Zustandsmodelle eines linearen zeitinvarianten Systems wurden in behandelt. Sie haben die Form (siehe (3.43))

Transkript

1 75 6 Übrtrgngfnktion Ztndmodll Ztndmodll in linrn zitinvrintn Sytm wrdn in 4 bhndlt Si hbn di Form ih 4 t A t b t, y t c t d t 68 Wnn zm Zitpnkt t d Eingngignl t, t fgchltt wird, dnn it in di Vorgchicht d Sytm ggrgirt Dir ch phyiklich rklärt nd prktich rmittlbr Anfngztnd bchribt lo dn Spichrztnd nmittlbr vor Einchltn von t, dh zm Zitpnkt t - Wnn ll Spichr d Sytm in t - lr ind, it, d h ligt di Sittion dr vrchwindndn Anfngbdingngn in t - vor Aghnd von dr Dfinition 6 dr Übrtrgngfnktion G m mn znächt d Ztndmodll mit vrchwindndn Anfngbdingngn 69 lplctrnformirn D h bid Glichngn in 68 ind lplcztrnformirn Di rt Glichng it in Vktordiffrnzilglichng Ordnng E mün dhr dr Diffrnzitiontz nd dr Linritättz dr Lplctrnformtion ngwndt wrdn Ein witr forml Bondrhit it noch, d di Lplctrnformtion f in vktorill Signlgröß, dn Ztndvktor nd in Ablitng nzwndn it Aghnd von dm llgmin gültign Grndtz: Di Anwndng inr mthmtichn Oprtion wi zb di Diffrnzition f inn Vktor, bdtt di Anwndng dir Oprtion f jd Elmnt d Vktor, knn mn ofort chlfolgrn, d d ch für di Oprtion { }gilt: t {t} t { t} { t} { } n t { n t} n 6 nd witr { t} 6 Hinwi: E wird hir nd im witrn von dr Großbchtbn Schribwi bghn; llin drch d Argmnt t odr it nmivrtändlich richtlich, ob ich m in Zitfnktion z B t - odr m in Lplctrnformirt - z B - hndlt Dmit knn di Lplctrnformtion d Ztndmodll 68 drchgführt wrdn Kontnt Fktorn wi di Sytmmtri A, dr Vktor b, dr Zilnvktor

2 76 c nd di klr Kontnt d blibn bim Lplctrnformirn rhltn Mit dm Diffrnzition - nd Addition- odr Linrität- tz findt mn A b y c d 6 D di Übrtrgngfnktion nch 6 dfinitiongmäß vrchwindnd Anfngbdingngn vortzt, d h nch dn obign Erlätrngn 6 rfüllt in m, vrinfcht ich 6: A b y c d 64 D di Übrtrgngfnktion G ih 6 6 inn Zmmnhng zwichn lplctrnformirtm Eingng nd Agng y bchribt, m znächt mit Hilf dr rtn Glichng von 64 drch gdrückt wrdn nd dnn in di zwit Glichng ingtzt wrdn Af di Wi wird in 64 liminirt: A b 65 I A b 66 I A b 67 D di Lplcvribl in klr llrding kompl! Größ it, mß bim Aklmmrn von f dr linkn Sit von 65 di Einhitmtri I vom glichn Formt wi di immr qdrtich!! Sytmmtri A ingführt nd in 66 vrwndt wrdn Bi inm Sytm dr Ordnng n, lo inm Ztndvktor mit n Ztndvribln, it A vom yp n, n nd I folglich ch vom yp n, n, n, lo di n-dimnionl Einhitmtri Dmit it I A qdrtich vom yp n, n Si it br kin kontnt Zhlnwrtmtri, ondrn nthält di Lplcvribl Drch Mltipliktion dr Glichng 66 von link mit dr Invrn I A findt mn 67 Eintzn von 67 in di zwit Glichng von 64 lifrt y c y [ c I A I A b d b d]* 68 Vrglicht mn 68 mit dr dr Dfinition dr Übrtrgngfnktion G folgndn Glichng 6, o rknnt mn, d di ckig Klmmr in 68 di Übrtrgngfnktion G in m: G c I A b d 69

3 77 69 tllt di Vorchrift für di Brchnng dr Übrtrgngfnktion G dm Ztndmodll 6 d linrn zitinvrintn Sytm dr Für d glich RCL Glid wi in 6 olln di Brchnngchritt gzigt wrdn Bipil: R [Ω] C,5 [F] L [H] n Spichrlmnt: C, L Ztndvribln: c i L i; Mchnglichng: Ri c di L dt folgt R L L L Strom Spnnngbzihng für C: c i C C A Mchnglichng folgt ch R Ztndmodll: C R L L L R 64

