Phasenporträts linearer Systeme

Transkript

1 Phasenporträts linearer Systeme Franziska Stocker Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Mathematische Modellierung (Wintersemester 8/9, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Um eine reales Problem mathematisch betrachten und lösen zu können, benötigt man ein geeignetes Modell, welches nur die wichtigen Faktoren berücksichtigt und alles Unnötige auÿer Acht lässt. Ein solches Modell kann zur Vorhersage und Kontrolle dienen und wird mit Hilfe von Beobachtungen und Erfahrungen immer weiter idealisiert, bis das Problem genau genug formuliert und gelöst werden kann. Diese Art der Mathematisierung von Problemen spielt eine groÿe Rolle in allen Naturwissenschaften, aber auch in Technik, Medizin, sowie in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Da die Änderung einer Gröÿe mathematisch durch ihre Ableitung darstellbar ist, bestehen viele dieser Modelle aus Dierentialgleichungen. Nicht zu allen Dierentialgleichungen kann eine Lösung analytisch gefunden werden. Um trotzdem zu brauchbaren Daten zu gelangen, besteht die Möglichkeit sich intensiver mit den qualitativen Eigenschaften der Lösungen zu beschäftigen. Dies ist Inhalt dieser Ausarbeitung. Gleichzeitig wollen wir die Dynamik dieser Systeme, die sich in Form der Phasenporträts darstellen lässt, charakterisieren.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Vorbereitung 5.1 Begriserläuterungen Berechnung der Lösungen Fall: A ist diagonalisierbar Fall: A ist nicht diagonalisierbar Fallunterscheidung durch die Eigenwerte Einordnung der Phasenporträts A hat zwei reelle Eigenwerte det(a) > det(a) < A hat einen (doppelten) reellen Eigenwert A ist diagonalisierbar A ist nicht diagonalisierbar A hat zwei komplexe Eigenwerte α = α Zusammenfassung 16 5 Resümee 16 6 Quellenverzeichnis der Abbildungen 17 7 Anhang Anhang Anhang Anhang

3 Abbildungsverzeichnis.1 Beispiel zur Ermittlung von Bahnkurven Stabilität asymptotische Stabilität stabiler Knotenpunkt instabiler Sattelpunkt stabiler Stern stabiler eintangentialer Knoten Veranschaulichung zum Wirbelpunkt Wirbelpunkt stabiler Strudelpunkt Tabellenverzeichnis 1 Einordnung von Phasenporträts

4 1 Einleitung Zunächst ist zu klären, was wir unter einer Dierentialgleichung und unter einer Lösung einer Dierentialgleichung verstehen. Wir beginnen mit einer sehr allgemeinen Denition: Denition 1.1 Es seien n N, D R C n+1 und f : D C. Dann heiÿt gewöhnliche Dierentialgleichung n-ter Ordnung. f(t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = (1.1) Gegeben ist hierbei eine Funktion f. Gesucht ist eine Funktion x(t) einer Veränderlichen t, deniert auf einem Intervall, so dass die Gleichung (1.1) erfüllt ist 1. In vielen Fällen wird es möglich sein, diese Gleichung nach der höchsten auftretenden Ableitung x (n) (t) aufzulösen. Sie hat dann die Form x (n) (t) = f(t, x (t),..., x (n 1) (t)), wobei die Funktion f nun auf dem R n (oder auf einer Teilmenge) deniert ist. Im weiteren setzen wir voraus, dass unsere Dierentialgleichungen zweiter Ordnung sind, bzw. in ein System zweier Dierentialgleichungen erster Ordnung umgeformt werden können. Dass man dies als äquivalent ansehen kann, sieht man z.b. folgendermaÿen: Man betrachte die Dierentialgleichung zweiter Ordnung: ẍ(t) = f(t, x(t), ẋ(t)) Man deniere sich eine Funktion y(t) mit ẋ(t) := y(t) d.h. es gilt: ẋ(t) = y(t) ẏ(t) = f(t, x(t), y(t)) ẏ(t) = f(t, x(t), y(t)), Wir betrachten im weiteren nur noch lineare Dierentialgleichungssysteme mit zwei Unbekannten, also Dierentialgleichungen erster Ordnung in der Form: ẋ 1 (t) = ax 1 (t) + bx (t) ẋ (t) = cx 1 (t) + dx (t) (1.) mit a, b, c, d R. Dies ( lässt sich ) als ẋ(t) = Ax(t) schreiben ( mit ) der gegebenen konstanten (, )-Matrix a b x1 (t) A = und dem Vektor x(t) =. c d x (t) 1 Wie man sieht liegt die Besonderheit von Dierentialgleichung vor allem im Lösungsraum, der hier von Funktionen und nicht wie gewohnt von Zahlen aufgespannt wird.

