Inhalt. Nichtlineare Systeme Voltera Reihenexpansion Statische quasi-nichtlineare Systeme Dynamikprozessoren

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1 1 Inhalt Nichtlineare Systeme Voltera Reihenexpansion Statische quasi-nichtlineare Systeme Dynamikprozessoren Kontrollparameter Anwendungen Frequenzabhängige nichtlineare Systeme Signalverfremdung Messparameter

2 2 Allgemein LTI: Asin T Bsin T H z Nichtlinear TI: Asin T Bsin T n B n sin n T n n N

3 3 Definition Lineare Systeme: T {a x t b y t }=a T { x t } b T { y t } Nichtlineare Systeme: Systeme, Keine Verschiedene die die obere Gleichung NICHT erfüllen Einheitliche Definition für alle nichtlineare Systeme! Systemklassen: viele verschiedene Definitionen

4 4 Polynomiale Systeme Klasse der polynomialen Systeme: p y[n]= i=0 f i { x[n], x[n 1],, x[n N ], y[n 1], y[n 2],, y[n M ] } f i { } ist ein Polynom der i-ter Ordnung Superposition verschiedener Polynome Polynomiales System des Grades p

5 5 Bilinearer Filter Idee: x, y, x y y[n] N 1 y[n]= i=0 N 2 a i x[n i] j=1 N 3 b j y[n j ] i=0 N 4 c ij x[n i] y[n j] j=0 Rekursiver Erweiterung Anteil eines linearen IIR-Filters

6 6 Quadratischer Filter Idee: x, x 2 y[n] N 1 y[n]= i=0 N 2 h 1 x[n i] i=0 System 2-ter Ordnung N 2 h 2 [i, j] x[n i ] x[n j ] j=0 Keine Rückkopplung Erweiterung eines linearen FIR-Filters h h 1... Impulsantwort 2... Kernfunktion

7 7 Polynomiales System: p y[n]= i=0 Homogene Gleichung f i { x[n], x[n 1],, x[n N ], y[n 1], y[n 2],, y[n M ] } Übergang: y= f { x, y } y= f { h, x } Homogene Gleichung: f i { }= v 1 v 2 v N h[v 1, v 2,,v N ] x[n v 1 ] x[n v 2 ] x[n v N ] Kernfunktion

8 8 Volterra Series Expansion p y[n]= i=1 f i [n] = v 1 =0 v 1 =0 h 1 [v 1 ]x[n v 1 ] v 2 =0 h 2 [v 1, v 2 ] x[n v 1 ] x[n v 2 ] v 1 =0 h p [v 1, v 2,,v p ] v 2 =0 v p x[n v 1 ] x[n v 2 ] x[n v p ] Für leicht nichtlineare Systeme besonders gut geeignet (Ordnung p ist klein)

9 9 Volterra System: Factored Kernels Faktorisierung der Kernfunktionen: y[n]= v 1 =0 h i [v 1, v 2,,v i ]=h i f [v 1 ] h i f [v 2 ] h i f [v i ] h 1 f [v 1 ] x[n v 1 ] v 2 =0 h 2 f [ v 2 ] x[n v 2 ] 2 v N =0 h N f [v N ] x[n v N ] N

10 10 Statische nichtlineare Systeme Für Systeme ohne Speicher: Kern h f i [v i ] wird zu einem Skalar: h i [n 1, n 2,,n i ]=A i [n] Der Ausgang kann durch ein Polynom beschrieben werden: y[n]= i=0 A i x i [n] Allgemein: y[n]= f x[n]

11 11 Verstärkungskennlinie Für statische nichtlineare Systeme genügt eine Kennlinie: y[n]= f x[n] y[n] x[n]

12 12 Dynamikprozessoren Veränderung der Einhüllenden laut Parametrierung Harmonische Verzerrung so gering wie nur möglich y[n]= f x[n] y[n]=x[n] g [n] in db: Y [ N ]= X [ N ] G[ N ]

13 13 Verstärkungskennlinie Zusammenhang: Y[N] und X[N]

