Kapitel 2. Nichtlineare Gleichungen. Bisektion Newton Fixpunktiterationen Algebraische Polynome

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1 Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/2 Nullstellen Häufiges Problem im Wissenschaftlichen Rechnen: Berechnen der Nullstellen einer Funktion f bzw. Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 Berechnung der Nullstellen einer beliebigen Funktion in endlich vielen Schritten nicht möglich Ausnahme: Polynome von maximalen Grad 4 Lösungsverfahren daher iterativ Wähle einen oder mehrere Startwerte Erzeuge eine Folge von Werten x (k) Diese sollen gegen Nullstelle α von f konvergieren Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/3

2 Beispiel 1 Investmentfonds Gesucht: mittlere Zinsrate p eines Investmentfonds über mehrere Jahre Annahme: Laufzeit n Jahre, zu Beginn jeden Jahres investiere v Euro, am Ende des n-ten Jahres M Euro angesammelt Bei gleichmäßiger Verzinsung p wäre M gleich n M = v (1 + p) k = v 1 + p p [(1 + p)n 1] k=1 Das heißt: p ist die Wurzel der nichtlinearen Gleichung f(p) = 0, mit f(p) = M v 1 + p p [(1 + p)n 1] Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/4 Beispiel 2 Zustandsgleichung Zustandsgleichung eins (nicht-idealen) Gases Gesucht: Volumen V des Gases bei gegebener Temperatur T, Druck p und Anzahl der Moleküle des Gases N Zustandsgleichung (nach van der Waals): [p + a(n/v ) 2 ](V Nb) = knt mit a und b gasspezifische Konstanten, k Boltzmann-Konstante Nichtlineare Gleichung, Wurzel V Näherungs-/Startwert für Iterationen: Lösung der idealen Gasgleichung pv = nrt mit n = N/N A Molzahl, R allgemeine Gaskonstante, N A Avogadro-Zahl Werte der Konstanten: R = J/K mol, k = J/K, N A = /mol Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/5

3 Beispiel 3 Mechanik (Viergelenkgetriebe) Vier feste Achsen a 1,..., a 4 Berechne α in Abhängigkeit von β Es gilt (Freudenstein-Gleichung) a 1 cos(β) a 1 cos(α) cos(β α) a 2 a 4 = a2 1 + a2 2 a2 3 + a2 4 2a 2 a 4 Nur lösbar für bestimmte Werte von β Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/6 Bisektion Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/7

4 Das Bisektionsverfahren Gegeben: Funktion f auf [a, b] mit f(a)f(b) < 0 f hat (mindestens) eine Nullstelle in (a, b) Annahme: nur eine Nullstelle α im Intervall Strategie: Halbiere das Intervall in zwei Teilintervalle Wähle das Teilintervall in dem wieder f das Vorzeichen wechselt Folge von Intervallen [a, b] = I (0), I (1), I (2),... Jedes Intervall I (k) enthält die Nullstelle α Länge der Intervalle I (k) strebt gegen 0 Folge der Mittelpunkte x (k) konvergiert gegen α Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/8 Das Bisektionsverfahren Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/9

5 Der Algorithmus Algorithmus (Bisektion) Setze a (0) = a, b (0) = b I (0) = (a (0), b (0) ) x (0) = (a (0) + b (0) )/2 Für k 1 berechne das Teilintervall I (k) = (a (k), b (k) ) folgendermaßen: falls f(x (k 1) = 0, dann α = x (k 1), Ende falls f(a (k 1) )f(x (k 1) ) < 0, setze a (k) = a (k 1) und b (k) = x (k 1) falls f(x (k 1) )f(b (k 1) ) < 0, setze a (k) = x (k 1) und b (k) = b (k 1) Setze I (k) = (a (k), b (k) ), x (k) = (a (k) + b (k) )/2 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/10 Ein Beispiel Funktion f(x) = x 2 1 mit a (0) = 0.25 und b (0) = 1.25 Intervalle I (0) = ( 0.25, 1.25) I (0) = 1.5 x (0) = 0.5 I (1) = (0.5, 1.25) I (1) = 0.75 x (1) = I (2) = (0.875, 1.25) I (2) = x (2) = I (3) = (0.875, ) I (3) = x (3) = Jedes Intervall enthält die Nullstelle α = 1 In jedem Schritt halbiert sich die Breite I (k) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/11

