Numerische Berechnung von Preis-Konsum Quotienten in verallgemeinerten Gleichgewichtsmodellen

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1 Fachbereich Mathematik und Informatik Diplomarbeit in Mathematik Numerische Berechnung von Preis-Konsum Quotienten in verallgemeinerten Gleichgewichtsmodellen eingereicht von Jann-Philipp Zocher Münster, 1. Juli 2010 Gutachter Prof. Dr. Martin Burger Prof. Dr. Nicole Branger

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3 Abstract Asset pricing models are an important part of today world of nance. This thesis was concerned with the numerical approximation of the price-consumption ratio for a general equilibrium. The Paper Explaining pre- and post-1987 crash asset prices Within a unied general equilibrium framework from Benzoni, Collin-Dufresne and Goldstein aords the basic model for this thesis. This nancial market model contains the price-consumption ratio as a fundamental part of it. In particular the price-consumption ratio was analyzed with respect to the existence and uniqueness of an analytic solution as well to the convergence of a numerical solution. Furthermore with the numerical solution of the price-consumption ratio numerical simulations of the asset pricing model from the basic paper were carried out.

4 Danksagung Ich danke Martin Burger und Nicole Branger, ohne die ich nicht zu dieser interessanten Arbeit gefunden hätte. Sie haben sich immer Zeit genommen, um auf meine zahlreichen Fragen Antworten zu nden. Lars Ruthotto für sehr hilfreiche und vorantreibende Diskussionen und das Korrekturlesen meiner Arbeit. Mareike Drerup, Tanja Artiga González und Gerd Zocher für das nden unzähliger Rechtschreibfehler in meiner Arbeit. Thomas Weitjes für die gute und unermüdliche Ablenkung vom Schreiben meiner Arbeit. meinen Eltern für die grenzenlose Unterstützung über die ganzen Jahre.

5 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 I. Grundlagen der Optionsbewertung 3 2. Grundlagen der Optionspreisberechnung Der Optionsbegri Anwendungen von Optionen Das Modell Stochastische Grundlagen Die Dynamik des Modells Wichtige Modellwerte Monte-Carlo Simulation Theoretische Grundlagen Grundsätzliche Vorgehensweise Allgemeine Fehlerabschätzung Ermittlung zeitoptimaler Simulationsparameter II. Das Modell und die Mathematik Mathematische Analyse des Preis-Konsum-Quotienten Methode von Collin-Dufresne und Goldstein Numerische Berechnung der Methode von Collin-Dufresne und Goldstein Allgemeine Strukturbetrachtung der DGL Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für elliptische DGL Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für den Preis-Konsum Index Regularität der Lösung Numerische Approximation des Preis-Konsum-Quotienten Diskretisierung Lösen des linearen Gleichungssystems Fehleranalyse Numerische Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten Diskretisierung Lösen des linearen Gleichungssystems Successive Over-Relaxation-Verfahren I

6 III. Simulation des Modells Programmierung des Modells Implementierung der numerischen Approximation des Preis-Konsum-Quotienten Implementierung der numerischen Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten Implementierung der Monte-Carlo-Simulation Implementierung der Hauptroutine Implementierung der impliziten Volatilität Ergebnisse der Simulation Ergebnisse für die Berechnung des Preis-Konsum-Quotienten Sensitivitätsanalyse Ergebnisse für die Berechnung des Preis-Dividenden-Quotienten Sensitivitätsanalyse Ergebnisse für die Berechnung der impliziten Volatilität Sensitivitätsanalyse Fazit 82 A. Anhang 84 A.1. Finanzmathematik A.2. Funktionalanalysis Literatur 88 II

7 Abbildungsverzeichnis 2.1. Auszahlungsfunktionen von einer Kauf- und einer Verkaufsoption Ein Pfad der Standard Brownschen Bewegung Zwei Pfade des Diusionsprozesses Zwei Pfade eines Poisson Prozesses Approximation des Preis-Konsum-Quotienten von Collin-Dufresne und Goldstein Preis-Konsum-Quotienten-Berechnung mit M= Preis-Konsum-Quotienten-Vergleich zwischen M=2.000 und M= Preis-Konsum-Quotienten, Sensitivität von λ, M= Preis-Konsum-Quotienten, Sensitivität von µ ν, M= Preis-Dividenden-Quotienten-Berechnung mit M= Preis-Dividenden-Quotienten-Vergleich zwischen M=2.000 und M= Preis-Dividenden-Quotienten, Sensitivität von λ, M= Preis-Dividenden-Quotienten, Sensitivität von µ ν, M= Monte-Carlo-Simulation für T = 1/12 mit n= Monte-Carlo-Simulation, Senitivität von λ Monte-Carlo-Simulation, Sensitivität von µ ν III

8 1. Einleitung Sei es der 7. Februar 1637, der Schwarze Montag am 19. Oktober 1987 oder das Jahr 2007, alle diese Daten haben etwas gemeinsam. Sie alle sind Beispiele für Börsencrashs der letzten Jahrhunderte. Von daher liegt es nahe, dass sich die Wissenschaft schon früh mit der Problematik beschäftigt hat, um die Gründe eines Börsencrashs zu verstehen. Grundlegend für die Forschung in diesem Gebiet sind die Modelle der Finanzoptionsbewertung, mit denen die Finanzoptionen auf beispielsweise Aktien bewertet werden. Das wohl bekannteste Optionsbewertungsmodell, welches auch zum Einstieg in viele andere Modelle benutzt wird, ist das Optionsbewertungsmodell von Fischer Black und Myron Samuel Scholes aus dem Jahre 1973 [6]. In ihrer entwickelten Formel zur Bewertung von Finanzoptionen war zwar noch nicht das Auftreten von Börsencrashs berücksichtigt, aber es war für den damaligen Forschungsstand ein so enormer Schritt, dass Myron Samuel Scholes zusammen mit Robert C. Merton, der an der Ausarbeitung ebenfalls beteiligt war, 1997 einen Nobelpreis dafür erhielten. Fischer Black war bereits 1995 verstorben. Nicht nur das Fehlen einer Modellierung von Börsencrashs im Black-Scholes Modell lud zu weiteren Modizierungen ein, sondern auch viele Finanzmarktgröÿen, die nicht im Modell berücksichtigt wurden. In den darauolgenden Jahren bis heute wurden immer mehr Weiterentwicklungen des Black-Scholes-Modells erforscht und publiziert. Dabei wurden bestehende Modellansätze verworfen, übernommen oder verbessert, womit viele verschiedene Modelle entstanden. Grundlegend für die vorliegenden Diplomarbeit ist das entwickelte Optionsbewertungsmodell publiziert im Artikel [4] mit dem Titel Explaining Pre- and Post-1987 Crash Asset Prices Within a Unied General Equilibrium Framework von Luca Benzoni, Pierre Collin-Dufresne und Robert S. Goldstein aus dem Jahre Die Autoren des Artikels betrachten in ihrer Arbeit einen Modellansatz der Optionsbewertung, um die Veränderungen nach dem Schwarzen Montag zu beschreiben. Dabei wird neben der Einführung einer zustandsbeschreibenden Gröÿe, die die Stellung einer Inationsrate im Modell einnimmt, auch noch der Konsum und die getätigten Dividendenzahlungen berücksichtigt. Des Weiteren wird ein Term in die zustandsbeschreibende Gröÿe mit eingebaut, der die erforderlichen Eigenschaften hat, um einen Börsencrash realistisch simulieren zu können. In einem nachfolgenden Artikel [5] der Autoren aus dem Januar 2010 werden noch weitere Modellspezikationen vorgenommen, um noch genauer die Veränderungen nach einem Crash zu erklären. Dies zeigt, dass es sich hierbei immer noch um eine aktuelle Problematik der Forschung handelt, die noch nicht ausgereift ist. Es bleibt abzuwarten wie gut die Optionsbewertungsmodelle werden. In dieser Diplomarbeit wird die Modellentwicklung des oben genannten Optionsbewertungsmodells von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein vorgestellt. Dabei wird bei der Vorstellung des Modells die mathematische Sichtweise im Vordergrund stehen. Zu Beginn wird eine Einführung in die Grundlagen der Optionsbewertung dargestellt, wobei die Begrie aus der Finanzmathematik deniert und erläutert werden. Anschlieÿend wird das Modell basierend auf stochastischer Denitionen und Sätze eingeführt, sowie die wichtigsten Erkenntnisse für den späteren Verlauf 1

