2.8 Schall Grundlagen. c=t=lj.

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1 98 2 Mechanik und Akustik Beme r k un g zu 5). Die beiden Gleichungen (2.147) und (2.148) stellen im Rahmen der beschriebenen Theorie äquivalente Ausdrücke dar: sie lassen sich mit Hilfe der Gin. (2.135) und (2.141) bzw. (2.144) und (2.145) exakt ineinander umrechnen. Dennoch sind sie aus meßtechnischer Sicht völlig verschieden zu bewerten. In GI. (2.147) geht als entscheidender Faktor der Ausdruck oi - w~ ein, dessen Erwartungswert mit verschwindender Kopplung gegen Null st~~bt. In jedem Falle ist bei schwacher Kopplung w~" ~ ~ (w~, - ~), so daß selbst eine geringfügige Meßunsicherheit in w.., und wal zu erheblichen Streuungen der Werte K führt. In GI. (2.148) hingegen führt z.b. eine relative Meßunsicherheit ll.wdwi (bei ll.wu = 0) immer zu ll.k/k S; ll.~ / WJ. Man diskutiere diesen Sachverhalt quantitativ unter Verwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes (Abschn ). 2.8 Schall Grundlagen In Fig. 2.36a ist eine "Pendelkette" dargestellt, die nach links und rechts unendlich lang sein soll. Verriickt man die Kugel (Massenelement) A um die Strecke a nach rechts (longitudinal) oder oben (transversal), so folgen alle rechts und links von A liegenden Kugeln (Massenelemente) nacheinander dieser Verrückung - je weiter sie von A entfernt sind, um so später, weil die Massen träge sind -, die Verrückung (Deformation) breitet sich längs der Pendel kette mit einer ganz bestimmten "Fortpflanzungsgeschwindigkeit" aus. Das gleiche geschieht in einem festen Körper, die Kugeln sind dort die Gitterbausteine (Atome) und die Federn die elastischen Bindungskräfte zwischen den Atomen. In einer Luft- oder Wassersäule (Fig. 2.36b) kann durch Bewegung eines Stempels S nur in longitudinaler Richtung eine Verdichtung (rechts) bzw. Verdünnung (links) erzeugt werden, die sich als Druckänderung ebenfalls fortpflanzt. Bewegt man A (oder S) periodisch (a = ao sin w t), so bewegen sich nach genügend langer Zeit alle Kugeln mit der gleichen Frequenz und - bei unserem linearen Medium - mit der gleichen Amplitude, aber mit von Ort zu Ort verschiedener Phase. Fig. 2.36c zeigt eine Momentphotographie des Bewegungszustandes zu irgendeinem Zeitpunkt t und zu einem ein wenig späteren Zeitpunkt t + M. In der Zeit ll.t hat sich der Zustand des Mediums als Ganzes um ein Stück ll.x nach rechts (auf der rechten Seite) bzw. links (auf der linken Seite) verschoben: 'wir sagen, von A breitet sich eine Welle aus; die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist gemäß der Definition der Geschwindigkeit c = ll.x/ll.t. WährendA eine ganze Schwingung in der Zeit T= 21t/w = 11f durchläuft, läuft der "Zustand Sinuskurve" gerade um eine Wellenlänge nach rechts bzw. links (man zeichne sich eine Anzahl dazwischenliegender Zustände auf!), daher ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit unserer Welle l c=t=lj. (2.151) An Orten, die eine Wellenlänge voneinander entfernt sind, herrscht gleiche Phase.

2 2.8 Schall 99 Während im festen Körper longitudinale und transversale Wellen möglich sind, können sich in Flüssigkeiten und Gasen nur longitudinale WeJIen fortpflanzen (keine Schubkräfte möglich!). Bei Longitudinalwellen in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen erleidet jedes Volumenelement ~v eine periodische Verschiebung und eine periodische Druckänderung (Kompression und Dilatation)., 0) A _ longitudinol o x Fig a) Unendliche Pendelkette. Die Verrückung ~ = a des Teilchens A in longitudinaler oder transversaler Richtung pflanzt sich nach rechts und links fort b) Unendliche Gas- (oder Flüssigkeits-)Säule. Die Verrückung des Stempels S pflanzt sich longitudinal nach rechts und links fort. Volumenelemente ö V rechts von S werden bei konstanter Verrückung ~ = a erst komprimiert, dann wieder entspannt, solche links von S werden erst ausgedehnt, dann wieder auf den alten Wert ÖV verdichtet c) Bei periodischer Bewegung von A (transversal oder longitudinal) bzw. S (longitudinal) breitet sich nach rechts und links eine Welle (Wellenlänge l) aus. Fig. c) gilt für eine transversale Verrückung des Teilchens A d) Endliche Pendel kette (Festkörper!) oder endliche Gas- (oder Flüssigkeits-)Säule. Longitudinale und transversale (fest) bzw. longitudinale (flüssig, Gas) Eigenschwingung == Stehende Welle. Grenzkurven der Verrückung ~ (longitudinal oder transversai) für die verschiedenen Orte x. CD Grundschwingung, Q) Erste Oberschwingung, K Knoten Trifft eine Verrückung oder eine WeJIe auf eine feste Wand oder auf das Ende des Mediums (z. B. der Pendelkette), so wird sie reflektiert und läuft zurück. Bei der Reflexion am dichteren Medium (feste Wand) tritt ein Phasensprung um 1t auf, bei der Reflexion am dünneren Medium (freies Ende) bleibt die Phase erhalten. Hin- und rücklaufende Wellen bilden durch Überlagerung (Interferenz) eine stehende Welle. Diese besitzt im Gegensatz zur fortschreitenden Welle Punkte, die dauernd in Ruhe sind (Schwingungsknoten K); der Abstand zweier Knoten ist gleich der halben Wellenlänge der interferierenden Wellen. An einer festen