6 Fehler und Abbruchbedingung In Schritt k ist die Breite des Intervalls I (k) = (1/2) k I (0) Für den Fehler e (k) gilt daher e (k) = x (k) α < 1 ( ) 1 k+1 2 I(k) = (b a) 2 Gegeben: Toleranz ɛ Fehler e (k) soll garantiert kleiner ɛ sein Minimale Anzahl Iterationen k min ( ) b a k min > log 2 ɛ Anzahl unabhängig von f 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/12 Beispiel Lösen des Investmentfonds-Problems Annahmen: jährliche Investition v = 1000 Euro, nach n = 5 Jahren Kapital M = 6000 Euro >> f= inline ( M-v *(1+ I ).*((1+ I ).^5-1)./ I, I, M, v ); >> fplot (f,[0.01,0.3],[],[],[],6000,1000); grid on; Plot zeigt Nullstelle in [0.01, 0.1] Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/13

7 Beispiel Ausführen des Programms bisection (siehe Vorlesungs-Webseite) (... bedeutet Fortsetzung des Befehls in der nächsten Zeile) >> [zero,res, niter ]=... bisection (f,0.01,0.1,1.e -12,1000,6000,1000) zero = res = e -09 niter = 36 Konvergiert in 36 Iterationen gegen (Zinsrate 6.14%) Übereinstimmung mit k min > log 2 (( )/10 12 ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/14 Newton Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/15

8 Das Newton-Verfahren Bisektionsverfahren berücksichtigt nicht den Verlauf von f nur Vorzeichenwechsel an den Grenzen der Intervalle Newton-Verfahren: verwendet weitere Informationen über f Tangente an die Kurve (x, f(x)) im Punkt x (k) y k (x) = f(x (k) ) + f (x (k) )(x x (k) ) Suche Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse d.h. suche x (k+1), so dass y k (x (k+1) ) = 0 wenn f (x (k) ) 0 x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/16 Das Newton-Verfahren Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/17

9 Konvergenz Wenn f linear (d.h. f(x) = a 1 x + a 0 ), Konvergenz in einem Schritt Sonst: Konvergenz nicht garantiert für jedes x 0 nur wenn x 0 genügend nahe bei α Problem: α gesucht/noch unbekannt graphische Analyse/Bisektion für Anfangswert benutzen Wenn x 0 geeignet gewählt ist und α einfach Nullstelle (d.h. f (α) 0) gilt: lim k x (k+1) α ( x (k) α ) 2 = f (α) 2f (α) Newton-Verfahren konvergiert quadratisch Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/18 Modifiziertes Newton-Verfahren Bei mehrfachen Nullstellen (Vielfachheit m > 1): Newton-Verfahren konvergiert nur noch einfach Modifiziertes Newton-Verfahren (m muss bekannt sein) x (k+1) = x (k) m f(x(k) ) f (x (k) ) Verfahren wieder von Ordnung 2 m unbekannt adaptives Newton-Verfahren Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/19

10 Modifiziertes Newton-Verfahren Beispiel: Funktion f(x) = (x 1) log(x) Nullstelle bei α = 1, Vielfachheit m = 2 Berechnung: Normales (gestrichelt) und modifiziertes (durchgezogen) Newton-Verfahren horizontal: Anzahl Iterationen vertikal: absoluter Fehler Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/20 Abbruchkriterien Newton-Verfahren liefert α exakt erst nach unendlich vielen Iterationen Ausreichend: α bis auf Toleranz ɛ bestimmen Abbruch des Algorithmus nach k min Iterationen, wenn e (k min) = α x (k min) < ɛ Fehler e (k) nicht bekannt abschätzen über vorhandene/leicht zu berechnende Werte Fehlerschätzer für das Newton-Verfahren: Differenz zweier aufeinanderfolgender Iterierter x (k min) x (k min 1) < ɛ Gutes Kriterium für einfache Nullstellen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/21

