3 Numerische Behandlung der Tschebyscheff-Approximation

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1 Approximationstheorie 81 3 Numerische Behandlung der Tschebyscheff-Approximation Die Bestapproximation bezüglich einer Funktion f C(K) aus einem Haarschen Unterraum V C(K) läßt sich i.a. nicht in geschlossener Form angeben. Daher greift man auf Iterationsverfahren zurück. Man unterscheidet (1) Abstiegsverfahren (descent methods) : Erzeuge Funktionenfolge mit monoton fallendem Abstand zu f. Approximationsproblem als Optimierungsaufgabe mit unendlich vielen Nebenbedingungen. (2) Aufstiegsverfahren (ascent methods) : Erzeuge Funktionenfolge zusammen mit Folge von Referenzmengen und somit Folge unterer Schranken für den Fehler der Bestapproximation. Diese soll in jedem Schritt zunehmen. Wichtigster Vertreter: Remez-Algorithmus a. a Evgeny Yakovlevich Remez, russischer Mathematiker, Numerische Behandlung der Tschebyscheff-Approximation TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

2 Approximationstheorie 82 im Folgenden: Remez-Algorithmus für die Haarschen Unterräume P n von C[a, b], alles reell. Beim Remez-Algorithmus wird, im Falle dim V = n, in jedem Iterationsschritt ein Approximationsproblem auf einer (n + 1)-elementigen Menge K gelöst. Beachte: dies stellt den einfachsten nichttrivialen Fall dar, denn damit V ein n-dimensionaler Unterraum von C(K) ist, muss K mindestens n + 1 Punkte enthalten. Andernfalls reduziert sich die Approximationsaufgabe zu einer Interpolationsaufgabe. 3 Numerische Behandlung der Tschebyscheff-Approximation TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

3 Approximationstheorie Der Satz von Stiefel Spezialfall: K = {x 1, x 2,..., x n } (n-elementig). C(K) R n C(K) R n f(x 1 ) f. f(x n ) (normerhaltend) 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

4 Approximationstheorie 84 Lemma 3.1 Sei V ein n-dimensionaler Haarscher Unterraum von C[a, b]. Sei ferner K = {x 0, x 1,..., x n } mit a x 0 < x 1 < < x n b und f K := max 0 i n f(x i). Dann ist die Bestapproximation an f C[a, b] aus V bezüglich K gerade die Lösung u der Interpolationsaufgabe u(x i ) = f(x i ) ( 1) i η, i = 0, 1,..., n, (3.1) mit passendem η R. Ferner ist f u K = η. 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

5 Approximationstheorie 85 Lemma 3.2 Sei {v 1,..., v n } eine Basis des Haarschen Unterraumes V von C[a, b], K = {x 0, x 1,..., x n } und u wie in Lemma 3.1. (a) Die Koeffizienten von u = n k=1 α kv k und η sind die Lösungen des linearen Gleichungssystems n α k v k (x i ) + ( 1) i η = f(x i ) i = 0, 1,..., n, k=1 oder v 1 (x 0 )... v n (x 0 ) ( 1) 0. v 1 (x n )... v n (x n ) ( 1) n α 1. α n η = f(x 0 ). f(x n ). 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

6 Approximationstheorie 86 (b) Die Lösungskomponente η dieses LGS besitzt die Darstellung η = n i=0 β if(x i ) mit Koeffizienten β i = ( 1) n+1+i det[v k (x j )] 1 k n;0 j n,j i det[v k (x j ) ( 1) j ] 1 k n;0 j n, i = 0, 1,..., n. Insbesondere sind diese unabhängig von f. (c) Das lineare Funktional l : C(K) R, g n β i g(x i ) (3.2) i=0 erfüllt l(v) = 0 v V, l = 1, sowie l(f u) = f u K. Normiert man sign β i = ( 1) i, so heißt l das den Punkten x 0, x 1,..., x n zugeordnete Funktional. 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

7 Approximationstheorie 87 Aufgabe: Man bestimme das den Punkten { 1, 0, 1} zugeordnete Funktional für V = span{1, e x }. Wie lautet die Bestapproximation an f(x) = x aus V bezüglich { 1, 0, 1}? Satz 3.3 (Stiefel, 1959) Es seien a x 0 < x 1 < < x n+1 b, V = P n, f C[a, b] und f K := max f(x i). 0 i n+1 Das den Punkten x 0,..., x n+1 zugeordnete Funktional l ist durch l(g) = P n+1 i=0 λ ig(x i ) P n+1 i=0 ( 1)i λ i λ i := Y (x i x j ) 1 n+1 j=0 j i gegeben. Die Bestapproximation p an f aus P n bezüglich K erfüllt die Interpolationsbedingungen mit η := l(f) = f p K. p(x i ) = f(x i ) ( 1) i η, i = 0,..., n + 1, 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

8 Approximationstheorie 88 Bei der praktischen Durchführung koppelt man die Berechnung des Interpolationspolynoms mit der von η. Seien q, q 0 P n+1 die Lösungen der Interpolationsaufgaben Schreibt man q(x i ) = f(x i ), q 0 (x i ) = ( 1) i, i = 0, 1,..., n + 1. q(x) = αx n+1 + q(x), q 0 (x) = α 0 x n+1 + q 0 (x), mit q, q 0 P n, so ist η = α/α 0 und p := q ηq 0 die Lösung des Approximationsproblems. Dies folgt aus (Lagrange-Darstellung) α α 0 = n+1 i=0 λ if(x i ) n+1 i=0 λ i( 1) i = l(f) = η und p(x i) = f(x i ) η( 1) i. 3.1 Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