9 der Arbeit erläutert. Ein wichtiger Teil der Arbeit für die Anwendung des Modells wird in Kapitel 3 behandelt. Hier wird eine Methode der Optionsbewertung durch die Monte-Carlo Simulation vorgestellt. Der Schwerpunkt der vorliegenden Diplomarbeit ist die Behandlung des im Optionsbewertungsmodells auftretenden Preis-Konsum Quotienten. Dabei wird der Preis-Konsum Quotient durch das Lösen einer Dierentialgleichung bestimmt, die erfüllt sein muss, damit die zugrunde gelegte Nutzenfunktion des Modells berechnet werden kann. Die Dierentialgleichung ist eine gewöhnliche stochastische Dierentialgleichung zweiter Ordnung. Es wird in mehreren Schritten gezeigt, dass eine Lösung dieser Dierentialgleichung existiert und auch eindeutig ist. Da es schwer möglich ist eine explizite Lösung für die Gleichung anzugeben, wird danach eine numerische Approximation berechnet, mit der die Lösung der gewöhnlichen stochastischen Dierentialgleichung bestimmt werden kann. Hierbei werden auch die nötigen Voraussetzungen für das numerisches Verfahren geprüft. Anschlieÿend werden die Ergebnisse des Preis-Konsum Quotienten mit denen von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein verglichen. Dazu wird deren Preis-Konsum Quotient mit Hilfe eines Standardansatzes aus der Ökonomie berechnet. In der Ergebnisanalyse zeigt sich dann, inwieweit man den Standardansatz für die Lösung dieser Dierentialgleichung verwenden kann. Als Anwendung des berechneten Preis-Konsum Quotienten wird eine Monte-Carlo Simulation für die Bewertung einer Call-Option auf den S&P 500 Index durchgeführt und deren Ergebnisse vorgestellt. Hierbei wird die implizite Volatilität des oben erwähnten Black-Scholes Modells für die Betrachtung berechnet und danach ausgewertet. Es werden bei der Auswertung der impliziten Volatiltäten Smiles erwartet, die auch in der realen Welt auftreten. Ansonsten wäre das Modell keine gute Modellierung des Finanzmarktes. 2

10 Teil I. Grundlagen der Optionsbewertung 3

11 2. Grundlagen der Optionspreisberechnung Im folgenden Kapitel werden wir zu Beginn die grundlegenden Denitionen, die wir dann im letzten Teil dieses Kapitels in unserem Modell aus dem Paper [4] von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein benötigen, für unsere Arbeit einführen. Der Aufbau sowie die Denitionen und Erläuterungen sind nahe an die Diplomarbeit [30] angelehnt. In dieser ist das Optionsbewertungsmodell von Black-Scholes sowohl analytisch als auch numerisch ausgearbeitet worden. Da das hier behandelte Modell eine Modizierung des Modells von Black and Scholes darstellt, werden ähnliche Denitionen respektive Begrie benötigt. Die Denitionen und Erläuterungen können auch unter [17] oder [18] nachgeschlagen werden Der Optionsbegri Im Nachfolgenden wird der Begri einer Option deniert und näher erläutert. Wir werden die Möglichkeiten eines Calls und eines Puts als Option darstellen, sowie auf den Unterschied einer Europäischen Option und einer Amerikanischen Option aufmerksam machen. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf den Europäischen Optionen, da diese aufgrund ihres festgelegten Ausübungszeitpunktes (siehe Denition 1) einfacher zu behandeln sind. Eine Option ist ein Derivat mit einer asymmetrischen Auszahlung, genauer: Denition 1 (Call-Option, Put-Option). Eine europäische Call-Option ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, der dem Optionsnehmer (Käufer der Option) das Recht gibt, zum Verfallszeitpunkt (maturity) T > t eine festgelegte Menge (dem Basiswert) zu einem bei Vertragsabschluss vereinbarten Ausübungspreis (strike price) K zu kaufen. Übt er das Recht nicht aus, verfällt die Option zur Zeit T ohne weitere Konsequenzen. Eine europäische Put-Option gibt dem Käufer das Recht, den Basiswert zum Verfallszeitpunkt T zu einem vereinbarten Ausübungspreis K zu verkaufen. Der Inhaber einer amerikanischen Call-Option beziehungsweise einer amerikanischen Put-Option kann sein Recht, den Basiswert zu kaufen bzw. zu verkaufen, vom Erwerb der Option bis zum Verfallszeitpunkt T jederzeit ausüben. Mit dieser Denition stellt sich die Frage: Wann ist es für den Optionsnehmer sinnvoll, sein Recht auszuüben? Wir betrachten aus Vereinfachungsgründen den europäischen Put zum Fälligkeitstermin t = T aus Sicht des Optionsnehmers. Es ergeben sich genau drei Ausgangsszenarien für den Kurs des Basiswertes am Verfallstag der Option: 1. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin S T ist kleiner als der vorher vereinbarte Ausübungspreis K. Die Option bendet sich im Geld (in the money). Der Besitzer der 4

12 Put-Option übt sein Recht aus und erhält für den Verkauf des Basiswertes den höheren Preis K anstatt dem am Markt gezahlten S T Geldeinheiten. 2. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin S T ist gleich dem vorher vereinbarten Ausübungspreis K. Die Option bendet sich am Geld (at the money). Der Besitzer kann sein Recht verfallen lassen oder ausüben, da er keine Vorteile oder Nachteile dadurch erhält. 3. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin S T ist gröÿer als der vorher vereinbarte Ausübungspreis K. Die Option bendet sich aus dem Geld (out of the money). Auch hier würde der Optionsnehmer sein Verkaufsrecht nicht ausüben, da er am Markt den höheren Preis erzielen kann. Im 2. und 3. Fall ist die Option wertlos und verfällt am Laufzeitende. Es ist festzuhalten, dass sich eine Call-Option gegensätzlich zur Put-Option verhält. Das Verhalten der Optionsbesitzer ist anschaulicher, wenn man sich die Auszahlungsfunktionen (payo functions) ansieht: Call: C(S, T ) = (S T K) + := max{0, S T K}, (2.1a) Put: P (S, T ) = (K S T ) + := max{0, K S T } (2.1b) Aus denen in Abbildung 2.1 abgetragenen Gleichungen (2.1a) und (2.1b) wird ersichtlich, dass Abbildung 2.1.: Die linke Abbildung bildet die Auszahlungsfunktion einer Kaufoption aus Gleichung (2.1a) bei einem Ausübungspreis von K = 50 ab. Die rechte Abbildung bildet die Auszahlungsfunktion einer Verkaufsoption aus Gleichung (2.1b) bei einem Ausübungspreis von K = 50 ab. Beide Abbildungen wurden aus [30] übernommen. eine Option eine nichtnegative Zahlung in der Zukunft zusichert. Daher muss der Optionserwerber eine Optionsprämie beim Kauf der Option bezahlen. Es liegt die Frage nahe, welche Parameter den Optionswert bestimmen, da die Höhe der Zahlung unsicher ist. In die allgemeine Optionsbewertung ieÿen folgende Parameter ein: 1. Kurs des Basiswertes S 0 zum Zeitpunkt t = 0, 5

