Proseminar Mathematische Musiktheorie : Grundbegriffe Dozent: Albert Gräf Wintersemester 2010/11

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1 Proseminar Mathematische Musiktheorie : Grundbegriffe Dozent: Albert Gräf (Dr.Graef@t-online.de), Wintersemester 2010/11 Zur Festlegung musikalischer Intervalle gibt es zwei komplementäre Vorgehensweisen. Die eine (nach Pythagoras) orientiert sich an der multiplikativen Struktur einfacher Frequenzverhältnisse wie 2/1 (Oktave), 3/2 (Quinte) usw., die sich aus der natürlichen Obertonreihe ergeben. Die andere (nach Aristoxenos) betont die additive Struktur abstrakter Intervallgrößen, die uns durch die moderne Musiktheorie geläufig ist. Zum Verständnis dieser Zusammenhänge benötigt man einige mathematische Konzepte, insbesondere Exponentialfunktion, Logarithmen und die Fourier-Reihe. Darüber hinaus diskutieren wir auch grundlegende Begriffe der Gruppentheorie und der Theorie der formalen Sprachen, die für die mathematische Musiktheorie wichtig sind. 1 Exponentialfunktion ( exp(x) = e x = lim 1 + x ) n x k = n n k! k=0 exp(1) = e = ist die Eulersche Zahl. Die Potenzfunktion x a x ist für gegebene Basis a > 0 definiert als: a x = exp(x ln a) Dabei ist ln der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, s.u.). Beachte: Für eine natürliche Zahl n ist x n = x n x. Weitere wichtige Rechenregeln: a 0 = 1 a x+y = a x a y a x = 1/a x a 1 = a a xy = (a x ) y a 1/x = x a Insbesondere ist also a 1 = 1/a und a 1/2 = a. 2 Logarithmen Der Logarithmus log a zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion x a x, d.h. es ist definitionsgemäß log a y = x genau dann wenn y = a x. Dies ist definiert für alle positiven reellen Zahlen y. Zum Beispiel ist log 2 8 = 3, da 2 3 = = 8. Für Werte, die keine ganzzahligen Potenzen der gegebenen Basis a sind, bestimmt man log a mit dem Taschenrechner. Dieser hat normalerweise den dekadischen Logarithmus (log 10, auch kurz einfach als log bezeichnet) und/oder den natürlichen Logarithmus (log e, Bezeichnung ln) eingebaut. Zur Berechnung anderer Logarithmen verwendet man die Formel: log b x = log a x log a b Speziell benötigen wir im Folgenden die Zweierlogarithmen: log 2 x = ln x/ ln 2 = log x/ log 2. Weitere wichtige Rechenregeln für den Logarithmus ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Rechenregeln der Potenzen: log a 1 = 0 log a (xy) = log a x + log a y log a (x/y) = log a x log a y log a a = 1 log a (x y ) = y log a x log a ( y x) = log a x/y 3 Die Fourier-Reihe Nach Fourier lässt sich jede 1 periodische Funktion f : R R durch eine Reihe von sinusförmigen Funktionen (Sinusoide) darstellen, deren Frequenzen alle ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz 1 Jede Funktion meint in Wirklichkeit jede hinreichend glatte (z.b. Lipschitz-stetige, stückweise stetig differenzbare oder L 2-integrierbare) Funktion, was für die meisten Anwendungsfälle erfüllt ist. In der Praxis ist f häufig auch durch eine endliche Folge von Abtastwerten x n = f(t 0 +n t) gegeben; in diesem Fall ist die Fourier-Reihe eine endliche Summe, die mit effizienten Verfahren (FFT = Fast Fourier Transform) berechnet werden kann. 1

