Manuskript zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie

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1 Manuskrit zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie gehalten von PD Dr. K. HALUPCZOK im Sommersemester 009 ander DiesesManuskritwurdeunterL A TEX gesetzt von Dil. Math. S. FEILER undbasiert auf demvon M. GILG getexten Manuskrit zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie SS 005 vonprof. Dr. D. WOLKE.

2 Seite Einleitung Inhaltsverzeichnis Einleitung Teilbarkeit 3 Kongruenzen und Restsysteme 8 Etwas Algorithmische Zahlentheorie 36 3 Kongruenzen in einer Unbekannten 4 4 Summen aus Quadraten und höheren Potenzen 66 5 Zahlentheoretische Funktionen 77 6 Elementare Primzahltheorie 99 Index 4 Einleitung Über elementare Zahlentheorie Die Vorlesung gibt eine Einführung in die elementare Zahlentheorie. Das Wort elementar bedeutet dabei erstens, dass die Fragestellungen sich fast ausschließlich auf Eigenschaften der natürlichen und der ganzen Zahlen beziehen. Zweitens sollen außer Grundkenntnissen in Analysis und Algebra keine weiteren Hilfsmittel verwandt werden. Die Zahlentheorie ist neben der Geometrie der älteste Teil der Mathematik. Aus Babylonien, dem alten Ägyten, und China sind erste theoretische Quellen überliefert (z.b. die Darstellung einer rationalen Zahl a/q (0, ] als Summe n + + n k mit n j Æ für alle j Æ mit j k, < n <... < n k und k Æ, ägytische Brüche ). Die alten Griechen untersuchten Probleme, die teilweise noch heute aktuell sind, z.b. diohantische Gleichungen, d.h. die Suche nach ganzzahligen Lösungen von Gleichungen wie x + y = z ( ythagoräische Triel ), oder das höchst rätselhafte Verhalten der Folge der Primzahlen. Da einerseits die Bausteine, die Elemente von, begrifflich leicht zugänglich sind, andererseits so viele höchst schwierige, zum Teil noch ungelöste Probleme bestehen, gehörte die Zahlentheorie stets zu dem bevorzugten Arbeitsgebiet der Mathematiker. Einige der bekanntesten Namen, wie Euler, Lagrange oder Gauss, werden im Folgenden mehrfach auftreten. Durch die Entwicklung schneller Rechner sind zahlentheoretische Methoden in den letzten Jahrzenten auch für Anwendungen, z.b. die Krytografie, sehr wichtig geworden. Mit dem Ausbau der Mathematik, vor allem seit Beginn des 9. Jahrhunderts, erweiterte sich die Zahlentheorie in Bezug auf Fragestellungen und Methoden erheblich. Die Untersuchung von algebraischen, transzendenten und adischen Zahlen, von Folgen ganzer Zahlen, unendlichen Reihen mit zahlentheoretisch interessanten Koeffizienten und vielem anderen gehört heute zu den Zweigen des uralten, aber immer noch rasch wach-

3 Teilbarkeit Seite 3 senden Baumes der Zahlentheorie. Dementsrechend werden Hilfsmittel aus nahezu allen Teilen der Mathematik verwandt, vor allem aus Algebra (algebraische Zahlentheorie) und komlexer Analysis (analytische Zahlentheorie). In Freiburg werden regelmäßig Fortsetzungsveranstaltungen angeboten, insbesondere über transzendente Zahlen, algebraische und analytische Zahlentheorie. Hierfür ist der elementare Teil die verbindende Grundlage. Literatur Es gibt zahllose Einführungen in die Zahlentheorie. Bei den folgenden Büchern handelt es sich um bewährte Klassiker. An Indroduction to the Theory of Numbers, G. H. Hardy and E. M. Wright, Clarendon Press (Oxford 979 (fifth edition)) Introduction to number theory, Hua L. K., Sringer Verlag (Berlin, Heidelberg, New York 98) Notation bezeichnet die Menge der komlexen Zahlen. Ê bezeichnet die Menge der reellen Zahlen. Ê + bezeichnet die Menge der ositiven reellen Zahlen (exklusive der 0). É bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Æ 0 bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen (inklusive der 0). Æ bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen (exklusive der 0). È bezeichnet die Menge der Primzahlen. Für eine Menge A bezeichnet #A Æ 0 { } die Anzahl der Elemente von A. Bei Gleitkommazahlen wird der ganzzahlige Anteil vom gebrochenen Anteil stets mit einem Punkt. getrennt. Kaitel : Teilbarkeit Während die Umkehrung der Addition, die Subtraktion, in unbeschränkt ausführbar ist, lässt sich die Division nicht immer durchführen. Æ, Æ 0, \ {0} und sind bezüglich der Multilikation nur Halbgruen. Der wesentliche Begriff hierzu ist der der Teilbarkeit. Definition. (Teiler und Vielfache) a) a teilt b (oder: a ist Teiler von b, b wird von a geteilt, b ist Vielfaches von a), falls es ein c mit b = a c gibt. c heißt dann Gegenteiler von a bezüglich b. Kurz: a b : c mit b = ac Andernfalls a b (a teilt b nicht)

4 Seite 4 Kaitel b) a heißt echter Teiler von b, falls a b und a < b gelten. Dann heißt b echtes Vielfaches von a. Beisiel 5, 5 5, 5, 0 0, 6, 0 0, 0 a a 0. Folgerung. Für alle a, alle b und alle c gilt () a b = z : a (bz) () a b b c = a c (3) a b a c = x, y : a (xb + yc) (4) a b b a = a = b (5) a b b 0 = a b (6) a b = z : (za) (zb) Beweis: (von Folgerung (4)) Es gibt ein c und ein c mit b = c a und a = c b. Also ist b = c c b. Im Fall b = 0 folgt a = 0. Im Fall b 0 folgt c c =, also c {, } und c {, }. Definition {.3 (Gauss Klammer) } Ê : heißt Gauss sche Größte Ganze Funktion. (Kurz: Gauss Klammer) t t := max {a ; a t} ( t ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich t Ê. Kurz: Größtes Ganzes von t oder Gauss Klammer von t) Hinweis Häufig findet man auch die Schreibweise [ ] für die Gauss Klammer. Beisiel a = a n, π = 3, π = 4. Satz.4 (Division mit Rest) Behautung: a a n Æ r Æ 0 mit r < n und a = n + r. n In der Darstellung a = bn + r mit b, r Æ 0 und r < n sind b und r für alle a und alle n Æ eindeutig festgelegt.

5 Teilbarkeit Seite 5 Beweis: a Nach Definition von ist n a a a n < +, also 0 a n < n. n n Dies ist die Ungleichung für r und es folgt die erste Behautung. Seien a und n Æ. Es existieren somit b und r Æ 0 mit a = bn + r und r < n. Seien b und r Æ 0 mit a = b n + r und r < n. Dann ergibt sich 0 = (b b ) n + (r r ), wobei n < r r < n. Dies ist nur möglich mit b = b und r = r. Das zu a und n Æ eindeutig bestimmte r Æ 0 heißt der kleinste nichtnegative Rest von a bei Division durch n. Es kann r auch durch die Forderung r n (absolut kleinster Rest) festgelegt werden. Dann ist es nicht immer eindeutig festgelegt (30 = = 8 4 ). Definition.5 (Gemeinsame Teiler) Für diese Definition seien a, b, n Æ \ {} und a j für alle j Æ mit j n. a) d Æ heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls d a und d b gelten. b) Ist a +b 0, so heißt ggt(a, b) := max {c Æ ; c a und c b} größter gemeinsamer Teiler von a und b. Kurz: (a, b) := ggt (a, b). c) Ist a 0, so sei ggt(a) := a. Sind n und n a j j= 0, so seien ggt(a,...,a n ) := ((a,...,a n ), a n ) und ggt (0,..., 0, a n ) := a n,falls a n 0 ist. Kurz: (a,...,a n ) := ggt (a,...,a n ) Sind n und n a j 0, so heißt ggt (a,...,a n ) größter gemeinsamer Teiler von a,..., a n. j= d) a und b heißen teilerfremd oder relativ rim, wenn (a, b) = und a + b 0 sind. a,...,a n heißen teilerfremd, wenn ggt (a,...,a n ) = und n a j 0 sind. a,...,a n heißen aarweise teilerfremd, wenn # {j Æ ; j n und a j = 0} und (a j, a k ) = für alle j Æ und alle k Æ mit j < k n gilt. j=

