Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Trigramme... Übersicht. Terminologie Repräsentation von Graphen

Transkript

1 atenstrukturen und lgorithmen Vorlesung 14+15: lementare algorithmen (K22,K24.2) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification roup Juni Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 1/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 2/81 Softwarewettbewerb Softwarewettbewerb 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Trigramme... sind wichtig für automatische Verarbeitung natürlicher Sprache: Trainingscorpus liefert Trigramme mit nzahl Vorkommen atenstruktur speichert diese Informationen beantwortet nfragen auf neuen ingabedaten 1 Trainingscorpus 2 nfragen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 3/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 4/81

2 Softwarewettbewerb Softwarewettbewerb T TrigramStorage Ihre ufgabe TrigramStorage in TrigramStorage s speichert eine nsammlung von Trigrammen und den dazugehörigen ounts und bietet folgende Operationen: void insert(s, Trigramndount t) fügt das Trigramm t in s ein. QueryResult query(s, Trigram t1, Trigram t2) gibt das Maximum und die Summe der ounts aller Trigramme t in s, die lexikographisch zwischen t1 und t2 liegen. void build(s) wird nach dem infügen aller lemente aufgerunfen und kann die interne Repräsentation der aten ändern, um schneller auf nfragen antworten zu können. Schreiben Sie eine Implementierung des T TrigramStorage in Java, der nfragen so schnell wie möglich beantwortet. Regeln bis zu (ca.) Trigramme und (ca.) nfragen Zeit für insert und build wird nicht gezählt, nur die nfragezeiten Java 7 keine nicht-elementaren ibliotheksfunktionen benutzen (kein java.util.sort, kein java.util.hash, etc.) kein Source ode aus anderen Quellen etails (ramework, eispiel-implementierung): Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 5/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 6/81 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen ie edeutung von werden in vielen (Informatik-)nwendungen verwendet: eispiele (omputer-)netzwerke Webseiten und ihre Vernetzung mittels Links arstellung von topologischen Informationen (Karten,... ) arstellung von elektronischen Schaltungen Vorranggraphen (precedence graph), blaufpläne,... Semantische Netze (z.. ntity-relationship-iagramme) Wir werden uns auf fundamentale raphalgorithmen konzentrieren. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 7/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 8/81

3 erichteter raph erichteter raph erichteter raph in gerichteter raph (auch: digraph) ist ein Paar (V, ) mit einer Menge V von Knoten (vertices) und einer Menge { (u, v) u, v V } von Kanten (edges). eispiel V = {,..., } = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } Ungerichteter raph in ungerichteter raph ist ein Paar (V, ) mit Kanten Knoten einer Menge V von Knoten (vertices) und einer Menge {{u, v} u, v V, u v} von Kanten (edges). uch für ungerichtete Kanten verwenden wir die Notation (u, v). djazent Knoten v V ist adjazent zu u V, wenn (u, v). und sind adjazent, wie auch z.. und, und und. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 9/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 10/81 bei Teilgraph in Teilgraph (subgraph) eines = (V, ) ist ein raph = (V, ) mit: V V und. ußerdem ist V V wegen der rapheigenschaft von. Ist V V und, so heißt echter (proper) Teilgraph. bei Symmetrischer raph er raph heißt symmetrisch, wenn aus (u, v) folgt (v, u). Zu jedem ungerichteten gibt es einen korrespondierenden symmetrischen igraphen. eispiel: Symmetrischer igraph eispiel: Rote Knoten und Kanten bilden einen (echten) Teilgraphen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 11/81 Vollständiger raph in ungerichteter raph ist vollständig, wenn jedes Paar von Knoten durch eine Kante verbunden ist. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 12/81

