Schließen über Zeit. Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz... Allens Zeitintervalllogik. Beispiel: Rezept zum Apfelkuchenbacken

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1 Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz... llens Zeitintervalllogik Dr. David Sabel WS 2012/13 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen. 10:ackofen heizt 11:Kuchen im ackofen backen Schließen über Zeit Darstellung und Inferenzen für zeitliche Zusammenhänge Viele verschiedene Logiken z.. Modallogiken und Temporallogiken (stellen meistens genaue Zeitpunkte dar) Wir betrachten die llensche Intervall-Logik Stand der Folien: 28. Januar 2013 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 2/63 llensche Intervalllogik eispiel: Rezept zum pfelkuchenbacken Vorgeschlagen von James F. llen, 1983 Keine Darstellung von Zeitpunkten, sondern: Darstellung von Zeitintervallen ohne bsolutwerte (weder von wann bis wann noch wie lang) sondern: nur die relative Lage von Intervallen 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen : ackofen heizt 11: Kuchen im ackofen backen i: Zeitintervalle, für die entsprechenden ufgaben D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 3/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 4/63

2 eispiel: Rezept zum pfelkuchenbacken (2) eziehungen (eine Person backt): 2 folgt direkt auf 1 3 ist später als 1 3 und 4 sind nicht gleichzeitig 1 und 4 sind nicht gleichzeitig 11 ist während 10, 11 und 10 enden gleichzeitig 11 ist nach 3 11 ist nach 4 Inferenzen z..: 11 findet nach 1 statt Wenn man sequentialisiert (z.. 3 ist komplett vor 4), dann kein Widerspruch llenscher Kalkül Sprache (grob): Intervallnamen Operatoren für die eziehungen ussagenlogiche Junktoren Semantik: bbildung der Intervallnamen auf nichtleere reelle Intervalle [, Z] D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 5/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 6/63 llensche asisrelationen (1) llensche asisrelationen (2) Überlegung: Gegeben zwei reellwertige Intervalle = [, Z] und = [, Z] Wie können und zueinander liegen? Wieviele Möglichkeiten gibt es? Es gibt 13 unterschiedliche Möglichkeiten. edingung bkürzung ezeichnung Z < before Z = m meets < < Z < Z o overlaps = < Z < Z s starts < < Z = Z f finishes < < Z < Z d during =, Z = Z equal und inverse Relationen (ohne ) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 7/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 8/63

3 llensche asisrelationen (3) before m meets o overlaps s starts f finishes d during 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen :ackofen heizt 11:Kuchen im ackofen backen llensche asisrelationen (4) Daher: Inverse: r ist inverse Relation zu r usnahme (in der Schreibweise): inverses zu und = llensche asisrelationen Die 13 llenschen asis-relationen sind: {,, m, o, s, d, f,, m, ŏ, s, d, f}. Wir bezeichnen diese Menge mit R. equal D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 9/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 10/63 llensche asisrelationen als ild eispiel: pfelkuchenbacken m o s f d m ŏ s f d eziehungen (eine Person backt): 2 folgt direkt auf 1: 2 m 1 3 ist später als 1: m 1 3 und 4 sind nicht gleichzeitig: m 4 3 m 4 1 und 4 sind nicht gleichzeitig m 4 1 m 4 11 ist während d s f und 10 enden gleichzeitig f f ist nach 3: m 3 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 11/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 12/63

4 asisrelationen llensche Formeln Satz Die llenschen asis-relationen sind paarweise disjunkt, d.h. eweis: Das zeigen die ilder r 1 r 2 = r 1 = r 2. Syntax der llen-formeln atomare ussagen r, wobei, Intervallnamen und r R aussagenlogische Kombinationen von atomaren ussagen. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 13/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 14/63 llensche Formeln: Semantik Interpretation I: bildet Intervallnamen auf Intervalle [a, b] ab, wobei a, b R und a < b. Interpretation von atomaren ussagen r : Sei I() = [, Z] und I() = [, Z]. I( ) = 1, gdw. Z < I( m ) = 1, gdw. Z = I( o ) = 1, gdw. <, < Z und Z < Z I( s ) = 1, gdw. = und Z < Z I( f ) = 1, gdw. > und Z = Z I( d ) = 1, gdw. > und Z < Z I( ) = 1, gdw. = und Z = Z I( r 0 ) = 1, gdw. I( r 0 ) = 1 I( ) = 1, gdw. I( ) = 1 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 15/63 llensche Formeln: Semantik (2) Interpretation von llenschen Formeln: I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 und I(G) = 1 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 oder I(G) = 1. I( F ) = 1 gdw. I(F ) = 0 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = I(G) I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 0 oder I(G) = 1 D.h.: wie üblich D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 16/63

