Dijkstras Algorithmus: Pseudocode

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1 Dijktra Algorithmu: Peudocode initialize d, parent all node are non-canned while 9 non-canned node u with d[u] < u := non-canned node v with minimal d[v] relax all edge (u,v) out of u u i canned now Behauptung: Am Ende definiert d die optimalen Entfernungen und parent die zugehörigen Wege 361

2 36 Beipiel c b d e f c b d e f a 1 c d e f b f b e d c c f e d c d f b e a a 6 6 b a a a 1 6

3 Korrektheit Annahme: alle Koten nicht-negativ! Wir zeigen: 8v V : I v erreichbar =) v wird irgendwann gecannt I v gecannt =) µ(v)=d[v] 363

4 v erreichbar =) v wird irgendwann gecannt Annahme: v it erreichbar, aber wird nicht gecannt gecannt ungecannt ungecannt z } { z} { z } { = v 1! v 1!! v i 1! v i!! v k = v {z } ein kürzeter v Pfad =) v i 1 wird gecannt =) Kante v i 1! v i wird relaxiert =) d[v i ] < Widerpruch nur Knoten x mit d[x]= werden nie gecannt? 36

5 v erreichbar =) v wird irgendwann gecannt Annahme: v it erreichbar, aber wird nicht gecannt gecannt ungecannt ungecannt z } { z} { z } { = v 1! v 1!! v i 1! v i!! v k = v {z } ein kürzeter v Pfad =) v i 1 wird gecannt =) Kante v i 1! v i wird relaxiert =) d[v i ] < Widerpruch nur Knoten x mit d[x]= werden nie gecannt Up: Spezialfall i = 1? Kann auch nicht ein. v 1 = wird nach Initialiierung gecannt. 36

6 v gecannt =) µ(v)=d[v] Annahme: v gecannt und µ(v) < d[v] OBdA: v it der erte gecannte Knoten mit µ(v) < d[v]. t := Scan-Zeit von v Scan-Zeit < t z } { Scan-Zeit t Scan-Zeit = t z} { z } { = v 1! v 1!! v i 1! v i!! v k = v {z } ein kürzeter v Pfad Alo gilt zur Zeit t: µ(v i 1 )=d[v i 1 ] v i 1! v i wurde relaxiert z} { =) d[v i ] apple d[v i 1 ]+c(v i 1,v i )=µ(v i ) apple µ(v)< d[v] =) v i wird vor v gecannt. Widerpruch! Wieder: Spezialfall i = 1unmöglich. 36

7 Implementierung? initialize d, parent all node are non-canned while 9 non-canned node u with d[u] < u := non-canned node v with minimal d[v] relax all edge (u,v) out of u u i canned now Wichtigte Operation: finde u 366

8 Prioritätlite Wir peichern ungecannte erreichte Knoten in addreierbarer Prioritätlite Q. Schlüel it d[v]. Knoten peichern handle. oder gleich item 36

9 Implementierung BFS mit PQ tatt FIFO Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray // return (d, parent) Initialiierung: d=h,..., i : NodeArray of R [ { } // tentative ditance from root parent=h?,...,?i : NodeArray of NodeId parent[]:= // elf-loop ignal root Q : NodePQ // uncanned reached node d[] := ; Q.inert() 368

10 Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray d = h,..., i; parent[]:= ; d[] := ; Q.inert() while Q 6= / do u := Q.deleteMin u // can u foreach edge e =(u,v) E do canned if d[u]+c(e) < d[v] then // relax d[v]:= d[u]+c(e) parent[v] := u // update tree if v Q then Q.decreaeKey(v) u v ele Q.inert(v) reached return (d, parent) 369

11 Beipiel 3 a b c d e f 1 3 a b c d e f 1 3 a b c d e f a b d e a b d e a b d e 6 6 c f c f c f Operation Queue inert() h(, )i deletemin (, ) hi relax! a h(a,)i relax! 1 d h(a,),(d,1)i deletemin (a, ) h(d, 1)i relax a! 3 b h(b,),(d,1)i deletemin (b, ) h(d, 1)i relax b! c h(c,),(d,1)i relax b! 1 e h(e,6),(c,),(d,1) deletemin (e, 6) h(c, ),(d, 1)i relax e 9! b relax e 8! c h(c,),(d,1)i h(c,),(d,1)i relax e! d h(d,6),(c,)i deletemin (d, 6) h(c, )i relax d! h(c,)i relax d! b h(c,)i deletemin (c, ) hi 3