2 ν sind (nämlich ν = 1/T, wobei T die kleinste Periode von f ist, d.h., f(t + T ) = f(t) f.a. t R). Eine gebräuchliche Form der Fourier-Reihe ist die folgende Amplituden-Phasen-Darstellung: f(t) = a 0 + a k sin(2πkνt + b k ) k=1 Umgekehrt ist jede Schwingung dieser Form (sofern die Reihe konvergiert) eine periodische Funktion. Man beachte, dass das nullte Glied der Reihe immer eine Konstante a 0 ist ( Schwingung mit der Frequenz 0 bzw. unendlicher Periode, wird gelegentlich auch als DC-Offset bezeichnet 2 ). Die Gesamtheit der Amplituden a k und Phasenverschiebungen b k (k = 1, 2,...) bezeichnet man auch als Amplituden- bzw. Phasen-Spektrum von f. Wichtige Spezialfälle: 3 Sägezahnwelle: a k = 2 πk (k = 1, 2, 3,...) Rechteckwelle: a k = 4 πk (k = 1, 3, 5,..., sonst a k = 0) Dreieckwelle: a k = 8 ( 1) (k 1)/2 (k = 1, 3, 5,..., sonst a π 2 k 2 k = 0) Diese Zerlegung gilt insbesondere auch für periodische Schallwellen (Klänge). Die Grundfrequenz ν entspricht dabei normalerweise der empfundenen Tonhöhe des Klangs, die Amplituden a k der Sinusoide bestimmen Lautstärke und Klangfarbe. Die Sinusoide mit den Frequenzen kν, aus denen sich der Klang zusammensetzt, werden (je nach Zusammenhang) dann auch als Harmonische, Ober-, Teiloder Partialtöne bezeichnet. Genauer spricht man auch von einer harmonischen Obertonreihe zu einer gegebenen Grundfrequenz ν. Teiltöne, die nicht ganzzahlige Vielfache einer gegebenen Grundfrequenz ν sind, bezeichnet man auch als nicht-harmonische Teiltöne. 4 Frequenzverhältnisse und musikalische Intervalle Bekanntlich entspricht die Oktave immer einer Frequenzverdoppelung. Allgemein sind musikalische Intervalle immer durch das Verhältnis zweier Frequenzen definiert, nicht durch deren Differenz! Ein Intervall ist also gegeben durch einen dimensionslosen Bruch x/y, z.b.: 3/2, 4/3, 5/4, usw. 4 Ist das 12 Frequenzverhältnis irrational, so gibt man es direkt als reelle Zahl an, z.b. 2. Frequenzverhältnisse x/y > 1 bedeuten dabei Schritte nach oben, deren Kehrwerte (x/y) 1 = y/x < 1 Schritte nach unten. Ist ein Ton mit der Grundfrequenz x und ein Intervall (Frequenzverhältnis) q gegeben, so berechnet man die Frequenz y des anderen Tons des Intervalls durch Multiplizieren, d.h. y = qx. Beispiel: reine Quinte über einem Grundton von 440 Hz = 3/2 440 = 660 Hz; kleine Terz unter einem Grundton von 660 Hz = (6/5) = 5/6 660 = 550 Hz. Weitere Rechenregeln für Intervalle: Intervallschichtung: q = q 1 q 2 Beispiel: 3/2 4/3 = 2/1 Restintervall: q = q 1 q2 1 Beispiel: 3/2 (4/3) 1 = 9/8 Umkehrung: q = 2q 1 (q > 1) Beispiel: 2 (3/2) 1 = 4/3 q = (2q) 1 (q 1) Beispiel: (2 5/6) 1 = 3/5 Ein Tonsystem wird normalerweise durch eine endliche Menge S R von Intervallen innerhalb einer Oktave charakterisiert, die man je nach Zusammenhang auch als Skala, Stimmung oder Temperatur bezeichnet. Zur Festlegung der absoluten Tonhöhen wird außerdem ein fester Bezugston benötigt, der durch seine Frequenz x 0 R gegeben ist, z.b. der Kammerton x 0 = 440 Hz. Die Skala wird üblicherweise im Oktavabstand nach oben und unten wiederholt, so dass die theoretische Gesamtmenge der Töne dann gegeben ist durch S = {2 k qx 0 q S, k Z}. In der Musikgeschichte und in den einzelnen Musikethnien finden wir eine Vielzahl verschiedener Stimmungen. Z.B. werden in der Pythagoreischen Stimmung alle Intervalle durch Schichtungen und 2 Engl. DC = Direct Current = Gleichstrom. 3 DC a 0 und das Phasenspektrum b k, k 1, sind bei diesen Wellenformen 0, bei der Dreieckwelle steckt die Phasenverschiebung im Vorzeichen von a k. Ferner beachte man, dass bei den Rechteck- und Dreieckwellen nur die ungeraden Reihenglieder eine von 0 verschiedene Amplitude haben. 4 In der Musiktheorie findet man stattdessen häufig die Schreibweise y : x, z.b. 2:3, 3:4 usw. 2

