Solid State Physics Simulations The Consortium for Upper-Level Physics Software

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1 Solid State Physics Simulations The Consortium for Upper-Level Physics Software Ian Johnston Department of Physics, University of Sydney Sydney, Australia Graham Keeler Department of Physics, University of Salford Salford, United Kingdom Roger Rollins Department of Physics, Ohio University Athens, Ohio Steven Spicklemire Department of Physics, University of Indianapolis Indianapolis, Indiana Series Editors William MacDonald Maria Dworzecka Robert Ehrlich JOHN WILEY & SONS, INC. NEW YORK CHICHESTER BRISBANE TORONTO SINGAPORE

2 Contents Chapter 1 Introduction Using the Book and Software Required Hardware and Installation of Programs User Interface The CUPS Project and CUPS Utilities Communicating With the Authors CUPS Courses and Developers Descriptions of all CUPS Programs 8 Chapter 2 Phonon Dispersion Curves and the Density of States Introduction The Linear Atomic Chain Dispersion Curves The Density of States More Than One Atom per Unit Cell Three-Dimensional Crystal Lattice The Normal Mode Frequencies in Terms of the Dynamical Matrix Two-Atom Unit Cell Three-Dimensional Brillouin Zone Computational Approach Preliminary Calculations Phonon Dispersion Curves for Various Crystal Lattices 35 in

3 iv Contents Density of States Van Hove Critical Points Running the PHONONS.EXE Program Main Menü Sliders, Radio Buttons, and Hot Keys The Crystal Structure Display Exercises Calculations Investigations Using PHONONS.EXE Program Extensions of the Program Calculation of the Dynamical Matrix Two-Atom Unit Cell Calculation of the Interatomic Force Constants Calculation of the Dynamical Matrix for up to Sixth-Nearest Neighbors 53 Chapter 3 Lattice Specific Heat of Solids Introduction Theory of the Lattice Specific Heat Classical Theory of Specific Heat The Einstein Model for Specific Heat The Debye Model for Specific Heat Deviations From the Debye Theory Schottky Specific Heat Computational Approach Preliminary Calculations Specific Heat for Various Models Display of Debye Temperature 69

4 Contents V 3.5 Running the Program Main Menü Sliders, Radio Buttons, and Hot Keys Exercises Calculations Investigations Using the Program Extensions of the Program Calculation of the Equivalent Debye Temperature 80 Chapter 4 Electron States in a One-Dimensional Lattice Introduction The Band Theory of Solids The Free Electron Model The Bloch Theorem The Tight Binding Approximation The Kronig-Penney Model Applications to Semiconductors Computational Approach Energy Levels in Regulär Lattices Symmetries of the Wave Functions Exercises Details of the Program Running the Program Possible Modifications to the Program 99 Chapter 5 Energy Bands, Gaps, and Eigenfunctions in an Infinite Lattice Introduction Exact Result for Periodic Potentials in One Dimension Bloch's Theorem 103

5 vi Contents Electron Scattering From Potential Barrier of Single Unit Cell Generalized Kronig-Penney Function Computational Approach Reduced Units Determination of Energy Dispersion Curves, E(k) Determination of the Wave Function Infinite VQ Approximation The Perturbation Approximation Running the BANDS Program Menü Options Short Tutorial Exercises Possible User Modifications 116 Chapter 6 Forced Motion of a Wave Packet in a 1-D Lattice Introduction Motion of an Electron in a Crystal Lattice Standard Tight Binding Model Placing a Localized Electron in the Lattice Adding an External Force Embedding an Added Potential in the 1-D Lattice The Energy of a Wave Packet The Semiclassical Model and the Effective Mass Computational Approach Quick Overview Reduced Units Direct Numerical Solution 126

