1. Übungsblatt zu Mathematik 1, WS 2017/18. (1) Welche der folgenden sieben Aussagen sind wahr, welche sind falsch? (f) x, y 0 : x + y x + y

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1 Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/8 () Welche der folgenden sieben Aussagen sind wahr, welche sind falsch? (a) x = = x = 4 (b) x = 4 = x = (c) x, y R : x y x y (d) x, y 0 : x y x y (e) x, y 0 : x + y = x + y (g) M, N Mengen : x M N x M x N () Bestimmen Sie L = {x R : x 6 + x x }. (f) x, y 0 : x + y x + y Hinweis: Sie müssen die Fälle x 0 und x 0 unterscheiden! (Warum?) () Bestimmen Sie L = {x R : x x < x + }. Hinweis: Vor dem Multiplizieren mit x müssen Sie die Fälle x > 0 und x < 0 unterscheiden! (Warum?) (4) Für welche reelle x ist x + 0 < + x? Hinweis: Schreiben Sie zunächst L als Menge an! Unterscheiden Sie dann die Fälle + x 0 und + x < 0, bevor Sie quadrieren. (Vgl. Üb., (c) und (d)!) (5) Wir betrachten das Polynom P : R R : x x x 5x. (a) Dividieren Sie P durch x. Wie lässt sich der Rest direkt bestimmen? (b) Zerlegen Sie P in Linearfaktoren und skizzieren Sie den Graph von P! Hinweis zu (b): Die Nullstelle x 0 = findet man durch Probieren. (6) Es seien f(x) = sin x und g(x) = x. (a) Was ist f g und was ist g f? (b) Zeigen Sie, dass sin x = ( cos x). (c) Skizzieren Sie nacheinander die Graphen der Funktionen cos x, cos x, cos x, cos x, sowie sin x. (7) Bestimmen Sie geometrisch (a) cos( π ), (b) sin( π ), (c) tan( π ). Hinweis: Zeichnen Sie im Einheitskreis das Dreieck mit den Ecken (0, 0), (, 0), (cos( π ), sin( π )) und beachten Sie, dass dieses Dreieck gleichseitig ist. (8) Leiten Sie aus dem Summensatz für den Cosinus die Formel cos a cos b = sin a+b a b sin her! Hinweis: Setzen Sie α = a+b, β = a b und betrachten Sie cos(α+β), cos(α β). (Z) Bestimmen Sie L = { x x R : x x } 6 x!

2 . Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. 0 (9) (a) Skizzieren Sie die Parabel y = P (x) = x x + = (x ) +, x R! Was ist die Bildmenge B? (b) Auf welchen Intervallen ist P monoton steigend bzw. fallend (und daher umkehrbar)? (c) Betrachten Sie P auf diesen Intervallen, nennen Sie diese Funktionen f bzw. f, bestimmen Sie die Umkehrfunktionen f und f und skizzieren Sie diese! (0) Wenn f : D R umkehrbar (= injektiv) ist und B die Bildmenge, so gilt x D : f ( f(x) ) = x und x B : f ( f (x) ) = x (a) Was heißt das für f : [0, [ R : x x? (b) Was heißt das für f : [ π, π ] R : x sin x? (c) Warum ist x x für x < 0? (d) Warum ist arcsin(sin π) π? () Es sei f : ] π, π [ R : x tan x. (a) Was ist die Bildmenge B? Was ist f (x)? Was ist f(x)? Ist es dasselbe? (b) Was ist tan π 4? Was ist arctan? Skizzieren Sie arctan! (c) Wann gilt arctan(tan x) = x? (d) Was ist arctan(tan x) für x ] π, π [? () (a) Bestimmen Sie arcsin! (b) Bestimmen Sie L = {x R : sin x = }! (c) Bestimmen Sie arcsin(sin 5π 6 )! Warum ist es nicht 