12 Dijktra: Laufzeit Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray Initialiierung: d=h,..., i : NodeArray of R [ { } // O(n) parent=h?,...,?i : NodeArray of NodeId // O(n) parent[]:= Q : NodePQ // uncanned reached node, O(n) d[] := ; Q.inert() 31

13 Dijktra: Laufzeit Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray d = {,..., }; parent[]:= ; d[] := ; Q.inert() // O(n) while Q 6= / do u := Q.deleteMin // apple n foreach edge e =(u,v) E do // apple m if d[u]+c(e) < d[v] then // apple m d[v]:= d[u]+c(e) // apple m parent[v] := u // apple m if v Q then Q.decreaeKey(v) // apple m ele Q.inert(v) // apple n return (d, parent) 3

14 Dijktra: Laufzeit Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray d = {,..., }; parent[]:= ; d[] := ; Q.inert() // O(n) while Q 6= / do u := Q.deleteMin // apple n foreach edge e =(u,v) E do // apple m if d[u]+c(e) < d[v] then // apple m d[v]:= d[u]+c(e) // apple m parent[v] := u // apple m if v Q then Q.decreaeKey(v) // apple m ele Q.inert(v) // apple n return (d, parent) Ingeamt: T Dijktra = O m T decreaekey (n)+n (T deletemin (n)+t inert (n)) 3

15 Laufzeit Dijktra urprüngliche Implementierung: naiv I inert: O(1) d[v]:= d[u]+c(u, v) I decreaekey: O(1) d[v]:= d[u]+c(u, v) I deletemin: O(n) d komplett durchuchen T Dijktra = O m T decreaekey (n)+n (T deletemin (n)+t inert (n)) T Dijktra9 = O(m 1 + n (n + 1)) = O m + n 33

16 Laufzeit Beere Implementierung mit Binary-Heap-Prioritätliten: I inert: O(log n) I decreaekey: O(log n) I deletemin: O(log n) T Dijktra = O m T decreaekey (n)+n (T deletemin (n)+t inert (n)) T DijktraBHp = O(m log n + n (log n + log n)) = O((m + n)log n) 3

17 Laufzeit (Noch) beer mit Fibonacci-Heapprioritätliten: I inert: O(1) I decreaekey: O(1) (amortiiert) I deletemin: O(log n) (amortiiert) T Dijktra = O m T decreaekey (n)+n (T deletemin (n)+t inert (n)) T DijktraFib = O(m 1 + n (log n + 1)) = O(m + n log n) Aber: kontante Faktoren in O( ) ind hier größer! 3

18 Analye im Mittel Modell: Kantengewichte ind zufällig auf die Kanten verteilt Dann gilt: E[T DijktraBH(ea)p ]=O m + n log n log m n Bewei: In Algorithmen II 36

19 Monotone ganzzahlige Prioritätliten Beobachtung: In Dijktra Algorithmu teigt da Minimum in der Prioritätlite monoton. Da kann man aunutzen. chnellere Algorithmen u.u. bi herunter zu O(m + n). Detail: in Algorithmen II 3

20 Negative Koten Wa machen wir, wenn e Kanten mit negativen Koten gibt? E kann Knoten geben mit d[v]= p u C q v p u C () q v... Wie finden wir herau, welche da ind? Endlochleifen vermeiden! a + k j b d f g i 3 h 38

21 Zurück zu Baikonzepten (Abchnitt 1.1 im Buch) Lemma: 9 kürzeter v-pfad P =) P it OBdA einfach(eng. imple) Beweiidee: (Kontrapoition) Fall: v über negativen Krei erreichbar ) 9 kürzeter v-pfad (ondern beliebig viele immer kürzere) p u C q v p u C () q v... Sont: betrachte beliebigen nicht-einfachen v-pfad. Alle Kreie treichen einfacher, nicht längerer Pfad. a + k j b d f g i 3 h 39

22 Mehr Baikonzepte Übung, zeige: Teilpfade kürzeter Pfade ind elbt kürzete Pfade a b c d a b,b c,c d,a b c,b c d Übung: Kürzete-Wege-Baum Alle kürzete Pfade von au zuammen bilden einen Baum, fall e keine negativen Kreie gibt. 3 a b d e 6 6 c f 38