/2- Dipol. 1. Vektorpotential

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1 /- Dipol Ein d infahsn Annnn, di lkomagnish Sahlung miin, is in gad, dünn Dah E is in d Mi unbohn, do sind di bidn Dahhälfn mi dm Ausgang ds Snds vbundn, d di Hohfqunz zug Das Fnfld in solhn, in d Mi gspisn Dipol-Annn soll bhn wdn Als Fnfld bzihn man dn Bih d Enfnungn, di vom O d Annn aus ghn, goß sind ggnüb d Wllnläng Di nahfolgndn Ziln sind in Ausabiung d Rhnungn in Skion 94 ds Buhs Classial Elodynamis von J D Jakson [Ja 6 mi in klinn Abwandlung: Im Ggnsaz zu dm do vwandn gs-sysm wid hi das MKSA-Sysm bnuz Das Fnfld ds /-Dipols unshid sih gingfügig von dm ds (idaln Hz shn Dipols Dis wid in Skion 9 dsslbn Buhs bhandl Di Sahlungsignshafn ds Hz shn Dipols wdn bispilswis auh im Buh Elkodynamik Ein Einfühung von D J Giffihs [Gi hgli Vkoponial Nah Maxwll gbn sih di Fldsäkn aus dn Eignshafn d Qulln ds Flds Di Qulln ds Flds sind di Ladungn und Söm d Annn Ih Dihn bzihnn wi mi bzw J Wi ghn davon aus, dass dis sih sinusfömig mi d Zi ändn, also ggbn sind duh i ( x, ( x ( i J ( x, J ( x Wi bi komplx Rhnung üblih, nspih d Ralil dis Tm d zughöign physikalishn Göß Dislb Ziabhängigki szn wi auh fü di lkomagnishn Ponial und Fld voaus, shibn also i A( x, A( x i ( E ( x, E ( x, i B ( x, B ( x wobi A das Vkoponial, E di lkish und B di magnish Fldsäk bzihnn Ausgangspunk uns Rhnung is das adi Vkoponial d Somdih J ds Dipols In Lonz-Eihung is dis ggbn duh 3 J ( x, 3 (3 A( x, d x 4 x x Dabi is di adi Zi x x (4 und das Ingal sk sih üb dn Bih ds Raums, in dm sih d Dipol bfind Aus dm Vkoponial gib sih magnish Fldsäk gmäß (5 B A Di lkish Fldsäk folg dann aus dm Amp-Maxwllshn Gsz Fü Gbi außhalb d Qulln ds Flds gil E (6 B

2 Wgn d sinusfömign Ziabhängigki gib di Abliung d lkishn Fldsäk inn Fako i, so dass folg (7 B ( i E i E Dabi wud von (8 Gbauh gmah ( is di Vakuum-Lihgshwindigki Mi d Wllnzahl (9 k gib sih somi fü di lkish Fldsäk ( E i B k Aus Gln (3 und (4 und unsm Ansaz fü A folg zunähs x x J ( x xp i ( A x i 3 ( xp( d x, 4 x x so dass sih d Fako xp( i wg hb und d osabhängig Til ds Vkoponials gshibn wdn kann J ( x xp( i k x x 3 (3 A( x d x 4 x x Da wi nu das Fnfld ds Dipols bhnn wolln, mahn wi shon jz Gbauh von d Nähung goß Enfnungn vom Dipol, also von x Of muliplizi man dis Unglihung auf bidn Sin mi d Wllnzahl k = / Dn Abbildung Zu Fnfld-Nähung, Bzihnungn sih Tx Bag von x bzihnn wi kuz mi Dann shib sih uns Nähung k x k k, od, in d üblihn Fom (sz duh (5 k Da di Läng unss Dipols / od höhsns von d Gößnodnung d Wllnläng is, implizi dis Nähung x x