6 Seite 6 Kaitel Aus der aarweisen Teilerfremdheit folgt die Teilerfremdheit. Die Umkehrung braucht nicht zu gelten. Beisiel Es ist (6, 0, 5) =, aber es sind (6, 0) =, (6, 5) = 3 und (0, 5) = 5. Satz.6 (Minimaleigenschaft des ggt / Darstellung des ggt als Linearkombination) Voraussetzungen: Seien n Æ und a j für alle j Æ mit j n derart, dass n a j 0 ist. Behautung: Es ist (a,...,a n ) = min {d Æ; z... z n mit d = z a z n a n }. j= Dieser Satz wird säter bewiesen. Folgerung.7 Seien a {, b, d Æ, } n Æ, a j für alle j Æ mit j n, N := {m Æ ; m n} N N und σ : bijektiv derart, dass a m σ (m) + b 0 und n a j 0 sind. Dann gilt () d = (a, b) d a und d b und c Æ gilt (c a c b = c d) () (ca, cb) = c (a, b) c \ {0} (3) (a,...,a n ) = ( a σ(),..., a σ(n) ) Beweis: (i) Zu () = Es gelte d = (a, b), so gilt d a und d b und nach Satz.6 gibt es ein z und ein z mit d = z a + z b. Für alle c mit c a und c b, gibt es ein d mit a = d c und ein d mit b = d c, woraus folgt j= d = z a + z b = z d c + z d c = (z d + z d ) c. Also ist c auch ein Teiler von d für alle c mit c a und c b. (ii) Zu () = Es gelte d a, d b und c d für alle c mit c a und c b. Sei c := max {c Æ ; c a und c b}. Dann ist c = (a, b). Nach Voraussetzung gilt c d. Wegen d a, d b und d Æ ist aber d c nach Definition von c. Damit folgt also d = c = (a, b).

7 Teilbarkeit Seite 7 (iii) Zu () Sei c \ {0}. Es gelte d = (a, b). Zu zeigen ist also c d = (ac, bc). Nach Satz.6 gibt es ein z und ein z mit d = z a + z b, d a und d b. Nach Folgerung. (6) auf Seite 4 ist c d ein Teiler von a c und von b c. Dann teilt c d aber auch ac und bc. Sei e mit e (ac) und e (bc). Dann teilt e auch c d = c (z a + z b) = z a c + z b c = sign (c) z (ac) + sign (c) z (bc). Nach () ist c d = (ac, bc). (iv) Zu (3) (a,...,a n ) = ( a σ(),...,a σ(n) ) ist klar nach Satz.6. () kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden: Für alle a sei T (a) die Menge der Teiler von a. (T (0) =, T (a) < für alle a \ {0}) Dann gilt für alle a und alle b mit a + b 0 T (a) T (b) = T ((a, b)). (3) bedeutet, dass die Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers von beliebig vielen Zahlen nicht auf die Reihenfolge der Zahlen ankommt. Der Beweis zu Satz.6 beruht auf dem Euklidischen Algorithmus, dem ersten nicht auf der Hand liegenden algorithmischen Verfahren der Mathematik. Algorithmus.8 (Euklidischer Algorithmus) (Eukleides von Alexandria, um 300 vor Christus) Zu gegebenen n Æ und n Æ finde man ein k Æ und für alle j Æ mit j < k ein a j Æ und ein n j+ Æ, so dass das folgende Schema von Divisionen mit Rest gilt: n = a n + n 3 0 < n 3 < n n = a n 3 + n 4 0 < n 4 < n 3. n j = a j n j+ + n j+ 0 < n j+ < n j+. n k = a k n k + n k 0 < n k < n k n k = a k n k Behautung: Es ist n k = (n, n ).

8 Seite 8 Kaitel Beweis: (i) n k (n, n ) Sei d Æ ein gemeinsamer Teiler von n und n. Aus der ersten Zeile des Schemas folgt d n 3, aus der zweiten d n 4, also d n und d n = d n k. Also ist (n, n ) ein Teiler von n k und insbesondere gilt (n, n ) n k. (ii) n k ist gemeinsamer Teiler von n und n Umgekehrt ergibt sich n k n k, n k n k,..., n k n und n k n. Also ist n k ein gemeinsamer Teiler von n und n. Mit (i) folgt die Behautung. Zusatzbemerkungen. Für die Praxis ist es wichtig, bei Paaren großer Zahlen rasch festzustellen, ob sie teilerfremd sind. Der Euklidische Algorithmus ist hierfür gut geeignet. Am Beweis sieht man, dass statt mit den kleinsten ositiven Resten auch mit absolut kleinsten Resten gerechnet werden kann, d.h. in jedem Schritt erfolgt mindestens Halbierung, der Algorithmus stot nach C ln (min {n, n }) Divisionen.. Auch bei den kleinsten ositiven Resten stot er ähnlich schnell. Nach sätestens zwei Divisionen erfolgt Halbierung. Ist n < n, dann ist n 3 n : Ist bereits n n, dann ist es klar. Im Fall n > n lautet die erste Zeile n = n + n 3 mit n 3 < n. Ebenso bei den weiteren Divisionen. Zur Erinnerung sei der noch zu beweisende Satz.6 hier noch einmal angegeben. Satz.6 (Minimaleigenschaft des ggt / Darstellung des ggt als Linearkombination) Voraussetzungen: Seien n Æ und a j für alle j Æ mit j n derart, dass n a j 0 ist. Behautung: Es ist (a,...,a n ) = min {d Æ; z... z n mit d = z a z n a n }. j=

9 Teilbarkeit Seite 9 Beweis: (i) Anwenden des Euklidischen Algorithmus Seien n und n mit n + n 0. Aus dem Euklidischen Algorithmus.8 auf Seite 7 entnimmt man x x mit (n, n ) = x n + x n. ( ) (Denn nach der ersten Zeile läßt sich n 3 als ganzzahlige Linearkombination von n und n schreiben, nach der zweiten n 4, usw.) (ii) n = Der Beweis wird induktiv geführt. Es ist (a ) = a = min {d Æ ; z mit d = z a }. Sei nun also n > vorausgesetzt. (iii) Triviale Fälle Ist a j = 0 für alle j Æ mit j < n, so ist a n 0 und es folgt (0,...,0, a n ) = a n = min {d Æ ; z... z n mit d = z z n 0 + z n a n }. Ist a n = 0, so folgt n a j j=0 (a,...,a n, 0) = (a,...,a n ) 0 und die Induktionsvoraussetzung liefert =min {d Æ ; z... z n mit d = z a +...z n a n } =min {d Æ ; z... z n mit d = z a +... z n a n + z n 0}. (iv) Nichttrivialer Fall Es gelte nun a n 0 und a j 0 für ein j Æ mit j < n. Seien dann d n := (a,...,a n ) > 0 und d n := (d n, a n ) > 0. Aus ( ) entnimmt man z z n mit d n = z d n + z n a n. Die Induktionsvoraussetzung für a,...,a n liefert z... z n mit d n = z a z n a n. Ist k das im Satz genannte Minimum, dann folgt 0 < k d n. Da umgekehrt d n a,...,d n a n gilt, folgt d n k. Damit bleibt nur d n = k. Lemma.9 Voraussetzungen: Seien a, b und c mit b + c 0. Behautung: () Aus (a, c) = (b, c) = folgt (ab, c) =, sofern a + c 0 ist. () Aus c (ab) und (b, c) = folgt c a.