3 Restintervalle der Oktave 2/1 und der Quinte 3/2 festgelegt. In der reinen Stimmung kommt noch die große Terz 5/4 hinzu. Diese Intervalle sind schwebungsfrei. Damit kann man im Prinzip Stimmungen für alle Tonarten im Quintenzirkel festlegen, jedoch lässt sich daraus kein geschlossenes Tonsystem gewinnen, und viele abgeleitete Intervalle klingen sehr verstimmt. Daher wird in der westlichen Musikkultur heutzutage hauptsächlich die gleichstufige Temperatur verwendet, in der alle zwölf Halbtöne innerhalb einer Oktav exakt gleich groß sind, d.h. die kleine Sekunde entspricht hier dem Frequenzverhältnis 12 2 = 1, Daraus ergeben sich alle anderen Intervalle als Potenzen der Form 2 k/12, k Z, z.b. die temperierte Quinte = 2 7/12 = 1, Daher kann man in der gleichstufigen Temperatur durch Logarithmieren zur Basis 2 jedes Frequenzverhältnis in die entsprechende Anzahl von Oktaven oder Halbtönen umrechnen. Gebräuchlich ist auch die von Alexander J. Ellis eingeführte Cent-Skala, die den temperierten Halbton weiter in 100 Cents unterteilt. m = log 2 q q = 2 m (m = Anzahl Oktaven) n = 12 log 2 q q = 2 n/12 (n = Anzahl Halbtöne) c = 1200 log 2 q q = 2 c/1200 (c = Anzahl Cent) Für einen gegebenen Bezugston x 0 kann man damit wie folgt zwischen Frequenzen x und Halbton- Nummern n umrechnen, wobei für n = 0 die zugehörige Frequenz x = x 0 gesetzt wird: n = 12 log 2 (x/x 0 ) x = x 0 2 n/12 Ist n eine ganze Zahl, so ergibt sich ferner die Oktavnummer m und die Tonigkeit k (Halbtonnummer innerhalb der Oktave) als m = n div 12 und k = n mod 12. Beispiel: 64 div 12 = 5, 64 mod 12 = 4. (n = 64 repräsentiert z.b. in MIDI das eingestrichene e, die Nummerierung ist hier relativ zum Grundton c in der Subsubkontra-Oktave, x 0 8, 2 Hz.) Aus den Rechenregeln der Logarithmen folgt außerdem, dass dem Multiplizieren und Dividieren von Frequenzverhältnissen bei den logarithmischen Intervallgrößen die einfache Addition und Subtraktion entspricht. Z.B. ist 200 Cent Cent = 400 Cent, in der gleichstufigen Temperatur ist eine große Terz also immer die Summe zweier Ganztöne (was in anderen Stimmungen nicht notwendig der Fall ist). Eine kurze Tabelle wichtiger Intervalle (Cent-Werte sind auf Hundertstel gerundet): reine Intervalle Ratio Cents temperierte Intervalle Ratio Cents Prim 1/1 0,00 Prim 1/1 0,00 kleiner Halbton 16/15 111,73 kleine Sekunde 2 1/12 100,00 kleiner Ganzton 10/9 182,40 große Sekunde 2 2/12 200,00 großer Ganzton 9/8 203,91 kleine Terz 6/5 315,64 kleine Terz 2 3/12 300,00 große Terz 5/4 386,31 große Terz 2 4/12 400,00 reine Quarte 4/3 498,04 Quarte 2 5/12 500,00 kleiner Tritonus 45/32 590,22 Tritonus 2 6/12 600,00 großer Tritonus 64/45 609,78 reine Quinte 3/2 701,96 Quinte 2 7/12 700,00 kleine Sexte 8/5 813,69 kleine Sexte 2 8/12 800,00 große Sexte 5/3 884,36 große Sexte 2 9/12 900,00 kleine Septime 16/9 996,09 kleine Septime 2 10/ ,00 große Septime 15/8 1088,27 große Septime 2 11/ ,00 Oktave 2/1 1200,00 Oktave 2/1 1200,00 3

4 Einige musikalisch bedeutsame Restintervalle: Restintervall Ratio Cents Bedeutung Schisma 32805/ ,95 P S Syntonisches Komma 81/80 21,51 S = (4Q 2O) T Pythagoreisches Komma / ,46 P = 12Q 7O kleine Diësis 128/125 41,06 O 3T Limma 256/243 90,22 3O 5Q Apotome 2187/ ,69 7Q 4O O = Oktave, Q = Quinte, T = große Terz in reiner Stimmung 5 Gruppentheorie Insbesondere in der neueren Musik spielen z.b. im Zusammenhang mit der sogenannten Neo-Riemannschen Theorie mathematische Gruppen eine wichtige Rolle, darunter insbesondere die Permutationsgruppen. Definition. G,, e heißt eine Gruppe g.d.w.: e