Proseminar Genetische und Evolutionäre Algorithmen

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1 Proseminar Genetische und Evolutionäre Algorithmen Genetische Algorithmen Erweiterungen und Analyse Seite 1/11

2 Inhaltsverzeichnis 1. Erweiterungen zu den Genetischen Algorithmen 1.1. Der steady-state-ga 1.2. Nischentechniken Deterministisches Crowding Sharing 1.3. Mehrzieloptimierung / Pareto-Optimalität Aggregationsansatz Ansätze mit wechselnden Zielen Einsatz von Nischentechniken Pareto-basierte Ansätze 1.4. Berücksichtigung von Nebenbedingungen Straffunktionen Techniken der Mehrzieloptimierung Intelligente Decodierung Spezialisierte Lösungsrepräsentation und Operatoren 2. Wie funktioniert ein GA? Analyse 2.1. Das Schema-Theorem und seine Bedeutung 2.2. Die Building-Block-Hypothese 2.3. Kritik am Schema-Theorem 2.4. Konvergenz auf das globale Optimum 2.5. Schwierige und leichte Probleme für GAs Epistasie Die statistische Korrelationsanalyse Die Fitness-Distanz-Korrelationsanalyse 3. Nachwort 4. Literaturverzeichnis Seite 2/11

3 1. Erweiterungen zu den GAs So gut der kanonische Genetische Algorithmus (das ist der GA in der Form, wie er anfangs von Holland definiert wurde) in der Praxis auch funktioniert, er ist in dieser Form nicht das letzte Wort im Fachgebiet der GAs. Seit der ersten theoretischen Analyse von J. Holland 1975 hat sich die Familie der GAs stetig weiterentwickelt, neue Herangehensweisen an eine Problemstellung und Verfeinerungen des kanonischen GA wurden formuliert und erfolgreich eingesetzt. 1.1 Der steady-state-ga Der kanonische GA ersetzt bei einer Generation (Verfahrensiteration) stets alle Individuen einer Population durch deren Nachkommen. Diese Ersetzungsstrategie wird general replacement genannt, wohingegen der steady-state-ga den Generationsschritt leicht abändert: Bei jeder neuen Generation werden nur wenige Individuen i.a. die mit der geringsten Fitness durch Nachkommen ersetzt, was den Vorteil bietet, gute Lösungen tendenziell länger in der Population zu halten. Die Implementierung unterscheidet sich vom kanonischen GA nur gering: Bei der Erzeugung und Bewertung von Nachkommen werden zuerst 2 Individuen aus der Population mit Zurücklegen gezogen und zu Eltern bestimmt. Dann werden von ihnen Kopien erzeugt, auf die ein Uniform- oder n-punkt-crossover (meist deterministisch, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit p c =1) angewendet wird. Nach der Mutation die äquivalent zum kanonischen GA erfolgt werden die Nachkommen mittels der Fitnessfunktion bewertet. Sofern Duplikate auftreten, werden diese verworfen. Diese Selektionsschritte werden sooft wiederholt, bis q Nachkommen erzeugt worden sind. q bisherige Populationsmitglieder meistens die mit der geringsten Fitness werden durch die neuen Nachkommen ersetzt. Beim steady-state-ga können höhere Mutations- / Crossoverwahrscheinlichkeiten verwendet werden, da gute Populationsmitglieder durch die gewählte Ersetzungsstrategie geschützt werden. Dadurch soll der Algorithmus einen stärker explorativeren Charakter erhalten. Nicht geeignet sind steady-state-gas für Optimierungsprobleme mit stochastisch beeinflusster Lösungsbewertung, hier besteht die Gefahr, dass schlechte Lösungen aufgrund des stochastischen Einflusses bei der Bewertung zufällig relativ gute Fitnessbewertungen erhalten. Diese eigentlich schlechten Individuen können, durch die Ersetzungsstrategie bedingt, nun zu Unrecht über längere Zeit in der Population überleben. 1.2 Nischentechniken Für den Erfolg eines GA ist es wichtig, möglichst lange die Diversität der Populationsmitglieder zu erhalten, da sie die Effektivität des Crossovers wesentlich mitbestimmt. Diese Heterogenität kann von GA-Techniken gefördert werden, indem sie die Bildung von Nischen in natürlichen Ökosystemen nachahmen. Zwei bekannte und oft angewandte Nischentechniken sind deterministisches Crowding und sharing. Seite 3/11