6 Contents VÜ 63.A Program Procedures and Some Details Running the PACKET Program Menü Options Short Tutorial Exercises Possible User Modifications 137 Chapter 7 Inhomogeneous Semiconductor Laboratory Introduction Charged Particle Dynamics The Semiclassical Limit Diffusion Drift Generation and Recombination Performing Transport Calculations in a 2-D Model Satisfying Electrostatic Boundary Conditions Transport Via Diffusion and Drift Adding/Removing Charge Via Generation/ Recombination Running the Program Exercises 148 Chapter 8 LCAO Workbench Introduction Two-Dimensional Atoms LCAO Theory Running the Program Exercises 157

7 v'lii Contents Appendix Walk-Throughs for All Programs 160 A.l Walk-Through for PHONONS Program 160 A.2 Walk-Through for SPHEAT Program 161 A.3 Walk-Through for LATTICE Program 163 A.4 Walk-Through for BANDS Program 164 A.5 Walk-Through for PACKET Program 166 A.6 Walk-Through for SOLIDLAB Program 168 A.7 Walk-Through for LCAO Program 168

8 Gerhard Hübner Stochastik Eine anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker 3., überarbeitete Auflage vieweg

9 vii Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Was ist Stochastik? Anwendungsbereiche der Stochastik Modell und Realität Fragestellungen und Ziele Beschreibende Statistik Aufgaben 9 2 Wahrscheinlichkeits-Modelle Die Modell-Bausteine Der Merkmalraum ü Zusammengesetzte Merkmale Ereignisse Das Ereignis-System A Darstellung von Ereignissen durch Zufallsvariable Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgaben 30 3 Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsmaßen Diskrete W-Maße und Zähldichten Stetige W-Maße und Riemann-Dichten Verteilungsfunktionen Aufgaben 45 4 Mehrstufige W-Modelle, Koppelung Koppelung diskreter W-Modelle Koppelung stetiger W-Modelle Unabhängige Koppelung 49

10 viii Inhaltsverzeichnis 4.4 Markov-Koppelung Zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen Folgen von Koppelungsmodellen Aufgaben 57 5 Zufallsvariable und Bildmodelle Zufallsvariable und messbare Abbildungen Bildmodelle und Verteilungen von Zufallsvariablen Hypergeometrische und Binomial-Modelle Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung Wartezeiten - die geometrische Verteilung Mehrfaches Warten - die negative Binomialverteilung Bild-Verteilungen für stetige W-Modelle Randverteilung und gemeinsame Verteilung Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Summen-Verteilungen und Faltung Aufgaben 82 6 Kenngrößen Modalwert, Median, Quantile Erwartungswert: Einführung Erwartungswert: diskrete Modelle Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle Streuung und Varianz Kovarianz Mehrdimensionale Normalverteilung Zufällige Summen und bedingte Erwartungswerte Aufgaben Modelle für stochastische Prozesse Vorbemerkungen Markov-Ketten - einige Grundbegriffe Markov-Ketten im Gleichgewicht Aufgaben 126

11 ix 8 Bediensysteme Vorbemerkungen Das Bedienmodell M\M\l\oo Das M M 1-Bediensystem im Gleichgewicht Leistungsmaße im M Mjl-Bediensystem M\M\s\c -Bediensysteme Andere Bedienzeitverteilungen Gekoppelte Bediensysteme - Bediennetze Bedienmodelle mit stetiger Zeit Aufgaben Zufallszahlen und Simulation Vorbemerkungen Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen Zufallszahlen mit anderen Verteilungen Anwendung von Simulationsverfahren Aufgaben Grundfragen der Statistik Typische Problemstellungen Punktschätzung Intervallschätzung Statistische Tests Testen von Hypothesen Chi-Quadrat-Anpassungstest Test auf Unabhängigkeit Aufgaben 181 A Tabellen 185 A.l Die wichtigsten diskreten Verteilungen 185 A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen 186 A.3 Werte der Standard-Normalverteilung 187 A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung 188 A.5 Quantile der Student-Verteilung 188 A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 189

12 X Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis 191 Symbole und Abkürzungen 194 Stichwortverzeichnis 195