3 Dshalb könnn wi dn Tm x x auszudükn als (6 x x x x os [ ( x, x n x Dabi is n d Einhisvko in Rihung von x, also in Rihung auf dn Aufpunk P hin (Abbildung Abbildung Dipol im Koodinansysm Das Vkoponial Gl (3 shib sih dann xp( ik 3 (7 A( x J x ik n xd x ( xp 4 D Fako xp(ik/ du shon daauf hin, dass das Fnfld aus Kuglwlln bsh Fldsäkn Wi mahn uns jz daan, das Vkoponial fü di Somvilung J ds Dipols zu bhnn D Dipol si nlang d z-ahs angbah, mi dm Einspispunk im Uspung (Abbildung Wi bzihnn sin Läng zunähs mi d, um auh Dipollängn / in di Rhnungn inzushlißn Da d Som an dn Endn ds Dipols (z = d/ vshwind, nhmn wi in sinusfömig Vilung mi dm Maximum in d Mi an Di nsphnd Somdih läss sih dann shibn (8 J ( x I sin ( kd / k z ( x ( y z, mi z d / Di Dla-Funkionn (x und (y gaanin, dass d Som nlang d z-ahs fliß Falls kd, is I d Maximalw ds Soms Mi n x z os folg dann xp( ik d kd (9 A x I k z ikz dz z / ( sin( xp os 4 d / Di Ingaion (Anhang A gib I xp( ik os[( kd / os os( kd / ( A( x z 4 k sin Mi z os sin häl man fü di Komponnn ds Vkoponials in Kuglkoodinan 3

4 ( A A A I xp( ik os[( kd / os 4 k sin I xp( ik os[( kd / os 4 k sin Nah Gl (5 gib sih di magnish Fldsäk aus ( A sin A B A sin ( A ( A sin sin ( A A os( kd / os os( kd / sin Da di -Komponn von A vshwind und di übign Komponnn nih von abhängn, sind di sn bidn Tm auf d hn Si Null und s folg I kd kd os[( / os os( / ik xp( ik 4 k sin (3 B I xp( ik os[( kd / os os( kd / os 4 k sin Gmäß uns Nähung k >> vnahlässign wi dn zwin Tm in d kign Klamm, d popoional zu / is, ggnüb dm sn, mi / ggn Unndlih ghndn Das gib fü di magnish Fldsäk im Sahlungsfld I xp( ik os[( kd / os os( kd / (4 B i 4 sin Nah Gl ( is di lkish Fldsäk, abgshn von dm Fako i/k, glih d Roaion d magnishn Fldsäk Da di magnish Fldsäk nu in Komponn in -Rihung bsiz, is di lkish Fldsäk ( B sin ( B (5 E i B i k k sin Dami gib sih I xp( ik kd kd ( ik sin( os sin sin 4 k (6 E i k I os[( kd / os os( kd / ( ik xp( ik 4 k sin Auh hi wndn wi uns Nähung k >> an und sihn dn sn Tm (popoional zu / auf d hn Si Dami wid di lkish Fldsäk im Fnfld I xp( ik os[( kd / os os( kd / (7 E i 4 sin 4

5 3 Engifluss (Poyning-Vko Aus dn Tmn fü E und B haln wi dn Engifluss (Poyning-Vko Dazu is zu bahn Da uns Fldsäkn komplx Gößn sind, is d Poyning-Vko d Ralil ds Kuzpoduks aus lkish Fldsäk und dm konjugi Komplxn d magnishn Fldsäk, also: * I os[( kd / os os( kd / S R( E B 4 sin (8 I os[( kd / os os( kd / 4 sin Wi szn jz d = / und kommn dami zu unsm Spzialfall ds /-Dipols Fü disn is kd/ = /, so dass wgn os( / = folg I os[( / os (9 S 4 sin Di Sahlungslisung po Raumwinklinhi is ggbn duh dp (3 S S, d mi d = d sind Wi haln somi dp I os[( / os (3 d 4 sin Di Vilung d Sahlungslisung is, wi wa, oaionssymmish zu z-ahs und im Übign fas idnish mi d ds Hzshn Dipols In inm 3-dimnsionaln Polakoodinansysm ha si di Fom ins Tous od Donus Das Maximum d Sahlungslisung lig in d xy-ebn ( = / und ha dn W dp I (3 ( / d 4 Abbildung 3 zig dp/d in Abhängigki von als Poladiagamm ( Sahlungsdiagamm Zum Vglih is auh das Sahlungsdiagamm ds idaln Hz shn Dipols ingzihn Abbildung 3 Sahlungsdiagamm Ausgzogn Kuv: /-Dipol nah Gl(3 ds Txs, gsihl: idal Hz sh Dipol 5

