Inhalt. Nichtlineare Systeme Voltera Reihenexpansion Statische quasi-nichtlineare Systeme Dynamikprozessoren

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1 1 Inhalt Nichtlineare Systeme Voltera Reihenexpansion Statische quasi-nichtlineare Systeme Dynamikprozessoren Kontrollparameter Anwendungen Frequenzabhängige nichtlineare Systeme Signalverfremdung Messparameter

2 2 LTI: Allgemein AsinT BsinT H Z Nichtlinear TI: AsinT BsinT n B n sinn T n n N

3 3 Definition Lineare Systeme: T {a xtb yt}=a T {xt}b T { yt} Nichtlineare Systeme: Systeme, die die obere Gleichung NICHT erfüllen keine Einheitliche Definition für alle nichtlineare Systeme! verschiedene Systemklassen: viele verschiedene Definitionen

4 4 Polynomiale Systeme Klasse der polynomialen Systeme: p yn= i=0 f i { xn, xn 1,, xn N, y n 1, y n 2,, yn M } ist ein Polynom der i-ter Ordnung f i { } Superposition verschiedener Polynome Polynomiales System des Grades p

5 5 Bilinearer Filter Idee: x, y, x y yn N 1 yn= i=0 N 2 a i xn i j=1 N 3 b j yn j i=0 N 4 j=0 c ij xn i yn j rekursiver Anteil Erweiterung eines linearen IIR-Filters

6 6 Quadratischer Filter Idee: x, x 2 yn N 1 yn= i=0 N 2 h 1 xn i i=0 N 2 j=0 h 2 i, j xn i xn j System 2-ter Ordnung Keine Rückkopplung Erweiterung eines linearen FIR-Filters h 1... Impulsantwort h 2... Kernfunktion

7 7 Homogene Gleichung Polynomiales System: p yn= i=0 f i { xn, xn 1,, xn N, y n 1, y n 2,, yn M } Übergang: Homogene Gleichung: y= f { x, y } y= f { h, x } f i { }= v 1 v 2 v N hv 1, v 2,,v N xn v 1 xn v 2 xn v N Kernfunktion

8 8 algorithmen in akustik und computermusik Volterra Series Expansion p yn= i=1 f i n = v 1 =0 v 1 =0 v 1 =0 h 1 v 1 xn v 1 v 2 =0 h 2 v 1, v 2 xn v 1 xn v 2 v 2 =0 v p h p v 1, v 2,,v p xn v 1 xn v 2 xn v p für leicht nichtlineare Systeme besonders gut geeignet (Ordnung p ist klein)

9 9 Volterra System: Factored Kernels Faktorisierung der Kernfunktionen: yn= v 1 =0 h i v 1, v 2,, v i =h i f v 1 h i f v 2 h i f v i h 1 f v 1 xn v 1 v 2 =0 h 2 f v 2 xn v 2 2 v N =0 h N f v N xn v N N

10 10 Statische nichtlineare Systeme Für Systeme ohne Speicher: Kern h f i v i wird zu einem Skalar: h i n 1, n 2,, n i =A i un Der Ausgang kann durch ein Polynom beschrieben werden: yn= i=0 A i x i n Allgemein: y n= f [ xn]

11 11 Verstärkungskennlinie Für statische nichtlineare Systeme genügt eine Kennlinie: y n= f [ xn] yn xn

12 12 Dynamikprozessoren Veränderung der Einhüllenden laut Parametrierung Harmonische Verzerrung so gering wie nur möglich yn= f [ xn] yn=xn gn in db: Y n=x ngn

13 13 Verstärkungskennlinie Zusammenhang: Y(n) und X(n)

14 14 Verstärkungskennlinie - Parameter Kompressionsfaktor: R= X Y Slope Factor: S=1 1 R S=1 Y X S = 1 1 S Y { X

15 15 Control Parameter Envelope Follower: Spitzenwert RMS Attack/Release Time

16 16 Spitzenwert Attack time t AT : Release time t RT : AT =1 e 2.2T S /t AT RT =1 e 2.2T S /t RT T S Abtastperiode

17 17 Effektivwert t AVR Average time : TAV =1 e 2.2 T S /t AVR T S Abtastperiode Andere Formen: Cepstrum Hilbert-Transformation

18 18 Attack Time Attack Time Zu kurz: t AT Dynamikfluktuation Verzerrungen tieffrequenter Signale Zu lang: Clipping-Gefahr Bereich: 0-100ms

19 19 Release Time Release Time t RT Zu schnell: Chopping Zu langsam: Atmen/Pumpen Bereich: 100ms - 3s

20 20 Attack / Release Time Control Struktur: f = f n 1 f n Richtung f, Schwelle Umschaltung zw. Attack und Release K g n=k f n yn 1 1 K

21 21 Dynamikprozessoren

22 22 Limiter Möglichst keine Dynamikveränderung Kontrolle der Spitzenwerte Parameter: S L =1 R L = F = S L X LT Side chain: S L

23 23 Limiter Thr=0.5 t RT =5ms t AT =100 us f s =44.1kHz

24 24 Kompressor / Expander Parameter: 0S C 1 S E 0 F C = S C X CT F E = S E X ET

25 25 Kompressor / Expander Hard vs. Soft Knee: Alternative Struktur: Expander Linear Kompressor

26 26 Noise Gate Parameter: Hold time Depth of Cut, Floor or Ratio Control

27 27 Vergleich Kompressor Expander

28 28 De-esser Reduktion der Zischgeräusche Unterschied zum Kompressor: Frequenzabhängige Verarbeitung

29 29 Let's rock Verzerren der Signale einer el. Gitarre Ursprünglich: Röhrenverstärker Jetzt: meist digital, mit simulierten Kennlinien Effekte: Overdrive Distortion Fuzz

30 30 Overdrive Soft Symmetrical Clipping

31 31 Distortion Harte symmetrische Übersteuerung

32 32 Fuzz Asymmetrische Kennlinie Beispiel (Tube Distortion): f x= x Q Q d x Q 1 e 1 e dq Q 0, x Q Q= 0.2 d=8

33 33 (Sub)-Harmonische

34 34 Exciter Betonung best. Frequenzbereiche um Klangeveränderungen hervorzurufen Beispiel: APHEX Aural Exciter

35 35 Klirrfaktor k Total Harmonic Distortion (THD): k= n=2 A n 2 A 1 2 n=2 A n 2 = A k 2 n=1 A n 2 =1,2,N k=k 2 2 k 3 2 k N 2 Total Harmonic Distortion + Noise (THD+N): THDN = E out E in E out X out f = X in f H notch f Signal In Noise And Distortion (SINAD) THD+N in db

36 36 THD Beispiel Amp1_ch01amp0.0freq1000.0_adc0.wav signal search for peak range peak found max of noise threshold of peak energy bins above threshold amp in db f in Hz THD= % x 10 4

37 37 Weiterführende Literatur W. J. Rugh. Nonlinear System Theory. The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1981, ISBN: M. Schetzen. The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Robert Krieger Publishing 1980 G.W. McNally. Dynamic range control of digital audio signals. J. Audio Eng. Soc., 32 (5): , Mai 1984