G. : G G G ist eine assoziative Verknüpfung auf G, d.h. für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). Man kann die Klammern deswegen auch weglassen und schreibt eine solche mehrfache Verknüpfung dann einfach als x y z. Neutrales Element: Für alle x G gilt x e = e x = x. e heißt das neutrale Element von G. Inverses Element: Für alle x G gibt es (genau) ein y G mit x y = y x = e. Schreibe: x 1 := y. x 1 heißt die Inverse von x. Wenn die Gruppenverknüpfung und das neutrale Element klar sind oder aus dem Zusammenhang hervorgehen, bezeichnet man etwas ungenau eine Gruppe auch einfach durch ihre Basismenge, d.h., G,, e = G. Beispiele: Die (additive) Gruppe der ganzen Zahlen: Z, +, 0. Hier ist die 0 das neutrale Element (x + 0 = 0 + x = x für alle x Z), und das Inverse einer ganzen Zahl x ist x, da x + ( x) = 0 für alle x Z. Man beachte: Z,, 1 ist keine Gruppe! Zwar gibt es hier ein neutrales Element (die 1), es fehlen aber die inversen Elemente. Demgegenüber ist Q \ {0},, 1 eine Gruppe, die multiplikative Gruppe der rationalen Zahlen außer der 0, da es hier zu jedem Element x 0 ein multiplikatives Inverses gibt, nämlich x 1 = 1/x. Die oben genannten Gruppen haben beide eine kommutative Verknüpfung (es ist x + y = y + x für alle x, y Z und x y = y x für alle x, y Q). Solche Gruppen nennt man auch abelsch (nach dem norwegischen Mathematiker und Mitbegründer der Gruppentheorie Niels Henrik Abel, ). Die oben genannten Gruppen haben auch beide unendlich viele Elemente. Für die mathematische Musiktheorie interessanter sind aber endliche Gruppen (d.h. Gruppen mit nur endlich vielen Elementen), und hierunter insbesondere die zyklische Gruppe Z/nZ und die symmetrische Gruppe S n. 4

5 5.1 Die zyklische Gruppe Die Gruppe Z/nZ, +, 0 + nz hat als Elemente die sogenannten Restklassen modulo n, d.h. Z/nZ = {x + nz x Z}, wobei x + nz = {x + nz z Z} = {x, x ± n, x ± 2n,...}. Die Gruppenverknüpfung wird hier ebenfalls mit + bezeichnet und ist definiert als Addition von Restklassen modulo n, d.h. (x + nz) + (y + nz) = (x + y) + nz. Man prüft leicht nach, dass dies tatsächlich eine assoziative (und kommutative) Verknüpfung auf Z/nZ definiert, die der Addition modulo n entspricht und die Restklasse nz = 0 + nz als neutrales Element hat. Diese Gruppe hat nur n voneinander verschiedene Elemente, nämlich die Restklassen 0 + nz,..., (n 1) + nz. Für x + nz = y + nz verwendet man häufig auch die abkürzende Schreibweise x y (mod n). Für die Restklassen selbst sind ebenfalls verschiedene Abkürzungen gebräuchlich, z.b. x + nz = x = [x] n. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe G bezeichnet man auch als deren Ordnung G, also ist Z/nZ eine Gruppe der Ordnung n. Tatsächlich ist Z/nZ nicht nur eine endliche Gruppe, sie ist auch zyklisch, d.h. sie wird durch fortgesetztes Verknüpfen eines Elements aus der Gruppe erzeugt. Tatsächlich erhält man alle Elemente von Z/nZ durch fortgesetztes Addieren von 1 + nz. Für unsere Zwecke ist im folgenden speziell Z/12Z interessant, da man in dieser Gruppe alle zwölf Tonigkeiten einer Oktav darstellen kann (c = 0, c = d = 1, d = 2, usw.). Die Addition in der Restklassengruppe entspricht dann der Transposition um eine gegebene Zahl von Halbtönen. Die Rechenweise in Z/12Z kann man sich leicht an Hand der Uhr veranschaulichen. Man beginnt bei 0 Uhr. Durch fortgesetztes Addieren einer Stunde erhält man alle Stunden des Ziffernblattes, bis man nach 12 Stunden wieder bei 12 Uhr = 0 Uhr landet. Anderes Beispiel: (mod 12) (5 Stunden nach 8 Uhr ist 13 Uhr = 1 Uhr). 