4 78 Mit Zhlnwrtn für di Blmnt: 64 G nch 69: G Dr igntlich rchnintniv Schritt it di Brchnng dr Khrmtri dt A I A I dj A I ² Dmit folgt für G: ² ² ² G 64 D Ergbni timmt mit 66 übrin D h di Brchnngvorchrift 69 für di Übrtrgngfnktion lifrt widr in gbrochn rtionl Fnktion in Ftzhltn it, dß d Nnnrpolynom von G ² dt A I 64 in monich Polynom vom Grd n hir n it Nch dn Erlätrngn in 6 timmt mit dm chrktritichn Polynom dr zghörign Dgl 64, wlch forml dr linkn Sit dr Dgl nttht, übrin A dr Mtriznrchnng it bknnt: 64 it d og chrktritich Polynom dr qdrtichn Mtri A nd in Nlltlln ind di Eignwrt dr Mtri A: λ λ Mn rknnt: Di Eignwrt dr Sytmmtri A im Ztndmodll ind idntich mit dn Poln dr Übrtrgngfnktion G nd di widrm wrn idntich mit dn Wrzln dr chrktritichn Glichng dr zghörign Dgl n hir Ordnng

5 79 Unbhängig dvon, f wlchm Wg mn di Übrtrgngfnktion G in linrn zitinvrintn Sytm brchnt, gilt 6 bzw 6 D hißt, im Bildbrich tllt di Übrtrgngfnktion G inn mltipliktivn Oprtor dr, dr f di Bildfnktion d Eingngignl ngwndt wird nd di Bildfnktion d Agngignl lifrt Einzig ch phyiklich inichtig Vortzng it, d ll Spichr lr ind, lo di Anfngbdingngn bi Nll ind Di Übrtrgngfnktion G tllt lo im Bildbrich in wichtig Sytmfnktion dr! Si korrpondirt mit dr Gwichtfnktion gt d Sytm im Zitbrich, di im Zitbrich j ch di Bdtng inr Sytmfnktion bitzt ih 45 nd 46 Di wrd brit obn mit 69 ftgtllt nd mit dm Fltngtz rklärt Af inn 4 chon bknntn Fkt m n dir Stll nochml hingwin wrdn: Di Ztndbchribng it für in nd dlb Sytm nicht indtig Ldiglich di Zhl dr Ztndvribln ligt mit dr Zhl dr nbhängign Spichr ft nd ntpricht dr Sytmordnng n So findt mn zb mit dr in 44 nggbnn Mthod zr Gwinnng znächt in Signlflpln dr Dgl 64 d RCL Glid R U L LC R L LC R L LC nd dr drch Abln dm Signlflpln in zwit Ztndmodll R R L L LC LC

6 8 nd nch Eintzn dr Zhlnwrt für R, C, L, in zwit richtig Ztndmodll für d RCL Glid: 644 E ntrchidt ich von 64: E ht ndr Ztndvribln nämlich di Agäng dr bidn Intgrirr im obign Signlflpln nd nicht mhr c nd i!!! nd ndr d Ztndmodll bchribnd Mtrizn Wndt mn nn di Brchnngvorchrift 69 f d Ztndmodll 644 m, o rhält mn für di Übrtrgngfnktion G d RCL Glid ntürlich widr 64 bzw 66 Mn führ di Rchnng drch nd übrzg ich!!! Währnd Ztndmodll für in Sytm nicht indtig ind, it di Übrtrgngfnktion G indtig E it lo gl wlchm richtign! Zitbrichmodll in Sytm i brchnt wird Di Übrtrgngfnktion G bchribt d og Klmmnvrhltn d Sytm; mn gt ch i bchribt d Ein- / Agngvrhltn, krz E/A Vrhltn d Sytm nd nicht di innr Strktr, dn innrn Afb d Sytm nd it dhr lbt in kinr Wi mit dm Ztnd d Sytm dirkt vrbndn Schon 6 nd 6 zigtn dtlich: G tllt nr in Rltion zwichn Eingng nd Agng d Sytm hr llrding im Bildbrich! nd di in dr bondr infchn Wi in Gtlt in mltipliktivn Oprtor D it in wichtigr Grnd, wrm im Bildbrich vil Problm im Zmmnhng mit dr Signlübrtrgng in linrn zitinvrintn Sytmn rltiv infch, übrichtlich nd rzptmäßig bhndlt nd glöt wrdn könnn Di Übrtrgngfnktion G tllt dmit owohl thortichr l ch prktichr Sicht in wichtig nd gignt Sytmfnktion in linrn zitinvrintn Sytm dr Ht d Sytm n nbhängig Spichr, o it G in gbrochn rtionl Fnktion in mit dm Nnnrgrd n; dr Zählrgrd m it höchtn glich n, im Allgminn gilt m < n Dr Sondrfll m n wit f in prngfähig Sytm ih 4 hin Di Übrtrgngfnktion G lbt im Bildbrich, dh im Brich dr kompln Vribln Für di prktich Arbit mit Übrtrgngfnktionn bitt MALAB in hr wirkngvoll Untrtützng: Übrtrgngfnktion in Polynomform Objkttyp tf G b b m m m m n n n n m n b b Z N In dir Form rhält mn di Übrtrgngfnktion nmittlbr dr Dgl ih 6 In MALAB wrdn znächt d Zählr- nd Nnnrpolynom inggbn, nd zwr gchiht di drch Zilnvktorn mit dn Polynomkoffizintn in dr folgndn Wi