9 Approximationstheorie 89 Aufgabe: Man bestimme das Funktional zur Approximation in P 1 auf den Punkten { 1, 0, 1} und die Bestapproximation an f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, aus P 1 bezüglich g K = max{ g( 1), g(0), g(1) }. Lemma 3.4 Sei f C[a, b] und a x 0 < x 1 < < x n+1 b. Für die Lösung p des diskreten Approximationsproblems aus Satz 3.3 gelte η = f p K c > 0. Dann gilt für i = 0, 1,..., n x i+1 x i δ mit einer nur von f, c und V abhängenden Größe δ > Der Satz von Stiefel TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

10 Approximationstheorie Der Remez-Algorithmus Sei wieder V reeller n-dimensionaler Haarscher Unterraum von C[a, b]. Zu den Punkten a x (0) 0 < x (0) 1 < < x (0) n b (3.3) sei u (0) V die beste (diskrete) Approximation an f C[a, b] aus V. Laut Lemma 3.1 bilden die Punkte in (3.3) eine Alternante bezüglich u (0) und der diskreten Approximationsaufgabe. Bezüglich u (0) und der entsprechenden kontinuierlichen Approximationsaufgabe auf [a, b] bilden sie i.a. lediglich eine Referenz. Nach dem Satz von de la Vallée-Poussin (Satz??) gilt in diesem Fall zumindest f u (0),[a,b] min 0 i n f(x i) u (0) (x i ) =: η (0). 3.2 Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

11 Approximationstheorie 91 Idee: Ersetze die Punkte {x (0) i } m i=0 durch einen neuen Satz {x(1) i } m i=0 derart, dass die Fehlerfunktion f u 0) an diesen ebenfalls alterniert, aber mit einem größeren Betrag als η (0). Berechne nun die Bestapproximation an f bezüglich der neuen Referenz {x (1) i } m i= Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

12 Approximationstheorie 92 Algorithmus 1 : Remez-Algorithmus. 1 Gegeben : f C[a, b], reeller Haarscher Unterraum V C[a, b], dim V = n. Wähle n + 1 Punkte a x (0) 0 < x (0) 1 < < x (0) n b und bestimme zu diesen die beste diskrete Approximation u (0) V an f m := 0, e (0) := f u (0), η (0) := f u (0) (0),{x i } while e (m) η (m) > tol e (m) do m := m + 1 Bestimme neue alternierende Referenzpunkte a x (m) 0 < x (m) 1 < < x (m) n b mit min 0 i n e(m 1) (x (m) i ) η (m 1), 6 7 wobei jedoch e (m 1) (x (m) i ) = e (m 1) für mindestens ein i. Bestimme zu {x (m) i } n i=0 die diskrete Bestapproximation u (m) V. e (m) := f u (m), η (m) := f u (m) (m),{x i } 3.2 Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

13 Approximationstheorie 93 Wesentlicher Vorgang: Referenzaustausch Für Konvergenz erforderlich: Hinzunahme eines Punktes ξ mit e (m 1) (ξ) = e (m 1). (3.4) Austausch weiterer Punkte nicht erforderlich, bewirkt jedoch wesentliche Bescheunigung der Konvergenz. Wir konzentrieren uns im Weiteren auf die Darstellung, wie ein Extremalpunkt ξ in die Referenz aufgenommen wird, der (3.4) erfüllt. Beachte: Alternieren der Vorzeichen darf durch Austausch nicht verlorengehen. Zur Vereinfachung setzen wir x (m 1) 1 := a, x (m 1) n+1 := b, m = 1, 2, Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

14 Approximationstheorie 94 Normalfall: Es gibt einen Index j {0,..., n} mit sign e (m 1) (ξ) = sign e (m 1) (x (m 1) j ) und In diesem Fall setzen wir x (m 1) j 1 ξ x (m 1) j+1. x (m) i := { ξ falls i = j, x (m 1) i falls i j, i = 0, 1,..., m. 3.2 Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

15 Approximationstheorie Ausnahmefall: (Neuer Referenzpunkt am linken Rand) Hier ist ξ < x (m 1) 0 und sign e (m 1) (ξ) = sign e (m 1) (x (m 1 0 ) und wir setzen { ξ falls i = 0, x (m) i := x (m 1) i 1 i = 1, 2,..., n. 2. Ausnahmefall: (Neuer Referenzpunkt am rechten Rand) Hier ist und wir setzen ξ > x (m 1) n und sign e (m 1) (ξ) = sign e (m 1) (x (m 1 n ) x (m) i := { ξ falls i = n, x (m 1) i+1 i = 0, 1,..., n Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

16 Approximationstheorie 96 Bemerkung 3.5 Damit ist der sog. einfache Remez-Algorithmus beschrieben. Wenn man alle Punkte durch bessere ersetzen will, geht man bei den übrigen Punkten entsprechend vor. Satz 3.6 Sei V ein n-dimensionaler Haarscher Unterraum von C[a, b]. Dann konvergiert die vom Remez-Algorithmus erzeugte Folge von Näherungslösungen {u (m) } gegen die Bestapproximation. 3.2 Der Remez-Algorithmus TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09