5 Modelle, Tautologie, Erfüllbarkeit Disjunktionen von atomaren Formeln Modell: Interpretation I ist Modell für F, gdw. I(F ) = 1 gilt. Eine llensche Formel F ist: eine Tautologie, wenn jede Interpretation ein Modell für F ist. widersprüchlich (inkonsistent), wenn es kein Modell für F gibt. erfüllbar, wenn es mindestens ein Modell für F gibt. Semantische Folgerung: G = F gdw. I : I(G) = 1 I(F ) = 1 Äquivalenz: F und G sind äquivalent gdw. F = G und G = F. bkürzende Schreibweise für Disjunktion von atomaren Formeln: S für eine Menge S R. Wenn S = {r 1,..., r k } dann steht S für die Disjunktion r 1 r 2... r k S nennen wir atomare llen-ussage Z..: Statt s f schreiben wir {, s, f} eachte: Es gibt 2 13 solche Mengen S. uch erlaubt:, Semantik: I( ) = 0. R bedeutet: alles ist möglich, I( R ) = 1. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 17/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 18/63 Vereinfachungsregeln für llensche Formeln Vereinfachungen (2) Ein atomare ussage der Form r kann man immer vereinfachen zu 0, 1: r 0, wenn r und 1. Negationszeichen kann man nach innen schieben. Eine Formel ( R ) kann man zu (R \ R) umformen. Unterformeln der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen. Unterformeln der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen. atomare Formeln der Form kann man durch 0 ersetzen. atomare Formeln der Form R kann man durch 1 ersetzen. lle aussagenlogischen Umformungen sind erlaubt. Theorem Jede Vereinfachungsregel für llensche Formeln erhält die Äquivalenz, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln. eweis: Verwende die Semantik D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 19/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 20/63

6 llensche Constraints llenscher Kalkül Mit den Vereinfachungen kann jede llensche Formel umgeformt werden in ein Disjunktives llen-constraint (konjunktives) llen-constraint: Eine Konjunktion von atomaren llen-ussagen 1 S n S n n Disjunktives llen-constraint: Disjunktion von (konjunktiven) llen-constraints Eingabe: llen-constraint usgabe: Weitere eziehungen die daraus folgen, bzw. 0 (Widerspruch) oder 1 (Tautologie) Es reicht im Grunde: Konjunktive llen-constraints ei disjunktiven llen-constraints: bearbeite die llen-constraints unabhängig und füge dann zusammen. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 21/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 22/63 llenscher Kalkül (2) llenscher Kalkül (3) Wesentliche Regel: Transitivitätsregel us C kann man C folgern. us C kann man nichts neues über die eziehung zwischen und C folgern (alles ist möglich) Wie folgert man genau? asisrelationen r 1, r 2 : r 1 r 2 C. Man braucht die Komposition (r 1 r 2 ), als kleinste Menge mit: r 1 r 2 C = (r 1 r 2 )C. eachte:(r 1 r 2 ) ist nicht unbedingt eine asisrelation R 1, R 2 R: R 1 R 2 C. Komposition der Mengen: Sei R 1 R 2 gerade die (kleinste) Menge mit: R 1 R 2 C = (R 1 R 2 )C. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 23/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 24/63

