Gerhard HUbner. Stochastik

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1 Gerhard HUbner Stochastik

2 Mathematische Grundlagen... der Informatik Herausgeber: Rolf Mohring, Walter Oberschelp und Vietmar Pfeifer Algorlthmische Lineare Algebra von Herbert Moller Analysis von Gerald Schmieder Numerik von Helmuth Spath Stochastik von Gerhard Hilbner Elnfiihrung In die Computergraphik von Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel und Christoph Zenger vieweg

3 Gerhard Hubner Stochastik Eine anwendungsorientierte Einfuhrung fur Informatiker, Ingenieure und Mathematiker 4. Auflage m vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet liber < abrufbar. Prof. Dr. Gerhard Hiibner Universitat Hamburg Fachbereich Mathematik SP ST BundesstraBe Hamburg 1. Auflage , durchgesehene Auflage , liberarbeitete Auflage April Auflage, Oktober 2003 Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 2003 Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft Das Werk einschlieblich aher seiner Teile ist urheberrechtlich geschlitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulăssig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfăltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, Gedruckt auf săurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort Die vorliegende Einfiihrung in die Stochastik, die sich vorwiegend an Studierende der Informatik richtet, geht in ihrer Konzeption im wesentlichen von den folgenden drei Gesichtspunkten aus: 1. Die Anwendung soll im Vordergrund stehen. Der Leser soll in die Lage versetzt werden, bei konkreten Vorgiingen mit Zufallseinfluss die wesentlichen Aspekte zu erkennen, ein geeignetes Modell zu finden und daraus Prognosen und gegebenenfalls Entscheidungshilfen abzuleiten. 2. Es sollen interessante und aktuelle Anwendungsbereiche einbezogen werden, die sonst in einfuhrenden Lehrbuchern meist nicht behandelt werden, so z.b. Bedienungsmodelle, wie sie u.a. bei der Bewertung von Kommunikationsnetzen eine wesentliche Rolle spielen, oder Aspekte von Simulationsmethoden, die immer dann zum Zuge kommen, wenn die analytische Lasung eines Problems zu komplex wird oder nicht bekannt ist. 3. Der Umfang soll uberschaubar sein, urn den Einstieg in die Stochastik zu erleichtern. Es kann daher in vielen Bereichen nur ein begrenzter Einblick gegeben werden, der zur Lasung von einfachen Problemen ausreicht, daneben aber fur komplexere Fragestellungen ein gewisses Verstiindnis ermaglicht, Interesse weckt und die wesentlichen Grundlagen bereitstellt, urn eine Beschiiftigung mit schwierigeren Aufgaben anhand weiterfiihrender Literatur oder in entsprechenden Lehrveranstaltungen zu ermaglichen. Formale Elemente und Strukturen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sollen nur insoweit einbezogen werden, wie sie einerseits als Handwerkszeug zur Modellierung und Lasung praktischer Probleme gebraucht werden und andererseits die Einordnung von einzelnen Aspekten und Methoden in ubergreifende Gesetzmiif&igkeiten ermaglichen. Auf&erdem soll auch bei Vereinfachungen nach Maglichkeit auf Ubereinstimmung mit den sonst ublichen Bezeichnungen und Sprechweisen geachtet werden. In clieses Konzept sind im wesentlichen Erfahrungen aus clen regelmiif&igen Einfiihrungsveranstaltungen "Stochastik fur Stuclierencle cler Informatik" an der Universitiit Hamburg, aber auch aus ancleren Lehrveranstaltungen eingeflossen. Es liisst sich clamit, wenigstens teilweise, auch auf entsprechende Veranstaltungen fur Stuclierencle cler Mathematik, vvirtschaftsmathematik unci cler Ingenieurwissenschaften anwenclen,.ie nach Beclarf ergiinzt durch vertiefencle theoretische ocler spezielle angewanclte Themenbereiche. Der verstiirkte Einsatz von graphischen Elementen das besonclere Herausheben von wichtigen Stichwartern, clip Kennzeichnung von Beispielen clurch anschauliche Symbole unci eine groge Zahl von Skizzen, Funktionsclarstellungen und Tabellen -