5 Vorbereitung.1 Begriserläuterungen Wir betrachten die Dierentialgleichungen erster Ordnung: ẋ(t) = f(t, x(t)), M R R, f : M R. (.1) Die einzige Information, die wir über unsere gesuchte Funktion x(t) haben, ist ihre Ableitung. Die Funktion f ordnet hier also jedem Element aus dem Denitionsbereich eine Steigung oder auch Richtung zu. Trägt man diese Richtungen in Form von Geradenstücken f(t, x(t)) an den zugehörigen Punkten (x 1, x ) ein, wird ein Muster sichtbar. Die Lösungen der Dierentialgleichung sind Kurven, die tangential zu diesen Geradenstücken stehen und als Bahnkurven oder Trajektorien bezeichnet werden. Die Menge aller Bahnkurven, bzw. Trajektorien, nennt man auch Phasenporträt. Das Gleiche lässt sich auch mit unserem Dierentialgleichungssystem ẋ(t) = Ax(t) machen. Hierbei wird jedem Punkt (x 1, x ) der Wert (ẋ 1, ẋ ) zugeordnet. Wie man sieht Abbildung.1: Beispiel zur Ermittlung von Bahnkurven stellen Richtungsfelder eine gute Methode dar, um sich den Lösungen geometrisch anzunähern. Leider dauert dieses Verfahren sehr lang und ist ziemlich ungenau, wenn man nicht genügend Punkte auswertet. Um dies zu vermeiden können Computer eingesetzt werden. Zur genaueren Bescheibung der Dynamik dieser Phasenporträts lassen sich auch andere Aspekte untersuchen. Denition.1 Ein p M mit f(p) = heiÿt Gleichgewichtspunkt oder auch stationärer Punkt, da dort ẋ = ist und somit keine zeitliche Änderung auftritt. Ein wichtiges Merkmal einer stationären Lösung ist ihre Stabilität. Die Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung ist stabil, wenn sie sich bei einer kleinen Änderung der Daten ebenfalls nur wenig ändert. Als Daten interpretiert man hier in der Regel den Anfangswert. 5