13 2. Ausübungspreis K, 3. Laufzeit der Option T, 4. risikofreier Zinssatz r f, 5. Volatilität σ des Basiswertes, wobei die Volatilität besonders für das Modell von Black-Scholes oder für darauf basierende Modelle einen enormen Stellenwert hat. Die Berechnungen der Volatilität beziehungsweise der impliziten Volatilität, die wir später noch durchführen werden, haben Auswirkungen auf die Ergebnisse des Modells. Die Volatilität deniert sich genauer wie folgt: Denition 2 (Volatilität). Die Volatilität σ des Basiswertes beschreibt die Unsicherheit, wie sich der Kurs des Basiswertes in der Zukunft verhält; sie stellt die sogenannte Standardabweichung des Log-Returns der Aktie dar. Die Modelle können von weiteren Einüssen abhängen. Diese Einüsse werden durch zu implementierende Parameter im Modell repräsentiert und können von Modell zu Modell unterschiedlich sein. Die für uns relevanten Einüsse werden in Abschnitt vorgestellt und ins Modell implementiert Anwendungen von Optionen Die Optionen werden in zwei groÿen Gebieten der Finanzwirtschaft verwendet. Einerseits sind es Spekulationen, die bei Optionsgeschäften eine Rolle spielen, andererseits sind es Hedgegeschäfte, die man auch als Kurssicherungen bezeichnet. Spekulationsgeschäfte: Bei Spekulationsgeschäften erwartet der Käufer einer Option, dass der Preis des Basiswertes sich zum eigenen Vorteil im Vergleich zum Preis der Option verändert, sodass er mit der Option Gewinn macht. Beim Besitz einer Call-Option muss der Preis des Basiswertes steigen und beim Besitz einer Put-Option natürlich fallen. Wir werden dies anhand eines Beispiels aus [30][Seite 5, Beispiel 1] für eine Call-Option auf eine Aktie verdeutlichen: Beispiel (Spekulation). Ein Spekulant, der davon ausgeht, dass der Kurs einer bestimmten Aktie innerhalb der nächsten zwei Monate steigt, kauft Call-Optionen auf dieses Wertpapier. Angenommen derzeit sei der Aktienpreis S 0 = EUR 30 und der Wert einer Call-Option mit einem Ausübungspreis von K = EUR 35 und einer Laufzeit von zwei Monaten (T = ) beträgt c = EUR 1. Dann investiert der Spekulant in diesem Fall einen Betrag in Höhe von EUR So kann er Optionen erwerben. Tritt nun der vorhergesagte Fall ein und der Wert der Aktie liegt zwei Monate später bei S T = EUR 50, so löst er seine Optionen ein und kauft die Aktien für den vereinbarten Preis K = EUR 35, wobei er sie unmittelbar danach für den höheren Marktpreis S T = EUR 50 wieder verkauft. Damit erzielt er einen Gewinn für den Optionskauf, wenn man die Dierenz der heutigen zu leistenden Zahlungen mit den zukünftigen zu erhaltenen Zahlungen betrachtet, von insgesamt: (EUR 50 EUR 35) EUR = EUR

14 Bei direkter Investition seiner EUR könnte der Spekulant heute 100 Aktien erwerben, die zwei Monate später mit einem Verkauf einen Prot von: 100 (EUR 50 EUR 30) = EUR erwirtschaftet hätten. Dieser ist aber nur 1/21 des Gewinns, den man mit der Optionsspekulation erzielt hat. Allerdings muss an dieser Stelle auch darauf hingewiesen werden, dass der Verlust beim Spekulieren mit Optionen bei entgegengesetzter Kursentwicklung höher gewesen wäre als beim Spekulieren mit Aktien. Angenommen der Aktienpreis beträgt nach den zwei Monaten S T = EUR 20, so hätte der Optionsspekulant seine erworbenen Optionen verfallen lassen, somit wäre der Kaufpreis von EUR sein Verlust gewesen. Beim direkten Aktienkauf hätte er dagegen nur verloren. 100 (EUR 30 EUR 20) = EUR Hedgegeschäfte: Der Kauf einer Option für Hedgegeschäfte (auch Kurssicherungsgeschäfte genannt) wird allgemein als Hedging bezeichnet. Hierbei wird die Option als Absicherung gegen unerwünschte Preisschwankungen des Basiswertes benutzt. Wir verdeutlichen dies erneut an einem Beispiel aus [30][Seite 5., Beispiel 2]. Beispiel (Hedging). Ein europäisches Unternehmen benötigt im kommenden Jahr eine Maschine aus den Vereinigten Staaten für USD , die innerhalb eines Jahres bezahlt werden müssen. Um sich gegen die Wechselkursschwankungen zwischen den beiden Währungen abzusichern, kauft das Unternehmen Call-Optionen mit den folgenden Eigenschaften: c = EUR 1, T = 1 Jahr, K = EUR 1. Jeder Optionsschein liefert das Recht, USD 100 zum Preis von 1 EUR/USD zu kaufen. Beträgt der Wechselkurs nach einem Jahr 1.1 EUR/USD, so löst das Unternehmen die Optionsscheine ein und kauft USD zum Kurs von 1 EUR/USD. Das Unternehmen hat also insgesamt EUR ausgegeben anstatt der sonst fälligen EUR Damit erzielte das Unternehmen einen Gewinn von EUR abzüglich der gezahlten Optionsprämie. Liegt der Wechselkurs nach einem Jahr dagegen bei 0.9 EUR/USD, so wird das Unternehmen die USD am Markt kaufen und die Optionsscheine verfallen lassen. Das Unternehmen hat keinen Gewinn erzielt; sein Verlust entspricht gerade der Optionsprämie. Die Gesamtkosten des Dollarkaufs betragen also in jedem Fall nicht mehr als EUR zuzüglich dem Optionspreis von insgesamt EUR Der Preis, den das Unternehmen für die Call-Optionen zahlt, hat die Bedeutung einer Versicherungsprämie. Insgesamt muss das Unternehmen also entscheiden, ob der mögliche Gewinn in Höhe von EUR den möglichen Verlust von EUR kompensiert und daraufhin seine Strategie festsetzen Das Modell In diesem Abschnitt wird das allgemeine Gleichgewichtsmodell für Kapital und Optionspreise aus dem Paper [4] von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein vorgestellt und näher erläutert. 7