7 Kompositionsmatrix d d o ŏ m m s s f f R o m o m o m o m d s d s d s d s R ŏ m ŏ m ŏ m ŏ m d f d f d f d f d d R o m d d d o m R \ ŏ m d f d s m m o ŏ o m d f ŏ m d s d s ŏ m d f ŏ m d f o m d s d o d f ŏ d s o d f ŏ d s o d f d ŏ d s d o d s o m R \ d f o m m m ŏ d f ŏ m d s ŏ d s o d f o d s o o m R \ ŏ m o d f ŏ d f ŏ m ŏ ŏ d s m m m ŏ m d s o d s o d s f f m m d s o m o m ŏ d f ŏ d f s s d f ŏ m m d f o m s d o m ŏ d f m s s s d o m d f s o m ŏ d f d o d f ŏ o d f m s s s ŏ d d f ŏ m f d d s o d s ŏ m m d ŏ m f f f f ŏ m d s o d s d o ŏ d s m ŏ d s o d f f f Nur Matrix, da: r = r = r Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. eispiel: d etrachte alle Möglichen Lagen für d C C Möglichkeiten: {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 25/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 26/63 Komposition der Mengen Inverse für Mengen eispiel: us {m, d} {f, d} C kann man schließen llgemein gilt: Satz (m f m d d f d d) C = {d, s, o} {d, s, o} {d} {d} C = {d, s, o} C Seien r 1,..., r k, r 1,..., r k llensche asisrelationen. Dann gilt {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } = {r i r j i = 1,..., k, j = 1,..., k } Inversion für Mengen von asisrelationen Sei S = {r 1,..., r k } R. Dann sei Desweiteren sei r: r = r Damit gilt:.s = { r 1,..., r k }. Satz Für S R gilt: S und.s sind äquivalente llensche Formeln. Satz.(r 1 r 2 ) = r 2 r 1. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 27/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 28/63

8 Regeln des llenschen Kalküls llenscher bschluss nwendung auf Subformeln von llen-constraints: ussagenlogische Umformungen dürfen verwendet werden. R 1 R 2 (R 1 R 2 ) 0 R 1 R 0, wenn R. R 1, wenn R. R.R R 1 R 2 C R 1 R 2 C R 1 R 2 C. Für konjunktive Formeln (d.h. llensche Constraints) werden die Regeln des llenschen Kalküls solange angewendet, bis sich keine neuen eziehungen mehr herleiten lassen (Fixpunkt) Disjunktive Constraints: Wende Fixpunktiteration auf jede Kommponente an, und vereinfache anschließend Komponente = 1: Disjunktiver Constraints ist äquivalent zu 1 Komponente = 0: Kann gesrtrichen werden lle Komponenten = 0: Disjunktiver Constraint widersprüchlich (Inkonsistenz) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 29/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 30/63 eispiel 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen. Eingabe (bei paralleler Verarbeitung): 1 m 2 2 {m, } 5 4 {m, } 5 3 {m, } 6 5 {m, } 6. eispiel 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen. ild dazu: 1 2 bedeutet: 1 findet vor 2 statt (also m oder ). Gestrichelte Pfeile = hergeleitete eziehungen bschluss berechnen: 1 2 us 1 m 2 2 {m, } 5 erhält man 1 5 us {m, } 6 erhält man 1 6 us 2 {m, } 5 5 {m, } 6 erhält man us 4 {m, } 5 5 {m, } 6 erhält man 4 6 llenscher bschluss ist gerade: 1 m {m, } {m, } {m, } 6 5 {m, } 6. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 31/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 32/63

9 eispiel Korrektheit, Vollständigkeit 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen. Eingabe bei einer Person: 1 m 2 2 {m, } 5 4 {m, } 5 Sequentialisieren ist konsistent, ild dazu 3 {m, } 6 5 {m, } 6 1 {, m, m, } 3 1 {, m, m, } {, m, m, } 5 3 {, m, m, } 4 3 {, m, m, } Wir sagen, der llen-kalkül ist korrekt, wenn bei F F stets gilt: F und F sind äquivalente Formeln herleitungs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint alle semantisch folgerbaren Einzel-Relationen herleiten kann. widerspruchs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint herausfinden kann, ob es widersprüchlich ist (Herleitung der 0) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 33/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 34/63 Fragestellungen Wie aufwändig ist die erechnung des bschlusses der llenschen Relationen? Ist der llen-kalkül korrekt? Ist die erechnung herleitungs- bzw- widerspruchs-vollständig? Was ist die Komplexität der Logik und der Herleitungsbeziehung, evtl. für eingeschränkte Eingabeformeln? Wie kann man den llenschen Kalkül für aussagenlogische Kombinationen von Intervallformeln verwenden? Implementierung der llen-vervollständigung Wesentliche Regel: Transitivitätsregel R 1 R 2 C R 1 R 2 C. Konjunktive llen-constraints (schon zusammengefasst, Intervalle 1,..., n ): i R i,j j i,j {1,...,n} Nicht vorhandene Relation werden auf R gesetzt. bschluss kan mit einer n n-tabelle gemacht werden Sobald irgendwo auftaucht, kann man abbrechen Ähnlich zum Warshall-lgorithmus ei disjunktiven llen-constraints: bearbeite die llen-constraints separat und fasse dann zusammen. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 35/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 36/63