6 Di insgsam abgsahl Lisung is I os[( / os P S da sin d 4 sin (33 I os [( / os d sin Das hi aufnd Ingal läss sih auf das Kosinus-Ingal zuükfühn (Anhang B und numish bsimmn Es ha dn W,883 und gib als insgsam abgsahl Lisung 4 I (34 P,883 D Gwinn ds /-Dipols is dami 4 S ( / (35 G,649 P,883 od (36 g log,64,587 dbi D Indx i bdu, dass d Gwinn auf dn hypohishn isoopn Sahl bzogn is Das hiß, man hn so, als ob d Dipol mi sin maximaln Innsiä in all Raumihungn glihmäßig (isoop sahl Anmkungn 3 4 D bssn Lsbaki wgn shib ih vilfah xp(x an Sll von x is di adi Zi : Ein Effk am O x zu Zi üh h von in Söung zum fühn Zipunk x x / am O x Di Zidiffnz zwishn und is di Zi, di das Lih bnöig, um von x nah x zu glangn All Fomln, wi obn angkündig, im MKSA (SI- Einhinsysm (MKSA = M- Kilogamm-Skund-Ampè Nah Jakson [Ja 6, Gl (957 häl man im gs-sysm als maximal Sahlungslisung po Raumwinkllmn I /( (fü = 9, wi bim Hzshn Dipol, mi 4 muliplizi also I / Di Sahlungslisung insgsam bäg,44i / (nah Gl (96 bi [Ja 6 Daaus folg als Gwinn G = 4/,44 =,64 wi in uns MKSA-Rhnung Liau Gi David J Giffihs, Elkodynamik Ein Einfühung, 3 Auflag, Pason Sudium, Münhn Ja 6 John D Jakson, Classial Elodynamis, J Wily, Nw Yok 96 6

7 Anhang A Gsuh is d Ralil ds Ingals ( d kd / sin( d / k z xp ikz os dz, also ( d kd / sin( d / k z oskz os dz Wi fomn dn Ingandn mi Hilf von sin( x os( y sin( x y sin( x y um in kd kd sin k z kz os sin k z kz os und spaln das Ingal wgn ds Bags von z auf di bidn Tilingal kd kd (3 kz kz kz kz dz d sin os sin os / und d kd kd (4 / sin kz kz os sin kz kz os dz Di Ingaion gib (3 und (4 od (3 und (4 os os kd / kz kz os oskd / kz kz os k( os k( os kd / kz kz os oskd / kz kz os k( os os( kd / os( kd / os k( os k( os k( os( kd / os( kd / os k ( os os k( ( kd / os os ( kd / os os k( os ( kd / os os( kd k ( os k( / os os d / d / ( kd / os os ( kd / os os os( kd / k( os Dami folg shlißlih d / kd os (5 ( kd / os os( kd / sin( k z os kz os dz d / k sin k( os os( kd / k( os 7

8 Anhang B Das Ingal os ( / os ( d sin läss sih wi folg umfomn: Zunähs mah man Gbauh davon, dass d Ingand symmish zu = / is, so dass gil os [( / os d sin / os [( / os d sin Mi d Subsiuion os (, d sin d folg os [( / os d os [( / os d Jz is in Paialbuhzlgung ds Ingandn am Plaz: Dami gib sih os [( / os os [( / os d Wi bhn diss Ingal duh nu Subsiuion: u ( u, du d w w, dw d Si gib sin [( / u sin [( / w du dw u w sin [( / u du u sin [( / u du u u os( u du os( u du u Ein lz Subsiuion u (, füh zu sin [( / w dw w d du 8

9 os( d Dami is uns Ingal auf das Kosinus-Ingal Ci(x zuükgfüh Es gil (nahzushlagn z B bi WolfamAlpha os( d ln( Ci( (,5775,83788,56,43766 Also is (3 os ( / os d sin,883 9