15 Zunächst werden die nötigen stochastischen Denitionen eingeführt und die verwendeten Sätze zitiert. Nachdem in Abschnitt die Dynamik des Modells entwickelt wurde, werden in Abschnitt die Ermittlung der wichtigen Finanzmarktgröÿen vorgestellt. Dabei ist es beim Verizieren des Preises der Aktie beispielsweise notwendig, die Dynamik unter einem weiteren Maÿ mittels des Theorem von Girsanov A.1.2 zu berechnen. Die Ergebnisse für den Preis-Konsum- Quotienten in Satz sind für unsere spätere mathematische Betrachtung der Problematik von besonderem Interesse. Für tiefergehende Einblicke ist ergänzende Literatur zum Thema der Stochastik auf Finanzmärkten beispielsweise [26] sowie [13] zu empfehlen.weiterhin werden in Abschnitt ergänzende Gröÿen des Modells eingeführt mit denen dann signikante Finanzmarktgröÿen beschrieben werden. Dabei werden bekannte Modelle wie der des Nutzenindex von Epstein und Zin aus [15] sowie weitere marktbeschreibende Indizes in das von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein entwickelte Modell eingebettet Stochastische Grundlagen Im weiteren Verlauf des Kapitels wird die Dynamik des Modells erläutert. Die Dynamik besteht aus dem Zustandsverlauf, der vergleichbar mit dem erwarteten Wirtschaftswachstum ist, dem Konsumverlauf als makroökonomischen Gröÿe und dem Dividendenverlauf als Gröÿe des Finanzmarktes. Um die Verläufe zu verstehen, benötigt man noch grundlegende Denitionen und Erkenntnisse der Stochastik, die am Anfang dieses Abschnittes erläutert werden. Hierbei halten wir uns mit den Denitionen und Sätzen an [23]. Der Wahrscheinlichkeitsraum Zunächst werden wir einige aufbauende Denitionen aus der Stochastik einführen, um damit den Wahrscheinlichkeitsraum denieren zu können. Diesen benötigen wir um mit den Unsicherheiten, die wir später in das Modell mit einbauen werden, umgehen zu können. Wir beginnen mit Denition 3 (Ergebnisraum). Eine Menge Ω heiÿt Ergebnisraum, dass bedeutet die Menge Ω steht für alle möglichen Ereignisse ω. Ein Element ω Ω repräsentiert eine mögliche Realisation von allen möglichen Ereignissen des Modells. Ein Ereignis ist eine Untermenge von Ω. Grundlage des im weiteren Verlauf einzuführenden Informationslters wird die folgende Denition sein: Denition 4 (σ-algebra). F heiÿt σ-algebra in Ω, falls F eine Sammlung von Untermengen von Ω mit den Eigenschaften ist. 1. Ω F, 2. für jede Menge F in F gilt, dass das Komplement F c Ω \ F auch in F ist, 3. falls F 1, F 2,... F ist, dann ist auch die Vereinigung n=1 F n in F. F ist eine Sammlung an Ereignissen, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann, Bevor wir zum Wahrscheinlichkeitsraum kommen, sei an dieser Stelle noch das Wahrscheinlichkeitsmaÿ deniert: 8

16 Denition 5 (Wahrscheinlichkeitsmaÿ). P heiÿt Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf Ω, falls die Funktion P : F [0, 1] mit P(Ω) = 1 die Eigenschaft hat, das für jede Sequenz A 1, A 2,... disjunkter Ereignisse P ( m=1 A m) = m=1 P(A m) gilt. Der für unser Modell benötigte Wahrscheinlichkeitsraum setzt sich aus den drei oberen Denitionen zusammen, genauer: Denition 6 (Wahrscheinlichkeitsraum). Ein Trippel (Ω, F, P) heiÿt Wahrscheinlichkeitsraum, wobei Ω der Ergebnisraum, F die σ-algebra und P das Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist. Ein mögliches Ereignis kann man formal als Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum modellieren. Eine Zufallsvariable X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) ist eine reellwertige Funktion auf Ω, die F-messbar ist. F-messbar bedeutet, dass für jedes I R die Menge {ω Ω X(ω) I} in F ist. Das heiÿt, es kann eine Wahrscheinlichkeit dafür festgesetzt werden, dass die Zufallsvariable einen Wert in I trit. Im Nachfolgenden werden wir die Ereignisse auf unserem Wahrscheinlichkeitsraum als Tagesereignisse betrachten. Die jeweiligen Werte für einen Tageszustand unseres Modells sind dann in einem Ereignis gespeichert, sodass der Ergebnisraum Ω alle möglichen Ereignisse für alle Tagesschritte umfasst. Sei τ = {0, 1, 2,... T } die aufsteigend geordnete Indexmenge der Zeitschritte, die in unserem Modell gemacht werden. Informationen Für unser Modell ist es wichtig, die Informationen zu berücksichtigen, die in jedem Zeitschritt dazu gewonnen werden. Hierdurch schränken sich die Realisationskombinationen der möglichen Ereignisse ein. Man bedenke beispielsweise die Dividende, die in einem Zeitpunkt t τ ausgezahlt wird oder die Konsums- und Investitionsentscheidungen, die von anderen Individuen zum Zeitpunkt t getroen werden. Dies alles muss berücksichtigt werden. Hierfür führen wir die Filtrierung (F t ) t τ ein. Denition 7 (Informationslter). (F t ) t τ heiÿt Filtrierung oder hier auch Informationslter genannt, falls (F t ) t τ aufsteigend geordnet ist, das heiÿt, dass für alle s, s τ, s < s : F s F s gilt. Falls die Informationen F t F zum Zeitpunkt t bekannt sind, setzt sich der Informationslter (F t ) t τ aus den festgesetzten Realisationen für die ersten t-zeitschritte und den Kombinationen der möglichen Ereignisse für den Zeitraum ab t bis zum Endzeitpunkt T zusammen. Bemerkung. Zu Beginn t = 0 des Modells ist F 0 = {, Ω}. Am Ende der Laufzeit T ist F T die Kombination der realisierten Ereignisse. Somit kann man zusammenfassend den gelterten Wahrscheinlichkeitsraum als (Ω, F, {F t }, P) schreiben. Für das Modell wird es hinterher wichtig sein, den Informationsteil F t, der zur Zeit t bekannt ist, mit im Erwartungswert zu berücksichtigen. Daher wird nun der bedingte Erwartungswert eingeführt. Der bedingte Erwartungswert berücksichtigt zum Zeitpunkt t die bekannten Informationen F t. Man schreibt für den bedingten Erwartungswert. E [X F t ] = E t [X] 9