10 Seite 0 Kaitel Beweis: (i) Zu () Es gilt c (ac). Gilt c (ab) und (b, c) =, so teilt c auch (ab, ac) = a (b, c) = a, also c a. (ii) Zu () Es gelte a + c 0 und (a, c) = (b, c) =. Sei d := (ab, c). Mit Folgerung.7 () auf Seite 6 sieht man d (ab, ac) wegen d (ab) und d c bzw. d (ac). Nach Folgerung.7 () ist (ab, ac) = a (b, c) = a und somit ist d ein Teiler von a. Mit d c und Folgerung.7 () folgt d (a, c). Wegen (a, c) = bleibt nur d =. Definition.0 (Kleinstes gemeinsames Vielfaches) Sind n Æ und a j \ {0} für alle j Æ mit j n, so heißt kgv (a,...,a n ) := min {m Æ; j Æ mit j n gilt a j m} kleinstes gemeinsames Vielfaches von a,..., a n. Kurz: [a,...,a n ] := kgv (a,...,a n ). Hinweis Wird die Gauss Klammer auch mit eckigen Klammern geschrieben, so darf im Fall n = das kleinste gemeinsame Vielfache nicht mit der Gauss Klammer verwechselt werden. Für alle a Æ ist kgv ( a ) = a, aber a = a. Satz. (Satz über das kleinste gemeinsame Vielfache) Voraussetzungen: Seien n Æ, a j \ {0} für alle j Æ mit j n und b. Behautung: () b ist gemeinsames Vielfaches von a,..., a n (d.h. a b,...,a n b) genau dann, wenn b Vielfaches von [a,...,a n ] ist. () Es ist [a, a ] (a, a ) = a a, falls n = ist. Folgerung.7 () auf Seite 6 und Satz. entsrechen einander: a) Die Menge der gemeinsamen Teiler von a,..., a n ist gleich der Menge der Teiler von (a,...,a n ). b) Die Menge der gemeinsamen Vielfachen von a,...,a n ist gleich der Menge der Vielfachen von [a,...,a n ]. Beweis: (i) zu () Für diesen Beweisunkt gelte n =. Sei m Æ ein Vielfaches von a und a.

11 Teilbarkeit Seite Dann gibt es ein b mit m = a b und m ist zugleich Vielfaches von a. Damit folgt k := m a = a b a. Seien d := (a, a ), c := a d und c := a d. Nach Folgerung.7 () auf Seite 6 ist (c, c ) =. Dies ergibt k = a b = c b, also c c b. a c Wegen (c, c ) = und Lemma.9 () auf Seite 9 folgt c b und es gibt ein c mit b = c c. Es folgt m = a b = a c c = a a d c. Also wird jedes gemeinsame Vielfache von a und a von a a (a, a ) geteilt. Das kleinstmögliche gemeinsame Vielfache von a und a ist damit a a (a, a ). Das ist Behautung (). (ii) zu () Die letzten Überlegungen beinhalten Aussage () für n =. Im Fall n = ist Aussage () trivial. Die Erweiterung von () auf n > erfolgt induktiv. Man erhält ähnlich wie beim ggt die Rekursion [a,...,a n ] = [[a,...,a n ], a n ]. Bemerkung. Satz. () gilt i.a. nicht für n 3. Richtig ist dagegen: a,...,a n sind genau dann aarweise teilerfremd, wenn [a,...,a n ] = a... a n. Beweis: (i) = Der Beweis wird durch Induktion geführt. Der Induktionsanfang (n = ) ist Satz. (). Mit der Induktionsvoraussetzung und Satz. () folgt für n [a,...,a n+ ] = [[a,..., a n ], a n+ ] = [ a... a n, a n+ ] = a... a n a n+ = a... a n+. ( a... a n,a n+ ) }{{} = (ii) = Der Beweis wird durch Induktion geführt. Der Induktionsanfang (n = ) ist Satz. (). Mit der Voraussetzung und Satz. () folgt für n a... a n+ = [a,...,a n+ ] = [[a,...,a n ], a n+ ] = [a,...,a n ] a n+ ([a,...,a n ], a n+ ).

12 Seite Kaitel Das heißt, ([a,...,a n ], a n+ ) a... a n = [a,...,a n ]. Also ist a... a n ein Teiler von [a,...,a n ]. Da a... a n ein Vielfaches von a j für alle j Æ mit j n ist, ist a... a n [a,...,a n ]. Es bleibt nur a... a n = [a,..., a n ]. Damit folgt ([a,...,a n ],a n+ ) =. Das heißt insbesondere (a j, a n+ ) = für alle j Æ mit j n. Nach Induktionsvoraussetzung folgt aus a... a n = [a,...,a n ] außerdem (a j, a k ) = für alle j Æ und alle k Æ mit j < k n. Die Primzahlen als multilikative Bausteine der ganzen Zahlen bilden eine wichtige Teilmenge von Æ und haben von Beginn an die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf sich gezogen. Definition.3 (Primzahlen) a) Æ heißt Primzahl (oder rim), wenn > ist und nur die natürlichen Teiler und besitzt. È := {q Æ; q ist Primzahl} ist die Menge aller Primzahlen. b) n Æ \ {} heißt zusammengesetzt, wenn n keine Primzahl ist. Folgerung.4 (Lemma von Euklid) Behautung: Æ \ {} ist genau dann eine Primzahl, wenn a Æ b Æ mit (ab) folgt: ( a oder b). Beweis: (i) = Seien È eine Primzahl, a Æ und b Æ mit (ab). Ist d := (, a) >, so muss d = sein. Dann folgt a. Im Fall (, a) = folgt b nach Lemma.9 () auf Seite 9. (ii) = Die Umkehrung ist simel. Sei n Æ \ {} zusammengesetzt. Dann gibt es n Æ \ {} und n Æ \ {} mit n = n n. Insbesondere gilt n n n. Wegen n > und n > ist n > max {n, n } und deshalb gilt weder n n noch n n.

13 Teilbarkeit Seite 3 Satz.5 (Unendlichkeit der Primzahlmenge (Euklid)) Behautung: Es existieren unendlich viele Primzahlen. Beweis: (i) Erster Beweis (nach Euklid) Jedes n Æ \ {} besitzt mindestens einen Primteiler (also Teiler, der Primzahl ist), beisielsweise den kleinsten Teiler d von n mit < d n. Seien k Æ und j È für alle j Æ mit j k verschiedene Primzahlen. (Das heißt z.b., es ist j < j+ für alle j Æ mit j k.) Dann ist jeder Primteiler von n := + k j > von,..., k verschieden. j= Denn aus q È, q n und q = j für ein j Æ mit j k folgte q, was nicht sein kann. Auf diese Weise können unendlich viele Primzahlen gewonnen werden. (ii) Zweiter Beweis (nach Euler) Angenommen es gibt ein k Æ und für alle j Æ mit j k ein j È mit È = { j È ; j Æ mit j k}. Das heißt,,..., k sind alle Primzahlen. Dann ist das Produkt ( ) = ( ) l È È konvergent, da es endlich ist. Mit dem Satz über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.7 auf Seite 5 (zu dessen Beweis die Unendlichkeit der Primzahlmenge nicht benutzt wird) sieht man, dass das Produkt mit n übereinstimmt. Die Divergenz der harmonischen Reihe ergibt einen Widersruch. (iii) Dritter Beweis Im Zusammenhang mit der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären n Ecks (n Æ) mit Zirkel und Lineal taucht das Problem auf, welche der Zahlen m + mit m Æ rim sind. Weil für alle k Æ und alle (ungeraden) l Æ mit l kl + = ( k + ) ( k(l ) k(l ) + + ) ist, kann dies nur der Fall sein, wenn m selbst Zweierotenz ist. Zu Ehren ihres ersten Untersuchers Pierre de Fermat (60 665) nennt man die Zahlen l=0 F n := n + mit n Æ 0 Fermat Zahlen. Diese Zahlen sind aarweise teilerfremd. Es gilt (F n, F m ) = n Æ m Æ mit n m

14 Seite 4 Kaitel (Die Teilerfremdheit folgt mit F n+k = F n ( ) d k d k + + für alle n Æ und alle k Æ mit d := n.) Jede unendliche Folge aarweise teilerfremder Zahlen liefert unendlich viele Primteiler. Die Tatsache, dass F,...,F 4 rim sind, führte Fermat zu der Vermutung, dass dies für alle F n zutrifft. Euler widerlegte diese Vermutung durch das Beisiel F 5 = Ebenso sind F 6, F 7 und F 8 Produkte aus zwei Primzahlen. Bis heute kennt man kein weiteres rimes F n. Die Frage, ob es unter den F n weitere, oder gar unendlich viele Primzahlen gibt, dürfte für lange Zeit noch unangreifbar sein. Ein einfaches Verfahren zur Aufstellung von Primzahllisten ist Algorithmus.6 (Sieb des Eratosthenes) (Eratosthenes, 76? 94? vor Christus) Sei N Æ \ {}. ) Man schreibe die Zahlen,...,N auf. ) Man streiche die echten Vielfachen von. ) Man gehe zur nächsten nicht gestrichenen Zahl und streiche hiervon alle echten Vielfachen, usw. 3) Man höre auf, wenn die nächste ungestrichene Zahl größer als N ist. Behautung: Die nicht gestrichenen Zahlen sind die Primzahlen kleiner oder gleich N. Beweis: Es geht keine Primzahl verloren, denn es werden nur echte Vielfache von Zahlen größer oder gleich gestrichen. Jedes zusammengesetzte n Æ mit n N wird gestrichen, denn es hat einen Primteiler È mit N. Dieses wird nicht gestrichen, n als echtes Vielfaches von fällt weg. Zur Kenntnis der multilikativen Struktur von ist der folgende Satz grundlegend. Obwohl er intuitiv wesentlich früher benutzt wurde, ist er erst von Gauss in exakter Form angegeben worden.