5π 6? (d) Skizzieren Sie die Graphen von y = arcsin x und von y = arccos x. () Geben Sie für die Gerade g im R durch A = (/), B = (/4) (a) eine Parameterdarstellung x = p + λ r, (b) eine Gleichung αx + βx = γ an! Leiten Sie (b) aus (a) her! Inwiefern sind die Ergebnisse eindeutig? (4) Geben Sie für die Ebene ϵ im R durch A = (//), B = (/0/ ), und C = ( // ) (a) eine Parameterdarstellung x = p + λ r + µ r, (b) eine Gleichung αx + βx + γx = δ an! Leiten Sie (b) aus (a) her! Inwiefern sind die Ergebnisse eindeutig? (5) Bestimmen Sie die Gerade h im R durch A = (/ /), B = (/0/0) (a) durch eine Parameterdarstellung, (b) als Schnittgerade zweier Ebenen, d.h. durch Gleichungen! Leiten Sie (b) aus (a) her! Inwiefern sind die Ergebnisse eindeutig? (6) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Ebene ϵ aus Aufgabe 4 mit der Geraden h aus Aufgabe 5! (Z) (a) Warum gilt cos(x π ) = sin x, sin(x π ) = cos x? (Vgl. Skriptum S. oder Summensätze). (b) Folgern Sie tan( π x) = tan(x π ) = tan x (c) Zeigen Sie mit (b), dass u > 0 : arctan u = π (für x, wo alles definiert ist). arctan u! (Setzen Sie u = tan x)

3 . Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. 7 Lösen Sie die folgenden 4 linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß schen Algorithmus: x + x + x x 4 x 5 = x + x + x 4 = 0 x x x 4 + x 5 = x + x + x 4 = 4 (7) (8) x x + x + x 4 x 5 = x + x + x 4 = x + 5 x x 5 x 4 + x 5 = 4 x + x x + x 4 = (9) x 4 +x 6 = x x + x 4 + x 5 x 6 = 4 x 6 x + 4 x 4 + x 5 x 6 = (0) x 4 +x 6 = x x + x 4 + x 5 x 6 = 4 x 6 x + 4 x 4 + x 5 + x 6 = () Wir betrachten nochmals das inhomogene Gleichungssystem aus Übung 7. Bestimmen Sie x hom und überprüfen Sie, dass x inh = p + x hom, d.h. L inh = { p + v : v L hom } (s. A im Skriptum). Überprüfen Sie auch die Gleichung k = n Anzahl der Pivotzeilen ( ). Warum ist L hom ein Vektorraum, L inh aber nicht? Geben Sie eine Basis und die Dimension von L hom an! () Zeigen Sie, dass f =, f = 0, f = eine Basis im R ist! 4 schreiben Zeigen Sie dazu, dass sich jedes b eindeutig als LK b = λ f +λ f +λ f lässt, indem Sie das Gleichungssystem λ + λ + λ = b, λ + λ = b, λ + λ +4λ = b lösen. Was sind die Koordinaten von bezüglich dieser Basis? 5 () Es seien v =, v =, v = 4. Für welche λ = λ λ λ gilt λ v + λ v + λ v = 0? (Gauß) Sind v, v, v linear unabhängig? Sind v, v, v eine Basis von R? (Basissatz, S., b) (4) Es seien w =, w =, w = 9 8. Für welche λ = λ λ λ gilt λ w + λ w + λ w = 0? (Gauß; setze λ = µ) Sind w, w, w linear unabhängig? Was bedeutet das geometrisch? Sind w, w, w eine Basis von R? (Z) Es seien v =, v =, v = R. (a) Ist v l.u.? Ist v ein EZS von R? Ist v eine Basis von R? (b) Sind v, v l.u.? Sind sie ein EZS von R? Sind sie eine Basis von R? (c) Sind v, v l.u.? Sind sie ein EZS von R? Sind sie eine Basis von R? (d) Sind v, v, v l.u.? Sind sie ein EZS von R? Sind sie eine Basis von R?