3 100 2 Mechanik und Akustik reflektierenden Wand liegt stets ein Knoten. Die außerhalb der Knoten liegenden Elemente schwingen um ihre Ruhelage, besitzen jedoch verschiedene Schwingungsweite, die mit zunehmendem Abstand von den Knoten wächst. Die größte Schwingungsweite (Amplitude), die gleich dem Doppelten der Amplitude der einzelnen interferierenden Wellen ist, hat der in der Mitte zwischen zwei Knoten liegende Punkt (Schwingungsbauch B). Hat das Medium zwei Enden (Stab, Flüssigkeits- oder Luftsäule), so wird die Welle an beiden Enden reflektiert und es entsteht nur dann ein.. stationäres Interferenzfeld", wenn Wellenlänge und Ausdehnung des Mediums (Länge des Stabes, der Säule) in einem halb- oder ganzzahligen Verhältnis stehen - je nach.. Einspannung", d. h. ob die Enden frei oder fest sind. Bei einem beiderseits eingespannten Stab der Länge I nach Fig. 2.36d gilt die Beziehung ). n- =I ' 2 ' n=1, 2, 3,... (2.152) Statt von stehenden Wellen spricht man auch von.. Eigenschwingungen" des endlichen Materiestücks und nennt n = 1 die Grundschwingung, n = 2 die erste Oberschwingungusw.Auch bei der Eigenschwingung spricht man von Knoten; der Zusammenhang zwischen der Zahl der Knoten und der Nummer der Oberschwingung hängt von den Enden (Einspannung) ab. Die Ausbreitungs- oder Schallgeschwindigkeit im Festkörper hängt von der Dichte (l und dem Elastizitätsmodul E (vgl. Abschn ) ab: crest= l Bei Flüssigkeiten tritt an die Stelle von E die Kompressibilität K = d VIV dp cnll.. = Jh. Bei Gasen ist cps= )><0;, (2.153) (2.154) (2.155) wobei p der Gasdruck und "0 = cp/c. das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten ist (vgl. Abschn ), auch Adiabatenexponent genannt, was darauf hinweist, daß die Verdichtungen und Verdünnungen in der Schallwelle adiabatische Vorgänge sind. Mit GI. (3.54) kann GI. (2.155) auch C",.= )xo:t (2.156) molar geschrieben werden, woraus folgt, daß die Schallgeschwindigkeit mit.jtansteigt und umgekehrt proportional zur Wurzel aus der relativen Atom- bzw. Molekülmasse ist. Für Luft gilt im Bereich der Zimmertemperatur mit hinreichender Genauigkeit