6 Denition. Ein Gleichgewichtspunkt x heiÿt stabil, wenn zu jeder Umgebung U von x eine Umgebung V von x existiert, so dass für jede Lösung der Anfangswertprobleme ẋ(t) = Ax(t), x() = x V gilt: x(t) U für alle t >. Der Gleichgewichtspunkt heiÿt asymptotisch stabil, wenn er stabil ist und wenn zusätzlich eine Umgebung W von x existiert, so dass für jede Lösung der Anfangswertprobleme ẋ(t) = Ax(t), x() = x W gilt: lim t x(t) = x. Der Gleichgewichtspunkt heiÿt instabil, wenn er nicht stabil ist. Abbildung.: Stabilität Abbildung.3: asymptotische Stabilität Zur Veranschaulichung: Zunächst betrachten wir die Abbildung.: Die Kurven verlaufen für wachsende t periodisch immer wieder auf Ellipsenbahnen. Nun lässt sich zu jedem ɛ ein δ nden, sodass zu einem Zeitpunkt t 1 (roter Punkt), die Bahnkurve innerhalb des gestrichelten Kreises mit dem Radius δ liegt. Nun kann die Bahnkurve durchaus noch mehrfach die δ-umgebung verlassen, wird aber die ɛ-umgebung (durchgezogener, dicker Kreis) des Gleichgewichtspunktes (,) nie erreichen. Dieses Verhalten wird als stabil bezeichnet. Nun betrachten wir die Abbildung.3: Gegeben sei ein Kreis um den Ursprung mit Radius R. Angenommen, für wachsendes t verlaufe die Kurve in Richtung Ursprung. Dann lässt sich ein Zeitpunkt t 1 nden (roter Punkt), an dem die Spirale in den Kreis eindringt. Für t > t 1 gilt nun, dass für t die Lösung (x 1 (t), x (t)) nach (, ) strebt (die Bahnkurve konvergiert gegen den Gleichgewichtspunkt). Wenn eine Lösung stabil ist und darüber hinaus noch diese gerade eben beschriebene Eigenschaft besitzt, bezeichnet man den zugehörigen Gleichgewichtspunkt als asymptotisch stabil.. Berechnung der Lösungen Wir betrachten also lineare Dierentialgleichungen der Form ẋ(t) = Ax(t) (.) a b x1 (t) mit der konstanten (, )-Matrix A = und dem Vektor x(t) =. Wir c d x (t) wissen, dass die Funktion x(t) = e At c1 C mit der Konstanten C = die Gleichung löst. Die Matrixexponentialfunktion e At ist hierbei über eine unendliche Reihe deniert (siehe (.)). Zur Vereinfachung der Rechnung muss A auf Diagonal- bzw. Jordannormalform gebracht werden. 6 c

7 Betrachten wir deshalb die Aussage über die Diagonalisierbarkeit nun etwas genauer: Fall: A ist diagonalisierbar Angenommen A ist diagonalisierbar mit den ( Eigenwerten ) λ 1, und den zugehörigen s1 s Eigenvektoren v 1,. Sei ferner S = (v 1, v ) = mit s s 3 s 1,..., R, so gilt D := S 1 λ1 AS =, mit geeignetem S GL(, R), λ λ 1, R (.3) Es gilt : Daraus folgt 3 : e At = j= 1 j! (SDS 1 ) j t j = Se Dt S 1 (.) x(t) = e At C = S e Dt S 1 C = S = (v 1 e λ 1t, v e λ t ) C = c 1 v 1 e λ 1t + c v e λ t e λ 1 t e λ t C (.5) Satz.3 Die allgemeinen Lösungen für eine lineare Dierentialgleichung ẋ(t) = Ax(t), bei der A diagonalisierbar ist, lauten: x(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c v e λ t mit c 1, R Eine alternative Rechnung lässt sich im Anhang 1 nachlesen.... Fall: A ist nicht diagonalisierbar Ist A nicht diagonalisierbar, dann existiert nach dem Satz über die Jordan-Normalform eine invertierbare (, )-Matrix S, so dass gilt: J := S 1 λ1 1 AS =, λ λ 1 C (.6) 1 1 Da J sich in eine Diagonalmatrix und eine nilpotente Matrix (hier ) zerlegen lässt, folgt: e Jt = e Dt+Nt = e Dt e Nt da (SDS 1 ) m = SDS 1 SDS 1... SDS 1 = SD m S 1 3 S 1 C ist eine Konstante und wir ersetzten deshalb S 1 C durch C 7