4 Klausur zu Mathematik, WS 07/08 Sie können alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. Die Lösungen müssen lesbar geschrieben und ausreichend begründet sein. Beachten Sie, dass nur vollständig gelöste Aufgaben zählen! () Bestimmen Sie L = {x R : x + < x + 5x + 6}! () (a) Bestimmen Sie geometrisch, d.h. durch eine Konstruktion im Einheitskreis, sin( 5π 6 )! Berechnen Sie daraus (b) cos( 5π 6 ) und (c) tan( 5π 6 )! () Leiten Sie aus dem Summensatz für den Sinus die Formel sin a sin b = cos a+b a b sin her! Hinweis: Setzen Sie α = a+b, β = a b! (4) (a) Bestimmen Sie arccos( )! (b) Bestimmen Sie L = {x R : cos x = }! (c) Für welche x gilt arccos(cos x) = x? (d) Skizzieren Sie den Graphen von y = arccos x! (5) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß schen Algorithmus und machen Sie die Probe! x + x x x 4 = x + x + x 4 = x x + x + 5 x 4 = 4 x + x 4 = Überprüfen Sie zur Probe, dass dim L hom = n Anzahl PZ, dass der Stützvektor das inhomogene und die Richtungsvektoren das homogene Gleichungssystem lösen! Hinweis: Die Lösungsmenge ist nicht leer. Bevor Sie mit dem Gauß schen Algorithmus beginnen, kontrollieren Sie, ob Sie A und b richtig abgeschrieben haben! Rechnen Sie dann langsam und sorgfältig und kontrollieren Sie jeden Schritt zweimal! (6) Es seien v = (a) Sind v, v, v (b) Sind v, v, v (c) Sind v, v, v, v 4, v = 0, v =, v 4 = v v + v. linear unabhängig? (Wenn ja warum, wenn nein warum nicht?) eine Basis im R? (Wenn ja warum, wenn nein warum nicht?) eine Basis im R? (Wenn ja warum, wenn nein warum nicht?) (d) Was sind die Koordinaten von v 4 bezüglich v, v, v?

5 bzw Übungsblatt zu Mathematik, WS 0/4 (5) Wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem zu Aufgabe 7. (a) Was ist der Zeilenraum Z? (b) Wenden Sie Gauß an und bestimmen Sie die Pivotzeilen (vgl. Aufg. 7 und ). (c) Was ist nach, Satz 5, S. 4, im Skriptum eine Basis von Z? (d) Was ist dim Z? Was ist dim L? (e) Sind die vier Zeilen des homogenen linearen Gleichungssystems (α) l.u.? (β) ein EZS von Z? (γ) eine Basis von Z? (6) (a) Drehen Sie den Vektor um 60 4 im Gegenuhrzeigersinn! (b) f : R R sei die Spiegelung an der Geraden x = x. Warum ist diese Abbildung linear? Was ist die Matrix A von f? (7) (a) Bestimmen Sie wie im Skriptum, S., die Matrix A der linearen Abbildung f : R R, für welche f(, ) = 0 und f(, ) = gilt. 5 (b) Was ist f(, )? ( 4 (8) Es seien A = ) b b, B = b, x = b b b Welche der Produkte AB, BA, A x, xa, B x, xb, x T u, x u T Sie diese!, u = u u u. sind sinnvoll? Berechnen (9) Es seien f bzw. g bzw. h : R R die Drehungen um die Winkel α bzw. β bzw. α + β im Gegenuhrzeigersinn. (a) Welche Matrizen A, B, C entsprechen f, g, h? (b) Überlegen Sie, dass h = f g und daher C = A B ( 4, Satz ). (c) Folgern Sie aus (a), (b) die Summensätze für Sinus und Cosinus. (0) Schreiben Sie A x = b sowie B x u = C T y (a) mit Pünktchen, (b) mit Summenschreibweise, (c) in Tensorschreibweise! (Es seien A, B R m n, C R n m.) () (a) Es sei A =. Bestimmen Sie A wie in 4, Bsp. 0, S. 4 des Skriptums! Erklären Sie den Vorgang! (b) Kontrollieren Sie A A = I! Wie folgt das aus der Gleichung x D = R : f (f( x)) = x? (c) Was ist die eindeutige Lösung von A x = (,, ) T? a b () Es sei A = und ad bc 0. c d (a) Zeigen Sie, dass A d b =, indem Sie A A ad bc c a = I überprüfen! 5 (b) Es sei A = und y =. Bestimmen Sie mit (a) A 4 6 und die Lösung von A x = y. (Z4) Schreiben Sie ABC = D in TSW und b ji = c ik d kj x i y j mit Vektoren/Matrizen an!