5.2 Die symmetrische Gruppe Als symmetrische Gruppe S n bezeichnet man die Gruppe aller Permutationen (d.h. bijektiven Abbildungen) auf einer vorgegebenen n-elementigen Menge X. 5 Eine Abbildung π : X X heißt bijektiv wenn es zu jedem Element y X genau ein x X mit π(x) = y gibt. In diesem Fall ist die Inverse oder Umkehrabbildung von π gegeben durch π 1 (y) = x π(x) = y. Eine übliche Schreibweise für Permutationen besteht darin, dass man die Elemente aus X und deren Bilder unter der Permutation einfach übereinander schreibt, also: π = ( 1 2 n π(1) π(2) π(n) Für bestimmte Permutationen gibt es auch etwas platzsparendere Schreibweisen. Z.B. bezeichnet τ = (x y) eine sogenannte Transposition (im mathematischen Sinne; dies hat nichts mit der Transposition von Tönen zu tun!), die die Elemente x und y vertauscht und alle anderen Elemente festlässt (d.h. τ(x) = y, τ(y) = x und τ(z) = z für alle z x, y). Transpositionen sind offenbar ihre eigenen Inversen, d.h. hier ist τ 1 = τ. Die Gruppenverknüpfung von S n ist die Hintereinanderausführung von Abbildungen: Zu π, ρ S n ist die Permutation π ρ S n gegeben durch (π ρ)(x) = π(ρ(x)). Das neutrale Element ist die identische Abbildung (id(x) = x für alle x X), die Inverse einer Permutation ist deren Umkehrabbildung. Im Gegensatz zur zyklischen Gruppe ist die symmetrische Gruppe im Allgemeinen nicht abelsch, da die Reihenfolge der Ausführung der Abbildungen sehr wohl eine Rolle spielt. (Ist z.b. π = (1 2) und ρ = (1 3), so ist (π ρ)(1) = 3, aber (ρ π)(1) = 2.) Die Ordnung von S n ist, wie man sich leicht überlegt, n! = 1 2 n; z.b. ist S 12 = 12! = Permutationsgruppen und Neo-Riemannsche Theorie Permutationen finden sich als Gestaltungsmerkmal in vielen Kompositionsstilen. Z.B. ist eine Zwölfton- Reihe gegeben durch eine Permutation der zwölf Tonigkeiten, d.h. von Z/12Z. Betrachtet man Z/12Z geometrisch als regelmäßiges 12-Eck (wie auf dem Ziffernblatt der Uhr), so erhält man eine weitere 5 Üblicherweise nimmt man für X die Menge {1... n}, dies ist aber nur eine Konvention und wir werden im folgenden stattdessen auch die Menge {0... n 1} bzw. die Menge der Restklassen modulo n verwenden. ). 5

6 interessante Menge von Permutationen, nämlich die Abbildungen von Z/12Z, die diese geometrische Struktur festhalten (sogenannte Symmetrien). Wie sich herausstellt, bildet diese Menge selbst wieder eine Gruppe bezüglich, die sogenannte Diedergruppe D 12, die 24 Elemente enthält (12 Drehungen und 12 Spiegelungen) und von zwei Elementen erzeugt wird: der Drehung x x + 1 (mod 12) um eins im Uhrzeigersinn und der Spiegelung x x (mod 12). Wendet man diese Permutationen auf Folgen oder Mengen von Elementen aus Z/12Z an, so erhält man daraus die musikalischen Operationen der Transposition (um einen Halbtonschritt) und der Umkehrung von Tonreihen und Akkorden. In diesem Zusammenhang nennt man D 12 dann auch die Transpositions-Umkehrungs-Gruppe, die wir im folgenden auch kurz als TU bezeichnen. Betrachten wir kurz die Anwendung von Elementen π D 12 auf Dreiklänge C Z/12Z, C = 3. Im folgenden schreiben wir der Einfachheit halber die Elemente von Z/12Z als ganze Zahlen. Der C-Dur-Dreiklang ist dann gegeben durch C = {0, 4, 7}, der entsprechende Moll-Dreiklang durch Cm = {0, 3, 7}. Zur Anwendung einer Permutation π D 12 auf einen Dreiklang C Z/12Z wende man nun einfach π auf alle Elemente von C an. Es ist also π(c) = {π(c) c C}. Bezeichnet man mit τ die Transposition um einen