4 bei Transponieren Transponiert man = (V, ) (transpose graph), so erhält man T = (V, ) mit (v, u) gdw. (u, v). In T ist die Richtung der Kanten von umgedreht. Pfade und Zyklen Pfad (Weg) in Pfad der Länge k vom Knoten u V zum Knoten w V in = (V, ) ist eine olge v 0 v 1 v 2... v k 1 v k von Knoten v i V mit (v i, v i+1 ), v 0 = u und v k = w. ie Länge eines Pfades ist die nzahl der durchlaufenen Kanten. inen Pfad der Länge 0 nennen wir leer. in Pfad mit v i v j für alle i j heißt einfach. Knoten w ist erreichbar von u, wenn es einen Pfad von u nach w gibt. eispiel: in raph und sein transponierter raph Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 13/81 Pfade und Zyklen Zyklus Schlinge und sind Pfade, aber keine einfache Pfade. und sind einfache Pfade. Zyklen in gerichtenen in Zyklus in einem gerichteten raph ist ein nicht-leerer Pfad bei dem der Startknoten auch der ndknoten ist. in Zyklus vv der Länge 1 heißt Schlinge (self-loop). in Zyklus v 0... v k ist einfach wenn v 1... v k paarweise verschieden sind. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 14/81 in gerichteter raph ist azyklisch, wenn er keine Zyklen hat. Zyklen in ungerichteten Zusammenhangskomponenten in ungerichteten in Zyklus in einem ungerichteten raph ist ein Pfad v 0... v k mit k 3, v 0 = v k und v 1,..., v k paarweise verschieden. in ungerichteter raph ist azyklisch, wenn er keine Zyklen hat. Zusammenhangskomponenten in ungerichteten Sei ein ungerichteter raph. heißt zusammenhängend (connected), wenn jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. ine Zusammenhangskomponente (connected component, ) von ist ein maximaler (d.h. nicht erweiterbarer) zusammenhängender Teilgraph von. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 15/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 16/81

5 Zusammenhangskomponenten in gerichteten Zusammenhangskomponenten in gerichteten Sei ein gerichteter raph. heißt stark zusammenhängend (strongly connected), wenn jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. heißt schwach zusammenhängend (weakly connected), wenn der zugehörige ungerichtete raph (wenn man alle Kanten ungerichtet macht) zusammenhängend ist. ine starke Zusammenhangskomponente (strongly connected component, S) von ist ein maximaler stark zusammenhängender Teilgraph von. ie Zerlegung eines in seine Zusammenhangskomponente ist eindeutig. Ungerichtete, zusammenhängende I J H in ungerichteter raph; Was sind die Zusammenhangskomponenten? Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 17/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 18/81 Ungerichtete, zusammenhängende Starke Zusammenhangskomponenten I J H in igraph und seine Ss. ie Zusammenhangskomponenten. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 19/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 20/81

6 Zusammenhang emerkungen in aum (zusammenhängender azyklischer raph) mit n Knoten hat n 1 Kanten. in ungerichteter raph mit n Knoten und weniger als n 1 Kanten kann nicht zusammenhängend sein. in ungerichteter raph mit n Knoten und mindestens n Kanten muss einen Zyklus enthalten. 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 21/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 22/81 Repräsentation von : djazenzmatrix Repräsentation von : djazenzliste Sei = (V, ) mit V = n, = m und V = { v 1,..., v n }. djazenzmatrix ie djazenzmatrix-arstellung eines ist durch eine n n boolesche Matrix gegeben, wobei (i, j) = 1, wenn (v i, v j ), sonst 0. Wenn ungerichtet ist, ergibt sich symmetrisches (d. h. = T ). ann muss nur die Hälfte gespeichert werden. Platzbedarf: Θ(n 2 ). djazenzliste ei der arstellung als rray von djazenzlisten gibt es ein durch die Nummer des Knoten indiziertes rray, das jeweils verkettete Listen (djazenzlisten) enthält. er i-te rrayeintrag enthält alle Kanten von, die von v i ausgehen. Ist ungerichtet, dann werden Kanten doppelt gespeichert. Kanten, die in nicht vorkommen, benötigen keinen Speicherplatz. Platzbedarf: Θ(n + m). Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 23/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 24/81