17 Bemerkung. Wir nehmen an, dass die Informationen zum Zeitpunkt 0 trivial sind, das heiÿt: E 0 [X] = E [X]. Des Weiteren nehmen wir an, dass sich die möglichen Realisationen zum Zeitpunkt T in einer Realisation gefestigt haben, sodass E T [X] = X gilt. Ein wichtiges Theorem über bedingte Erwartungswerte, welches auch einen praktischen Hintergrund hat, ist das Gesetz der iterierten Erwartungswerte. Satz (Das Gesetz der iterierten Erwartungen). Falls F und G zwei σ-algebren sind mit F G und X ist eine Zufallsvariable, dann gilt E [E [X G] F] = E [X F]. Genauer, falls (F) t τ ein Informationslter und t > t, haben wir E t [E t [X]] = E t [X]. Man kann diese Erkenntnis auf die Varianz und die Covarianz erweitern, da wir diese aber in unserer Arbeit nicht benötigen, sei auf [23][Seite 19.] verwiesen. Stochastische Prozesse Mit diesen Grundlagen ist es nun möglich, die stochastischen Prozesse einzuführen auf denen die Modelldynamiken aufbauen. Es sei an dieser Stelle nochmals daran erinnert, dass eine Zufallsvariable eine Funktion von Ω nach R ist. Ein stochastischer Prozess ist ein Vektor, der sich aus T Zufallsvariablen zusammensetzt, sodass für jeden Zeitpunkt ein Eintrag im Vektor mit einer Zufallsvariablen vorhanden ist. Denieren wir zunächst noch die Martingale, die wir als Spezialfall eines stochastischen Prozesses behandeln wollen. Denition 8 (Martingale). Wir sagen zu einem stochastischen Prozess X = (X t ) t τ Martingal bezogen auf das Wahrscheinlichkeitsmaÿ P und dem Informationslter (F t ) t τ, falls für alle t, t τ mit t < t E t [X t ] = X t gilt. Das bedeutet, dass der Erwartungswert des zukünftigen Prozesses, der mit den Informationen zum Zeitpunkt t gebildet wird, dem Wert der Zufallsvariablen vom Zeitpunkt t entspricht. Man bezeichnet diese Eigenschaft als faires Spiel. Ein weiterer Spezialfall ist der Markov Prozess. Er sagt aus, dass alle Informationen aus der Vergangenheit bereits im aktuellen Wert enthalten sind. Formal ausgedrückt: P (X t A (X s ) s t ) = P (X t A X t ). Es existieren viele stochastische Prozesse, die in den verschiedensten Modellen die Unsicherheit wiedergeben. In unserem Modell soll die Brownsche Bewegung diesen Teil übernehmen. Wir werden im Folgenden die Standard Brownsche Bewegung denieren, sowie weiter Sätze und Eigenschaften erläutern und danach unser Modell mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnisse vorstellen. Bisher sind wir von einem zeitdiskreten Modell ausgegangen. Wir verwenden im Folgenden die Erkenntnisse aus dem zeitdiskreten Fall für das neue zeitstetigen Modell, welches wir betrachten wollen. Dabei werden wir gröÿtenteils auf die Denitionen aus [23][Seite 26 bis 32] zurückgreifen. 10

18 Standard Brownsche Bewegung Ein stochastischer Prozess z = (z t ) t [0,T ] heiÿt Standard Brownsche Bewegung, falls er folgende Bedingungen erfüllt: 1. z 0 = 0, 2. die Zuwächse sind normalverteilt, dass heiÿt für alle t, t 0 mit t < t : z t z t N(0, t t), 3. für alle 0 t 0 < t 1 <... < t n sind die Zufallsvariablen z t1 z t0,..., z tn z tn 1 unabhängig voneinander. 4. Die einzelnen Pfade von z sind P-fast sicher stetig. Abbildung 2.2.: Dies ist ein realisierter Pfad der Standard Brownschen Bewegung im Intervall [0, 1] mit 200 Zeitschritten Ein simulierten Pfad der Standard Brownschen Bewegung ist in der Abbildung 2.2 zu sehen. Man beachte, dass es sich hierbei wirklich nur um eine Realisation der Brownschen Bewegung handelt. Diusionsprozess Wir denieren mit Hilfe der Standard Brownschen Bewegung z und einem konstanten Startwert X 0 den Diusionsprozess, der für unser Modell später eine tragende Rolle einnimmt. Hierfür sind weitere Werte notwendig. Wir bezeichnen µ(x t, t) als den Driftterm und σ(x t, t) als die Volatilität des stochastischen Prozesses. Hierbei ist zu beachten, dass der Driftterm und die Volatilität jeweils Funktionen in Abhängigkeit der Zeit und des derzeitigen Wertes von X t sind. Es wird für einen innitesimal kleinen Zeitschritt [t, t + dt] der stochastische Prozess formal geschrieben als Diusionsprozess dx t = µ (X t, t) dt + σ (X t, t) dz t, (2.2) wobei dz t eine Standard Brownsche Bewegung ist. Man erkennt leicht, dass für ein innitesimal kleines Intervall [t, t + dt] der Erwartungswert und die Varianz gegeben sind als E t [dx t ] = µ (X t, t) dt, Var t [dx t ] = σ (X t, t) 2 dt. 11

19 Man kann die Veränderung des Diusionsprozesses für jedes Intervall [t, t ] nach [23][Seite 31] schreiben als t t X t X t = µ u du + σ u dz u. (2.3) t t Abbildung 2.3.: Dies sind zwei realisierte Pfade des Diusionsprozesses mit Startwert X 0 = 10 und Parametern µ = 0.1, σ 1 = 0.2 und σ 2 = 0.5 im Intervall [0, 1] mit 200 Zeitschritten. Sprungprozesse Es gab im letzten Jahrhundert einige Finanzmarkteinbrüche, zum Beispiel den Schwarzen Montag Die plötzlichen und unerwarteten Bewegungen auf dem Finanzmarkt, sollten auch in das Modell implementiert werden. Um diese Sprünge einbauen zu können, eignen sich Poisson Prozesse. Denition 9 (Poisson-Prozess). Ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heiÿt Poisson-Prozess P λ,t mit Intensität λ und t [0; ), falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind: 1 P λ,0 = 0(P-fast sicher 2 P λ,t P λ,s f p ((t s); λ) s < t. Dabei bezeichnet die Poisson-Verteilung f p (n; λ) aus nachfolgender Gleichung (2.5) mit Parameter λ (t s). 3 Sei für n N eine Folge 0 < t 1 < < t n gegeben. Dann ist die Familie Pλ,ti P λ,ti 1 2 i n von Zufallsvariablen stochastisch unabhängig. Allgemeiner deniert man einen Zählprozess, wovon der Poisson-Prozess ein Spezialfall ist. Denition 10 (Zählprozess). Ein stochastischer Prozess N = (N(t)) t 0 heiÿt Zählprozess, wenn für Zwischenankunftszeiten (τ i ) i N gilt: N(t) = i 1 {τi t} (2.4) 12

20 Die Poisson-Prozesse sind zum Simulieren seltener Ereignisse sehr gut zu verwenden. Im Versicherungswesen werden damit zum Beispiel Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen und Flugzeugabstürze modelliert. Die Poisson-Verteilung zu einem Parameter λ ist gegeben durch f p (n; λ) = λn e λ. (2.5) n! Sie ist eng verbunden mit der Exponentialverteilung Mit der Proposition 2.11 aus [13][Seite 47] folgt f e (n; λ) = 1 λ n e λ für n 0. Satz Seien (τ i ) i 1 unabhängig exponentialverteilte Zufallsvariablen mit dem Parameter λ, dann gilt für jedes t > 0, dass die Zufallsvariable poissonverteilt ist mit Parameter λt. N t = inf{n 1, Beweis: Siehe Beweis der Proposition 2.11 in [13][Seite 47.]. n τ i > t} (2.6) Bemerkung. Es sei noch anzumerken, dass der Erwartungswert im Intervall [t, t + dt] sich ergibt als E [dn] = λdt. (2.7) i=1 Abbildung 2.4.: Dies sind zwei realisierte Pfade eines Poisson Prozesses mit unterschiedlichen Parameter λ 1 = 2 und λ 2 = 5 im Intervall [0, 1] mit 200 Zeitschritten. Wir haben nun alle notwendigen stochastischen Grundlagen eingeführt, um mit unserer Modellierung des Modells beginnen zu können. Für Fragen in diesem Bereich der Stochastik bieten sich [13] und [23] an. 13