11 Residuum Häufiger Fehlerschätzer: Residuum r (k) = f(x (k) ) Abbruch nach k min Iterationen wenn f(x (k min) ) < ɛ Genaue Fehlerschätzung nur bei linearem Verhalten von f bei α Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/22 Zusammenfassung Berechnung der Nullstellen einer Funktion erfolgt im allgemeinen mit iterativen Verfahren Bisektionsverfahren erzeugt eine Folge von Intervallen, Länge der Intervalle wird nach jeder Iteration halbiert konvergiert wenn f stetig ist und verschiedene Vorzeichen hat Newton-Verfahren effizienter: es werden auch Funktionswerte und erste Ableitung verwendet konvergiert nur für Startwerte genügend nah an der Nullstelle Konvergenz des Newton-Verfahrens: quadratisch bei einfachen Nullstellen, sonst linear Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/23

12 Fixpunktiterationen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/24 Fixpunktiterationen Beispiel: wiederholte Anwendung der Cosinus-Funktion auf dem Taschenrechner Taste: 1 Anzeige: 1 Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Taste: cos Anzeige: Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/25

13 Fixpunktiterationen Folge konvergiert gegen Es gilt Grenzwert α erfüllt cos(α) = α Fixpunkt der Cosinus-Funktion x (k+1) = cos(x (k) ) Gegenbeispiel: Exponentialfunktion e x Starte mit x 0 = 1 Nach nur 4 Schritten Overflow Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/26 Fixpunktiterationen Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Links: φ(x) = cos(x) besitzt einen Fixpunkt Rechts: φ(x) = e x dagegen nicht Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/27

14 Fixpunktiterationen Funktion φ : [a, b] R gebeben. Finde α [a, b], so dass α = φ(α) α Fixpunkt von φ (wenn α existiert) α ist Grenzwert der Folge x (k+1) = φ(x (k+1) ) mit Startwert x 0 Algorithmus heißt Fixpunktiteration, φ Iterationsfunktion Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/28 Beispiele für Fixpunktiterationen Eingangsbeispiel: φ(x) = cos(x) Newton-Verfahren: Iterationsfunktion φ(x) = x f(x) f (x) Bezeichnung φ N (N für Newton) Bisektionsverfahren ist keine Fixpunktiteration, denn: x (k+1) hängt auch von x (k 1) ab (Aber: kann als Fixpunktiteration mit φ : R 2 R 2 betrachtet werden. Nicht in dieser Vorlesung!) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/29

15 Geometrische Interpretation Fixpunktiteration Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Links: Fixpunktiteration konvergiert gegen α Rechts: Fixpunktiteration ist divergent, da Φ (α) > 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/30 Konvergenz Satz (2.1) Die Iterationsfunktion φ : [a, b] R erfülle folgende Eigenschaften 1 φ(x) [a, b] für alle x [a, b] 2 φ ist in [a, b] differenzierbar 3 K < 1, so dass φ (x) K für alle x [a, b] Dann besitzt φ genau einen Fixpunkt α [a, b] und die Folge x (k+1) = φ(x (k) ) (k 0) konvergiert gegen α, unabhängig von der Wahl des Startwertes x (0) aus [a, b]. Überdies gilt x (k+1) α lim k x (k) α = φ (α) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/31

16 Konvergenz Folgerung: Fixpunktiterationen konvergieren mindestens linear Beispiel: φ(x) = cos(x) erfüllt auf [0, 1] alle Eigenschaften von Satz 2.1: 1 φ(x) [0, 1] 2 φ ist auf [0, 1] differenzierbar 3 φ (x) = sin(x) < sin(1) 0.85 Gegenbeispiel: Die Funktion φ(x) = x 2 1 erfüllt die Voraussetzungen nicht, denn: In jeder Umgebung der Fixpunkte α ± = (1 + ± 5)/2 wird Eigenschaft 3 verletzt, da φ (α ± ) = 1 ± 5 > 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/32 Quadratische Konvergenz Satz (2.2) Es gelten die Voraussetzungen aus Satz 2.1. Falls φ außerdem zweimal differenzierbar und φ (α) = 0, φ (α) 0, ist, dann konvergiert das Fixpunktverfahren mit Ordnung 2 und es ist lim k x (k+1) α (x (k) α) 2 = 1 2 φ (α). Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/33