7 arstellung eines ungerichteten djazenzliste arstellung eines gerichteten djazenzliste djazenzmatrix Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 25/ djazenzmatrix Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 26/81 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche durchlauf 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen durchlauf durchlauf Viele lgorithmen, die wir später kennenlernen werden, untersuchen jeden Knoten (und jede Kante). s gibt verschiedene durchlaufstrategien (traversal strategies), die jeden Knoten (oder jede Kante) besuchen: reitensuche ies sind Verallgemeinerungen von Strategien zur aumtraversierung. a zyklisch sein können, müssen wir uns aber alle bereits gefundenen Knoten merken. Im olgenden nehmen wir die djazenzlisten-arstellung an. ann ist der Zeitaufwand von lgorithmen in O( V + ). Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 27/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 28/81

8 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche durchlauf 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen reitensuche durchlauf reitensuche (readth-irst Search, S) m nfang seien alle Knoten als nicht-gefunden (WHIT) markiert. ie zugrundeliegende Strategie ist: Markiere den aktuellen Knoten v als gefunden (RY). Suche gleichzeitig aus allen gefundenen Knoten weiter: Markiere alle ihrer noch nicht-gefundenen Nachfolger als gefunden und markiere die Knoten selbst als abgeschlossen (LK). Man erhält die Menge aller Knoten, die vom Startknoten aus erreichbar sind. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 29/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 30/81 durchlauf durchlauf reitensuche: eispiel eginn der reitensuche rforsche alle folgenden nicht-gefundenen Knoten reitensuche: Implementierung 1 void S(List adj[n], int start, int &color[n]) { 2 Queue wait; // zu verarbeitende Knoten 3 color[start] = RY; // Knoten start ist noch zu verarbeiten 4 wait.enqueue(start); 5 while (!wait.ismpty()) {// es gibt noch unverarbeitete Knoten 6 int v = wait.dequeue(); // nächster unverarbeiteter Knoten 7 foreach (w in adj[v]) { 8 if (color[w] == WHIT) { // neuer ("ungefundener") Knoten 9 color[w] = RY; // w ist noch zu verarbeiten 10 wait.enqueue(w); 11 } 12 } 13 color[v] = LK; // v ist abgeschlossen 14 } 15 } rforsche alle folgenden nicht-gefundenen Knoten ertig! 17 void completes(list adj[n], int n) { 18 int color[n] = WHIT; // noch kein Knoten ist gefunden worden 19 for (int i = 0; i < n; i++) 20 if (color[i] == WHIT) S(adj, n, i, color); 21 } Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 31/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 32/81

9 durchlauf igenschaften der reitensuche Knoten werden in der Reihenfolge mit zunehmendem kürzesten bstand (Kantendistanz) vom Startknoten aus besucht. Nachdem alle Knoten mit bstand d verarbeitet wurden, werden die mit d + 1 angegangen. ie Suche terminiert, wenn in bstand d keine neuen Knoten auftreten. ie Tiefe des Knotens v im reitensuchbaum ist seine kürzeste Kantendistanz zum Startknoten. ie zu verarbeitenden Knoten werden als IO-Queue (first-in first-out) organisiert. Theorem (Komplexität der reitensuche) ie Zeitkomplexität ist O( V + ), der Platzbedarf Θ( V ). 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche durchlauf 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 33/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 34/81 durchlauf durchlauf : eispiel (epth-irst Search, S) m nfang seien alle Knoten als nicht-gefunden (WHIT) markiert. ie zugrundeliegende Strategie ist: Markiere den aktuellen Knoten v als gefunden (RY). Solange es noch eine Kante (v, u) mit nicht-gefundenem Nachfolger u gibt: Suche rekursiv von u aus, d. h.: rforsche Kante (u, w), besuche w, forsche von dort aus, bis es nicht mehr weiter geht. Markiere u als abgeschlossen (LK). acktracke von u nach v. eginn der rforsche einen Knoten Markiere v als abgeschlossen (LK). Man erhält wieder die Menge aller Knoten, die vom Startknoten aus erreichbar sind. rforsche einen Knoten Sackgasse! acktracke und erforsche den nächsten Knoten Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 35/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 36/81