6 6 5. Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. 4 () (a) Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren v = (,, 0) T, v = (,, ) T, v = (,, ) T aufgespannt wird. (b) Warum sind die Vektoren v, v, v eine Basis von R? (c) Machen Sie eine Skizze, die zeigt, warum det( v, v, v ) negativ ist! (4) Bestimmen Sie (5) Bestimmen Sie mit dem Gauß schen Algorithmus det (Hoffentlich sind Sie nicht abergläubisch...) so wie in 5, Bsp., S. 5 des Skriptums. 0 4 (6) Es seien a, b > 0 und f : R R sei Streckung bzw. Stauchung (für a, b > bzw. < ) mit dem Faktor a in x Richtung, mit dem Faktor b in x Richtung. (a) Was ist y = f( x)? Was ist die Matrix A von f? (b) Was ist der Flächenveränderungsfaktor von f? (c) Was ist das Bild des Vollkreises x + x unter f? (Skizze für a =, b = ) (d) Welche Formel gilt daher für die Fläche der Ellipse y a + y b? (e) Was ist das Volumen des Ellipsoides x a + y b + z? (Hier stehen x, y, z anstelle c von y, y, y entsprechend (d); Einheitskugelvolumen = 4π/.) (7) A sei die Matrix aus Aufg.. Bestimmen Sie A mit Streichungsdeterminanten. (8) Wir betrachten das Gleichungssystem A x = y aus Übung 8. (a) Berechnen Sie det A durch Entwicklung nach der. Spalte! (b) Berechnen Sie x 4 mit der Cramer schen Regel! (9) ϵ, A, B, C seien wie in Übung 4. Bestimmen Sie die Längen und Winkel im Dreieck ABC sowie mittels des Kreuzprodukts eine Gleichung für ϵ. Was ist die Fläche des Dreiecks ABC? (40) Es sei a = (,, ) T. (a) Was ist der Abstand des Punktes Q = (//) von der Ebene a, x = 9? (b) Was ist die Matrix der Spiegelung s H an der Ebene H : a, x = 0?! (Z5) Zeigen Sie: a, b, c R : a ( b c) = b a, c c a, b (Merkregel: baz zab )

7 7 6. Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ (bzw ) (4) (a) Zeigen Sie, dass f =, f =, f = eine ONB im R sind! (b) Bestimmen Sie die Koordinaten von v = (,, ) T bzgl. dieser Basis! 5 7 (4) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = 4 0! Machen Sie eine Probe für die Eigenvektoren! 6 7 Hinweis: Für das charakteristische Polynom sollten Sie mit Sarrus das Ergebnis P (λ) = det(a λi) = λ + 5λ 8λ + 4 erhalten! (4) f : R R sei die lineare Abbildung, die an der. Mediane x = x spiegelt. (a) Bestimmen Sie die Matrix A von f! (b) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von f (bzw. A)! (c) Wie erhält man hier die EWe λ und EVen x aus der Definition f( x) = λ x? (44) A sei die Matrix aus Übung 4. (a) Überprüfen Sie, dass (α) λ + λ + λ = sp A (= c ), (β) λ λ λ = det A (= c 0 ), (γ) λ λ + λ λ + λ λ = i= det(a i/i/) (= c )! (b) Überprüfen Sie, dass P (λ) = det(a λi) = λ + c λ c λ + c 0! (45) Für die Matrix A = sind schon die zwei Eigenwerte λ = und 4 λ = 6 bekannt. (a) Bestimmen Sie aus sp A den dritten Eigenwert! (b) Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den EWen. Was sind hier a.v. und g.v.? (46) Für einen dreiachsigen Spannungszustand gelte σ x =., σ y =.4, σ z = 0, τ xy =.5, τ xz = 0.7, τ yz = 0 (in [N/m ]). Ermitteln Sie näherungsweise (mit dem Newton- Verfahren) die Größe der maximalen Normalspannung, d.h. den größten Eigenwert der Spannungsmatrix! (47) f : R R : x A x sei die Spiegelung an der Ebene H : a, x = 0. (a) Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von f (bzw. A)? (Überlegen Sie wie in Üb. 4 (c)!) (b) Bestimmen Sie a als Eigenvektor für A =! (S. Üb. 40 (b)!) (48) Es seien a, x R mit a = und f : R R sei die Drehung um R a um φ im Rechtsdrehsinn (bzgl. a). (a) Warum ist die Projektion x p von x auf die Achse R a gegeben durch x p = a a, x? (b) Was ist die Matrix dieser Projektion? (c) Setzen Sie x n = x x p und überlegen Sie, dass f( x p ) = x p und f( x n ) = x n cos φ+ a x sin φ. (d) Folgern Sie f( x) = [ cos φ I + ( cos φ) a a T ] x + sin φ a x. (e) Bestimmen Sie die Matrix der Drehung um R (,, ) T um 60 im Rechtsdrehsinn! Was sind die Eigenvektoren dieser Matrix zum Eigenwert λ =? (Z6) A R sei eine obere Dreiecksmatrix. (a) Was sind die Eigenwerte von A? (b) Überprüfen Sie die Formeln in Aufgabe 44 (a)!

8 Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/8 (49) (a) Warum ist f =, f = ( ) eine Basis im R? (b) Was ist die Transformationsmatrix T von der Standardbasis zu f, f? (c) Berechnen Sie mit y = T x die Koordinaten y, y von x = ( 5) bzgl. f, f! Machen Sie eine Probe! (50) f : R R sei die Spiegelung in Aufgabe 4, f, f seien wie in Aufgabe 49. (a) Drücken Sie f( f ) und f( f ) als Linearkombinationen von f, f Sie daraus die Matrix B von f bzgl. f, f! aus und gewinnen (b) Überprüfen Sie, dass B = T AT gilt! (Vgl. Skriptum, Satz 7, S. 90) (5) Es sei T = ( f, f, f ) R mit f, f, f wie in Übung 4. (a) Warum ist T eine orthogonale Matrix? (Lesen Sie zuerst Satz, S. 96!) (b) Überprüfen Sie, dass T T T = I und daher T = T T (5) Die symmetrische Matrix A sei wie in Übung 45 und f( x) = A x für x R. (a) Überprüfen Sie, dass Satz 0, S. 94 im Skriptum zutrifft und speziell, dass f, f, f aus Übung 4 eine ONB von EVen von A ist. (b) Welche Matrix B hat f bzgl. f, f, f? (c) Überprüfen Sie B = T AT! Transformieren Sie die folgenden drei Quadriken auf Hauptachsenform! Geben Sie eine Transformationsmatrix, die Hauptachsen sowie die Art der Quadrik an! Machen Sie eine Skizze! (5) g(x, x ) = x x x 4x =. (54) g( x) = x + x x + x x + 8x x + 4x x = a, a R. (Vgl. Aufgabe 45!) (55) 9x 4x x + 6x + 0 5x + 4 = 0. Hinweis: Transformieren Sie den linearen Term mit der Transformationsmatrix und ergänzen Sie dann quadratisch! Bestimmen Sie auch den Mittelpunkt der Ellipse! (56) Zeigen Sie, dass die quadratische Form g( x) = 4x + 4x + 5x + x x + x x positiv definit ist (a) durch Berechnung der Eigenwerte (mühsam), sowie (b) mit dem Jacobischen Kriterium (einfacher)! gilt! (Z7) Bei einem eingespannten Kragträger (0 x l, b ( y b, 0 z ) h, l b ) (l x)y y unter der Endlast P (in y Richtung) ist S = a b y b, a = P 0 4hb. Wie groß ist die maximale Normalspannung, und bei welchen x, y tritt sie auf?