10 lgorithmus 1 Erläuterung lgorithmus llenscher bschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-rray R, mit Einträgen R[i, j] R lgorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R[i, j] (R[i, k] R[k, j]); if R[i, j] R then R[i, j] := R; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false R := R[i, j] (R[i, k] R[k, j]) entspricht gerade i R i,k k k R k,j j i R i,j j i R i,k k k R k,j j i R i,k R k,j j i R i,j j i R i,k k k R k,j j i (R i,k R k,j ) R i,j j D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 37/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 38/63 Eigenschaften lgorithmus 1 lgorithmus 2 Ähnlich zu Warshall-lgorithmus, aber iteriert (notwendig!) solange bis Fixpunkt erreicht ist Korrekt: Offensichtlich Laufzeit: Im worst-case O(n 5 ) egründung: 3 for-schleifen: O(n 3 ) repeat-schleife: Im schlechtesten Fall wird ein R[i, j] um eins verkleinert pro R[i, j] maximal 13 Verkleinerungen Es gibt n 2 Mengen R[i, j] Daher: repeat-schleife wird maximal O(n 2 ) mal durchlaufen ergibt: O(n 5 ) lgorithmus llenscher bschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-rray R, mit Einträgen R[i, j] R lgorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R[i, j] (R[i, k] R[k, j]); if R[i, j] R then R[i, j] := R; queue := queue {(i, j, m) 1 m n} {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 39/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 40/63

11 Eigenschaften lgorithmus 2 Korrektheit: ei Änderung von R[i, j] werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: m nfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R[i, j] kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) lgorithmus 2 hat worst-case-laufzeit O(n 3 ) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 41/63 llenscher Kalkül: Korrektheit Korrekheit Der llensche Kalkül ist korrekt, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln eweis (Skizze): Verwende die Semantik - ussagenlogische Umformungen: klar - R 1 R 2 ist äquivalent zu (R 1 R 2 ) : Sei R 1 = {r 1,..., r k }, R 2 = {r 1,..., r k }. R 1 R 2 = ( r i) ( r i ) {( r i ) ( r i ) 1 i k, 1 i k } (ausmultiplizieren) {( r i ) ( r i ) 1 i k, 1 i k, r i = r i } (asisrelationen disjunkt) = (R 1 R 2) - 0 und R 1 (klar) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 42/63 llenscher Kalkül: Korrektheit (2) eweis (Fortsetzung) - R ist äquivalent zu 0, wenn R und R ist äquivalent zu 1, wenn R: Jede Interpretation bildet I() eindeutig auf ein Intervall ab. -Transitivitätsregel: asisrelationen: Man muss die Korrekheit der Matrix prüfen Für mehrelementige Mengen: {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C = ( r 1... r k ) ( r 1 C... r k C) (ausmultiplizieren) {( r i r i C) 1 i k, 1 i k } (asis) {( r i r i C ri r i C) 1 i k, 1 i k } {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C {( r i r i C) 1 i k, 1 i k } = {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C {r1,..., r k} {r 1,..., r k } C D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 43/63 Partielle Vollständigkeit Der llensche Kalkül ist vollständig in eingeschränktem Sinn: Satz Sind zwei Relationen 1 R R 2 2 gegeben, dann ermittelt der llensche Kalkül alle Relationsbeziehungen, die daraus folgen. Dies wird auch Pfadkonsistenz genannt. Constraint-Netzwerk: Knoten mit Intervallen, Kanten mit llenschen-relationen markiert. Pfadkonsistenz: für je drei,, C mit R 1 R 2 gilt: Wenn I() = [a 1, a 2 ], I(C) = [c 1, c 2 ] mit I( R 3 C) = 1, dann I : I () = I(), I (C) = I(C), I ( R 1 ) = 1, I ( R 2 C) = 1. D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 44/63 R 3 C