15 Teilbarkeit Seite 5 Satz.7 (Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung) Behautung: Jedes n > besitzt genau eine Darstellung ( kanonische Zerlegung ) n = k... k l l mit l Æ, j È, k j Æ für alle j Æ mit j k und j < j+ für alle j Æ mit j < k. { } È Æ Æ0 Anders formuliert gibt es also genau eine Funktion α : (, n) T α,n n = È α,n für alle n Æ. ((, n) T ist der Vektor aus È Æ mit Einträgen und n.) mit Dabei ist das Produkt über alle Primzahlen erstreckt und a,n 0 gilt für ein festes n Æ nur für endliche viele È. Es ist α, = 0 für alle È. Beweis: (i) Existenz Der Beweis verläuft induktiv. Falls n Æ nicht rim ist, zerfällt es in zwei Faktoren n Æ \ {} und n Æ \ {} mit n = n n. Wegen min {n ; n } > und n = n n ist max {n ; n } < n. Nach Induktionsvoraussetzung sind n und n Produkte von Potenzen von Primzahlen. Also ist auch n = n n ein Produkt aus Potenzen von Primzahlen. (ii) Eindeutigkeit Es gebe Zahlen mit zwei Darstellungen. n Æ \ {} sei unter diesen die Kleinste. Seien k Æ, l Æ, j È, α j È für alle j Æ mit j k, q h È, β h È für alle h Æ mit h l derart, dass j < j+ für alle j Æ mit j < k und q h < q h+ für alle h Æ mit h < l und n = k j= α j j = gilt. Es ist q h für alle h Æ mit h l, da sonst durch dividiert werden könnte, und man ein kleineres ñ mit zwei Darstellungen erhielte. Also ist (, q h ) = (denn (, q h ) > bedingte = q h ) für alle h Æ mit h l. Aus ( ) sieht man ) Sei ñ := q β l h= q β h h. ( q q β Lemma.9 () auf Seite 9 und (, q ) = bewirken ñ. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt schließlich zu q l, was wegen (, q l ) = ausgeschlossen ist. l h= l h= q β h h q β h h. ( )

16 Seite 6 Kaitel Hinweis Wird im Folgenden n = a... a k oder n = a geschrieben, so ist stets die eindeutige k Primfaktorzerlegung im Sinne von Satz.7 gemeint. Die Eigenschaften der Parameter k, j und a j werden nicht mehr genauer definiert. È Für das Weitere ist eine einfache Feststellung wichtig. Bemerkung.8 Für n Æ und d Æ mit n = È a, und d = È b gilt d n ist b a. Beweis: Die Richtung = ist klar. Es gelte also d n und b > a für (mindestens) ein È. Seien m := n d und c :=. Es sind m Æ und c Æ. b d Damit folgt n = md = mc b und somit n a = c b a m. Links steht ein ñ Æ, in dessen Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, während es rechts mit einem Exonenten von mindestens b a > 0 auftritt. Dies widersricht dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung.7 auf der vorherigen Seite. Es gilt # { d Æ; d k j= Mit Bemerkung.8 sieht man unmittelbar a j j } = k (a j + ). Satz.9 (Primfaktorzerlegung von ggt und kgv) Voraussetzungen: Seien k Æ und n j = È a,j Æ für alle j Æ mit j k. Seien j= A := min k (a,j) und B := max k j= j= (a,j).

17 Teilbarkeit Seite 7 Behautung: Dann gilt (n,...,n k ) = È A und [n,...,n k ] = È B. Beweis: (i) (n,..., n k ) Bemerkung.8 auf der vorherigen Seite liefert, dass È A für alle j Æ mit j k ein Teiler von n j ist. Ist c = α,c nun ein gemeinsamer Teiler der n j mit j Æ und j k, so ist α,c a,j für È alle j Æ mit j k und alle È. Damit folgt für alle È α,c A = min k (a,j). j= Bemerkung.8 auf der vorherigen Seite zeigt c A und mit Folgerung.7 () auf Seite 6 folgt È (n,...,n k ) = È A. (ii) [n,..., n k ] Bemerkung.8 auf der vorherigen Seite liefert, dass È B für alle j Æ mit j k ein Vielfaches von n j ist. Ist m = α,m nun ein gemeinsames Vielfaches der n j mit j Æ und j k, so ist È α,m a,j für alle j Æ mit j k und alle È. Damit folgt für alle È Dies zeigt È B m und es folgt α,m B = k max j= (a,j). [n,...,n k ] = È B. Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung besagt, dass jedes nicht Null Element des Ringes eindeutig als Produkt von unzerlegbaren Elementen È und einer Einheit e {, } geschrieben werden kann. Die nächsteinfachen Bereiche sind die Ringe [ a ] := { b + b a ; b und b } für a \ {k ; k }. Hier können in naheliegender Weise Einheiten und Primelelemente definiert werden. Wie das Beisiel 6 = 3 = ( + 5 ) ( 5 ) in [ 5 ] zeigt, kann die Eigenschaft der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primfaktoren verloren gehen. Diese Probleme bilden den Ausgangsunkt zur algebraischen Zahlentheorie.

18 Seite 8 Kaitel Kaitel : Kongruenzen und Restsysteme Bei Division durch eine feste Zahl m Æ bilden die kleinsten nichtnegativen Reste eine m eriodische Folge. Für zahlreiche Fragen reicht es aus, das Verhalten innerhalb einer Periode zu studieren. Definition. (kongruent modulo m) Für m Æ heißen a und b kongruent modulo m, wenn m (b a). (D.h., wenn b = a + gm für ein g ist.) Kurz: a b mod m oder a b (m). m heißt Modul der Kongruenz. Folgerung. Seien a, b, c, a, b, a und b. Seien k Æ, m Æ, m j Æ für alle j Æ mit j k, n und f [x]. Dann gilt () a b (m) a und b lassen bei Division durch m denselben kleinsten nichtnegativen Rest. () a b (m) und b c (m) = a c (m). (3) a b (m) und a b (m) = (a + a ) (b + b ) (m) und a a b b (m). (4) a b (m) = f (a) f (b) (m). ( (5) na nb (m) = a b m (n,m) ). Insbesondere a b (m), falls (n, m) =. (6) a b (m j ) für alle j Æ mit j k a b ([m,..., m k ]). (7) a b (m) = (a, m) = (b, m). Beweis: Die Eigenschaften (), () und (3) sind unmittelbar einzusehen. (4) entsteht durch mehrfache Anwendung von (3). m Mit der Definition sieht man n (n, m) (b a). ( ) (n, m) m Wegen (m, n), n = und Lemma.9 () auf Seite 9 gilt (m, n) Das ist Behautung (5). (6) ist klar. (7) ergibt sich aus m (m, n) (b a) a b (m) = (d m d a d m d b).

19 Kongruenzen und Restsysteme Seite 9 Die Relation mod m ist für alle m Æ offenbar eine Äquivalenzrelation auf, zerlegt also in m aarweise disjunkte Äquivalenzklassen. Definition.3 (Restklassen) Für alle m Æ heißen die Äquivalenzklassen der Relation modulo m. mod m auf Restklassen Folgerungen.4 () Für alle m Æ haben die Restklassen modulo m die Gestalt x + m := {(x + ma) ; a } mit x. (Ist der Modul m Æ klar, so schreiben wir auch kurz x := x + m.) Für alle m Æ, alle x und alle y ist () Für alle m Æ wird durch x + m = y + m x y mod m. (x + m ) + (x + m ) := (x + x ) + m (Kurz: x + x = x + x ) auf m, der Menge der Restklassen modulo m, eine Verknüfung definiert, die m zu einer Grue macht. (3) Für alle m Æ ist ( m, +) zyklisch. Für alle m Æ und alle a ist a + m genau dann ein erzeugendes Element von ( m, +), wenn (a, m) = ist. Beweis: () ist klar. Sei m Æ. Die Definition der Addition in () ist unabhängig von den Reräsentanten. Denn sind x, x, x und x mit x j x j + m, also x j x j mod m für alle j {, }, dann folgt x + x (x + x ) mod m, also (x + m ) + (x + m ) = (x + x ) + m. Assoziativität und Kommutativität der Verknüfung gelten wie in. 0 + m ist das neutrale Element, zu x + m mit x ist (m x) + m das Inverse. + m ist Erzeugendes der Grue. Die letzte Bemerkung in (3) wird im Anschluss an die nächste Definition bewiesen.