8 Hiermit lässt sich e At nun berechnen: e At = Se Jt S 1 = S e Dt+Nt S 1 = S e Dt e Nt S 1 λ 1t = S e λ 1 t (E + N + 1 (tn) +...) S 1 e λ 1 t 1 t e = S e λ 1t S 1 1 λ 1 t te = S λ 1t e λ 1t S 1 mit E = 1 1 Gleichzeitig können wir auch annehmen, dass wieder (nach der Denition der Jordannormalform) die erste Spalte von S ein Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 von A ist. Die zweite Spalte ist ein zugehöriger Hauptvektor der Stufe, welcher in Folge mit u R bezeichnet wird. Damit gilt: e e At λ 1 t te = S λ 1t e λ 1t S 1 s1 ts = 1 + s e λ 1t S 1 (.7) s 3 ts 3 + s und somit folgt (entsprechend (.5)) für die allgemeine Lösung: x(t) = e At s1 ts C = 1 + s e s 3 ts 3 + s λ s1 c 1t C = 1 + (ts 1 + s )c e s 3 c 1 + (ts 3 + s )c λ 1t Satz. Die allgemeinen Lösungen für eine lineare Dierentialgleichung ẋ(t) = Ax(t), bei der A nicht diagonalisierbar ist, lauten: x(t) = [c 1 v 1 + c (tv 1 + u)]e λ 1t Eine alternative Rechnung lässt sich in Anhang nachlesen..3 Fallunterscheidung durch die Eigenwerte Zur Erinnerung ist zu sagen, dass Eigenvektoren die Vektoren sind, deren Richtung durch die Abbildung nicht verändert werden. Sie werden nur um den Wert des zugehörigen Eigenwertes gestreckt. Damit lässt sich bereits eine Aussage über die geometrischen Eigenschaften des Dierentialgleichungssystems machen. Hierzu ist eine Fallunterscheidung nützlich. Vorerst setzten wir voraus, dass det(a), wodurch als Eigenwert ausfällt. Gleichzeitig ist der Punkt (, ) der einzige Gleichgewichtspunkt. Hauptvektoren der Stufe n sind die Vektoren u, die die Gleichung (A λe ) n u = lösen 8

9 Wie wir wissen sind die Eigenwerte von A die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ(λ) := det(λ E A), λ C. Unser charakteristisches Polynom ist zweiten Grades und besitzt somit entweder zwei verschiedene reelle Nullstellen oder eine reelle (doppelte) Nullstelle oder zwei konjugiert komplexe Nullstellen. 1. A hat zwei reelle Eigenwerte J := S 1 λ1 AS =, λ mit geeignetem S GL(, R), λ 1, R (.8) d.h. A ist diagonalisierbar.. A hat einen (doppelten) reellen Eigenwert J := S 1 λ1 AS =, mit geeignetem S GL(, R), λ λ 1 R (.9) 1 wobei ( ) {, 1}. Hier ist zunächst keine weitere Aussage über Diagonalisierbarkeit möglich. 3. A hat zwei konjugiert komplexe Eigenwerte J := S 1 λ1 AS =, mit geeignetem S GL(, R), λ 1 C (.1) λ1 d.h. A ist diagonalisierbar. Im folgenden werden wir die einzelnen Fälle in Bezug auf ihre geometrischen Eigenschaften durchgehen. 9

10 3 Einordnung der Phasenporträts Mit Hilfe der vorangegangenen Überlegungen können wir die Phasenporträts linearer Systeme genauer betrachten. Wir betrachten nun die verschiedenen Fälle, wobei die Fälle mit det(a) = nicht weiter behandelt werden. 3.1 A hat zwei reelle Eigenwerte Die Matrix A hat zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ 1 und λ. In diesem Fall ist A diagonalisierbar, kann also wie in Kapitel..1 auf die Normalform (.3) transformiert werden. Die allgemeinen Lösungen sind demnach wie in Satz.3: x(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c v e λ t Hier müssen Fallunterscheidungen vorgenommen werden: det(a) > Im Falle det(a) > folgt, dass beide Eigenwerte von A das gleiche Vorzeichen haben.wir nehmen O.B.d.A. an, dass λ 1 < λ. 1. Fall: λ < λ 1 < c 1 v 1 e λ 1t und c v e λ t stellen Bahnkurven dar. Da für groÿe t alle Bahnkurven gegen c 1 v 1 e λ 1t streben, stellt sich das Phasenporträt aus Abbildung 3.1 ein. S 1 und S entsprechen c 1 v 1 e λ 1t und c v e λ t. Man spricht hier von einem Knoten, da die Bahnkurven im Ursprung münden, dieser muss jedoch nicht zwingend selbst auf der Bahn liegen. Es gilt x(t), für t. Man hat also asymptotische Stabilität. Bei diesem Phasenporträt spricht man von einem stabilen Knoten(punkt). 6 6 s s Abbildung 3.1: stabiler Knotenpunkt. Fall: λ > λ 1 > Für λ 1, > ist der Punkt (, ) instabil, da für t gilt, dass x(t). Das Phasenporträt entspricht dem vorangegangenen, wobei die Pfeilrichtungen umgekehrt werden müssen. Es handelt sich also um einen instabilen Knoten. 1

