m 4 ( 0,1 m ( (1,38 m/s ( 9,81 m/s ' 17,0 m ( 17 m ' 183,4 Pa b): Druckverlust für ein kreisförmiges Rohr mit gleichem Querschnitt A ' b ( h ' 0,3 ( 0,6 ' 0,18 m A ' ( r ' 0,18 m A r ' A / ' 0,18 / ' 0,4 m Re ' v ( d ' (5 / 0,18) ( 0,48 1,5 ( 10 5 ' 4,4 ( 10 5 k d ' 3 ( ,48 ' 6,5 ( 10 5 Aus dem MOODY&Diagramm A ' 0,014 h R ' 0,014 ( 50 0,48 ( (,5 / 0,18) ( 9,81 ' 14,34 m p ' h R ( ( g ' 14,34 ( 1,1 ( 9,81 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.18

19 p ' 154,7 Pa < p ' 183,4 Pa p ' 154,7 p 183,4 ' 0,84 ' 84 % Die Reibungsverluste sind im kreisförmigen Rohr bei gleicher Fläche geringer!!! Allgemein gilt: Rohre mit kreisförmigen Querschnitt haben bei gleicher Fläche gegenüber allen anderen Querschnitten die geringsten Verluste Örtliche Verluste Die in der allgemeinen Bernoulli-Gl (4.5.8) eingeführten örtliche Verluste h Ö entstehen an vorwiegend an Einläufen, Ausläufen, Rohrübergängen, Krümmungen, Ventilen, Muffen, Armaturen Diese Verluste sind Energieverluste von meistens Ablösewirbeln (Totwasser) die an den Kanten von unsteten Erweiterungen/Verengungen entstehen. Ihre genaue Berechnung verlangt die numerische Lösung der Strömungsgleichungen (s. Abb.) Abb : Numerisch berechnete Strömung durch ein sich erweiternden/verengenden Kanalquerschnitt bei kleiner und großer Reynolds-Zahl ( Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.19

20 Empirisch werden die örtlichen Verluste h Ö beschrieben durch h Ö ' j ( v g (4.5.18) mit 3 = Summe aller örtlicher Verluste = E + 3 ÜK + 3 ÜE + 3 K + 3 D + A (4.5.19) mit E = Eintrittsverluste 3 ÜK = Kontraktionsverluste 3 ÜE = Erweiterungsverluste 3 K = Krümmungsverluste 3 D = Drosselklappen/Schieber/Ventilverluste = Austrittsverluste A Die Größe der einzelnen Terme hängt ab von der jeweiligen geometrischen Konfiguration der Übergänge ab und wird empirisch ermittelt. Tab. 4. zeigt einige Werte Tab. 4.5: Werte für örtliche Verlustkoeffizienten Art der Verluste Parameter r/d Eintrittsverluste E 0 0,5 (scharf) 0,1 0,1 >0, 0, d /d 1 = 60 o = 180 o Kontraktionsverluste ÜK 0 0,08 0,50 (Konfusor) 0, 0,08 0,49 0,4 0,07 0,4 h Ö = 3 ÜK * v /g 0,6 0,06 0,3 0,8 0,05 0, d 1 /d = 60 o = 180 o Erweiterungsverluste ÜE 0 1,00 (frei) (Diffusor) 0, 0,13 0,9 0,4 0,07 0,7 h Ö = 3 ÜE * v 1 /g 0,6 0,06 0,4 0,8 0,04 0, r/d Krümmungsverluste K 1 0,35 (90 o Krümmer) 0,19 4 0,16 6 0,1 8 0,8 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.0

21 Anm.: a) Es wird angenommen,daß die Strömung von (1) nach () fließt b) r ist der Krümmungsradius c) ist der Öffnungs (Schließungswinkel) des Übergangs d) Der freie Austritt ist als Sonderfall in der Erweiterung berücksichtigt Es mag erstaunlich klingen, daß beim freien Ausfließen aus einer Rohröffnung ebenfalls ein Verlust auftritt und dessen Koeffizient nach der Tabelle (scharfe Erweiterung, =180 o ) sogar den größten Wert A = 1 (freier Austritt) annimmt. Demgegenüber ist der ungüstigste Wert für den scharfen Eintritt nur E = 0,5 (scharfer Eintritt) Der Erweiterungsverlust läßt sich beim scharfen Übergang ( =180 o ) von zwei Querschnitten (sog. Borda-Erweiterung) allgemein mit dem Impulssatz berechnen. Man erhält dann ÜE = ( 1 - A 1 / A ) ² = ( 1 - d 1 / d ) (4.5.0) und für d 1 /d ==> 0 den Sonderfall des freien Austrittes, d.h. ÜE = 1 Beispiel Berechnung von allgemeinen Verluste einer Rohrleitung Gegeben : Öl, = 4 * 10-5 m²/s, = 900 kg/m³, Rohrdurchmesser d = 0,15m Frage: Wie groß muß z 1 sein, um einen erwünschten Durchfluß Q = 0,08 m³/sec zu bekommen? Annahme: Die beiden Reservoire sollen groß genug sein, daß sie nicht aus/überlaufen. Abb : Zur Berechnung von allgemeinen Verluste einer Rohrleitung Lösung : Ansetzen der allgemeinen Bernoulli-Gl. mit Verlusten Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.1