Halbton (τ(x) = x + 1 (mod 12)), dann erhält man durch sukzessive Anwendung von τ auf C = {0, 4, 7} alle Dur-Dreiklänge. Dies bezeichnet man in der Gruppentheorie auch als die Bahn von C unter τ, wobei τ das Erzeugnis von τ ist (also die zyklische Gruppe, die aus allen τ n = τ n τ besteht). Genauso erhält man alle Moll-Akkorde als die Bahn von Cm unter τ. Ferner erhält man die Moll-Akkorde aus den Dur-Akkorden (und umgekehrt) durch die Operation der Umkehrung (ρ(x) = x (mod 12)). Zum Beipiel ist ρ(c) = ρ({0, 4, 7}) = {0, 4, 7} = {5, 8, 0} = Fm. 6 Insgesamt entsteht also die Menge aller 24 Dur- und Moll-Dreiklänge aus der Bahn eines einzigen Dur- (oder Moll-) Dreiklangs unter der Gruppe TU. (Man sagt auch, dass die Gruppe TU transitiv auf der Menge der Dur- und Moll-Akkorde ist.) Diese Dualität zwischen Dur- und Moll-Akkorden lässt sich natürlich für musikalische Zwecke nutzbar machen und findet in der Neo-Riemannschen Theorie ihren Niederschlag in der sogenannten PLR-Gruppe (auch die Neo-Riemannsche Gruppe genannt), die von drei Permutationen auf der Menge der Dur- und Moll-Dreiklänge erzeugt wird, nämlich den im folgenden nur kurz anhand der C-Dur- und Moll-Dreiklänge erläuterten Operationen P, L und R. 7 P : {0, 4, 7} {0, 3, 7} (C Cm), P : {0, 3, 7} {0, 4, 7} (Cm C) L : {0, 4, 7} {4, 7, 11} (C Em), P : {0, 3, 7} {8, 0, 3} (Cm A ) R : {0, 4, 7} {9, 0, 4} (C Am), P : {0, 3, 7} {3, 7, 10} (Cm E ) Wie sich herausstellt, ist die Neo-Riemannsche Gruppe PLR = P, L, R der Zentralisator der Transpositions-Umkehrungs-Gruppe TU, d.h. sie besteht aus allen Permutationen der Dur- und Molldreiklänge, die mit allen Elementen von TU kommutieren (für alle π PLR und σ TU gilt π σ = σ π). Wie man mit etwas Gruppentheorie beweisen kann, ist diese Gruppe darüber hinaus auch isomorph zu TU (und damit zur Diedergruppe D 12 ). 8 Sie hat daher insbesondere dieselbe Anzahl von Elementen, nämlich 24 (was nicht unbedingt offensichtlich ist!). 6 Formale Sprachen und Grammatiken Ein weiterer wichtiger mathematischer Ansatz zum Verständnis musikalischer Strukturen sind formale Grammatiken. Dazu betrachten wir zu einer gegebenen endlichen, nichtleeren Menge A (auch Alphabet genannt) das Wortmonoid A. Ein Monoid ist allgemein eine Gruppen-ähnliche Struktur mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element: Definition. H,, e heißt ein Monoid (auch: Halbgruppe mit neutralem Element) g.d.w.: 6 Man beachte, dass wir hier überall modulo 12 rechnen, es ist also z.b. ρ(4) = 4 = 8 (mod 12)! 7 In der englischsprachigen Literatur zum Thema steht P für parallel, L für lead tone change und R für relative. Gemeint sind damit gleichnamiges Dur/Moll sowie die Dreiklänge im Groß- und Kleinterzabstand unten und oben, die in der Riemannschen Funktionstheorie auch als Parallelen und Gegenklänge bezeichnet werden. 8 Unter einer (Gruppen-)Isomorphie versteht man eine bijektive Abbildung α : G H, die die Gruppenverknüpfungen respektiert, d.h. es ist α(x y) = α(x) α(y) für alle x, y G. 6