12 Unvollständigkeit des llen-kalküls Leider gilt: Theorem Der llensche Kalkül ist nicht herleitungs-vollständig. eweis: Gegenbeispiel: Für den llenschen Constraint: D {o} D {s, m} C D {s, m} {d, d} C {d, d} ist der llensche bschluss: D {o} D {s, m} C D {s, m} {d, d} C {d, d} C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} ber in diesem Fall ist C {f, f, o, ŏ} nicht möglich (nächste Folie) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 45/63 eweis (Fortsetzung) Die Lage von zu D ist eindeutig. Möglichkeiten wie zu D und C zu D: 4 Fälle D C Fall (1): D s C und D s C { s, s, } D C Fall (3): D s C und D m C { d} D C Fall (2): D m C und D s C {d} D C Fall (4): D m C und D m C {s, s, } C {f, f, o, ŏ} nicht möglich! D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 46/63 Unvollständigkeit des llen-kalküls (2) Ebenso gilt: Theorem Der llensche Kalkül ist nicht widerlegungsvollständig. eweis: Gegenbeispiel: Leichte bwandlung des eispiels davor Füge {f, f} C hinzu, d.h. man erhält das Constraintnetzwerk: s, m D s, m d, d o f, f C d, d llenscher bschluss: Verändert das Netzwerk nicht, aber es ist widersprüchlich! D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 47/63 Konsequenzen der Unvollständigkeit Frage: Ist llen-constraint F widersprüchlich? bschluss = 0, dann J bschluss = 1, dann NEIN bschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts Frage: Ist llen-constraint F erfüllbar? bschluss = 0, dann NEIN bschluss = 1, dann J (Tautologie) bschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 48/63

13 Eindeutige llen-constraints Eindeutige llen-constraints (2) Definition Ein llensches Constraint nennt man eindeutig, wenn für alle Paare, von Intervallkonstanten gilt: Das Constraint enthält genau eine eziehung r, wobei r eine der dreizehn asisrelationen ist. Es gilt: Satz Der llensche bschluss eines eindeutigen llenschen Constraints F ist entweder 0, oder wiederum F. eweis: Jede Transitivitätsregelanwendung leitet her, oder lässt Eintrag unverändert. Satz (Valdés-Pérez, 1987) Ein eindeutiges llensches Constraint ist erfüllbar, gdw. der llensche Kalkül bei Vervollständigung das Constraint nicht verändert, d.h. wenn es ein Fixpunkt ist. eweisidee: Zeige, wenn llen-kalkül kein Widerspruch entdeckt, dann ist Constraint erfüllbar. Es gibt dann eine totale Ordnung der Intervallenden Korollar uf eindeutigen llen-constraints ist der llen-kalkül korrekt und vollständig D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 49/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 50/63 Eindeutige llen-constraints: Menge Vollständiges Verfahren Zu jedem llenschen Constraint C kann man die Menge aller zugehörigen eindeutigen llenschen Constraints D definieren, wobei gelten muss: Wenn r in D vorkommt und R in C, dann gilt r R. Lemma Ein llen-constraint ist erfüllbar, gdw. es ein zugehöriges eindeutiges Constraint gibt, das erfüllbar ist. eweis: Klar Test auf Erfüllbarkeit für beliebiges llen-constraint C 1 Sei D := Menge aller eindeutigen llen-constraints zu C. 2 erechne den llenschen bschluss jedes Constraints C D. 3 Wenn dabei kein Widerspruch auftritt, ist C erfüllbar, anderenfalls C widersprüchlich. Erweiterung auf disjunktive llen-constraints: klar Der lgorithmus ist korrekt und vollständig. Die Laufzeit ist im worst-case exponentiell Mittlere Verzweigungsrate: 6,5: Im schlimmsten Fall muss man pro eziehung R 13 Fallunterscheidungen machen D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 51/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 52/63