10 durchlauf durchlauf : eispiel : eispiel Nächster Zustand wurde bereits gefunden acktracke und erforsche den nächsten Knoten Nächster Zustand wurde bereits gefunden acktracke und erforsche den nächsten Knoten wurde bereits gefunden acktracke und erforsche den nächsten Knoten rforsche den nächsten Knoten ist eine Sackgasse acktracke und erforsche den nächsten Knoten ist eine Sackgasse acktracke und erforsche den nächsten Knoten eide nächsten Knoten wurden bereits gefunden ertig! Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 37/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 38/81 : Implementierung durchlauf igenschaften der durchlauf 1 void S(List adj[n], int start, int &color[n]) { 2 color[start] = RY; // start ist noch zu verarbeiten 3 foreach (w in adj[start]) { 4 if (color[w] == WHIT) { // neuer ("ungefundener") Knoten 5 S(adj, w, color); 6 } 7 } 8 color[start] = LK; // start ist abgeschlossen 9 } 11 void completes(list adj[n], int n, int start) { 12 int color[n] = WHIT; // noch kein Knoten ist gefunden worden 13 for (int i = 0; i < n; i++) 14 if (color[i] == WHIT) S(adj, i, color); 15 } rforsche einen Pfad so weit wie möglich bevor backtracking. ie zu verarbeitenden Knoten werden in LIO-Reihenfolge (last-in first-out) geprüft. s gibt zwei Verarbeitungsmöglichkeiten für einen Knoten: 1. Wenn der Knoten entdeckt wird. 2. Wenn der Knoten als abgearbeitet markiert wird (und alle seine Nachfolger entdeckt werden). iese letztgenannte Möglichkeit macht beliebt. Theorem (Komplexität der ) Zeitkomplexität: O( V + ), Platzkomplexität: Θ( V ). Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 39/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 40/81

11 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Irrgärten as eben geschieht den Menschen, die in einem Irrgarten hastig werden: ben die ile führt immer tiefer in die Irre. [Lucius nnaeus Seneca (4 n. hr. 65 n. hr.)] Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 41/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 42/81 eschichte wurde bereits vor Jahrhunderten formal beschrieben als ein Verfahren zum urchqueren von Labyrinthen. Labyrinth als raph: Knoten: Stellen, an denen mehr als ein Weg gewählt werden kann Kanten: Wege zwischen Knoten ingang als spezieller Knoten start Ziel als spezieller Knoten target Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 43/81 rreichbarkeitsanalyse: S Implementierung 1 bool S(List adj[n], int start, int &color[n], 2 int target, List path) { 3 if (start == target){ 4 path.addtront(start); return true; 5 } 6 color[start] = RY; 7 foreach (w in adj[start]) { 8 if (color[w] == WHIT) { 9 if (S(adj, w, color, target, path)) { 10 path.addtront(start); return true; 11 } 12 } 13 } 14 color[start] = LK; 15 return false; 16 } 17 bool reach(list adj[n], int n, int start, int target, 18 List &path) { // path ist leer 19 int color[n] = WHIT; 20 return S(adj, start, color, target, path); 21 } Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 44/81

12 s in ungerichteten 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Zusammenhangskomponenten in ungerichteten Sei ein ungerichteter raph. heißt zusammenhängend (connected), wenn jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. ine Zusammenhangskomponente (connected component, ) von ist ein maximaler (d.h. nicht erweiterbarer) zusammenhängender Teilgraph von. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 45/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 46/81 s in ungerichteten s in ungerichteten Problem inde die Zusammenhangskomponenten (s) eines ungerichteten. Lösung inden des s eines Knotens v: Verwende Tiefen- oder reitensuche, um alle aus v erreichbaren Knoten zu bestimmen. ie Zeitkomplexität ist O( V + ). 1 void S(List adj[n], int start, int &color[n], 2 int leader, int &cc[n]) { 3 color[start] = RY; 4 foreach (next in adj[start]) 5 if (color[next] == WHIT) 6 S(adj, next, color, leader, cc); 7 color[start] = LK; 8 cc[start] = leader; // speichere das von start 9 } 11 void connomponents(list adj[n], int n, int &cc[n]) { 12 int color[n]= WHIT; 13 for (int v = 0; v < n; v++) 14 if (color[v] == WHIT) // weitere Komponente 15 S(adj, v, color, v, cc); 16 } // usgabe in cc: cc[v] = Komponente von Knoten v Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 47/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 48/81