7 e H. : H H H ist eine assoziative Verknüpfung auf G. Für alle x H gilt x e = e x = x. e heißt das neutrale Element von G. Man beachte, dass die Existenz von Inversen hier im Allgemeinen nicht vorausgesetzt wird. Unter dem Wortmonoid zu einem gegebenen Alphabet A versteht man nun das Monoid A,, ɛ mit: A = {a 1 a 2 a n a 1, a 2,..., a n A, n N 0 }. Die Elemente von A sind also endliche Folgen von Zeichen in A, die auch Worte oder Zeichenketten genannt werden. Ist w = a 1 a n, a i A, so nennt man w = n auch die Länge von w A. Die Verknüpfung ist die Konkatenation (Hintereinanderschreiben), d.h. für a i, b j A (i = 1,..., n, j = 1,..., m, n, m N 0 ) ist a 1 a n b 1 b m = a 1 a n b 1 b m. Das Verküpfungszeichen lässt man häufig auch weg, für v, w A schreibt man also v w = vw. Mit ɛ bezeichnet man die leere Zeichenkette ( ɛ = 0). Sie ist das neutrale Element des Wortmonoids. Unter einer (formalen) Sprache L versteht man nun einfach eine Menge von aus einem gegebenen Alphabet A gebildeten Worten, d.h. L A. Speziell betrachtet man formale Sprachen, die durch Anwendung bestimmter formaler Wort-Ersetzungssysteme, sogenannten Grammatiken, erzeugt werden. Definition. G = A, T, P, S heißt eine Grammatik g.d.w.: A ist ein Alphabet. T A. Die Elemente von T heißen Terminale. Alle anderen Elemente von A heißen Nonterminale. Die Menge der Nonterminale wird im folgenden mit N = A \ T bezeichnet. P (A \ T ) A ist eine endliche Menge. Die Elemente von P heißen Grammatikregeln oder Produktionen und werden als Paare der Form v w (v A \T, w A ) notiert. Man beachte, dass sich auf der linken Seite v einer Produktion stets mindestens ein Nonterminal befinden muss. S N heißt das Startsymbol der Grammatik. Unter einem Ableitungsschritt versteht man die Anwendung einer Produktion v w P auf eine Zeichenkette xvy, wobei die linke Seite der Produktion durch die rechte Seite ersetzt wird. Man schreibt: xvy P xwy. Ferner bezeichnet man mit P den reflexiven und transitiven Abschluss der Relation P, d.h., es ist v P w g.d.w. v = u 0 P u 1 P P u n = w für geeignete u i A, i = 0,..., n, n N 0. Die Menge aller Worte aus terminalen Symbolen, die sich auf diese Weise aus dem Startsymbol S ableiten lassen, bezeichnet man als die von G erzeugte Sprache L(G), d.h.: L(G) = {w T S P w}. Man kann gewisse Arten von Sprachen nun nach den Typen von Grammatiken klassifizieren, mit denen sie erzeugt werden können. Dabei unterscheidet man üblicherweise nach dem Linguisten Noam Chomsky die folgenden Grammatiktypen CH-0 bis CH-3 ( Chomsky Typ 0 bis Typ 3 ), die durch die Form der verwendeten Produktionen charakterisiert sind. Jeder Grammatiktyp G definiert dabei eine entsprechende Sprachklasse L(G) = {L(G) G G}. CH-0: Rekursiv aufzählbare Sprachen. Hier gibt es keine Einschränkung an die Form der Produktionen. Hierbei handelt es sich um die mächtigste Klasse von Sprachen, die in einem gewissen Sinne überhaupt berechenbar sind. Das Wortproblem (gegeben eine Grammatik G und w T, entscheide ob w L(G)) ist in CH-0 allerdings im Allgemeinen unentscheidbar (es existiert kein Computer-Algorithmus zu seiner Lösung). Deswegen kommen in praktischen Anwendungen meist die unten beschriebenen eingeschränkten Sprach- und Grammatiktypen zum Einsatz. 7

8 CH-1: Kontextsensitive Sprachen. Die Produktionen sind hier von der Form xv y xwy mit V N, x, w, y A und w ɛ. Genauer gesagt handelt es sich hierbei um die ɛ-freien kontextsensitiven Sprachen. Um auch das leere Wort erzeugen zu können, erlaubt man außerdem die Regel S ɛ, wobei dann allerdings das Startsymbol S nicht auf der rechten Seite einer Produktion stehen darf. Über die kontextfreien Grammatiken (s.u.) hinaus bieten kontextsensitive Grammatiken die Möglichkeit, die Anwendung einer Produktion von bestimmten Kontextbedingungen abhängig zu machen, daher der Name. CH-2: Kontextfreie Sprachen. Die Produktionen sind von der Form V w mit V N und w A. Über die regulären Grammatiken (s.u.) hinaus können mit kontextfreien Grammatiken