11 3.1. det(a) < Im Falle det(a) < haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen. 1. Fall: λ 1 <, λ > Hierbei wird das Verhalten für t durch den Term c 1 v 1 e λ 1t und das für t durch c v e λ t geprägt, dadurch strebt x(t) gegen unendlich für t ±. Der Gleichgewichtspunkt ist somit instabil. Man bezeichnet dieses Phasenporträt als instabilen Sattelpunkt. Die Bahnkurven liegen hier auf Hyperbeln, deren Asymptoten c 1 v 1 e λ 1t und c v e λ t sind (wobei dies auch Bahnkurven sind). Man spricht allgemein von einem Sattelpunkt, wenn endlich viele Bahnen in einem Punkt münden oder dort starten, während die übrigen an diesem Punkt vorbeilaufen Abbildung 3.: instabiler Sattelpunkt. Fall: λ 1 >, λ < Hierbei wird also das Verhalten für t durch den Term c v e λ t t durch c 1 v 1 e λ1t geprägt, d.h. x(t) für t ±. Der Gleichgewichtspunkt ist somit auch instabil. und das für 3. A hat einen (doppelten) reellen Eigenwert Es gilt also λ 1 = λ 3..1 A ist diagonalisierbar Es existieren zwei linear unabhängige Eigenvektoren, d.h die allgemeinen Lösungen aus Satz.3 liegen vor: x(t) = (c 1 v 1 + c v )e λ 1t Da x(t) für alle t parallel zu (c 1 v 1 + c v ) ist, stellen die Bahnkurven Halbgeraden dar. Da v 1 und v linear unabhängig sind, wird sogar jede Richtung in der x 1, x -Ebene erfasst. 11

12 1. Fall: λ 1 < Man hat asymptotische Stabilität, da x(t) für t ±. Man spricht von einem stabilen Stern. Abbildung 3.3: stabiler Stern. Fall: λ 1 > Entsprechend gilt für λ 1 >, dass der Gleichgewichtspunkt instabil ist. Man spricht von einem instabilen Stern. 3.. A ist nicht diagonalisierbar Die allgemeinen Lösungen lauten, wie in Satz. aufgeführt: x(t) = [c 1 v 1 + c (tv 1 + u)]e λ 1t Man sieht, dass für c und sehr groÿes t nur noch der Teil: c tv 1 e λ 1t eine Rolle spielt, d.h. die Bahnkurve nähert sich in diesem Fall ±v 1 an. Man hat einen eintangentigen Knoten. 1. Fall: λ 1 < x(t) strebt für t gegen, d.h. für negatives λ 1 liegt hier ein asymptotisch stabiler eintangentialer Knoten vor. z-ebene Abbildung 3.: stabiler eintangentialer Knoten. Fall: λ 1 > entsprechend strebt x(t) für t gegen. Somit ist der Gleichgewichtspunkt für positives λ 1 instabil. 1