20 Seite 0 Kaitel Definition.5 (vollständiges Restsystem) a) Für alle m Æ heißt ( m, +) mit m und + wie in Folgerung.4 () additive Restklassengrue modulo m. b) {x,...,x m } heißt vollständiges Restsystem modulo m Æ wenn x j x k mod m für alle j Æ und alle k Æ mit j < k m ist, bzw. jede Restklasse modulo m genau ein x j mit j Æ und j m enthält. Folgerung.6 Seien m Æ, {x,...,x m } ein vollständiges Restsystem modulo m, a und b Dann ist {x + a,...,x m + a} ein vollständiges Restsystem modulo m. {x b,...,x m b} ist genau dann ein vollständiges Restsystem mod m, wenn (b, m) = ist. Beweis: Mit x und y sind auch x + a und y + a modulo m inkongruent. Dasselbe gilt nach Folgerung. (5) auf Seite 8 für xb und yb, falls (b, m) = ist. Sei nun d := (m, b) > vorausgesetzt. Dann ist m < m und m 0 (m). d d Gilt obda x 0 (m) und x m (m), dann folgt d ( m ) x b 0 (m) und x b d b mod m Also bildet {x b,..., x m b} kein vollständiges Restsystem modulo m. ( ) b d m mod m 0 (m). Dies beinhaltet Folgerung.4 (3) auf Seite 9, denn x + m erzeugt ( m, +) genau dann, wenn {x 0, x,...,x (m )} ein vollständiges Restsystem modulo m ist. ( m, ) mit (x + m ) (y + m ) := xy + m für alle x und alle y ist für alle m Æ assoziativ und kommutativ, + m wirkt als neutrales Element, aber nicht für alle x + m existiert ein multilikatives Inverses, z.b. im Fall m für 0 + m. Satz.7 (multilikative Inverse) Behautung: Zu a + m mit a und m Æ existiert genau dann ein multilikatives Inverses, also ein a mit wenn (a, m) = ist. (a + m ) (a + m ) = + m, Die maximale Teilmenge der Restklassen modulo m, auf der die Multilikation zur Gruen Eigenschaft führt, ist somit die Menge der sogenannten reduzierten Restklassen (siehe Definition.8).

21 Kongruenzen und Restsysteme Seite Beweis: Seien a und m Æ mit (a, m) =. Nach Satz.6 auf Seite 6 existieren ein a und ein z mit aa + mz =. Dies bedeutet aa (m) oder (a + m ) (a + m ) = + m. Gibt es ein b und ein b mit (b + m ) (b + m ) = + m, so gilt bb (m). Also gibt es ein g mit bb = + gm und aus (b, m) b und (b, m) m ergibt sich (b, m). Dies zeigt (b, m) =. Definition.8 a) a + m mit a und m Æ heißt reduzierte oder rime Restklasse modulo m, wenn (a, m) = ist. (Nach Folgerung. (7) auf Seite 8 besteht die gesamte Restklasse aus zu m teilerfremden Zahlen, wenn dies für nur ein Element zutrifft.) b) (Die Anzahl der reduzierten Restklassen modulo m Æ heißt ϕ (m).) { } Æ Æ ϕ : wird als Euler sche ϕ n ϕ (n) := # {a Æ ; a n und (a, n) = } Funktion oder kurz Euler Funktion bezeichnet. (Leonhard Euler, ). c) Die Menge der ϕ (m) reduzierten Restklassen modulo m Æ wird mit m abgekürzt. Die (nach Satz.7 auf der vorherigen Seite) abelsche Grue ( m, ) heißt multilikative Restklassengrue modulo m. d) Jedes Vertretersystem { x,...,x ϕ(m) } der ϕ (m) reduzierten Restklassen modulo m Æ heißt reduziertes oder rimes Restsystem modulo m. ( rim besagt hier nicht, dass die x j Primzahlen sein sollen). Folgerung.9 Sind { x,...,x ϕ(m) } ein reduziertes Restsystem modulo m Æ und a mit (a, m) =, so ist auch { ax,...,ax ϕ(m) } eines. Der Beweis verläuft wie der zu Folgerung.6. Für m Æ \ {} sind die m È offenbar die einzigen Moduln, zu denen alle a + m mit a \ (0 + m ) ein multilikatives Inverses besitzen. (+,, 0 +, + ) ist genau für alle È ein Körer. Für kein anderes m Æ \({} È) hat m (+,, 0 + m, + m ) diese Eigenschaft. In der Algebra wird gezeigt, daß es exakt zu den m { k Æ ; È und k Æ } einen Körer mit m Elementen gibt. Dieser ist bis auf Isomorhie eindeutig bestimmt und wird als GF ( k) (Galois Feld; Evariste Galois, 8 83) bezeichnet. Für k Æ \ {} und È ist die Konstruktion der GF ( k) ein wenig verwickelter als für k = und È.

22 Seite Kaitel Satz.0 (Werte von ϕ) Voraussetzungen: Seien m Æ, n Æ mit (n, m) =, { x,...,x ϕ(m) } ein reduziertes Restsystem modulo m und { y,...,y ϕ(n) } ein reduziertes Restsystem modulo n. Seien È, k Æ, l Æ, j È und a j Æ für alle j Æ mit j l derart, dass j < j+ für alle j Æ mit j < l gilt. Behautung: () {(x j n + y h m) ; j Æ mit j ϕ (m) und h Æ mit h ϕ (n)} ist ein reduziertes Restsystem modulo mn. () Es gilt ϕ (mn) = ϕ (m) ϕ (n) (d.h. die zahlentheoretische Funktion ϕ : Æ Æ ist multilikativ ). (3) Es sind ϕ ( ( l ) k) l = ( ) k und ϕ a j j = ( j ) a j j. j= j= Beweis: (i) Zu () und () Die ϕ (m) ϕ (n) Zahlen aus der angegebenen Menge sind zu mn teilerfremd: Seien j Æ mit j ϕ (n) und h Æ mit h ϕ (n). Hat mn mit z jh := x j n + y h m einen Primteiler È gemeinsam, dann gilt obda n, also (y h m) = z jh x j n. Wegen (y h, n) = und Lemma.9 () auf Seite 9 folgt m, also (m, n) =, was nicht sein kann. Die z jh sind mod mn aarweise inkongruent: Seien j Æ und h Æ mit j ϕ (m), h ϕ (n) und Dann folgt x j n + y h m (x j n + y h m) mod mn. m ((x j x j ) n + (y h y h ) m), also m (x j x j )n. Mit (m, n) = und Lemma.9 () ergibt sich m (x j x j ), bzw, x j x j mod m. Das heißt aber j = j. Ebenso folgt h = h. Außerdem ist jedes z mit (z, mn) = zu einem der z jh modulo mn kongruent. Denn nach Satz.6 auf Seite 6 existieren x und y mit z = x n + y m. Hier muss (x, m) = (y, n) = sein, da ansonsten (z, mn) > wäre. Es gibt also ein j Æ mit j ϕ (m) und ein h Æ mit h ϕ (n), so dass ist. Dies zeigt () und (). x x j (m) und y y h (n), also z (x j n + y hm) mod mn

23 Kongruenzen und Restsysteme Seite 3 (ii) Zu (3) Es ist ϕ ( k) = # { a Æ ; a k und a } = # { a Æ ; a k} # { a Æ ; a k und a 0 () } = k k. Die letzte Formel entsteht durch mehrfaches Anwenden von () und dem Vorigen. Die nun folgende Kongruenz gehört zu den wichtigsten Aussagen der elementaren Zahlentheorie. Zum Anschluss an dieses Kaitel soll auf eine Anwendung in der Krytografie (RSA Verfahren) eingegangen werden. Satz. (Eulersche Kongruenz) Behautung: Für alle a und alle m Æ mit (a, m) = gilt a ϕ(m) mod m. Für alle b und alle È gilt b b mod (Fermat Kongruenz). Beweis: Seien m Æ, { x,...,x ϕ(m) }, { y,...,y ϕ(m) } zwei reduzierte Restsysteme modulo m, a mit (a, m) =, b und È. Dann folgt nach eventueller Umbenennung x j y j (m) für alle j Æ mit j ϕ (m). Mehrfache Anwendung von Folgerung. (3) auf Seite 8 ergibt P := ϕ(m) j= x j ϕ(m) j= y j mod m. ( ) Außerdem ist (P, m) =, da (x j, m) = für alle j Æ mit j ϕ (m) ist. Nach Folgerung.9 auf Seite darf als { y,...y ϕ(m) } das System { ax,...,ax ϕ(m) } genommen werden. Dann wird aus ( ) P a ϕ(m) P mod m. Da (P, m) =, kann nach Folgerung. (5) P gekürzt werden. Ist (b, ) =, so folgt b b mod aus ϕ () = und dem Vorherigen. Ist (b, ), so ist b 0 mod und deshalb auch b 0 mod.