14 Komplexität des Problems Satz Die Erfüllbarkeit einer Konjunktion von llenschen Relationen ist N P-vollständig, bzw. die Erfüllbarkeit eines konjunktiven llenschen Constraints ist N P-vollständig. eweis: Problem ist in N P: Rate lineare Reihenfolge der Intervallanfänge und -enden D.h. Ordnung auf allen X a, X e für alle Intervalle X Verifiziere ob Reihenfolge da Constraint erfüllt Verifikation geht in Polynomialzeit eweis (Fortsetzung) Problem ist N P-hart: Reduktion von 3-Coloring auf Erfüllbarkeit von llen-constraints: 3-Coloring Gegeben: Graph mit Knotenmenge N und Kantenmenge K. Frage: Gibt es eine Färbung der Knoten mit drei Farben, so dass benachbarte Knoten verschiedene Farbe haben? Sei eine Instanz (N, K) gegeben, erzeuge llen-constraint: Intervallkonstanten: 1, 2, 3 Pro v i N eine Intervallkonstante i. Relationen: 1 m 2 2 m 3 v i N : i {m,, m} 2 (v i, v j ) K : i {m, m,, } j D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 53/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 54/63 eweis (Fortsetzung, 2) Idee: Lage jedes i zu 2 bestimmt die Farbe des Knotens v i. Constraints 1 m 2 und 2 m 3 im ild: Constraints für die Knoten: v i N : i {m,, m} 2 i i i eweis (Fortsetzung,3) Daher gilt: Der Graph ist dreifärbbar, gdw. die llenschen Relationen erfüllbar sind. Die Zuordnung ist: v i hat Farbe 2 gdw. i 2 v i hat Farbe 1 gdw. i m 2 v i hat Farbe 3 gdw. i m 2 Übersetzung ist in Polynomialzeit durchführbar, daher Erfüllbarkeit N P-Hart Constraints für die Kanten: (v i, v j ) K : i {m, m,, } j j i j D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 55/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 56/63

15 Folgerungen Varianten Jeder vollständige lgorithmus braucht Exponentialzeit. (solange P N P) Die polynomielle llen-vervollständigung muss unvollständig sein Es gibt polynomielle, vollständige Verfahren für llensche Constraints mit eingeschränkter Syntax Eine haben wir bereits gesehen: Eindeutige llen-constraints D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 57/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 58/63 Varianten (2) Varianten (3) Neue Variante: Erlaube nur llensche Relationen, so dass: Übersetzung in edingungen über die Endpunkte nur Konjunktion von der Form x < y oder x = y sind Dann gilt: Man braucht keine Fallunterscheidung Passender Satz von Relationen: lle asisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. { d, ŏ, s}, und {o, f, d}. Z.. {d, o, s} als Ungleichung über den Endpunkten: Wenn = [, Z], = [, Z], dann entspricht obige Relation gerade < Z, < Z, Z < Z, < Z D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 59/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 60/63

16 Varianten (4) Hintergrund uf solchen Constraints kann man Erfüllbarkeit in Polynomialzeit testen Transitiver bschluss der Endpunktbeziehungen anschließend lineare Reihenfolge mit topologischem Sortieren Es gilt aber sogar Satz (Nebel, ürckert, 1995) uf den so eingeschränkten llen-constraints ist der llensche Kalkül korrekt und vollständig. Diese spezielle Klasse lässt sich als Grund-Hornklauseln darstellen, d.h. Klauseln mit maximal einem positiven Literal. Für Grund-Hornklauselmengen ist Erfüllbarkeit in polynomieller Zeit testbar. Man hat Fakten in der Form a < b und c = d, wobei a, b, c, d unbekannte Konstanten sind. Es gibt auch Hornklauseln, die von der Symmetrie und Transitivität stammen: x < y y < z x < z x = y y = z x = z x = y y = x x < y y = z x < z x = y y < z x < z D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 61/63 D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 62/63 Hintergrund (2) Man kann weitere llensche Constraints zulassen, und behält die Vollständigkeit des llen-kalküls: lle Constraints deren Übersetzung in Constraints über Endpunkten Hornklauseln ausschließlich mit Literalen a b, a = b und (a = b) erzeugt. Von den 2 13 = 8192 möglichen eziehungen erfüllen 868 diese Eigenschaft Man kann diese auch für die Fallunterscheidung des exponentiellen Verfahrens verwenden. Vorteil: Kleinere mittlere Verweigungsrate (Statt 6,5 nur 2,533 (Nebel 1997)) D. Sabel KI WS 12/13 llens Zeitlogik 63/63