6 VI Vorwort soli das Verstandnis, die visuelle Vorstellung, das Einpragen und das Nachschlagen erleichtern. An dieser Stelle mochte ich allen danken, die an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben: den Horerinnen und Horern meiner Vorlesungen, sowie den an den Ubungen beteiligten studentischen Hilfskraften fur ihre Mitarbeit und fiir aile kritischen und ermunternden Aul/,erungen, meinen Hamburger Kolleginnen und Kollegen, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern fiir unzahlige Diskussionen, didaktische Uberlegungen und praktische Verbesserungsvorschlage, allen Autoren von Lehrbiichern fur manche Anregungen, Beispiele und Ubungsaufgaben, deren Herkunft nicht immer im Einzelnen nachvollziehbar ist, meinen akademischen Lehrern, die meine Einstellung zum mathematischen Denken und Forschen gepragt haben, insbesondere Herrn Prof. Hinderer, der seinem damaligen Assistenten neben aller formalen Strenge seine Aufgeschlossenheit fiir Anwendungen vermittelt hat, dem Vieweg-Verlag und den Herausgebern fiir das Angebot, dieses Lehrbuch in der Reihe "Mathematische Grundlagen der Informatik" zu veroffentlichen, fiir die gute Zusammenarbeit und fiir aile Unterstiitzung bei redaktionellen Fragen, den Studierenden Stefan Behnke und Stephan Engelke fur ihren unermiidlichen und engagierten Einsatz bei der Herstellung und Gestaltung der Druckvorlage, insbesondere auch der Abbildungen, und nicht zuletzt meiner Familie fur manche Ermutigung und manchen Verzicht. Hamburg, im September 1995 Gerhard Hiibner Die vorliegende vierte Aufiage wurde neben notwendigen Korrekturen und Abrundungen erganzt durch zusatzliche Anmerkungen zum mathematischen Hintergrund, insbesondere durch einen Exkurs iiber das Mal/,-Integral und einen Abschnitt iiber die Gesetze der grol/,en Zahlen und den Zentralen Grenzwertsatz, sowie eine Erweiterung des Statistik-Teils, u.a. mit erst en Einblicken in die Varianz-Analyse. Die allgemeine Struktur des Buches einschliel/,lich des anwendungsorientierten Konzepts wird dadurch nicht beeinfiusst. Die zusatzlichen Anmerkungen sollen die Leserinnen und Leser neugierig machen auf weitere Erkundungen in der geheimnisvollen Welt der Stochastik und allgemein der Mathematik. Aul/,erdem soli unter ein begleitender Online-Service aufgebaut werden, der weiteres Material fiir Studierende und Dozenten zur Verfiigung stellt. Allen Kollegen und Studierenden, die durch Hinweise und Vorschlage zur Verbesserung dieser und der vorangehenden Aufiagen beigetragen haben, gilt me in besonderer Dank. G. H.

7 vii Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung 1.1 Was ist Stochastik? 1.2 Anwendungsbereiche der Stochastik 1.3 Modell und Realitiit Fragestellungen und Ziele 1.5 Beschreibende Statistik. 1.6 Aufgaben Wahrscheinlichkeits-Modelle 2.1 Die Modell-Bausteine. 2.2 Der Merkmalraum n 2.3 Zusammengesetzte Merkmale 2.4 Ereignisse Das Ereignis-System A Darstellung von Ereignissen durch Zufallsvariable 2.7 Relative Hiiufigkeit und Wahrscheinlichkeit Weitere Eigenschaften von WahrscheinlichkeitsmaBen 2.9 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.10 Aufgaben Darstellungen von WahrscheinlichkeitsmaEen 3.1 Diskrete W-MaBe und Ziihldichten Stetige W-MaBe und Riemann-Dichten 3.3 Verteilungsfunktionen. 3.4 Aufgaben Mehrstufige W-Modelle, Koppelung 4.1 Koppelung diskreter W-Modelle 4.2 Koppelung stetiger W-Modelle. 4.3 Unabhiingige Koppelung

8 VII! Inhal tsverzeichnis 4.4 Markov-Koppelung Zufiilliges Ziehen ohne Zuriicklegen 4.6 Folgen von Koppelungsmodellen 4.7 Aufgaben Zufallsvariable und Bildmodelle 5.1 Zufallsvariable und messbare Abbildungen 5.2 Bildmodelle und Verteilungen von Zufallsvariablen. 5.3 Hypergeometrische und Binomial-Modelle Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung. 5.5 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung. 5.6 Wartezeiten - die geometrische Verteilung Mehrfaches Wart en -- die negative Binomialverteilung 5.8 Bild-Verteilungen fiir stetige W-1Vlodelie Randverteilung und gemeinsame Verteilung 5.10 Stochastische Unabhiingigkeit von Zufallsvariablen Summen-Verteilungen und Faltung 5.12 Aufgaben KenngroEen 6.1 Mediane und Quantile 6.2 Erwartungswert: Einfiihrung 6.3 Erwartungswert: diskrete Modelle 6.4 Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle 6.5 Streuung und Varianz 6.6 Kovarianz Mehrdimensionale Normalverteilung. 6.8 Zufiillige Summen und bedingte Erwartungswerte 6.9 Gesetze der grolben Zahlen 6.10 Aufgaben Modelle fiir stochastische Prozesse 7.1 Vorbemerkungen Markov-Ketten - einige Grundbegriffe. 7.3 Markov-Ketten im Gleichgewicht 7.4 Aufgaben

9 IX 8 Bediensysteme 8.1 Vorbemerkungen Das Bedienmodell MIMI11 c. 8.3 Das MIMl1-Bediensystem im Gleichgewicht 8.4 LeistungsmaRe im MIMl1-Bediensystem 8.5 MIMlslc-Bediensysteme Andere Bedienzeitverteilungen 8.7 Gekoppelte Bediensysteme - Bediennetze 8.8 Bedienmodelle mit stetiger Zeit 8.9 Aufgaben Zufallszahlen und Simulation 9.1 Vorbemerkungen Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen 9.3 Zufallszahlen mit anderen Verteilungen 9.4 Anwendung von Simulationsverfahren. 9.5 Aufgaben Grundfragen der Statistik 10.1 Typische Problemstellungen 10.2 Punktschatzung Intervallschatzung Testen von Hypothesen Vergleiche mehrerer Stichproben, Varianz-Analyse 10.6 Chi-Quadrat-Anpassungstest Test auf Unabhangigkeit 10.8 Aufgaben.... A Tabellen A.1 Die wichtigsten diskreten Verteilungen A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen. A.3 Werte der Standard-Normalverteilung. A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung A.5 Quantile der Student-Verteilung... A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

10 x Literaturverzeichnis Symbole und Abkiirzungen Stichwortverzeichnis Inhaltsverzeichnis