24 Seite 4 Kaitel Bemerkung Die Fermat Kongruenz wird oft auch in der Form b mod für alle b und alle È mit b angegeben. Die Eulersche Kongruenz ist ein Sezialfall eines gruentheoretischen Satzes: Behautung: Ist G eine Grue mit n Æ Elementen und dem neutralen Element e G, so gilt für jedes g G g n = e. Der Beweis beruht auf der gleichen Idee wie der eben ausgeführte Beweis. Bemerkung (Die Fermat Kongruenz als Glaserlensiel ) Es sollen Halsketten aus je È Perlen gebastelt werden. Dazu stehen Perlen in a Æ \ {} verschiedenen Farben zur Verfügung ( a). Wieviele mögliche Halsketten gibt es, die aus Perlen mit verschiedenen Farben bestehen? Es gibt a viele verschiedene einfarbige Ketten. Insgesamt gibt es a viele Möglichkeiten, Perlen hintereinander anzuordnen. Dies entricht der Anzahl der möglichen Ketten, bevor die Enden verknotet werden. Also gibt es a a viele verschiedene unverknotete bunte Ketten. Durch Verknoten der Enden werden jeweils solche Ketten miteinander identifiziert, weil man nun die Perlen auch über den Knoten schieben kann. Da die Ketten nicht einfarbig sind, sind dies tatsächlich viele und nicht weniger. Hier geht entscheidend der Primzahlcharakter von ein. Also gibt es a a viele verschiedene Möglichkeiten, aus Perlen, die a verschiedene Farben haben, Halsketten, die aus Perlen bestehen, zu basteln. Insbesondere folgt a a bzw. (a a) bzw. a a mod. Während die Struktur der Grue ( m, +) auf der Hand liegt, ist ( m, ) wesentlich mühsamer zu analysieren. Wie der nächste Satz der erste in dieser Vorlesung mit einigem Tiefgang zeigen wird, ist die Zyklizität der Grue eher die Ausnahme. Definition. (Primitivwurzeln und Ordnung) a) Für m Æ heißt ein a mit (a, m) = Primitivwurzel modulo m, wenn {a j Æ ; j Æ mit j ϕ (m)} ein reduziertes Restsystem modulo m bildet. Mit anderen Worten: a ist erzeugendes Element der Grue ( m, ).

25 Kongruenzen und Restsysteme Seite 5 b) Für alle m Æ und alle a mit (a, m) = heißt ord m (a) := min { d Æ ; a d mod m } Ordnung von a modulo m. Seien m Æ und a mit (a, m) =. Nach der Euler Kongruenz. auf Seite 3 gibt es ein d {j Æ ; j ϕ (m)} mit a d (m). Das kleinste solche d ist die Ordnung von a modulo m. Dies entsricht dem Begriff der Ordnung des Elements a + m in der Grue ( m, ). a ist demnach Primitivwurzel modulo m genau dann, wenn ord m (a) = ϕ (m) ist. Man beachte auch, dass ord m (b) nur für b mit (b, m) = definiert ist. ( m, ) ist genau dann zyklisch, wenn Primitivwurzeln modulo m Æ existieren. Satz.3 (Satz von Euler) Behautung: Zu m Æ existiert genau dann eine Primitivwurzel, wenn m {,, 4} { k Æ ; È \ {},k Æ } { k Æ ; È \ {},k Æ } ist. Der Beweis des Satzes verwendet sowohl einige Überlegungen zum Ordnungs Begriff, die auch außerhalb des Beweises interessant sind, als auch einen Satz von Lagrange. Diese werden zunächst aufgeführt, bevor der Satz von Euler dann bewiesen wird. Lemma.4 (Zum Begriff der Ordnung) Voraussetzungen: Seien m Æ und a mit (a, m) = Seien a mit (a, m) =, a mit (a, m) =, d := ord m (a ) und d := ord m (a ).

26 Seite 6 Kaitel Behautung: () Für alle j Æ 0 und alle k Æ 0 mit j < k ord m (a) ist a j a k mod m. (Die Zahlen a 0, a,...,a ordm(a) sind aarweise inkongruent modulo m.) () Für alle l Æ 0 und alle k Æ 0 gilt a l a k (m) l k (ord m (a)). Insbesondere gilt für alle l Æ 0 a l mod m ord m (a) l. (3) ord m (a) ϕ(m) (4) Sind n Æ und d Æ mit ord m (a) = nd, so gilt ord m (a n ) = d. (5) Ist (d, d ) =, so gilt ord m (a a ) = d d. Beweis: (i) Zu () Für alle j Æ und alle k Æ mit j < k ord m (a) und a j a k mod m folgt wegen (a, m) = mit Folgerung. (5) auf Seite 8 a k j mod m. Dies ist (wegen k j < ord m (a)) ein Widersruch zur Minimalität von ord m (a). (ii) Zu () Seien k Æ 0 und l Æ 0. Nach Satz.4 auf Seite 4 gibt es ein g k, ein r k Æ, ein g l und ein r l Æ mit r k < ord m (a), r l < ord m (a), k = g k ord m (a) + r k und l = g l ord m (a) + r l. Mit Folgerung. (3) auf Seite 8 folgt und a k = ( a ordm(a)) g k a r k gk a r k (m) a r k (m) a l = ( a ordm(a)) g l a r l gl a r l (m) a r l (m). Ist nun a l a k mod m, so folgt a r l a r k mod m und mit () ergibt sich r l = r k. Aus a l a k mod m folgt also l k mod ord m (a).

27 Kongruenzen und Restsysteme Seite 7 Ist umgekehrt l k mod ord m (a), so ist r l = r k und es folgt a l a r l mod m a r k mod m a k mod m. (iii) Zu (3) Nach der Euler schen Kongruenz. auf Seite 3 ist a ϕ(m) (m) a 0 (m). Mit () folgt ϕ (m) 0 (ord m (a)). (iv) Zu (4) Seien n Æ und d Æ mit ord m (a) = nd. Sei d := ord m (a n ). Dann gilt a nd = (a n ) d mod m a 0 mod m. Mit () und ord m (a) = nd folgt nd 0 (nd), bzw. die Existenz eines h mit nd = ndh. Also ist d = hd. Insbesondere ist h > 0, da d > 0 und d > 0 sind. Andererseits ist (a n ) d = a nd = a ordm(a) mod m (a n ) 0 mod m und mit () und d = ord m (a n ) folgt d d. Also ist d ein Vielfaches von d = hd, was nur für h = möglich ist. Das heißt aber d = d = ord m (a n ). (v) Zu (5) Sei e := ord m (a a ). Potenziert man die Kongruenz (a a ) e (m) mit d, so ergibt sich a ed a ed mod m. Wegen a ed = ( ) a d e e (m) wird daraus a ed a 0 mod m. Nach () und Lemma.9 () auf Seite 9 folgt also mit (d, d ) = d ed bzw. d e. Analog ergibt sich d e und erneut wegen (d, d ) = folgt Aus () und (a a ) d d = ( a d d d e. folgt umgekehrt e d d, woraus sich e = d d ergibt. ) d ( a d ) d d d (m) (a a ) 0 mod m Satz 3.5 (Satz von Lagrange) Voraussetzungen: Seien n Æ, a j für alle j Æ 0 mit j n und È mit (a n, ) =. Sei f : n x f (x) := a j x j das Polynom mit Koeffizientenfolge (a j) n j=0. j=0