4 2.8 Schall 101 (2.157) Bei 9 = O C ist hiernach CLufi = 331 m/s, bei 9 = 20 C ist CLufi = 343 m/s. Tritt eine Welle aus einem Medium in ein anderes über, so bleibt die Frequenz erhalten. Nach GI. (2.151) gilt dann für die beiden Medien 1 und 2 woraus folgt: CI =).J und c 2 = ).2! ' CI )'1 c - 2 )'2. (2.158) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit mit der Kundtschen Röhre Methode Bei der von Kundt angegebenen Versuchsordnung (Fig. 2.37) klemmen wir einen Stab St aus dem Material, dessen Schallgeschwindigkeit zu bestimmen ist, bei 1/4 und 3/4 seiner Länge fest ein. Reibt man den Stab mit einem Fig.2.37 :~ K : SI K : ~-----AS'----- Kundtsche Röhre St longitudinal schwingender Metallstab; R verschiebbarer Reflektor; G Glasröhre; KEinspannung (Knoten) mit Alkohol angefeuchteten Lappen, dann wird er in Longitudinalschwingungen versetzt. Die festgeklemmten Stellen sind Schwingungsknoten; daher entspricht die ganze Stablänge Lst einer Wellenlänge ).St. Stabmitte und Stabenden sind Schwingungsbäuche, der Stab schwingt in diesen Punkten in der durch die Doppelpfeile angegebenen Richtung. Zur Bestimmung der Wellenlänge ).L in Luft dient eine lange Glasröhre G, die an einem Ende geschlossen ist und in deren anderes Ende der zum Schwingen erregte Stab 1 bis 2cm hineinragt. Um die Longitudinalschwingungen des Stabes gut auf die Luftsäule im Glasrohr zu übertragen, ist der Stab mit einer leichten Endplatte B versehen, die die Stabschwingungen mitmacht und die Luftsäule zu Eigenschwingungen erregt (stehende Wellen), wenn die Erregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt, d.h. Ist = A, oder nach GI. (2.158) Cs t CL ).St )' L (2.159) Um die Eigenschwingungen (stehenden Wellen) sichtbar zu machen, verteilen wir ein wenig trockenes Korkpulver in der gut getrockneten Glasröhre; durch Klopfen vereinigen wir das Pulver in einem langen, gleichmäßig dünnen Faden auf dem Boden

5 102 2 Mechanik und Akustik der Röhre. Vorsichtig wird das Korkpulver durch Drehen der Röhre um die Achse etwas gehoben. Bilden sich nun in der Glasröhre stehende Wellen aus, so ist die Luft an den KnotensteIlen dauernd in Ruhe: dort bleibt das Korkpulver liegen; an den Stellen starker Luftbewegung, den Schwingungsbäuchen, fällt das Korkpulver an der Glaswand herunter, und es entstehen girlandenartige Bögen. Die stehende Welle bildet sich nur dann scharf aus, wenn die Länge der Luftsäule in der Röhre nach GI. (2.152) LL~ n).,l!2 ist. Die Resonanz findet man, indem man das Glasrohr in seiner Längsrichtung verschiebt. Dann liegt einerseits am geschlossenen Ende des Rohres ein Knoten; andererseits steht die Endplatte des Stabes ebenfalls dicht an einem Knoten (nicht etwa im Bauch und auch nicht exakt im Knoten, daher LL ~ n).,l/2), weil das Plättchen die stehenden Luftwellen dann am stärksten erregt, wenn es an der Stelle schwingt, an der es die gleiche Schwingungsweite wie die Luftteilchen hat. Das ist in der Nähe des Knotens der Fall, während die Schwingungsweite der Luftteilchen im Bauch viel größer ist. Wir messen die Abstände zwischen den (im Gegensatz zu den Bäuchen wesentlich schärfer ausgebildeten) KnotensteIlen mit einer an dem Auflagebrett der Glasröhre befestigten Millimetereinteilung, die eine verschiebbare Visiereinrichtung (Diopter) trägt. Diese richtet man auf die erste, zur Messung geeignete KnotensteIle (Spitze) sowie auf die letzte derselben, mißt ihren Abstand a und teilt ihn durch die Zahl n der zwischen ihnen liegenden Bögen. Dann ist ).L = 2a/n. Die Messung wiederholen wir 5 bis 10mal mit jedesmal neuerzeugten Staubfiguren. )'St erhalten wir durch Messung der Länge Lst des Stabes Gang des Versuchs 1) Man messe Lst und klemme den Stab bei je 1/ 4 Lst ein. Dann befestige man die Glasröhre so, daß die Endplatte desstabes einige Zentimeter in das Glasrohr hineinragt. Die Platte darf das Glasrohr nicht berühren. - 2) Man verteile in G möglichst gleichmäßig ein wenig Korkpulver. - 3) Man reibe den Stab mit einem gut mit Alkohol angefeuchteten Lappen. - 4) Man messe die Knotenabstände mit der Visiervorrichtung in der oben beschriebenen Weise. - 5) Man messe die Zimmertemperatur ) Man berechne nach GI. (2.157) die Schallgeschwindigkeit in Luft bei der herrschenden Zimmertemperatur ) Man berechne nach GI. (2.159) die Schallgeschwindigkeit im Stabmaterial und hieraus nach GI. (2.153) den Elastizitätsmodul des Stabmaterials. Die Dichte est entnehme man Tab. A Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen und Bestimmung des Adiabatenexponenten Methode Die Kundtsche Röhre gestattet nach GI. (2.158) die Messung des Verhältnisses der Schallgeschwindigkeiten in zwei Gasen 1 und 2, da die Erregungsfrequenz f des Stabes eine Konstante ist. Daher gilt Cl ).1 ~= ).,2 ' (2.160)