13 Ss in gerichteten 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Zusammenhangskomponenten Sei ein gerichteter raph. heißt stark zusammenhängend (strongly connected), wenn jeder Knoten von jedem anderen aus erreichbar ist. ine starke Zusammenhangskomponente (strongly connected component, S) von ist ein maximaler (d.h., nicht erweiterbarer) stark zusammenhängender Teilgraph von. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 49/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 50/81 Starke Zusammenhangskomponenten (Ss) Kondensationsgraph ie starken Zusammenhangskomponenten von induzieren den Kondensationsgraph. Kondensationsgraph in igraph und seine Ss. Sei = (V, ) ein gerichteter raph mit k Ss S i = (V i, i ) für 0 < i k. er Kondensationsgraph = (V, ) ist definiert als: V = { V 1,..., V k }. (V i, V j ) gdw. i j und es gibt (v, w) mit v V i und w V j. er Kondensationsgraph ist azyklisch. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 51/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 52/81

14 Kondensationsgraph: eispiel Ss und Transponierung Transponieren er transponierte raph von = (V, ) ist T = (V, ) mit (v, w) gdw. (w, v). In T ist die Richtung der Kanten von gerade umgedreht. Lemma: eziehung zwischen und T in igraph und seine Kondensation. 1. ie Ss von und T sind die selben. 2. ie Kondensation und die Transposition kommutieren, d. h.: ( ) T = ( T ). Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 53/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 54/81 lgorithmus zum inden von Ss Kosaraju-Sharir lgorithmus findet Ss in zwei Phasen: 1. ühre ein S auf durch, wobei alle Knoten beim bschließen (d. h. wenn der Knoten LK gefärbt wird) auf einem Stack S gespeichert werden. 2. ärbe alle Knoten wieder WHIT. 3. Wiederhole solange S noch weiße Knoten enthält: Wähle den obersten noch weißen (Leiter-)Knoten v vom S. ühre S mit Startknoten v auf dem transponierten T aus und speichere für jeden besuchten Knoten den Leiterknoten v als Repräsentanten seines Ss. Leiter einer S in Knoten v heißt Leiter (leader), wenn er als letzter Knoten aus seinem S bei einer S LK gefärbt wird. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 55/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 56/81

15 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 57/81 1 void S1(List adj[n], int start, int &color[n], Stack &S) { 2 color[start] = RY; 3 foreach (w in adj[start]) 4 if (color[w] == WHIT) S1(adj, w, color, S); 5 color[start] = LK; S.push(start); 6 } 7 void S2(List adj[n], int start, int &color[n], int leader, 8 int &scc[n]) { 9 color[start] = RY; 10 foreach (w in adj[start]) 11 if (color[w] == WHIT) S2(adj, w, color, leader, scc); 12 color[start] = LK; scc[start] = leader; 13 } 14 void kosaraju-sharir(list adj[n], int n) { 15 int color[n] = WHIT; Stack S; int scc[n]; 16 for (int i = 0; i < n; i++) // Phase 1 17 if (color[i] == WHIT) S1(adj, i, color, S); 18 List adj_t = adj^t; // Transponiere 19 for (int i = 0; i < n; i++) color[i] = WHIT; // Phase 2 20 while (!S.empty()){ // Phase 3 21 int v = S.pop(); 22 if (color[v] == WHIT) S2(adj_T, v, color, v, scc); 23 } 24 } Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 58/81 Kosaraju-Sharir lgorithmus: eispiel Ursprünglicher igraph Stack am nde der Phase 1 Transponierter raph In Phase 2 gefundene starke Komponenten Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 59/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 60/81