21 Die Dynamik des Modells Wir nehmen für unser Modell die Existenz eines Standard ltrierten Wahrscheinlichkeitsraumes (Λ, F, {F t }, P) an, auf dem ein Vektor z(t) mit drei unabhängigen Brownschen Bewegungen und einem Zählprozess N(t) = i 1 {τ i t} für eine Sequenz von Zwischenankunftszeiten τ i, i = 1, 2,... existiert. Wir indizieren die drei unabhängigen Brownschen Bewegungen mit x, C und D um ihre Zugehörigkeit zum Zustandsprozess, zum Konsumprozess und zum Dividendenprozess zu signalisieren, das heiÿt, wir haben einen Vektor z x (t) z(t) := z C (t). z D (t) Es sei hier angemerkt, dass nach Konstruktion N(t) ein reiner Sprungprozess und infolgedessen unabhängig von z(t) (in dem Sinne, dass die quadratische Kovarianz gleich Null ist) ist. Vergleiche zur Konstruktion [4][Appendix B.1]. Zustandsverlauf Zunächst wird der Prozess X t eingeführt. An diesem Prozess kann man den Zustand des Modells ablesen. Man vergleicht ihn mit der erwarteten Wachstumsrate aus der realen Welt. Er spiegelt also den Wohlstandsverlauf der Ökonomie wieder. Im Folgenden sei dieser Prozess Zustandsprozess genannt. Der Zustandsprozess ist der Kern der Dynamik, da in diesem Prozess der Sprungterm eingebaut ist und die anderen Prozesse von ihm abhängen. Wir denieren unseren Zustandsprozess als einen Markov Prozess mit den Parametern dx t = µ x (X t )dt + σ x (X t )dz x (t) + νdn(t) µ x (X t ) = κ x X t und σ x (X t ) =σ x Ω, wobei κ x die Rückholgeschwindigkeit (mean reversion parameter), Ω die Volatilität des Konsums λ und X 0 = µ ν κ x der Startwert des Zustandsprozesses ist. Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt sich für den Zustandsverlauf dx t = κ x X t dt + σ x Ωdzx (t) + νdn(t) (2.8a) Betrachten wir nun den letzten Term in der Gleichung (2.8a), der unerwarteten Sprünge modelliert. N(t) ist ein Poisson Prozess, der die Sprungereignisse zählt (oben auch counting process genannt). Somit weist dn(t) den gröÿten Teil der Zeit eine Null auf und nur ab und zu eine Eins. Die Häugkeit des Auftretens einer Eins hängt von der Poissonsprungintensität λ ab. Der Erwartungswert von dn(t) für ein innitesimal kleines Intervall [t, t + dt] ergibt sich als E[d(N(t)] = λdt. Da die Sprunghöhe nicht immer standardmäÿig die Gröÿe Eins haben soll, muss noch eine Zufallsvariable die Sprunghöhe steuern. Diesen Einuss übernimmt die normalverteilte Zufallsvariable ν. Sie ist zu den Parametern µ ν (erwartete Sprunghöhe des Poisson Prozesses) und σ ν (Standardabweichung des Sprungprozesses) normalverteilt. Die Dichte von ν ist nach [19][Seite 9, Gleichung 2.21] gegeben durch 1 Φ(ν; µ ν, σ ν ) = e σ ν 2π 1 (ν µν ) 2 2 σ 2 ν. (2.8b) 14

22 Konsumverlauf Der Konsumverlauf C t, der bereits mit seiner Volatilität Ω den Zustand der Ökonomie beeinusst, hängt vom Zustandsverlauf X t ab. Der Konsumverlauf ergibt sich als dc t C t = (µ C + X t )dt + Ωdz C (t), wobei mit Anwenden der Itô Formel aus dem Anhang A.1.1, die Formel durch c t log C t nach dc t = (µ C + X t 12 ) Ω dt + Ωdz C (t) (2.8c) umgestellt werden kann. Die Berechnung ist ebenfalls als Anwendung der Itô Formel im Anhang A.1 angeführt. Dividendenverlauf Als nächsten Schritt wird der Dividendenverlauf D t modelliert. Hier ist darauf zu achten, dass diesmal nicht nur eine direkte Abhängigkeit vom Zustandsverlauf im Driftterm vorliegt, sondern zusätzlich zur Brownschen Bewegung des Dividendenprozesses z D auch noch die Brownsche Bewegung des Konsumprozesses z C mit einem gewissen Korrelationskoezient den Dividendenprozess beeinusst. Genauer dd t ( ) = (µ D + φx t ) dt + σ D Ω ρ C,D dz C + 1 ρ 2 C,D D dz D, t wobei µ D einen Einussfaktor auf die erwartete Wachstumsrate der Dividende, φ die Gewichtung des Einusses vom Zustandsprozess X t auf den Driftterm der Dividende, σ D die Standardabweichung des Dividendenprozesses und ρ C,D (wie weiter oben schon angedeutet) die Korrelation zwischen Konsum und Dividende wiederspiegelt. Wir können auch diesen Prozess mit Itô's Formel ähnlich zu den Berechnung des Konsumprozesses nach δ t log D t umstellen. Es ergibt sich somit für den Dividendenverlauf dδ t = ( µ D + φx t 1 2 σ2 DΩ ) ( dt + σ D Ω ρ C,D dz C + ) 1 ρ 2 C,D dz D. (2.8d) Bemerkung. Es sei hier angemerkt, dass der Index eines Wertes w, wie zum Beispiel w x in diesem Fall nicht die partielle Ableitung ist, sondern dies eine Zuordnung zum Prozess x ist. So kann der Leser später die Werte von Zustand, Konsum, Dividende und Sprungterm auseinander halten. Des Weiteren sei beispielsweise auf den Unterschied von σ x (X t ) zu σ x hingewiesen. Es sind also in gewissen Zügen die Modelldynamiken wie auf dem Finanzmarkt miteinander verknüpft. Die erwartete Wachstumrate (in unserem Modell der Zustandsprozess) wirkt sich auf die Veränderung des Konsums und der Dividende aus und beeinusst sie damit direkt in ihrer Entwicklung. Auch das Verhältnis von Konsum und Dividende wird mit Hilfe der Korrelation berücksichtigt, dabei ist zu beachten, dass sich der Konsum mit seinen Schwankungen direkt mit einem Dämpfungs- beziehungsweise Verstärkungsparameter (Φ < 1 bzw. Φ > 1) auf die Veränderung der Dividende auswirkt. In einem neueren Modell von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein aus dem Paper [5] wird versucht die Verknüpfung durch weitere stochastische Prozesse und Abhängigkeiten zu optimieren und dadurch einen noch realistischeres Modell zu gestalten. 15