6 2.8 Schall 103 Die Kundtsche Röhre ist zu diesem Zweck mit zwei seitlichen Ansätzen versehen, durch die die gut gereinigten und getrockneten Gase zu- und abgeleitet werden. Damit während des Versuchs nur wenig Gas verloren geht (am besten arbeitet man mit langsamer Durchströmung), wird das Rohr an beiden Enden durch Korkstücke verschlossen, die mit Bohrungen zur Durchführung des Stabes und eines verschiebbaren Abschlußstückes versehen sind. Die Resonanz wird durch Verschieben des letzteren eingestellt. Als Vergleichsgas wird Luft verwendet Gang des Versuchs und Auswertung 1) Wie 1) bis 6) in ) Man berechne nach GI. (2.160) die Schallgeschwindigkeit des Meßgases. - 3) Man berechne nach GI. (2.156) den Adiabatenexponenten x o. Dazu ist die Kenntnis der Temperatur T notwendig. Daher muß die Temperatur des Meßgases in der Röhre gemessen werden Anmerkung Kompression und Expansion in der Schallwelle im Gas verlaufen so schnell, daß Wärmeausgleichsvorgänge mit Sicherheit keine Rolle spielen, die Zustandsänderungen wegen AQ = 0 also adiabatisch verlaufen (vgl. Abschn adiabatische bzw. polytrope Zustandsänderung) Messung der Frequenz mit dem Quinckeschen Reson8nzrohr Methode Die Eigenschwingungen einer einseitig geschlossenen, einseitig offenen Luftsäule nach Fig gestatten die Messung der Frequenz eines Schallgebers, wenn dieser die Luftsäule erregt. Da am geschlossenen Ende ein Knoten, am offenen Ende ein Schwingungsbauch herrscht (nur wenn der Schallgeber in genügender Entfernung vom offenen Ende steht), gilt für den Zusammenhang zwischen der Länge I der Luftsäule und der Wellenlänge AL in diesem Fall l=n AL + AL =2n+1 AL' (2.161 ) Q) R ~ ".~I.I~l1Ih l l",",lnil"nln l.lllnultnll SI G Fig Quinckesches Resonanzrohr a) G Glas- oder Metallrohr; R Rohr mit verschiebbarem Stempel St; S Stimmgabel; H Hörschlauch b) elektromagnetisch erregte Membran anstelle von S c) Mikrophon mit Verstärker und Strommesser anstelle von H b)

7 104 2 Mechanik und Akustik Die Resonanz stellt man durch einen Hörschlauch H fest, der auf einen seitlichen Rohransatz in der Nähe des offenen Endes aufgesteckt ist. Die Resonanzbedingung (2.161) erfüllt man durch Verschieben des Stempels St bis zu einem Lautstärkemaximum. Verschiebt man St über das Maximum hinaus, so wird die Lautstärke in H immer kleiner, durchschreitet ein unscharfes Minimum und wächst dann wieder zu einem scharfen Maximum an. Die Strecke, um die man St verschieben muß, um von einem Resonanzmaximum zum nächsten zu gelangen, ist gerade Ad2. Um ein Meßresultat mit möglichst kleiner Meßunsicherheit zu erreichen, mißt man den Abstand x vom ersten bis zum letzten deutlich ausgeprägten Maximum. Ist m die Zahl der durchlaufenen deutlichen Maxima einschließlich des ersten und letzten, so gilt AL x "2=m-1 (2.162) Zur Messung der Stellung von St trägt dessen herausstehendes Ende einen Zeiger über einer Skala mit Millimetereinteilung Gang des Ve~ 1) Man errege den Schallgeber, z. B. Stimmgabel oder Lautsprecher, und verschiebe zunächst den Stempel St ziemlich rasch, um ein Gefühl für die zu erwartenden Lautstärkeunterschiede zu gewinnen. - 2) Man ziehe den Stempel bis zum Anschlag heraus, stelle von da aus St auf maximale Lautstärke in H ein und lese die Stellung Al auf der Skala ab. - 3) Man verschiebe St bis zum letzten deutlichen Maximum und bestimme die zugehörige Stellung Am des Stempels wie unter 2). - 4) Aus Am - Al = X berechne man )'L nach GI. (2.162). - 5) Mit der nach GI. (2.157) berechneten Schallgeschwindigkeit berechne man die Frequenz des Schallgebers nach GI. (2.151) Anmerkung Die Messung kann objektiviert werden, indem man an den seitlichen Ansatz anstelle des Hörschlauches ein Mikrophon mit Verstärker und Strommesser anschließt.