13 3.3 A hat zwei komplexe Eigenwerte Hier liegen wieder die allgemeinen Lösungen aus Satz.3 vor. Diese können im Falle der komplexen Eigenwerte λ 1 = α+iβ = λ (mit α, β R und o.b.d.a. β > ) und den zugehörigen Eigenvektoren: v 1 = u + iw = v (mit u, w R ) noch exakter angegeben werden. Jede reellwertige Lösung des Dierentialgleichungssystem lässt sich in der Form: x(t) = C 1 e αt [ucos(βt) wsin(βt)] + C e αt [wcos(βt) + usin(βt)] mit den Konstanten C 1, R schreiben. 7 Dieser Ausdruck lässt sich noch weiter vereinfachen. Da der Sinus ein phasenverschobener Kosinus ist, folgt: x(t) = C 1 e αt [ucos(βt) wcos(βt π )] + C e αt [wcos(βt) + ucos(βt π )] = e αt Rcos(βt δ) R1 mit R =, δ = α = R ( δ1 δ ) In diesem Fall sind die Lösung durch die Gleichung: x1 (t) R1 cos(βt δ = 1 ) x (t) R cos(βt δ ) gegeben. x(t) = Rcos(βt δ) ist eine periodische Funktion mit der Periode π β. x 1 (t) = R 1 cos(βt δ 1 ) verläuft dabei zwischen ±R 1 und x (t) = R cos(βt δ ) variiert zwischen ±R. Abbildung 3.5: Veranschaulichung zum Wirbelpunkt 7 genauere Berechnungen sind im Anhang 3 aufgeführt. 13

14 Wie man auf dem Bild gut sehen kann, ist die Bahnkurve einer beliebigen Lösung eine den Ursprung umlaufende geschlossene Kurve. In diesem Fall spricht man von einem Wirbelpunkt oder Zentrum. Die Bahnkurve einer Lösung stellt also einen verzerrten Einheitskreis dar, wobei dieser in x 1 -Richtung um höchstens R 1 und in x -Richtung höchstens um R ausgedehnt wurde. In welcher Richtung diese Kreise durchlaufen werden, lässt sich im Falle von x (t) = durch das Vorzeichen von ẋ (t) bestimmen. Ist ẋ (t) > für x (t) = und x 1 (t) > dann werden die Kreise im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Gilt jedoch, dass ẋ (t) < für x (t) = und x 1 (t) > dann bewegen sich die Lösungen im Uhrzeigersinn. Abbildung 3.6: Wirbelpunkt 3.3. α Es gilt: x 1 ( π) = e πα β β x ( π) = e πα β β R1 cos(π δ 1 ) = e πα β R1 cos(δ 1 ) = e πα β x1 () R cos(π δ ) = e πα β R cos(δ ) = e πα β x () Da x(t) eine periodische Funktion mit der Periode π ist, müssten im Falle von geschlossenen Kurven x( π) = x() gelten. Da in diesem Fall gilt, dass x( π ) x(), liegen β β β die Kurven spiralig um den Ursprung. Dies lässt sich auch dadurch veranschaulichen, dass im Gegensatz zu x(t) noch um den Faktor e αt gestreckt wird. Somit wird für t der Streckungsfaktor immer gröÿer/kleiner. Im verbleibenden Fall erhält man also einen sogenanntenstrudelpunkt oder auch Brennpunkt, d. h. die Trajektorien lassen sich so zu Kurven zusammensetzen, welche einen Punkt beliebig oft umlaufen und dem Punkt dabei beliebig nahekommen, ohne mit einer bestimmten Tangentenrichtung in ihn einzumünden. 1

15 1. Fall: α > Nach Voraussetzung ist α, β >. In diesem Fall gilt: x( π) = e πα β β x() > x(). Somit liegt dieser Punkt weiter vom Ursprung entfernt und die Kurven drehen sich spiralig vom Ursprung weg. Man spricht hier von einem instabilen Strudelpunkt.. Fall: α < Im Falle α < liegen die Trajektorien auf Spiralen, die sich für t auf den Koordinatenursprung zusammenziehen, wodurch ein stabiler Strudelpunkt entsteht. Abbildung 3.7: stabiler Strudelpunkt 15