28 Seite 8 Kaitel Sei R ein vollständiges Restsystem modulo. Behautung: Dann ist # {x R ; f (x) 0 mod } n. Es gibt also in jedem vollständigen Restsystem modulo È (insbesondere in {0,..., }) höchstens deg (f) viele Lösungen der Kongruenz f (x) 0 mod (f [x]). Diese Aussage ist klar, wenn man bedenkt, dass mod in dasselbe bedeutet wie = im Körer. Die Bedingung a n besagt, dass f als Polynom über den Grad n hat. Nach einem allgemeinen Satz der Algebra dessen Beweis im Folgenden im Prinzi gegeben wird besitzt f über höchstens n Nullstellen, was der Behautung entsricht. Beweis: Seien im Fall, dass es überhaut Lösungen gibt, x R mit f (x ) 0 mod. Polynomdivision ergibt f (x) = (x x ) g (x) + b. für alle x mit einem Polynom g vom Grad n, dessen Leitkoeffizient nicht von geteilt wird. x = x zeigt b 0 mod. Für alle x R \ {x } mit f (x) 0 mod ist nun (x x ) g (x) = f (x) 0 mod. Wegen x x 0 mod folgt also g (x) 0 mod für alle x R\{x } mit f (x) 0 mod. Die Behautung ergibt sich nun leicht induktiv. Für n = 0 gibt es wegen a 0 0 mod keine Lösung. Für n = werden x R mit a x + a 0 0 mod. gesucht. Wegen (a, ) = existiert ein a mit a a mod, also werden x R mit x + a 0 a 0 mod, gesucht. Im Fall n = gibt es modulo also genau eine Lösung. Hinweis Es darf hieraus nicht der Schluss gezogen werden, dass die Lösungsanzahl stets n ist. Es kann z.b. sein, dass für n gar keine Lösungen existieren. Nun kann auch Satz.3 bewiesen werden. Satz.3 (Satz von Euler) Behautung: Zu m Æ existiert genau dann eine Primitivwurzel, wenn m {,, 4} { k Æ ; È \ {}, k Æ } { k Æ ; È \ {},k Æ } ist.

29 Kongruenzen und Restsysteme Seite 9 Beweis: (i) m È \ {}. Seien È \ {}, d,...,d k alle modulo auftretenden Ordnungen und d = [d,..., d k ]. Es wird sich herausstellen, dass d = ϕ () = ist und selbst als Ordnung angenommen wird, was der Behautung entsricht.. Da alle d j mit j Æ und j k nach Lemma.4 (3) auf Seite 5 ϕ () = teilen, gilt d ( ), bzw. d. 3. Für jedes a ist ad mod, da ord (a) die Zahl d teilt. Die Kongruenz x d 0 mod hat Lösungen modulo, nämlich alle x mit x. Nach dem Satz von Lagrange 3.5 auf Seite 45 muss d sein und mit. folgt Wegen > ist damit auch d >. d =. 4. Sei d = q b... q b l l die kanonische Zerlegung von d. Sind d j = q b,j... q b l,j l für alle j Æ mit j k die Primfaktorzerlegungen der modulo auftretenden Ordnungen (einige der Exonenten können 0 sein), so gilt b h = max k b h,j j= nach Satz.9 auf Seite 6. Also gibt es ein c und ein d Æ mit (c, ) = und ord (c ) = q b d, und q d. (Man nehme zum Beisiel ein c mit (c, ) = und ord (c ) = d µ, wobei µ Æ mit µ k so gewählt ist, dass q b ein Teiler von d µ ist.) Nach Lemma.4 (4) existiert a (= c d ) mit ord (a ) = q b. Analog erhält man a,...,a l. Da die q b j j mit j Æ und j l aarweise teilerfremd sind, ergibt Lemma.4 (5) ord (a... a l ) = q b... qb l l = d. Mit 3. hat man ord (a... a l ) =. Das ist die Behautung.

30 Seite 30 Kaitel (ii) Die Existenz von Primitivwurzeln modulo k bzw. k mit k Æ. Es sei g eine Primitivwurzel modulo (> ). Es werden die Zahlen betrachtet. c l := (g + l) mit l Æ 0 und l Es gibt ein b 0 mit c 0 = g = + b 0. Für alle l Æ mit l gibt es ein y l mit c 0 = g = + b 0 c l = (g + l) = g + ( ) g l + y l = + (b 0 lg + (y l + g l )) = + b l mit b l := b 0 lg + (y l + g l) für alle l Æ mit l. Wegen (g, ) = durchlaufen mit l auch die b l ein volles Restsystem modulo. Insbesondere gibt es ein ν {0,..., } mit b ν. Dieses ν werde im Folgenden benutzt.. Seien k Æ und d := ord k (g + ν). Dann gilt (g + ν) d mod, und deshalb ist ein Teiler von d, da mit g auch g + ν Primitivwurzel modulo ist. 3. Nach Lemma.4 (3) gilt d ϕ ( k ) = k ( ), also gibt es mit. ein n Æ mit d = n ( ) und n k. 4. Aus (g + ν) = +b ν folgt schrittweise die Existenz von zu teilerfremden b ν,j mit j Æ, so dass (g + ν) ( ) = + b ν,, (g + ν) ( ) = + 3 b ν,, usw. gelten, indem die vorangehende Gleichung mit otenziert wird. Denn wegen > gilt für alle j Æ ( + j+ b ν,j ) = h= ( ) ( ) j+ h b ν,j = + j+ (b ν,j + y ν,j ) h für ein y ν,j. Mit b ν,0 := b ν setzt man für alle j Æ 0 also b ν,j+ := b ν,j + y ν,j, was für (b ν,j, ) = auch wieder teilerfremd zu ist.

31 Kongruenzen und Restsysteme Seite 3 Bemerkung Man beachte, dass bei y ν,j verwendet wird: Für = ist ( + b ν,j ) = + b ν,j + (b ν,j ) = + (b ν,j + bν,j) mit geradem b ν,j + b ν,j für alle j Æ 0 und alle b ν,j. Dieser roblematische Fall tritt auf, wenn im letzten Summanden ( ) b ν,j (j+) der Exonent (j + ) mit j + übereinstimmt. (j + ) = j + j ( ) = j =. Dies ist nur für j = 0 und = möglich. Aus der Kongruenz wird daher (g + ν) d = (g + ν) n ( ) mod k + n b ν,n mod k. Wegen 3. ist also n = k und g + ν Primitivwurzel modulo k. 5. Ist h Primitivwurzel modulo k, so ist die ungerade unter den Zahlen h und h + k Primitivwurzel modulo k. Denn nach Satz.0 auf Seite ist ϕ ( k) = ϕ ( k). Falls ein ungerades x ( + ) die Kongruenz x j mod k mit j Æ erfüllt, dann auch modulo k, und umgekehrt. Für ungerade x ( + ) ist also ord k (x) = ord k (x). (iii) m = k besitzt Primitivwurzeln nur für k = und k = ist eine Primitivwurzel modulo, da mod ist. 3 ist eine Primitivwurzel modulo 4, da 3 3 mod 4 und 3 = 9 mod 4 sind. Es ist ϕ ( k) = k nach Satz.0 auf Seite. Ein ungerades a ( + ) hat jedoch modulo k höchstens die Ordnung k, falls k 3 ist. Denn man sieht induktiv die Existenz von a j für alle j Æ mit a = + 8 a, a = + 6 a, a j = + j a j mod j. (Zu a : Es gibt ein b mit a = b +. Dann ist a = 4b + 4b + = 4 (b + b) +. z + z ist aber für alle z gerade.)