14 14 Verstärkungskennlinie - Parameter Kompressionsfaktor: R= X Y Steigung (Slope Factor): S=1 1 R S =1 Y X R= 1 1 S Y { X

15 15 Control Parameter Einhüllendenverfolgung (Envelope Follower): Spitzenwert Effektivwert (RMS)

16 16 Spitzenwert Attack time : AT =1 e 2.2T S /t AT t AT Release time : RT =1 e 2.2T /t S RT t RT T S Abtastperiode FT

17 17 Effektivwert (RMS) t AVR Average time : TAV =1 e 2.2T S/t AVR T S Abtastperiode - Andere Formen: Cepstrum Hilbert-Transformation

18 18 Dynamik der Kennlinie: Kontrollparameter Attack Release Time Time

19 Bereich: 0-100ms Rane (1998) algorithmen in aku stik und compute rmusik 19 Attack Time Attack Time Zu kurz: t AT Dynamikfluktuation Verzerrungen tieffrequenter Signale Zu lang: Clipping-Gefahr

20 20 Release Time Release Time t RT Zu schnell: Chopping Zu langsam: Atmen/Pumpen Bereich: 100ms - 3s Rane (1998)

21 21 Struktur: Attack / Release Time Control f = f [n 1] f [n] Richtung f, Schwelle Umschaltung zw. Attack und Release K g [n]=k f [n] g [n 1] 1 K

22 22 Dynamikprozessoren

23 23 Limiter Möglichst keine Dynamikveränderung Kontrolle der Spitzenwerte Parameter: S L =1 R L = F = S L X LT Side chain: S L

24 24 Limiter Thr=0.5 t RT =5ms t AT =100 us f s =44.1kHz

25 25 Kompressor / Expander Parameter: 0 S C 1 S E 0 F C = S C X CT F E = S E X ET

26 26 Hard vs. Soft Knee: Kompressor / Expander Alternative Struktur: Expander Linear Kompressor

27 27 Noise Gate Parameter: Hold time x[n] PEAK NT f[n] AT RT g[n] Depth of Cut, Floor or Ratio Control Rane (2003)

28 28 De-esser Reduktion der Zischgeräusche Unterschied zum Kompressor: Frequenzabhängige Verarbeitung

29 29 Let's rock Verzerren der Signale einer elektrischen Gitarre Ursprünglich: Röhrenverstärker Jetzt: meist digital, mit simulierten Kennlinien Beispiele: Overdrive Distortion Fuzz

30 algorithmen in aku stik und compute rmusik 30 Overdrive Soft Symmetrical Clipping

31 algorithmen in aku stik und compute rmusik 31 Distortion Harte symmetrische Übersteuerung

32 32 Asymmetrische Kennlinie Fuzz Beispiel (Tube Distortion): f x = x Q Q d x Q 1 e 1 e dq Q 0, x Q Q= 0.2 d=8

33 33 (Sub)-Harmonische

34 34 Exciter Betonung bestimmter Frequenzbereiche um Klangveränderungen hervorzurufen Beispiel: APHEX Aural Exciter

35 35 Klirrfaktor k Total Harmonic Distortion (THD): k= n=2 A n 2 A 1 2 n=2 A n 2 = A k 2 n=1 A n 2 =1,2, N k= k 2 2 k 3 2 k N 2 Total Harmonic Distortion + Noise (THD+N): THD N = E out E in E out X out f = X in f H notch f Signal In Noise And Distortion (SINAD) THD+N in db

36 36 THD Beispiel Amp1_ch01amp0.0freq1000.0_adc0.wav signal search for peak range peak found max of noise threshold of peak energy bins above threshold amp in db f in Hz THD= % x 10 4

37 37 Weiterführende Literatur W. M. G.W. J. J. Rugh. Nonlinear System Theory. The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1981, ISBN: Schetzen. The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Robert Krieger Publishing 1980 McNally. Dynamic range control of digital audio signals. J. Audio Eng. Soc., 32 (5): , Mai 1984 Challuper. Aural Exciter and Loudness Maximizer: What s Psychoacoustic about Psychoacoustic Processors?. presented at the 109 th Convention of AES, Sept. 2000