16 Zusammenfassung Zuordnung der Phasenporträts für ẋ = Ax. A hat die Eigenwerte λ 1, λ. Eigenwerte diagbar det(a) Phasenporträt Bild λ < λ 1 < stabiler Knotenpunkt λ 1, λ R ja > λ > λ 1 > instabiler Knotenpunkt λ 1 <, λ > instabiler Sattelpunkt < λ 1 >, λ < instabiler Sattelpunkt λ 1 < stabiler Stern ja (> ) λ 1 > instabiler Stern λ 1 = λ R λ 1 < stabiler eintangentialer Knoten nein (> ) λ 1 > instabiler eintangentialer Knoten R(λ 1, ) = Wirbelpunkt s s z-ebene λ 1 = λ C ja = λ 1 > R(λ 1, ) < stabiler Strudelpunkt R(λ 1, ) > instabiler Strudelpunkt Tabelle 1: Einordnung von Phasenporträts 5 Resümee Dieser Exkurs über Phasenporträts linearer Systeme spielt in meinen Augen keine bedeutende Rolle für den Mathematikunterricht, da Dierentialgleichungen meist nur oberächlich in der Oberstufe behandelt werden und die zugehörigen Lösungen mit den üblichen Methoden ermittelt werden können. Jedoch nde ich, dass dieses Thema eine schöne Verknüpfung der Analysis und der linearen Algebra darstellt. Hierbei wird gut visualisiert, wie in der Analysis die Methoden, die in der linearen Algebra erlernt wurden, zum Erfolg führen können. Dieses Wissen kann auch für das Verständnis in der Physik von Nutzem sein. Mathematisch interessierten Schülern könnte dies in einer Mathematik-AG näher gebracht werden. 16

17 Literatur [1] HEUSER, Harro: Gewöhnliche Dierentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch. 5. Au. Wiesbaden: B.G. Teubner Verlag, 6 [] BRAUN, Martin: Dierentialgleichungen und ihre Anwendungen. Berlin: Springer Verlag [3] FORST, Wilhelm; HOFFMANN, Dieter: Gewöhnliche Dierentialgleichungen: Theorie und Praxis. Berlin: Springer Verlag, 5. URL: [] WIRSCHING, Günther J.: Gewöhnliche Dierentialgleichungen: Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen. Wiesbaden: B.G. Teubner Verlag, 6. URL: [5] FREITAG, Eberhard: Skript Analysis : Kapitel V. Funktionen auf metrischen Räumen: 8. Dierentialgleichungen [6] BÖGE, Sigrid: Skript lineare Algebra 1 : Abschnitt 15 Jordansche Normalform [7] WELZER, René: Stabilitätstheorie und Anwendungen von ebenen autonomen Dierentialgleichungssystemen: Zusammenfassung der Diplomarbeit. URL: schwenk/lehrgebiete/welzer/welcome.html 6 Quellenverzeichnis der Abbildungen Abbildung.1 Material der TU München: Abbildung. Forst,Homann. Gewöhnliche Dierentialgleichungen, S.7 Abbildung.3 Ebd., S.7 Abbildung. Welzer, René. Stabilitätstheorie und Anwendungen von ebenen autonomen Dierentialgleichungssystemen: schwenk/lehrgebiete/welzer/welcome.html Abbildung.5 Ebd. Abbildung 3.1 Forst,Homann. Gewöhnliche Dierentialgleichungen, S.16 Abbildung 3. Ebd., S.163 Abbildung 3.3 Ebd., S.16 Abbildung 3. Ebd., S.165 Abbildung 3.5 Ebd., S.166 Abbildung 3.6 Ebd., S