32 Seite 3 Kaitel Es sei bemerkt, dafür k 3 die k Zahlen ±5 0, ±5,..., ±5 k ein reduziertes Restsystem mod k bilden. Zum Beweis benutzt man was ord k (5) = k zeigt. 5 j 3 + j mod j für alle j Æ \ {, }, (iv) Ausschließen der weiteren m Æ Seien < m = q α... qµ αµ in kanonischer Zerlegung gegeben und c mit (c, m) =. Für jedes j Æ mit j µ gilt wegen der Eulerschen Kongruenz. auf Seite 3 c ϕ(qα j j ) α mod q j j. Ist f := [ ϕ (q α ),...,ϕ( )] qµ αµ, so folgt c f mod q α j j c f mod m. für alle j Æ mit j µ, also ist Wegen f ϕ (m) existieren Primitivwurzeln modulo m also nur, wenn ϕ (q α )... ϕ ( ) [ qµ αµ = ϕ (m) = f = ϕ (q α ),...,ϕ( )] qµ αµ ist. Falls m mindestens zwei ungerade Primteiler besitzt, ist f ϕ(m). Im Fall m = α q α mit α und q > gilt dies ebenfalls. Also bleiben wegen (iii) nur die im Satz genannten m. Zusatzbemerkungen. Falls zu m Æ eine Primitivwurzel g existiert, bilden die Zahlen g j mit j Æ und j ϕ (m) ein reduziertes Restsystem modulo m. Man überzeugt sich leicht, dass g l genau dann Primitivwurzel modulo m ist, wenn (ϕ (m),l) = gilt. Somit gibt es zu den in Satz.3 genannten m genau ϕ (ϕ (m)) modulo m verschiedene Primitivwurzeln.. Die Struktur der abelschen Grue m kann vollständig beschrieben werden. Ist < m = q α... q αµ µ, dann zeigt Satz.0 auf Seite m = q α... q αµ µ ( bedeutet das direkte Produkt). Für q j > (j Æ, j µ) ist q α j isomorh zur ( ) j zyklischen Grue ϕ(q α j j ), +. Für q = und k 3 ist nach der Bemerkung in (iii) k k (links mit der Multilikation, rechts mit der Addition).

33 Kongruenzen und Restsysteme Seite Die Konstruktion von Primitivwurzeln modulo È erfolgt, wie in (i) 4. angegeben, sofern die Primfaktorzerlegung von ϕ () vorliegt. Hat man eine Primitivwurzel modulo È gefunden, kann man wie in (ii) beschrieben zu Primitivwurzeln modulo k und modulo k mit k Æ aufsteigen. 4. Eine bis heute unbewiesene Behautung von Artin besagt, dass für unendlich viele È eine Primitivwurzel modulo ist. Beweis: (von. und.) (i) Zu. = Seien m Æ, g Æ eine Primitivwurzel modulo m und l Æ. Dann gilt ( ) ( g l ϕ(m) l ϕ(m) (ϕ(m),l) = g (ϕ(m),l)) mod m nach der Euler Kongruenz. auf Seite 3. Damit ist die Ordnung von g l höchstens ϕ(m) (ϕ(m),l). Wenn g l eine Primitivwurzel modulo m ist, hat es Ordnung ϕ (m), was nur mit (ϕ (m), l) = möglich ist. (ii) Zu. = Es gelte nun (ϕ (m), l) =. Dann gibt es ein x und ein y mit = xl + yϕ (m). Mit der Euler Kongruenz. auf Seite 3 folgt g = g = g xl+yϕ(m) = g xl (g ϕ(m)) y g xl mod m. Ist d := ord m ( g l ), so gilt g ld = ( g d) l mod m. Erhebt man diese Kongruenz in die x te Potenz, so zeigt sich mit g g xl mod m g xld mod m ( g xl) d mod m g d mod m. Da g eine Primitivwurzel ist, folgt ϕ (m) d aus Lemma.4 () auf Seite 5. Mit Lemma.4 (3) ergibt sich d ϕ(m), was zu d = ord m ( l ) = ϕ (m) führt. Dies charakterisiert g l als Primitivwurzel modulo m. (iii) Zu. Seien k Æ und n Æ mit (k, n) =. Die Abbildung { kn k n a + kn (a + k, a + n ) T ist bijektiv. Wegen Satz.0 () auf Seite genügt es, die Injektivität zu zeigen, da beide Mengen endlich sind und gleich viele Elemente haben. Ist z mit z mod k und z mod n, so folgt aus (k, n) = und Folgerung. (6) auf Seite 8 z mod mn. Damit ist die Abbildung injektiv und deshalb auch bijektiv. Induktive Anwendung über die Anzahl der verschiedenen Primteiler des gegebenen Moduls liefert die Behautung. }

34 Seite 34 Kaitel Im folgenden Satz wird die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen in Ziffernsystemen behandelt, im Anschluss daran die wohlbekannten Teilbarkeitsregeln im Zehnersystem. Satz.5 (Ziffernsysteme) Voraussetzung: Sei g Æ \ {}. Behautung: Dann existieren zu jedem n Æ eindeutig ein k Æ 0 (k + = Stellenzahl) und für alle j Æ mit j k je ein a j Æ 0 mit a j g (Ziffern), so dass a k 0 und k n = a j g j sind. j=0 Beweis: (i) Existenz Zu jedem n Æ existiert genau ein k Æ 0 mit g k n < g k+. Der Existenzbeweis wird durch Induktion nach k geführt. Für k = 0 ist nichts zu zeigen. Seien n Æ und k Æ 0 mit g k+ n < g k+. Man setze n n := n g k+. g k+ Mit der Definition der Gauss Klammer folgt 0 n < g k+, d.h. auf n ist die Induktionsvoraussetzung anwendbar. Wegen n n n < g ist < g, d.h. ist als Ziffer g k+ g k+ g k+ a k+ 0 verwendbar. (ii) Eindeutigkeit Seien m = k a j g j und m = r b j g j zwei verschiedene Darstellungen von m Æ. j=0 j=0 Ist k r, so seien a k+ := 0 und b r+ := 0 Sei l := max {j Æ 0 ; j max {k, r} und a j b j } der größte Stelle, an der sich die Darstellungen unterscheiden. Dann folgt l (b l a l ) g l = (a j b j ) g j. j=0 Im Fall l = 0 ist dies offensichtlich widersrüchlich. Für l ist (bl a l ) g l g l, während l l (a j b j ) g j (g ) g j = (g ) gl g < gl j=0 ist, was nicht zusammenasst. j=0

35 Kongruenzen und Restsysteme Seite 35 Die wohlbekannten Teilbarkeitsregeln erweisen sich als Anwendung der Kongruenzrechnung. Satz.6 (Teilbarkeitsregeln für, 3, 4, 5, 8, 9 und ) Voraussetzungen: { } Æ Æ0 Seien n Æ 0, k Æ 0 und a : mit a j a j < 0 für alle j Æ derart, dass j n = k a j 0 j ist j=0 Behautung: Dann gelten die folgenden Teilbarkeitsregeln. () n a 0, () 4 n 4 a a, (3) 8 n 8 a a + 00 a, (4) 5 n 5 a 0, k (5) 3 n 3 a j, j=0 k (6) 9 n 9 a j, j=0 k (7) n ( ) j a j. j=0 Beweis: (von (7), der Rest geht analog) Wegen 0 mod ist 0 j mod und 0 j+ mod für alle j Æ. Also gilt n k a j 0 j 0 mod j=0 k ( ) j a j 0 mod. j=0

36 Seite 36 Zwischenkaitel Etwas Algorithmische Zahlentheorie Schnelles Potenzieren Satz (Schnelles Potenzieren) Behautung: Für alle m Æ, alle a mit (a, m) = und alle d Æ ist die Berechnung des Rests der (hohen) Potenz a d modulo m mit sukzessiven Quadrieren ( schnelles Potenzieren genannt) in wenigen Rechenschritten möglich; es genügen höchstens log (d) viele Multilikationen. Hinweis: Diese schnelle Berechnung von hohen Potenzen lässt sich auch in irgendwelchen Halbgruen, also Mengen, auf der eine assoziative Verknüfung definiert ist, durchführen, nicht nur in {a ; (a, m) = } mit m Æ. Beweis:. Schritt: Mit höchstens k := log (d) vielen Multilikationen (mit Reduktion modulo m) berechnet man sukzessive a a a (m), a a a (m), a 3 a a (m),..., a k a k a k (m).. Schritt: Nun lässt sich d binär (d.h. zur Basis g = ) schreiben als d = k b j j mit b j {0, } j=0 für alle j Æ mit j k. Wir können auch ohne Einschränkung annehmen, dass d bereits in der Binärdarstellung vorliegt. 3. Schritt: Dann ist kp a d b j j j=0 = a = a b0 a b a b... a k b k = a b0 (a ) b (a ) b (... a k) b k, also ist der Rest von a d modulo m mit nochmals höchstens k vielen Multilikationen (mit Reduktion modulo m) berechenbar. Somit erhalten wir einen Rechenaufwand von höchstens log (d) Multilikationen. Beisiel Berechne 3 8 modulo 0. Es ist log (8) = 4. Wir rechnen dann 3 3 (0), 3 9 (0) (0), 3 ( ) (0) (0), (0) (0)