geschachtelte Klammerstrukturen beschrieben werden. Dies sind Zeichenketten mit Klammern, bei denen zu jeder öffnenden eine entsprechende schließende Klammer gehört. Man erhält sie z.b. mit folgender CH-2-Grammatik: S SS, S (S), S ɛ. Im allgemeinen Fall können allerdings beliebige Klammersymbole verwendet werden, und neben der eigentlichen Klammerstruktur können noch weitere (CH-3-)Elemente hinzukommen. Die meisten Programmiersprachen und viele andere Dokument-Formate und Computer-Codes beinhalten Klammerstrukturen (man denke z.b. an HTML oder XML), daher sind CH-2-Grammatiken in der Informatik sehr gebräuchlich. Eine verbreitete Schreibweise für diesen Grammatiktyp ist die zur Spezifikation der Programmiersprache ALGOL 60 entwickelte Backus-Naur- Form (BNF), bei der man die Nonterminale üblicherweise in spitze Klammern setzt und Terminale durch eine besondere Schriftart oder Anführungszeichen hervorhebt. Das Symbol ::= wird zur Trennung der linken und rechten Seite von Produktionen und das Symbol zur Kennzeichnung verschiedener Alternativen verwendet. Z.B. notiert man die obige CH-2-Grammatik für Klammerstrukturen folgendermaßen in BNF: S ::= S S ( S ) ɛ. CH-3: Reguläre Sprachen. Hier sind alle Produktionen von der Form V w mit V N und w 2, wobei w entweder das leere Wort ɛ, ein Terminal (w T ) oder ein Nonterminal gefolgt von einem Terminal (w = Xy, X N, y T ) sein darf. (Hierbei handelt es sich eigentlich um die linksregulären Grammatiken. Es gibt auch eine entsprechende Definition für rechtsreguläre Grammatiken, beide Typen von Grammatiken erzeugen aber dieselbe Klasse von Sprachen.) CH-3-Grammatiken gestatten die Beschreibung von Alternativen und Wiederholungen einfacher Symbolfolgen ohne Berücksichtigung von Kontextelementen und Klammerstrukturen. Etwas anschaulicher und kompakter können reguläre Sprachen auch durch die sogenannten regulären Ausdrücke beschrieben werden, die man aus den fortgeschrittenen Such- und Ersetzungsfunktionen von Texteditoren kennt. Z.B. bezeichnet der reguläre Ausdruck aa (b c) die Sprache aller Zeichenketten, die mit einer nichtleeren Folge von a s beginnen und mit einer (möglicherweise leeren) Folge von b s und c s enden. Es gilt CH-0 CH-1 CH-2 CH-3, man bezeichnet diese Klassifikation daher auch als die Chomsky-Hierarchie. Für praktische Anwendungen werden vor allem Sprachen vom Typ 2 und 3 eingesetzt, da die entsprechenden Grammatikregeln einfacher zu verstehen sind und es für diese Klassen effiziente Erkennungs- und Übersetzungsalgorithmen (sogenannte Stapel-Automaten und endliche Automaten) gibt. Insbesondere CH-3 und die endlichen Automaten findet man recht häufig in musikalischen Anwendungen, da sich damit alternative Elemente und Wiederholungs-Strukturen auf einfache Weise beschreiben und implementieren lassen. Es treten dabei aber häufig Zufallselemente in Form von Wahrscheinlichkeiten hinzu, die zur Steuerung des Ableitungsprozesses verwendet werden. Auch in den Arbeiten von Lerdahl/Jackendoff und Temperley findet man sekundäre Regeln zur Auswahl von Produktionen (sogenannte Präferenzregeln), die eine präzisere Analyse musikalischer Strukturen ermöglichen sollen. Diese gehen oft über die in CH-1 verwendeten Grammatikregeln hinaus und können daher nur in CH-0 vollständig erfasst werden. (In der Praxis verwendet man aber der Einfachheit halber stattdessen auch hier CH-2-Grammatiken, die durch eine umgangssprachliche oder algorithmische Beschreibung der zusätzlichen Regelsysteme ergänzt werden.) 8