18 7 Anhang Anhang 1 und entnommen: Forst, Homann: Gewöhnliche Dierentialgleichungen. 7.1 Anhang 1 Mittels der Transformation z := S 1 x (7.1) z1 mit der in (.3) auf Seite 7 gewählten Matrix S und dem Vektor z = lässt sich die Dierentialgleichung auf ein von x abgekoppeltes System ż = Dz umformen 9. λ1 Da D = gilt, folgt: λ ) (ż1 λ1 z1 λ1 z = = 1 ż λ z λ z Über diese neue Darstellung sind von den skalaren Dierentialgleichungen ż 1 = λ 1 z 1 und ż = λ z sofort die Lösungen z 1 (t) = e λ1t und z (t) = e λt zu erkennen. Durch Rücktransformation x = Sz wird ersichtlich, dass x als Linearkombination von z darstellbar ist. Es gilt: x s1 s = z1 s1 z = 1 + s z y s 3 s z s 3 z 1 + s z Wir wissen aus der Vorlesung lineare Algebra 1, dass die Spalten von S Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1, von A sind. Dies hat zur Folge, dass sich für die Lösungen die Gleichung: x(t) s1 z = 1 (t) + s z (t) s1 s = z y(t) s 3 z 1 (t) + s z (t) 1 (t) + z (t)= v 1 e λ1t + v e λ t ergibt, wobei v 1, die zugehörigen Eigenvektoren sind. 7. Anhang s 3 Die Transformation z := S 1 x führt hier, bei entsprechenden Umformungen wie in Anhang 1, auf das Dierentialgleichungssystem ż = Jz und somit zu den Dierentialgleichungen: ż 1 = λ 1 z 1 + z und ż = λ 1 z. Hierbei ergeben sich die nicht-trivialen Lösungen z (t) = e λ1t und z 1 (t) = (1 + t)e λ1t, was sich leicht nachrechnen lässt. Damit führt: ( x(t) y(t) ) = S z1 (t) = z (t) zur Lösung von (.) auf Seite 6. s s1 (1 + t)e λ 1t s e λ 1t s 3 (1 + t)e λ 1t s e λ 1t = v 1 (1 + t)e λ1t + ue λ 1t z 9 D := S 1 AS Dz = S 1 ASz = S 1 Ax = S 1 ẋ = ż 18

19 7.3 Anhang 3 Hier liegen wieder die allgemeinen Lösungen aus Satz.3 vor. Diese können im Falle der komplexen Eigenwerte λ 1 = α+iβ = λ (mit α, β R und o.b.d.a. β > ) und den zugehörigen Eigenvektoren: v 1 = u + iw = v (mit u, w R ) noch exakter angegeben werden. Es folgt: x(t) = c 1 (u + iw)e (α+iβ)t + c (u iw)e (α iβ)t = c 1 (u + iw)e αt (cos(βt) + isin(βt)) + c (u iw)e αt (cos(βt) isin(βt)) = e αt [u(c 1 + c )cos(βt) w(c 1 + c )sin(βt)] +ie αt [w(c 1 c )cos(βt) + u(c 1 c )sin(βt)] Für eine reelle Matrix A sind die Gleichungen: R(x(t)) = e αt [u(c 1 + c )cos(βt) w(c 1 + c )sin(βt)] I(x(t)) = e αt [w(c 1 c )cos(βt) + u(c 1 c )sin(βt)] (7.) Lösungen des gesuchten Dierentialgleichungssystems. Somit sind die allgemeinen Lösungen Linearkombinationen von R(x(t)) und I(x(t)): x (t) = R(x(t)) + I(x(t)) = e αt [u(c 1 + c )cos(βt) w(c 1 + c )sin(βt)] +e αt [w(c 1 c )cos(βt) + u(c 1 c )sin(βt)] = e αt [(c 1 + c )[ucos(βt) wsin(βt)] + (c 1 c )[wcos(βt) + usin(βt)]] Zur Vereinfachung: Jede reellwertige Lösung des Dierentialgleichungssystem lässt sich in der Form: x(t) = e αt [C 1 [ucos(βt) wsin(βt)] + C [wcos(βt) + usin(βt)]] schreiben mit: C 1 = c 1 + c ; C = c 1 c Dieser Ausdruck lässt sich noch weiter vereinfachen. Da der Sinus ein phasenverschobener Kosinus ist, folgt: x(t) = e αt [C 1 [ucos(βt) wcos(βt π )] + C [wcos(βt) + ucos(βt π )]] = e αt Rcos(βt δ) mit R, δ R 19