9 Klausur zu Mathematik, WS 07/08 Sie können alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. Die Lösungen müssen lesbar geschrieben und ausreichend begründet sein. Beachten Sie, dass nur vollständig gelöste Aufgaben zählen! () Schreiben Sie die Gleichung u A x = BC y (für A, B, C R n n und x, y, u R n ) (a) mit Summenschreibweise (b) in Tensorschreibweise! () Bestimmen Sie (A ) 4 (d.h. das Element in der. Zeile und 4. Spalte der inversen Matrix von A) für A = () Bestimmen Sie für das Dreieck ABC mit den Ecken A = (//), B = (//), C = ( /0/) (a) den Winkel α (bei A) in Grad und in Radiant, (c) eine Gleichung der Ebene ϵ, in der ABC liegt! (4) Die Matrix A = (a) Bestimmen Sie aus sp A den dritten Eigenwert! (b) die Fläche von ABC, hat den doppelten Eigenwert (d.h. a.v. = ). (b) Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den zwei verschiedenen Eigenwerten! (c) Machen Sie eine Probe für die Eigenvektoren! (5) f : R R sei die Drehung um R (,, ) T um 80. (a) Bestimmen Sie eine ONB f, f, f aus Eigenvektoren von f, indem Sie überlegen, was auf der Drehachse bzw. senkrecht dazu passiert! (b) Was ist die Matrix B von f bzgl. f, f, f? (c) Berechnen Sie mit Hilfe von B und der Transformationsmatrix T die Matrix A von f bzgl. der Standardbasis! (6) Transformieren Sie die Quadrik x + 4x x + 5x = auf Hauptachsenform! Geben Sie eine Transformationsmatrix und die Art der Quadrik an! Bestimmen Sie auch den Mittelpunkt!

10 0 8. Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. (57) Es sei a n = n n + 5, n N. (a) Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes, dass lim a n = n, d.h. zeigen Sie ϵ > 0 : N N : n N : a n < ϵ. (b) Wie groß muss N mindestens gewählt werden, wenn ϵ = 0.? (58) Untersuchen Sie, was passiert, wenn man in Aufgabe 57 lim a n = 0 zeigen will. (a) Was n passiert für ϵ? (b) Was passiert für 0 < ϵ <? Z.B. für welche n gilt a n 0 < ϵ wenn ϵ = 4? Existiert dafür N wie in Aufgabe 57? (59) Bestimmen Sie bei den folgenden Zahlenfolgen a 0, a 99 und, wenn das möglich ist, lim a n. n Welche der Folgen sind konvergent? (a) n + n 7 (b) n + n 7 (c) (60) Es seien a n = n +, b n = n + 5n cos n n n +, c n = a n b n. (d) cos(nπ) x Was ergeben lim a n, lim b n, lim c n? Warum lassen sich die GWS auf a n b n n n n nicht direkt anwenden? ( (6) Berechnen Sie lim x x + x + 5 ). Welchen Typ ( 0 0 etc. ) hat der Grenzwert zu Beginn bzw. im Lauf der Rechnung? Berechnen Sie auch am Taschenrechner f(0), f(50), f(00). Hinweis: a, b R : (a b)(a + b) = a b (6) (a) Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes, dass lim x 4 x =, d.h. ϵ > 0 : δ > 0 : x 0 mit 0 < x 4 < δ : x < ϵ. (b) Wie ist δ für ϵ = 0. zu wählen? (c) Wie kann man den Grenzwert in (a) mit dem Wort stetig formulieren? arccos x arcsin x (6) Berechnen Sie (a) lim x arctan x (b) sin(x) sin x lim x 0 x! Hinweis zu (b): Verwenden Sie die Verdoppelungsformel und cos x = sin x Übung 6) und nicht die Regel von l Hôpital! (vgl. (64) Welche der folgenden Grenzwerte sind sinnvoll? Bestimmen Sie diese! x (a) lim (b) lim (c) lim (d) lim x x x x x x x x Hinweis zu (b): Substituieren Sie t = x und kürzen Sie! (Z8) Wir betrachten die Hyperbel x werden, damit Übung 6!) ( lim b x x a a y x b = bzw. y = ±b a. Wie muss c gesetzt cx ) = 0? Konstruieren Sie damit die Asymptoten! (Vgl.