22 z 1 % v 1 g % p 1 g ' z % v g % p g % h V mit : h V ' h R % h Ö ' h R % ( h E % h A % h K ( ) mit : z 1 & z ' h V h R ' ( L d ( v g h A ' A ( v g h E ' E ( v g h K ' K ( v g z 1 & z ' v g ( ( L d % E % A % K Bestimmung von, E, A und K!!! '? A Bestimmung von Re Re ' v ( d ' Q / A ( d ' 0,08 / ( ( 0,075 ) ( 0, ( 10 ' 594 > 300 (turbulent) k / d ' 5 ( 10 5 / 0,15 ' 3, MOODY&Diagramm A ' 0,036 E ' 0,5 ( scharfer Einlauf ) A ' 1,0 ( scharfer, abrubter Auslauf ) K ( r/d ' )' 0,19 A h V ' v g ( ( L d % E % K % A h V ' ( Q / A ) g h V ' ( 0,08 / ( 0,075 ) ( 9,81 ( ( L d % E % K % A ( 0,036 ( 197 0,15 % 0,5 % ( 0,19 % 1 h V ' ( 0,08 / ( 0,075 ) ( 9,81 ( ( 47,8 % 1,88 ) ' 6,9m A z 1 & z ' 6,9 m A z 1 ' z % 6,9 m z 1 ' 130 % 6,9 m A z 1 ' 136,9 m Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.

23 4.5.7 BERNOULLI-Gleichung mit Einwirkung von Pumpen und Turbinen Bisher wurde die Bernoulli-Gl. auf eine Stromröhre angewendet, ohne daß (1) von außen Energie in das Fluid zugeführt wird (z.b. durch eine Pumpe) () nach außen vom Fluid Energie abgegeben wird (z.b. durch eine Turbine) Abb : Bernoulli-Gl. mit Pumpen nd Turbinen. Führt man diese beiden Energieterme in die Bernoulli-Gl. ein, erhält man zwischen Pumpe (1) und Turbine () die BERNOULLI-Gleichung mit Energiezufuhr/abfuhr H ' z 1 % p 1 g % v 1 g % h P ' z % p g % v g % h V % h T (4.5.1) mit : h P = Pumpenhöhe h T = Turbinenhöhe Zum Verständnis der beiden Terme h p und h T berücksichtige man, daß H= E/mg, d.h. Energie pro Gewicht ist, d.h. es ist auch mit h P = de P / dmg de p =Pumpenergie die während einer Zeit dt eine Masse dm durchgepumpt hat. (nach Division durch dt) h P = (de P /dt) / (dm/dt * g) = P p / (dm/dt *g) = P p / ( dv/dt *g) h P ' P P gq (4.5.) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.3

24 mit P p = de P /dt = effektiv an Fluid erzeugter Pumpleistung Q = Volumenfluß Gleiches gilt für Turbinenhöhe h T ' P T gq (4.5.3) mit P T = de T /dt = effektiv an Turbinenschaufel vom Fluid erzeugte Leistung Für die tatsächliche erforderliche elektrischen Pumpleistung P peff bzw. die von der Turbine gelieferte mechanisch übertragte, bzw. eventuell die elektrische Leistung P Teff gilt jedoch wegen des sogenannten Wirkungsgrades P P / P Peff = P < 1 P Teff / P T = T < 1 für die Pumpe für die Turbine Bei der Bemessung von Pumpen und Turbine ist noch zu beachten daß die Wirkungsgrade selbst nicht konstant sind, sondern vom Förderbetrieb abhängen, insbesondere vom Durchfluß Q, dh. es gilt = f(q) wobei bei einem bestimmten Q ein Maximum annimmt Abb : Wirkungsgrad einer Pumpe als Funktion von Q Beispiel : Berechnung der Pumpleistung zum Hochpumpen von Wasser Es soll Wasser mit einer Durchflußrate Q = 0,5 m 3 /s vom unteren zum oberen Reservoir gepumpt werden. Wie groß ist die erforderliche Pumpleistung? Gegeben: z 1 = 30 m, z = 40m; Länge des Rohres L=40m; Dicke des Rohres d=0,5m; Totaler Rohrverlust h v = 3m Pump-Wirkungsgrade =0,8 Abb : Pumpen in einen Hochbehälter Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.4

25 Lösung: Ansetzen der Bernoulli Gl. zwischen Pumpe (1) und Reservoir () H ' z 1 % p 1 g % v 1 g % h ' z % p P g % v g % h V mit p 1 = p = 0 (freier Auslauf zum Atmosphärendruck) v 1 = v = 0 (große Reservoire) z 1 + h p = z + h v h p = (z -z 1 ) + h v = (40-30) + 3 = 13m Und wegen h P = P p / ( g Q) P p = h P * g Q = 13*1000*9,81*0,5 = Nm/s = J/s = W = 63,765 kw (=mechanisch zugeführte Leistung) Tatsächlich erforderliche elektrische Pumpleistung P peff = P p / = 63,765 kw / 0,8 = 79,706 kw Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 4.5