7 8 >>Z [b m b m- b b ]; >>N [ n n- ]; Mit dm folgndn Bfhl wird dnn di Übrtrgngfnktion gbildt nd l y_tf im Arbitpichr bglgt >>y_tf tf Z, N; Ntürlich knn in blibigr Nm ntll y_tf für di z bildnd nd bzlgnd Übrtrgngfnktion vrwndt wrdn, zb infch nr G odr in ndr, problmbzogn br pnd Bzichnng Bipil: G ² ² >>Z [ ]; >>N [ ]; >>G tfz, N rnfr fnktion: ^ ^ D di Eingbzil nicht mit Smikolon bgchlon wrd, rchint di rzgt Übrtrgngfnktion ofort f dm Bildchirm Si it nn ntr G im Arbitpichr für nchfolgnd Oprtionn nd Rchnngn vrfügbr nd brfbr; zb bwirkt di Eingb d Bfhl >>G di Anzig f dm Bildchirm Für gbrochn rtionl Fnktionn it häfig di plizit Knntni ihrr Pol nd Nlltlln von Bdtng ih obn zb di Bdtng dr Pol für di Prtilbrchntwicklng bi dr Rücktrnformtion Dhr gibt für MALAB inn zwitn Objkttyp für in Übrtrgngfnktion, di og Pol Nlltllnform dr Übrtrgngfnktion Objkttyp zpk, dh ZroPolK G K n n n m n Wnn mn primär di Nlltlln n j, j,, m inr Übrtrgngfnktion nd di Pol i, i,,, n nd di Kontnt K Übrtrgngfktor knnt, dnn knn dr Objkttyp zpk dir Übrtrgngfnktion wi folgt inggbn nd rzgt wrdn: >> n [n ; n ; ; n m ]; >> p [ ; ; ; n ];

8 8 >> KO K ; >> G zpk n, p, KO; Bipil: G ² ² * ² Nlltlln: n, n Pol: -, - K : K E oll G in PN Form rzgt nd ntr GRN bglgt wrdn: >>n [; ]; >>p [-; -]; >>K ; >>GRN zpk n, p, K Zro / pol / gin: ^ Mit wird mn primär nicht di Pol nd Nlltlln inr Übrtrgngfnktion G knnn, o d dir Objkttyp für in Eingb inr Übrtrgngfnktion ltn in Frg kommn wird MALAB bitt br nn di hr nützlich Möglichkit dr Umwndlng inr Übrtrgngfnktion in Polynomform Objkttyp tf in di zpk Form: >>y_zpk zpky_tf >>GPN zpk G zro/pol/gin: ^ ² Bipil: E oll G, di obn l tf ² yp rzgt nd ntr G gpichrt wrd, in di Pol Nlltlln Form mgwndlt wrdn: Ntürlich könnn ch Umwndlngn zpk tf rfolgn: >>y_tf tf y_zpk Bipil: ² ² ²

9 8 >>G tf GPN rnfr fnction: ^ ^ MALAB bitt ch di komfortbl Möglichkit, inm Ztndmodll tomtich di Übrtrgngfnktion G z rzgn Und zwr it di Erzgng von G in dr Polynom Form tf yp odr in dr PN Form zpk - yp möglich Dz it znächt d Ztndmodll d linrn zitinvrintn Sytm inzgbn MALAB pichrt di Modll l Objkttyp b Dir Objkttyp knn dnn in di Übrtrgngfnktion G whlwi l tf yp odr zpk yp mgwndlt wrdn Dz itirn di Bfhl >>y_tf tf y_ bzw >>y_zpk zpk y_ Bipil: RCL Ntzwrk [Ztndmodll 64] Schritt : Einln dr d Ztndmodll bchribndn Mtrizn >> [ ; - - ]; >>b [ ; ]; >>c [ - -]; >>d ; Schritt : Erzgn d Ztndmodll dr Modllform d lin ziv Sytm Ztndmodll l Objkttyp nd blgn / pichrn l RCL_ >>RCL_, b, c, d; Würd mn d ; m End dir Bfhlzil wgln, dnn wird d Ztndmodll f dm Bildchirm ngzigt Schritt : Umwndlng in Erzgng von G_tf Übrtrgngfnktion in Polynomform nd G_zpk Übrtrgngfnktion in PN Form >>G_tf tf rnfr fnction: ^ ^ >>G_zpk zpk Zro/pol/gin:

10 84 ^ Wnn mn bdnkt, wi mühm di Umwndlng in Ztndmodll in in Übrtrgngfnktion drch Aführn dr Rchnngn 69 von Hnd it, dnn wird vrtändlich, wi hilfrich MALAB llin bi dr Löng dir Stndrdproblm it!