11 9. Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. 9 (65) Zeigen Sie mit dem Satz von Bolzano, dass die Funktion f(x) = 5 cos x + x im Intervall I = [ π, π] eine Nullstelle hat. Bestimmen Sie mit Intervallschachtelung das Teilintervall I der Länge π 6, in dem eine Nullstelle von f liegt. (66) Vereinfachen Sie für x > 0 die Funktion g(x) = ln( 4 e x ) + ln ( x 4/ 5 e ) + x) ( 7π ) + 4 sin 4 eln(eln 6 ( + lim x ) n n n ( e x ) + ln + arccos(cos(.4)) + x x ln(e6 ) lim e x. x 0 x (67) (a) Berechnen Sie die Ableitung von y = f(x) = x mit der Definition, d.h. berechnen Sie f (x 0 ) = lim x x 0 x x 0 x x 0. Hinweis: a, b R : a b = (a b)(a + ab + b ), vgl. (Z9) (b) Bestimmen Sie die Tangente für x 0 =! (68) (a) Berechnen Sie mit der Definition von f (x 0 ) (also ohne Quotientenregel) die Ableitung von y = f(x) = tan x = sin x cos x. Hinweis: Doppelbruch vereinfachen und Summensatz. (b) Bestimmen Sie die Tangente an y = f(x) für x 0 = π 4! (69) Wenn f in x 0 differenzierbar ist, so gilt für kleines h : f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ). Der Fehler in ist ρ(h), d.h. ρ(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) hf (x 0 ). (a) Bestimmen Sie ρ(h) für f(x) = e x, x 0 = 0, h = 0. (mit dem Taschenrechner)! (b) Zeigen Sie die Näherungsformel 8 + h + h für kleines h! (70) Differenzieren Sie die folgenden zwei Funktionen! Sie brauchen das Ergebnis nicht weiter zu vereinfachen. (a ist eine Konstante.) f(x) = cos(a + x ) ln(arctan x) ; z(t) = t + arccos(eat ) (7) (a) Zeigen Sie arctan (t 0 ) = + t entsprechend Bsp., S. 60 im Skriptum! 0 (b) Bestimmen Sie die Tangente an y = arctan x in x 0 =! (7) Die stetige Funktion y = f(x) erfüllt die Gleichung y y tan x = e x sowie f(0) =. (a) Lösen Sie die quadratische Gleichung nach y auf und stellen Sie so y = f(x) explizit dar! Berechnen Sie daraus f (0)! (b) Überprüfen Sie das Ergebnis für f (0) durch implizites Differenzieren! (Z9) Zeigen Sie durch Ausmultiplizieren die folgenden Formeln! n N : u, v, q R mit q : (a) u n v n = (u v)(u n + u n v + + uv n + v n ); (b) + q + q + + q n = qn q. (c) Wenn man auf das erste Feld eines Schachbrettes Reiskorn legt, auf das. Feld Reiskörner, auf das. Feld = 4 Reiskörner, auf das 4. Feld = 8 Reiskörner, und immer so weiter macht, wieviele Reiskörner ergibt das?

