Hidden Markov Model ein Beispiel
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- Insa Kohler
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1 Hidden Markov Model ein Beispiel Gegeben: Folge von Beobachtungen O = o 1,..., o n = nass, nass, trocken, nass, trocken Menge möglicher Systemzustände: Z = {Sonne, Regen} Beobachtungswahrscheinlichkeiten: Pr(nass Sonne) = 0.1 Pr(trocken Sonne) = 0.9 Pr(nass Regen) = 0.95 Pr(trocken Regen) = 0.05 Übergangswahrscheinlichkeiten: Pr(Regen zuvor Regen) = 0.7 Pr(Sonne zuvor Regen) = 0.3 Pr(Regen zuvor Sonne) = 0.2 Pr(Sonne zuvor Sonne) = 0.8 A-Priori-Wahrscheinlichkeiten: Pr(Regen) = 0.3, Pr(Sonne) = 0.7 Gesucht: Folge S = s 1,..., s n von Zuständen, so dass Pr(S O) maximal ist.
2 Hidden Markov Model ein Beispiel Sonne Sonne Sonne Sonne Sonne s t Regen Regen Regen Regen Regen o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
3 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
4 Hidden Markov Model ein Beispiel topologische Ordnung: s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
5 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(o 1 Sonne) Pr(Sonne war Sonne zuvor) s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
6 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(nass Sonne) Pr(Sonne war Sonne zuvor) s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
7 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
8 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
9 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(trocken Sonne) s Pr(trocken Regen) o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken 7 9 t
10 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
11 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(Sonne) s Pr(Regen) o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken t
12 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
13 Hidden Markov Model ein Beispiel log 2 s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
14 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
15 Hidden Markov Model ein Beispiel s t 1.737
16 Hidden Markov Model ein Beispiel s t 1.737
17 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
18 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
19 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
20 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
21 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
22 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
23 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
24 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
25 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
26 Hidden Markov Model ein Beispiel s t O = o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken S = Regen, Regen, Sonne, Sonne, Sonne
27 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv
28 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv Laufzeit: O( V + A )
29 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv Laufzeit: O( V + A ) Laufzeit Dijkstra: O( V log V + A )
30 Jan-Henrik Haunert and Benedikt Budig An Algorithm for Map Matching given Incomplete Road Data In Proc. ACM GIS 12
31
32
33
34 Classical Map Matching
35 Classical Map Matching
36 Our Algorithm
37 Our Algorithm
38 Newson & Krumm (2008) p 3 p 2 p 1
39 Newson & Krumm (2008) p 3 c 2 3 c 3 3 c 1 3 c 3 1 c 2 1 p 1 c 1 2 c 3 2 c 2 2 p 2 c 1 1
40 Newson & Krumm (2008) c 2 3 p 3 c 1 1 c 1 2 c 1 3 c 3 3 c 1 3 c 3 2 s c 2 1 c 2 2 c 2 3 t c 3 1 c 2 1 p 1 c 1 2 c 2 2 p 2 C 1 C 2 C 3 c1 3 c2 3 c3 3 c 1 1
41 Newson & Krumm (2008) c 2 3 p 3 c 1 1 c 1 2 c 1 3 c 3 3 c 1 3 c 3 2 s c 2 1 c 2 2 c 2 3 t c 3 1 c 2 1 p 1 c 1 2 c 2 2 p 2 C 1 C 2 C 3 c1 3 c2 3 c3 3 c 1 1
42 Newson & Krumm (2008) c 2 3 p 3 c 1 1 c 1 2 c 1 3 c 3 3 c 1 3 c 3 2 s c 2 1 c 2 2 c 2 3 t c 3 1 c 2 1 p 1 c 1 2 c 2 2 p 2 C 1 C 2 C 3 c1 3 c2 3 c3 3 c 1 1
43 Off-Road Candidates c 2 3 c 0 3 c 0 1 c 0 2 c 0 3 c 1 3 c 1 2 s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t c 2 1 c 0 2 C 1 C 2 C 3 c 0 1 c 2 2 c 2 1 c 2 2 c 2 3 c 1 1
44 Probabilistic Reasoning Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O)
45 Probabilistic Reasoning Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O)
46 Probabilistic Reasoning Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O) f (O S) = f (o 1 s 1 )... f (o n s n )
47 Probabilistic Reasoning Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O) Pr(S) = Pr(s 1 ) Pr(s 2 s 1 was before)... Pr(s n s n 1 was before)
48 Probabilistic Reasoning f (p 1 c 0 1 ) Pr(c0 2 c0 1 was before) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
49 Probabilistic Reasoning f (p 1 c 0 1 ) Pr(c0 2 c0 1 was before) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) max-weight s-t-path = state sequence S that maximizes Pr (S O) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
50 Probabilistic Reasoning f (p 1 c 0 1 ) Pr(c0 2 c0 1 was before) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
51 Probabilistic Reasoning f (d 23 c 0 2 c0 3 ) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
52 Probabilistic Reasoning f (d 23 c 0 2 c0 3 ) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
53 Probabilistic Reasoning Pr (c v j c u i was before) = 1 ϕk i if u 0, v = 0 +1 ϕ ϕk i if u 0, v ψk i if u = 0, v = 0 +1 ψ ψk i if u = 0, v 0 +1.