23 Wichtige Modellwerte Mit diesen drei Prozessen ist unsere Dynamik nun komplett. Wir haben die erwartete Wachstumsrate, den Konsum und die Dividende in das Modell mit eingebettet. Jetzt ist es möglich das Modell weiter zu modizieren, indem weitere wichtige Modellspezikationen implementiert werden. Rekursiver Nutzen Als nächster Schritt muss im Modell eine Möglichkeit bestehen, den Nutzenwert des Konsums zu bestimmen. Hierfür wird der rekursive Nutzen von Epstein und Zin [15] eingeführt. Dieser hat den Vorteil, dass die Elastizität der intertemporalen Substitution (elasticity of intertemporal substition (EIS)) mit dem Koezienten Ψ = 1 ρ und die Risikoaversion (risk aversion) mit dem Risikoaversionskoezient γ voneinander getrennt in die Nutzengleichung (2.9) mit eingehen. Wir verwenden den Nutzenindex U(t), der die rekursive Gleichung U(t) = { ( 1 e βdt) C 1 ρ t + e βdt ( E t U(t + dt) 1 γ ) } 1 1 ρ 1 ρ 1 γ (2.9) erfüllt, um die Präferenzen eines repräsentativen Marktteilnehmers für den Konsumprozess {C t } zu messen. Die Formulierung in diskreter Zeit von Gleichung (2.9) für dt = 1 wurde von Kreps- Porteus/Epstein-Zin als Spezialfall der zeitstetigen Formulierung in [4] behandelt. Bemerkung. Falls EIS> 1 gilt, bedeutet dies, dass der intertemporale Substitutionseekt den Wohlstandseekt dominiert. Damit folgt für ein höheres erwartetes Wachstum, dass die Nachfragefunktion der repräsentativen Marktteilnehmer steigt. Mit einer wachsenden Nachfrage, steigen auch die Preise. Demnach wird der Preis-Konsum Quotient (später I) und der Preis-Dividenden Quotient (später L) wachsen. Wir werden später anhand der Gleichung für das Risikopremium sehen, dass diese beiden Werte sich positiv auf das Risikopremium auswirken. Genauer bedeutet dies, dass wenn das erwartete Wachstum sich gut entwickelt, die Rendite positiv ist beziehungsweise falls das erwartete Wachstum schlecht ist, die Rendite auch schlecht ausfällt. Zusammenfassend kann man sagen, dass diese Kausalität das Risikopremium steigen lässt. Wir beschränken uns in der weiteren Arbeit überwiegend auf die Hauptfälle ρ 1 und γ 1 und schlieÿen somit jeglichen Spezialfall mit ρ = 1 oder γ = 1 aus, bei dem eine mäÿige Risikoaversion der Agenten und keine Dominanz vom intertemporalen Substitutionseekt oder Wohlstandseekt vorliegt. Die Spezialfälle sind im Paper [4] nachzuschlagen. Bei den Hauptfällen überspringen wir die Herleitung, weil sie in [4][Anhang B, Herleitung zur Proposition 1 und 2] ebenfalls zu nden sind. Mit der Hilfsfunktion u γ (x) = x1 γ (1 γ) für γ 1 denieren wir die Wertefunktion des Marktteilnehmers J(t) = u γ (U(t)) oder auch normalisierter Nutzenindex genannt. Mit einigen Rechnungen, Optimierungen, die wieder in [4] nachzuschlagen sind, und der Annahme, dass Markträumung vorliegt, ergibt sich für den normalisierter Nutzenindex die Formel J(t) = ect(1 γ) 1 γ βθ I(X t ) θ, (2.10) wobei das I den Preis-Konsum-Quotienten bezeichnet. Das Lösen dieses Quotienten wird das Hauptproblem im Verlauf dieser Arbeit darstellen, siehe für die mathematische Analyse des Quotienten in Kapitel 4, für die numerisch Approximation des Quotienten in Kapitel 5 und für die Implementierung des Quotienten in die Simulation in Abschnitt 7.1. Die weiter oben schon 16

24 angesprochene Proposition 1 im Anhang B von [4] verknüpft mit ihrer Aussage den normalisierten Nutzenindex mit dem Preis-Konsum-Quotienten wie folgt Satz (Proposition 1). Angenommen I L (U) H 1 (U) mit U R löst die folgende Gleichung 0 =I [(1 γ)µ C + (1 γ)x γ ] 2 (1 γ)ω βθ κ x xθi x + 1 [ 2 σ2 xωθ (θ 1)( I ] x I )2 I + I xx + λij I θ + θ (2.11) mit J I(x) = I(x + ν) g(ν)dν 1 I(x) und erfüllt die Transversalitätskonditionen (transversality condition: lim T E[J(T )] = 0), dann ist die Wertefunktion gegeben durch die Gleichung (2.10). Der dazugehörige Pricing Kernel ist durch folgende Gleichung bestimmt. Π(t) = e ( t 0 βθ+ (1 θ) I(Xs) Beweis: Beweis siehe allgemeinen Fall in [4][Seite 41]. ) ds (Ct ) γ (I(X t )) (θ 1) (2.12) Der in Gleichung (2.12) auftretende Pricing Kernel spiegelt den Wert einer monetären Einheit im jeweiligen volkswirtschaftlichen Zustand wider. Das heiÿt, man multipliziert an eine zu bewertenden monetäre Einheit den Pricing Kernel und bekommt als Ergebnis den Wert der monetären Einheit gemessen am aktuellen volkswirtschaftlichen Zustand respektive an der Nutzenfunktion des repräsentativen Marktteilnehmers. Diese Anwendung ist bei der Bewertung von Optionen ein Bestandteil, der berücksichtigt werden muss, da ansonsten nicht die nanzielle Situation des Marktteilnehmers berücksichtigt würde, die eine wichtige Rolle bei nanziellen Entscheidungen spielt. [31][Seite 12] Bemerkung. Es sei hier noch kurz auf die Parameter in den Gleichungen (2.11) und (2.12) eingegangen. Bis auf wenige sind die meisten Parameter aus den Modelldynamiken bereits bekannt. Der neu auftretende Parameter θ ist eine Funktion θ := 1 γ 1 ρ (2.13) in Abhängigkeit vom Risikoaversionskoezient γ und dem EIS Ψ = 1 ρ. Der zeitliche Abzinsfaktor (time discount factor coecient) β ist ein weiterer wichtiger Parameter in unserem Modell. Risikofreie Zinsrate Mit Hilfe der im oben angeführten Paragraphen gewonnenen Gleichung für den Pricing Kernel (2.12) können wir dessen Dynamik als stochastischen Prozess über die Zeit schreiben. Es ergibt sich für Π nach einer speziellen Anwendung von Itô's Formel unter 17