16 Korrektheit Komplexität Zeitkomplexität ie Worst-ase Zeitkomplexität vom Kosaraju-Sharir lgorithmus zum inden von Ss in einem gerichteten ist in Θ( V + ). Seine Speicherkomplexität ist in Θ( V ). eweis ie S über und T benötigen jeweils Θ( V + ). er transponierte raph T kann in Θ( V + ) gebildet werden. er Stack benötigt Θ( V ) Speicher. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 61/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 62/81 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 63/81 erichtete azyklische erichtete azyklische erichtete azyklische (directed acyclic graph, ) sind eine wichtige Klasse von : Viele Probleme lassen sich naturgemäß mit Hilfe von s formulieren. Scheduling: Vorranggraphen beschreiben, welche ufgaben erledigt sein müssen, bevor ein nachfolgender Schritt beginnen kann. in Zyklus in solch einem Vorranggraphen wäre ein eadlock. Viele Probleme haben auf s eine niedrigere Komplexität als auf igraphen. in entspricht einer partiellen Ordnung < auf den Knoten: ine Kante (v, w) besagt: v > w. a eine partielle Ordnung anti-symmetrisch ist, kann sie keinen Zyklus enthalten. Wir betrachten: Topologische Sortierung und Kritische-Pfad-nalyse. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 64/81

17 Topologische Ordnung Topologische Ordnung Sei = (V, ) ein gerichteter raph mit n Knoten. ine topologische Ordnung von ist eine Zuordnung topo : V { 1,..., n }, so dass: für jede Kante (v, w) gilt: topo(v) > topo(w). topo(v) heißt der topologische Zahl von v. Lemma 1. ür einen igraph mit einem Zyklus existiert keine topologische Ordnung. 2. Jeder dagegen hat mindestens eine topologische Ordnung. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 65/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 66/81 Topologische Sortierung: eispiel 1 Topologische Sortierung: eispiel 1 Quelle: Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 67/81 Quelle: Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 68/81

18 Topologische Sortierung: eispiel 2 H bhängigkeitsgraph I Nr ufgabe Hängt ab von choose clothes I dress, H eat breakfast,, leave, make coffee I make toast I pour juice I H shower I I wake up ibt es einen Schedule für dieses Problem?. h. kann man eine Reihenfolge finden, um alle ufgaben ausführen zu können? Topologische Sortierung: Implementierung 1 void S(List adj[n], int start, int &color[n], 2 int &toponum, int &topo[n]) { 3 color[start] = RY; 4 foreach (next in adj[start]) { 5 // if (color[next] == RY) throw "raph ist zyklisch"; 6 if (color[next] == WHIT) { 7 S(adj, next, color, toponum, topo); 8 } 9 } 10 topo[start] = ++toponum; 11 color[start] = LK; 12 } 14 // usgabe der topologischen Zahl von Knoten v in topo[v] 15 void toposort(list adj[n], int n, int &topo[n]) { 16 int color[n] = WHIT, toponum = 0; 17 for (int v = 0; v < n; v++) 18 if (color[v] == WHIT) 19 S(adj, v, color, toponum, topo); 20 } Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 69/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 70/81 Topologische Sortierung: rgebnis eispiel I H I H wake choose shower dress make make pour eat leave up clothes coffee toast juice breakf bhängigkeitsgraph, der topologischen Ordnung entsprechend gezeichnet. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 71/81 Korrektheit und Komplexität Theorem er lgorithmus terminiert, und wenn er terminiert enthält das rray topo eine topologische Ordnung von igraph. eweis: 1. ie S besucht jeden Knoten, daher sind die Zahlen in dem rray topo alle verschieden im ereich 1 bis V. 2. Sei (v, w). w ist kein Vorgänger von v im S-aum, sonst wäre zyklisch. aher ist w LK, wenn topo[v] ein Wert zugewiesen wird. lso wurde topo[w] schon vorher ein Wert zugewiesen. a toponum immer größer wird, folgt topo[v] > topo[w]. Zeitkomplexität ine topologische Ordnung kann in O( V + ) bestimmt werden. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 72/81