54 Probabilistic Reasoning f (d 23 c 0 2 c0 3 ) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
55 Probabilistic Reasoning f (p i ci u ) = 1 2πσ 2 e d 2 E (cu i,p i ) 2σ 2
56 Probabilistic Reasoning f (d 23 c 0 2 c0 3 ) f (p 2 c 0 2 ) Pr(c0 3 c0 2 was before) c 0 1 c 0 2 c 0 3 Pr(c 0 1 ) f (c 0 3 p 3) s c 1 1 c 1 2 c 1 3 t C 1 C 2 C 3 c 2 1 c 2 2 c 2 3
57 Probabilistic Reasoning f (d ij c u i c v j ) = 1 dij dg(c 2β e β u i,cv j )
58 Probabilistic Reasoning f (d ij c u i c v j ) = 1 dij dg(c 2β e β u i,cv j ) c 2 3 c 0 3 c 1 3 c 1 2 c 0 2 c 2 1 c 2 2 c 0 1 c 1 1
59 Probabilistic Reasoning f (d ij c u i c v j ) = 1 dij dg(c 2β e β u i,cv j ) c 2 3 c 0 3 c 1 3 c 1 2 c 0 1 c 0 2 c 2 1 c 2 2 d G (c 2 1, c 0 2 ) c 1 1
60 Probabilistic Reasoning f (d ij c u i c v j ) = 1 dij dg(c 2β e β u i,cv j ) c 2 3 d G (c 0 2, c 2 3 ) c 1 3 c 0 3 c 1 2 c 0 2 c 2 1 c 2 2 c 0 1 c 1 1
61 Experiments Track1 Track4 N Track3 Track m
62 Experiments Track1 Track2 Track3 Track4 number of GPS points length in m number of off-road sections in solution total lengths of off-road sections in m
63 Experiments description symbol value radius for selection of candidate points r 40 m standard deviation of GPS coordinates σ 25 m cost of an off-road edge of one unit w 1.5 parameter for probability density of distance measurements β 20.0 parameter for transition probabilities from off-road ψ 1.5 candidates parameter for transition probabilities from on-road candidates ϕ 10.0
64 Experiments 100 m
65 Experiments 100 m
66 Experiments 100 m
67 Experiments 100 m
68 Experiments 100 m ϕ = 6.8 ψ = 1.02
69 Experiments 100 m ϕ = 10 ψ = 1.5
70 Experiments 100 m ϕ = 1000 ψ = 150
71 Experiments 100 m
72 Experiments ϕ = 10 ψ = 1.5
73 Experiments ϕ = 10 ψ = 10
74 Experiments Tests performed on Windows PC (3 GB of RAM, 3.00 GHz Intel dual-core CPU) all points 10% of points Track1 Track2 Track3 Track4 number of points time to solution 14.5 s 51.1 s 7.7 s 47.2 s number of points time to solution 0.8 s 1.4 s 0.4 s 2.5 s
75 Future Work automatic parameter training on-line map generalization
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