25 Berücksichtigung von Sprungprozessen die nachfolgende Gleichung ( t ) ( (1 θ) dπ = exp β, θ + 0 I(X s ) ds (1 θ) βθ + I(X t ) ( t ) (1 θ) + exp β, θ + 0 I(X s ) ds ( γ) (C t ) γ 1 dct di I(X t ) θ 1 ( t ) (1 θ) + exp β, θ + 0 I(X s ) ds (C t ) γ (θ 1) I(X t ) θ 2 dit di + 1 t ) ( 2 exp (1 θ) β, θ + 0 I(X s ) ds + 1 t ) ( 2 exp (1 θ) β, θ + 0 I(X s ) ds ( t ) (1 θ) + exp β, θ + 0 I(X s ) ds ( t ) (1 θ) + exp β, θ + 0 I(X s ) ds (C t ) γ I(X t + X) θ 1 dn(t) ( t ) exp β, θ + (C t ) γ I(X t ) θ 1 dn(t), 0 (1 θ) I(X s ) ds ) (C t ) γ I(X t ) θ 1 dt ( γ)( γ 1) (C t ) γ 2 ( ) dct di 2 I(Xt ) θ 1 (C t ) γ (θ 1) (θ 2) I(X t ) θ 3 ( ) dit di 2 ( γ) (C t ) γ 1 (θ 1)I(X t ) θ 2 dct di dit di die wir nun durch Π dividieren, um dann die Dynamik vom Pricing Kernel zusammengefasst schreiben können als dπ ( P i =r(x t)dt + γ Ω (θ 1) ) Ω dz C (t) ( ) Ω I x + (θ 1) + I (X t)σ x Ω dz x (t) (2.14) ( I θ 1 ) (X t + ν) + I θ 1 1 dn(t). (X t ) Nehmen wir nun den Erwartungswert dieser Dynamik, haben wir einen Ansatz zum Berechnen der risikofreien Zinsrate. Nach Proposition 2 in Anhang B aus [4] wird die risikofreie Zinsrate durch die Formel ( ) r(x) =β + ρ µ C (x) + σ C(x) 2 γ(1 + ρ) σ C(x) 2 (2.15) 2 ( (1 θ)σ I (x) σ C (x) σ I(x) 2 ) ( ) θ 1 + λ(x) J I θ J I θ 1 θ gegeben. Hierbei kann man σ C aus dem Prozess für den Konsumverlauf in Gleichung (2.8c) ablesen. Die Bestimmung der Standardabweichung vom Preis-Konsum-Quotienten I benötigt dahingehend noch eine Berechnung. Die Standardabweichung von I ist wie folgt deniert wobei I x (X) die Ableitung von I nach x bezeichnet. σ I (X) = 1 I(X) I x(x)σ x (X)1 {ρ 1}, (2.16) 18

26 Risikoneutrale Modelldynamik Wir kommen nun zur risikoneutralen Dynamik, die uns bei der Bewertung von Optionen helfen wird. Denn in einer Wirtschaft hängen die Aktienpreise zum gröÿten Teil vom Risiko ab. Normalerweise verlangen die Investoren eine Prämie für das Eingehen von Unsicherheiten beim Halten der Aktie. Daher unterscheidet sich meistens der heutige Preis einer Aktie, die den Anspruch auf die morgige mit Risiko belegte Auszahlung darstellt, vom Erwartungswert der zukünftigen Zahlung. Gewöhnlich sind die Investoren risiko-avers und der heutige Preis liegt unter den Erwartungen, womit dann derjenige belohnt wird, der das Risiko hält. Ein Ansatz der Aktienbewertung kalkuliert als erstes den Erwartungswert der Aktie für den morgigen Tag und berücksichtigt danach das Risiko in seiner Bewertung. Unser Ansatz der risikoneutralen Dynamik berücksichtigt zuerst das Risiko, indem wir einen Wechsel der Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Theorems von Girsanov (Theorem A.1.2) und der Radon-Nikodym- Ableitung (Theorem A.1.3) durchführen, und bestimmen danach den Erwartungswert der Aktie unter dem neuen Wahrscheinlichkeitsmaÿ. Das risikoneutrale Maÿ, welches wir dabei benutzen, ist nur für Bewertungszwecke nutzbar und man kann mit ihr keine Aussage über die reale Welt treen. Die risikoneutrale Dynamik leiten wir aus der normalen Modelldynamik aus Abschnitt her. Da die Modelldynamik der realen Welt dx t = κ x X t dt + σ x Ωdzx (t) + νdn(t) dc t = (µ C + X t 12 ) Ω dt + Ωdz C (t) ( dδ t = µ D + φx t 1 ) ( 2 σ2 DΩ dt + σ D Ω ρ C,D dz C + ) 1 ρ 2 C,D dz D der Wahrscheinlichkeit P unterliegt, muss beim Wechsel zur risikoneutralen Dynamik eine neue Wahrscheinlichkeit Q bestimmt werden, die den Einuss des Risikos aus der realen Welt in unserer Dynamik heraus rechnet. Mit dem Theorem von Girsanov (Theorem A.1.2) aus dem Anhang und der Dynamik des Pricing Kernels von Seite 18 wird der Maÿwechsel von P nach Q durchgeführt. Wir erhalten unter Betrachtung der Unsicherheitsfaktoren für den Pricing Kernel die Gleichungen und dz C (t) =(1 θ γ) Ωdt + Ωdz Q C ( ( (t) dz x (t) = κ x X t + (θ 1) σ x Ω + I )) x I (X t)σxω 2 dt + σ x Ωdz Q x (t) dz D (t) =dz Q D (t), um sie für die Brownschen Bewegungen der Dynamik unter P einzusetzen. Damit überführen wir 19

27 die Dynamik in die risikoneutrale Dynamik ( dx t = κ x X t (1 θ) I ) x I (X t)σxω 2 dt + σ x Ωdz Q x (t) + νdn(t) ( ( )) 1 dc t = µ C + X t Ω 2 + γ dt + Ωdz Q C (t) ( ( )) 1 dδ t = µ D + φx t σ D Ω 2 σ D + ρ C,D γ dt + σ D Ω ( ρ C,D dz Q C + 1 ρ 2 C,D dzq D ), (2.17a) (2.17b) (2.17c) wobei die Brownschen Bewegungen {dzx Q, dz Q C, dzq D } durch die Konstruktion aus den ursprünglichen Brownschen Bewegungen unkorreliert sind. Für den Poisson Sprungprozess N ändert sich unter der Wahrscheinlichkeit Q die Intensität zur Q-Intensität λ Q = λe P [ I θ 1 (X t + ν) I θ 1 (X t ) ], (2.17d) die wir auch durch die Dynamik des Pricing Kernels erhalten. Des Weiteren muss die Sprunghöhe an die neue Wahrscheinlichkeit angepasst werden, sodass sich die Q-Wahrscheinlichkeitsdichte für die Sprunghöhe ergibt als π Q ( ν = ν) = π( ν = ν) E I θ 1 (X t+ν) I θ 1 (X [ t) I θ 1 (X t+ ν) I θ 1 (X t) I θ 1 (X t + ν) = π( ν = ν) E [I θ 1. (X t + ν)] }{{} =:exp(g(ν,x t)) ] (2.17e) Wir können also die Verteilungsfunktion von ν Q durch die Wahrscheinlichkeitstransformation schreiben als π Q ( ν Q 1 ν ( = ν) = exp 1 [ (x µν 2πσν 2σν 2 ) 2 2g (ν, X t ) σν 2 ] ) dx, (2.17f) womit wir die gesamte risikoneutrale Dynamik vorgestellt haben. Preis-Dividenden-Quotient Eine wichtige Gröÿe des Modell ist der Preis-Dividenden-Quotient L. Der Quotient wird über den Aktienpreis V und die Dividende D deniert, das heiÿt L = V D. (2.18) Nachdem wir später die aus dem Pricing Kernel und der risikofreien Zinssatzrate hergeleitete Dierentialgleichung (2.20) nach L gelöst haben, können wir mit Hilfe der Denition des Preis- Dividenden-Quotienten L den Wert der Aktie V zum Zeitpunkt T errechnen. Wir beginnen bei der Herleitung mit dem Erwartungswert der Rendite für den nächsten Zeitschritt unter der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit Q. Dieser ist nämlich nach Konstruktion der risikolose Zinssatz für einen Zeitschritt. Es ergibt sich die Gleichung [ ] E Q dv + D dt t = r dt. V 20