12 0. und letztes Übungsblatt zu Mathematik, WS 07/ bzw. 6 (7) Lösen Sie die Gleichung 5 cos x = x mit dem Newtonschen Näherungsverfahren! (Vgl. Übung 65). Setzen Sie x 0 = π und berechnen Sie x! Was passiert, wenn man bzw. als Startwert x 0 verwendet? Machen Sie bei den zwei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion wie im Skriptum, S , d.h. bestimmen Sie die Kandidaten für Extrema, untersuchen Sie, wo f > 0 bzw. f < 0 gilt, und bestimmen Sie die globalen bzw. lokalen Maxima und Minima. Machen Sie jeweils eine Skizze und berechnen Sie f (0+) und f (0 )! y = 5 cos(x) + x (74) f : [, ] R : x x (x ) (75) f : [, ] R : x 4 x + 5 arctan x (76) Welche der folgenden Grenzwerte lassen sich mit der Regel von l Hôpital (eventuell öfters verwendet) berechnen, welche nicht? (a) lim x 0 x arccos x (b) cos(πx) + cos(πx) lim x ln x (c) x + sin x lim x x x x 0 Zusatzfrage: Was ergibt sich, wenn man lim x x 0 x x 0 Regel von l Hôpital berechnet? Ist das sinnvoll? in Übung 67 (a) mit der (77) (a) Bestimmen Sie die Normale n x0, die Krümmung κ, den Krümmungsradius ϱ, und den Krümmungsmittelpunkt M zum Punkt P = (x 0 /y 0 ) = (/0) auf dem Graphen von y = ln x mit den Formeln der Vorlesung. (Skizze!) (b) Bestimmen Sie einen geeigneten Richtungsvektor r der Länge auf der Normalen n x0 und überprüfen Sie, dass M = P + ϱ r. (78) Die Menge aller Krümmungsmittelpunkte einer Kurve heißt Evolute dieser Kurve. Bestimmen Sie die Evolute der Parabel y = x! Hinweis: Berechnen Sie den Krümmungsmittelpunkt M = (ξ/η) zu einem beliebigen Punkt P = (x/x ) der Parabel und stellen Sie dann η als Funktion von ξ dar. (79) Berechnen Sie für f : [0, π ] R : x sin x und die Zerlegung Z = {0, π, π, π, } (Skizze!) (a) die untere bzw. obere Darbouxsumme UD(Z) bzw. OD(Z); π (b) die Riemannsummen R(Z, Ξ) für Ξ = {0, π, π, π} bzw. für Ξ = {0, π, π 4, 7π 6 }. (80) (a) Schreiben Sie den Hauptsatz der Integralrechnung an! (Definieren Sie auch F!) (b) Bestimmen Sie die Extrema von g : [0, π] R : x x sin t x sin x dt. t Hinweis: Berechnen Sie g (nicht g) und untersuchen Sie, wo g > 0 bzw. < 0! (Z0) Differenzieren Sie die Funktionen x sin x und x xx (d.h. genauer x (xx) ). Hinweis: u > 0 : v R : u v = e v ln u 0

13 Klausur zu Mathematik, WS 07/08 Sie können alle 6 Aufgaben bearbeiten; die 4 besten werden Ihnen angerechnet. Die Lösungen müssen lesbar geschrieben und ausreichend begründet sein. Beachten Sie, dass nur vollständig gelöste Aufgaben zählen! () Es sei a n = 5n n. (a) Berechnen Sie α = lim a n. n (b) Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwertes, dass lim a n = α, d.h. geben Sie n für alle ϵ > 0 eine Ungleichung der Art N >... an, sodass a n α < ϵ für n N gilt! ( () Bestimmen Sie lim 4x + x + x )! x () (a) Berechnen Sie f für f(x) = cos x mit der Definition der Ableitung! Hinweis: cos x cos x 0 = sin x x 0 sin x+x 0. (b) Bestimmen Sie die Tangente an y = f(x) für x 0 = π! (4) Die stetige Funktion y = f(x) erfüllt die Gleichung y 4 5y arcsin(x) = ex cos (x) sowie f(0) =. Berechnen Sie f (0) durch implizites Differenzieren! (5) Machen Sie bei der Funktion f : [, ] R : x arctan(x) + x eine Kurvendiskussion wie im Skriptum, d.h. bestimmen Sie die Kandidaten für Extrema, untersuchen Sie, wo f > 0 bzw. f < 0 gilt, und bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima. (Die globalen Extrema müssen Sie nicht bestimmen.) Berechnen Sie auch f (+) und f ( )! (6) Berechnen Sie für f : [0, π] R : x cos x, die Zerlegung Z = {0, π, π, π} und die Zwischenpunkte Ξ = { π 6, π, 5π 6 } (Skizze!) (a) die untere Darbouxsumme U D(Z), (c) die Riemannsumme R(Z, Ξ) sowie (b) die obere Darbouxsumme OD(Z), (d) das bestimmte Integral π 0 f(x) dx.