19 2 Repräsentation von 3 durchlauf reitensuche 4 rreichbarkeitsanalyse s in ungerichteten Ss in gerichteten Topologische Sortierung in gerichteten azyklischen Kritische-Pfad-nalyse in gewichteten gerichteten azyklischen Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 73/81 ewichtete Knotengewichteter raph in knotengewichteter raph ist ein Tripel (V,, W ), wobei: (V, ) ein gerichteter oder ungerichteter raph ist, und W : V IR ewichtsfunktion. W (v) ist das ewicht des Knotens v. Kantengewichteter raph in (kanten-)gewichteter raph ist ein Tripel (V,, W ), wobei: (V, ) ein gerichteter oder ungerichteter raph ist, und W : IR ewichtsfunktion. W (e) ist das ewicht der Kante e. in knotengewichteter raph (V,, W ) lässt sich in einen kantengewichteten (V,, W ) überführen, indem alle von einem Knoten v ausgehenden Kanten e = (v, ) das ewicht W (e) = W (v) erhalten. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 74/81 ewichtete : arstellung ewichtete werden ebenso als djazenzlisten oder djazenzmatrix dargestellt: ei knotengewichteten wird die Zusatzinformation zu den Knoten üblicherweise in einem weiteren rray gespeichert vgl. int color[n]; bei S oder S. Kantengewichte können bei der djazenzmatrixdarstellung direkt in der Matrix gespeichert werden. in besonderer Wert, etwa besagt, dass keine Kante existiert. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 75/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 76/81

20 as Kritische-Pfad-Problem: inführung as ewicht eines Pfades ist die Summe der Kantengewichten der besuchten Kanten, oder die Summe der Knotengewichte der besuchten Knoten. Kritischer-Pfad-Problem inde den längsten Pfad (bezogen auf das esamtgewicht) in einem (kanten- oder knoten-)gewichteten. Wir betrachten hier nur knotengewichtete s. eispiel (nwendung) Wie lange benötigt man für die usführung der bereits vorgestellten ufgaben mindestens, wenn für jede ufgabe eine auer gegeben ist und unabhängige ufgaben gleichzeitig erledigt werden können? as Kritische-Pfad-Problem: nwendung rüheste Startzeit- und ndzeitpunkt inde den frühestmöglichen eendigungszeitpunkt (earliest finish time, eft) für eine Menge voneinander abhängiger ufgaben. Jede ufgabe hat eine (nicht-negative) auer. er früheste Startzeitpunkt (earliest start time, est) für ufgabe v (est(v)) ist 0 wenn v keine bhängigkeiten hat; andernfalls: est(v) ist das Maximum der frühesten ndzeitpunkte seiner bhängigkeiten. er früheste ndzeitpunkt (earliest finish time) für ufgabe v (eft(v)) ist gleich est(v) plus der auer von v. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 77/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 78/81 as Kritische-Pfad-Problem: nwendung Kritische Pfad er kritische Pfad ist eine olge von ufgaben v 0,..., v k, so dass v 0 keine bhängigkeiten hat. v i abhängig von v i 1 ist, wobei est(v i ) = eft(v i 1 ). eft(v k ) das Maximum über alle ufgaben ergibt. ann gibt es eine kritische bhängigkeit zwischen v i 1 und v i, d.h. eine Verzögerung in v i 1 führt zu einer Verzögerung in v i. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 79/81 Kritische-Pfad-nalyse: Implementierung 1 // Knotengewichte in duration. 2 // usgabe: eft, kritischer Pfad kodiert in critep 3 void S(List adj[n], int start, int &color[n], 4 int duration[n], int &critep[n], int &eft[n]) { 5 color[start] = RY; critep[start] = -1; int est = 0; 6 foreach (next in adj[start]) { 7 if (color[next] == WHIT) 8 S(adj, next, color, duration, critep, eft); 9 if (eft[next] >= est) { 10 est = eft[next]; critep[start] = next; 11 } 12 } 13 eft[start] = est + duration[start]; 14 color[start] = LK; 15 } 16 void critpath(list adj[n], int n, 17 int duration[n], int &critep[n], int &eft[n]){ 18 int color[n] = WHIT; 19 for (int i = 0; i < n; i++) 20 if (color[i] == WHIT) 21 S(adj, i, color, duration, critep, eft); 22 } Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 80/81

21 Kritische-Pfad-nalyse: eispiel Kritische-Pfad-nalyse: eispiel fertig I H I H fertig I H wake choose shower dress make make pour eat leave up clothes coffee toast juice breakf auer I H wake choose shower dress make make pour eat leave up clothes coffee toast juice breakf auer eft = = 16. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 81/81 Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen 81/81