17 Quadratische Konvergenz Beispiel: Newton-Verfahren φ N (x) = x f(x) f φ (x) N(x) = f(x)f (x) f (x) 2 Wenn f (α) 0 φ N (α) 0 quadratische Konvergenz Wenn f (α) = 0 und f (α) 0 lim x α φ N (x) = 1/2 0 lineare Konvergenz Allgemein: wenn erst die m-te Ableitung ungleich Null ist: lim x α φ N (x) = (m 1)/m 0 (Folgt aus m-facher Anwendung der Regel von l Hôpital) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/34 Beispiele für Fixpunktiterationen Iterationsfunktion φ ist für eine gegebene Funktion f nicht eindeutig Beispiel: Lösung der Gleichung log(x) = γ Mögliche Iterationsfunktionen: Newton (f(x) = log(x) γ): φ N (x) = x(1 log(x) + γ) Addiere mit x: φ 1 (x) = x + log(x) γ Multipliziere mit x/γ: φ 2 (x) = x log(x)/γ Für γ = 2 konvergieren φ N und φ 2 φ 1 nicht, da φ 1 (α) > 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/35

18 Abbruch der Fixpunktiteration Abbruch sobald Differenz zweier Iterierter kleiner als Toleranz ɛ Abschätzung für den Fehler α x (k) 1 Aus Mittelwertsatz und φ(α) = α und φ(x (k) ) = x (k+1) ) folgt: 2 Benutze die Identität: 3 Durch einsetzen folgt: α x (k+1) = φ(α) φ(x (k) ) = φ (ξ)(α x (k) ) α x (k+1) = (α x (k) ) (x (k+1) x (k) ) α x (k) = (x (k+1) x (k) )/(1 φ (ξ)) Wenn in Umgebung von α gilt: φ (x) 0 x (k+1) x (k) guter Fehlerschätzer Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/36 Abbruch der Fixpunktiteration Abschätzung ungenau, wenn φ nahe bei 1 Beispiel: (nicht modifiziertes) Newton-Verfahren bei mehrfacher Nullstelle f(x) = (x 1) m 1 log(x) α = 1 ist m-fache Nullstelle, und φ N (α) = 1 1/m Im Graph (1) m = 11 und (2) m = 21 Durchgezogen: Echter Fehler Gestrichelt: Geschätzter Fehler Fehlerschätzer für kleineres m (kleineres φ ) besser Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/37

19 Aitken-Verfahren Beschleunigung der Konvergenz von Fixpunktiterationen Annahme: die Folge x (k+1) = φ(x (k) ) konvergiert linear gegen den Fixpunkt α Für festes k gibt es ein λ, so dass φ(x (k) ) α = λ(x (k) α) Idee des Aitken-Verfahren: Wähle als x (k+1) eine bessere Approximation für α als φ(x (k) ) Auflösen der Gleichung nach α liefert α = φ(x(k) ) λx (k) 1 λ = x (k) + φ(x(k) ) x (k) 1 λ Problem: λ ist unbekannt. Gute Approximation? Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/38 Aitken-Verfahren Als Approximation für λ benutze die Folge λ (k) = φ(φ(x(k) )) φ(x (k) ) φ(x (k) ) x (k) Falls die Folge von Elementen x (k+1) = φ(x (k) ) gegen α konvergiert, dann ist lim k λ (k) = φ (α). (Beweis: siehe Quarteroni S. 52) Transformierte Folge wird damit: x (k+1) = x (k) (φ(x (k) ) x (k) ) 2 φ(φ(x (k) )) 2φ(x (k) ) + x (k) Extrapolationsformel von Aitken, manchmal auch Steffensen-Verfahren genannt Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/39

20 Aitken-Verfahren Satz Sei x (k) = φ(x (k) ) eine Fixpunktiteration mit φ(x) = x f(x) zur Approximation der Wurzeln von f. Falls f genügend glatt ist, gilt: Falls die Fixpunktiteration linear gegen eine einfache Wurzel α von f konvergiert, dann konvergiert das Aitken-Verfahren quadratisch gegen α. Falls die Fixpunktiteration mit Ordnung p 2 gegen eine einfache Wurzel α von f konvergiert, dann konvergiert das Aitken-Verfahren mit Ordnung 2p 1 gegen α. Falls die Fixpunktiteration linear gegen eine m-fache Wurzel α von f konvergiert (m 2), dann konvergiert das Aitken-Verfahren linear gegen α mit Konvergenzfaktor C = 1 1/m. Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/40 Aitken-Verfahren Gesucht: Nullstellen der Funktion x cos(x), Iterationsfunktion φ(x) = cos(x) Einfache Nullstelle bei α = Einfache Iteration (gestrichelt): langsame (aber gleichmäßige) Konvergenz Aitken-Verfahren (durchgezogen): sehr schnelle Konvergenz bis 10 10, dann Oszillation durch Rundungsfehler Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/41

21 Iterationsverfahren - Zusammenfassung Eine Zahl α, für die φ(α) = α, heißt Fixpunkt der Funktion φ. Zu dessen Berechnung wendet man iterative Verfahren der Art x (k+1) = φ(x (k) ) an, die Fixpunktiterationen genannt werden; Die Fixpunktiterationen konvergieren unter bestimmten Bedingungen an φ und deren erste Ableitung. Normalerweise ist die Konvergenz linear, quadratisch, falls φ(α) = 0; Mit Fixpunktiterationen kann man auch die Nullstellen einer Funktion f berechnen; Ist eine Fixpunktiteration x (k+1) = φ(x (k) ), eventuell auch eine nicht konvergente, gegeben, dann kann man mit dem Aitken-Verfahren stets eine neue Fixpunktiteration konstruieren. Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/42 Algebraische Polynome Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/43

22 Algebraische Polynome Betrachte Polynome vom Grad n 0 der Form n p n (x) = a k x k k=0 Menge der Polynome vom Grad n: P n Koeffizienten sind reell: a k R Wurzel α komplex komplex Konjugierte ᾱ auch Wurzel von p n Für n 5 keine explizite Formel zur Berechnung der Nullstellen (Satz von Abel) (Auch für n = 3, 4 Berechnung nicht einfach) numerisches Verfahren zur Nullstellenberechnung wichtig gute Startwerte x 0 oder Suchintervall [a, b] Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/44 Vorzeichenregel von Descartes Satz (2.3, Vorzeichenregel von Descartes) Sei p n P n. Bezeichnen wir mit ν die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Menge der Koeffizienten α j und mit k die Anzahl der reellen positiven Wurzeln von p n, jede mit ihrer Vielfachheit gezählt. Dann ist k ν und ν k gerade. Beispiel: p 6 (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 2x 2 + 8x 8 Nullstellen sind: {±1, ±2i, 1 ± i} davon eine reelle Wurzel: k = 1 Anzahl der Vorzeichenwechsel: ν = 5 Es gilt somit: k ν und ν k = 4 gerade Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/45

23 Satz von Cauchy Satz (2.4, Satz von Cauchy) Alle Nullstellen von p n sind im Kreis Γ der komplexen Ebene enthalten, wobei Γ = {z C : z 1 + η} η = max a k/a n 0 k n 1 Beispiel: p 6 (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 2x 2 + 8x 8 Es gilt : η = a 0 /a 6 = 8 Kreis sehr groß im Vergleich zu den tatsächlichen Wurzeln Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/46 Horner-Schema Zweck: effiziente Auswertung eines Polynoms Normale Darstellung eines Polynoms aus P n p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Äquivalente Darstellung im Horner-Schema p n (x) = a 0 + x(a 1 + x(a x(a n 1 + a n x) )) Für festes x hier: n Additionen, n Multiplikationen In normaler Darstellung: n Additionen, 2n 1 Multiplikationen Weitere Anwendungen (später): Berechnung von Ableitungen, Polynomdivision Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/47

24 Horner-Schema Algorithmus zur Auswertung des Polynoms an der Stelle z mittels Horner-Schema: synthetischer Divisionsalgorithmus b n = a n, b k = a k + b k+1 z, k = n 1, n 2,..., 0 Koeffizienten b k hängen von z ab und es gilt: b 0 = p n (z) Definiere über die Koeffizienten b k q n 1 (x; z) = b 1 + b 2 x + + b n x n 1 = das zu p n assoziierte Polynom vom Grad n 1 n 1 k=0 b k+1 x k Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/48 Implementierung des Horner-Verfahrens function [y,b] = horner (a,z) % HORNER das Horner - Verfahren % Y= HORNER (A,Z) berechnet % Y = A (1)* Z^N + A (2)* Z^(N -1) +... % + A(N)*Z + A(N +1) % mit dem synthetischen Divisionsalgorithmus % von Horner. n = length (a) -1; b = zeros (n +1,1); b (1) = a (1); for j =2: n+1 b(j) = a(j)+b(j -1)* z; end y = b(n +1); b = b (1: end -1); Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/49

25 Polynomdivision Satz (Polynomdivision) Zu zwei gegebenen Polynomen p n P n und d m P m mit m n gibt es ein eindeutiges Polynom q P n m und ein eindeutiges Polynom r P m 1, so dass p n (x) = d m (x)q(x) + r(x). Beispiel: p 3 (x) = 6x 3 x 2 + 3x 4 dividiert durch d 2 (x) = 3x 2 2x + 1 ergibt Quotient q(x) = 2x + 1 und Rest r(x) = 3x 5. Wird gebraucht zur (sukzessiven) Nullstellensuche. Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/50 Polynomdivision mit dem Horner-Verfahren Sei p n (x) gegeben und d 1 (x) = x z. Dann gilt wobei b 0 = p n (z) und p n (x) = b 0 + (x z)q n 1 (x; z) q n 1 (x; z) = b 1 + b 2 x + + b n x n 1 k das assoziierte Polynom aus dem Horner-Schema ist. Wird ersichtlich, wenn man die Polynomdivision ausführt exakt die gleichen Schritte wie im Horner-Schema Ist z Nullstelle von p n gilt b 0 = 0 Dann: p n (x) = (x z)q n 1 (x; z) und q n 1 (x; z) liefert die verbleibenden n 1 Wurzeln Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/51

26 Idee zur Wurzelbestimmung Idee: Reduktionsverfahren zur Bestimmung aller Wurzeln von p n : Für m = n, n 1, finde mit einer geeigneten Approximationsmethode eine Wurzel r m von p m 2 berechne q m 1 (x; r m ) mit (d.h. setze z = r m ) 3 setze p m 1 = q m 1. Approximation der Wurzeln mit Newton-Verfahren Newton-Horner-Verfahren Vorteil der Kombination beider Verfahren: vom Newton-Verfahren benötigte Ableitung p n kann effizient durch das Horner-Schema berechnet werden Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/52 Newton-Horner-Verfahren Ableitung von p n (x) = b 0 + (x z)q n 1 (x; z) nach x: somit (setze x = z) p n(x) = q n 1 (x; z) + (x z)q n 1(x; z) p n(z) = q n 1 (z; z) Newton-Verfahren zur Bestimmung der Wurzel r j hat daher folgende Form: r (k+1) j = r (k) j p n(r (k) j ) p n(r (k) j ) = r(k) j p n (r (k) j ) q n 1 (r (k) j ; r (k) j ) Wenn konvergiert: Reduktionsschritt p n 1 (x) = q n 1 (x; r j ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/53

27 Newton-Horner-Verfahren Hinweise zur Implementierung: Berechnung von p n (x) mit [px,b] = horner(a,x), Koeffizienten von p n in a Berechnung von p n(x) = q n 1 (x; x) mit dpx = horner(b,x), Koeffizienten von p n in b (aus dem vorigen Schritt) Newton-Schritt: xnew = x - px/dpx Reduktionsschritt: [px,a]=horner(a,x) (wichtig ist vom Resultat nur a, die Koeffizienten des reduzierten Polynoms) Das Newton-Verfahren findet bei reellem Startwert nur reelle Wurzeln, Abhilfe mit komplexem Startwert, beispielsweise rand+1i*rand Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/54 Implementierung (Auszug aus newtonhorner.m) for k = 1: n % Newton - Iterationen niter = 0; x = x0; diff = tol + 1; while niter <= kmax && diff >= tol [px,b] = horner (a,x); dpx = horner (b,x); xnew = x - px/dpx ; diff = abs (xnew -x); niter = niter + 1; x = xnew ; end % Reduktion [px,a] = horner (a,x); wurzeln (k) = x; iter (k) = niter ; end Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/55

28 Attraktionsbereiche komplexer Wurzeln Anziehungsbereiche der Wurzeln von p 5 (z) = z 5 1 für das Newton-Verfahren. Abbildung: Einfärbung der komplexen Ebene gleichfarbige Punkte konvergieren zur selben Wurzel Die Wurzeln selbst sind in den Zentren der farbigen Bereiche. Attraktionsbereiche sind fraktal Bestimmung geeigneter Startwerte kann schwierig sein. Quelle: Wikipedia Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 2/56