4 Deterministisches Crowding Die Grundidee des deterministischen Crowding ist, Individuen immer mit denen ihnen ähnlichsten Nachkommen zu ersetzen. Durch diese Technik soll verhindert werden, dass sich die Population allzu homogen entwickelt. Der Ablauf des Algorithmus ist wie folgt: Alle Individuen werden in den mating pool kopiert und 2 Eltern werden stochastisch ausgewählt. Diese werden deterministisch mittels Crossover gekreuzt und die Mutation erfolgt wie beim kanonischen GA. Für beide Nachkommen wird die Fitness bestimmt. Jeder Elter bildet nun mit dem ihm ähnlicheren Nachkommen ein Paar, das Individuum jeden Paares mit der besseren Fitness wird der Folgepopulation hinzugefügt. Diese Schritte werden µ/2 mal durchgeführt. Ähnlichkeit kann man hier genotypisch oder phänotypisch messen (siehe auch Vortrag 1 GA Grundkonzept und genetische Operatoren 2.6 und 2.7). Ein genotypisches Ähnlichkeitsmaß wäre z.b. die Hamming-Distanz. Ein phänotypisches Ähnlichkeitsmaß wäre z.b. die euklidische Distanz, die folgendermaßen definiert ist: d euklid (x 1, x 2 ) = ( i=1 Σ n (x 1,i x 2,,i ) 2 ) Die Wahl des Distanzmaßes ist problemabhängig. Sharing Beim sharing wird die Heterogenität der Population durch eine Herabsetzung der Fitness forciert, sofern sich in der phäno- oder genotypischen Nachbarschaft eines Individuums ein anderes befindet. Die Fitnessfunktion sieht dabei wie folgt aus: Φ (a i ) = (Φ(a i ) / j=1 Σ µ λ( d(a i, a j )) i=1..µ (µ ist die Größe der Population, a ist ein Individuum aus der Population) Die Funktion λ gibt eine 1 zurück, wenn die Distanzfunktion d einen gewissen Schwellenwert T share unterschreitet, also in der Nachbarschaft oder der Nische des Individuums a i sich andere Individuen befinden, ansonsten eine 0. T share wird Nischenradius genannt, der Nenner der neuen Fitnessfunktion j=1 Σµ λ( d(a i, a j )) wird auch niche count genannt, da er über eventuelle benachbarte Individuen Aufschluß gibt. Nischentechniken eignen sich besonders für Optimierungsprobleme mit mehrfacher Zielsetzung sowie für Problemstellungen, bei denen verschiedene Optima eines multimodalen Zielfunktionsgebirges gefunden werden soll Mehrzieloptimierung Da häufig bei Entscheidungsproblemen mit mehrfacher Zielsetzung nicht eindeutig die optimale Lösung bestimmt werden kann, ist es manchmal erforderlich, eine bestimmte Menge effizienter Lösungen zu berechnen. Eine effiziente Lösung wird in diesem Zusammenhang auch als pareto-optimal bezeichnet. Pareto-Optimalität bedeutet, es existiert keine Lösung für das gestellte Problem, das von einer anderen dominiert wird, d.h. deren Zielerreichungsgrad bei keinem Zielkriterium von einer anderen Lösung übertroffen wird. Seite 4/11

5 Mehrzieloptimierung setzt meistens bei der Selektion an und lässt sich im wesentlichen in vier Gruppen aufteilen: Aggregationsansatz Beim Aggregationsansatz werden die Funktionswerte einer Lösung der g verschiedenen Zielkriterien in evtl. gewichteter Form zu einem Gesamtzielfunktionswert aggregiert, d.h. zusammengefasst. Dadurch kann das Optimierungsproblem als Einzelproblem behandelt werden, was bedeutet, daß das Ergebnis i.d.r. aus einer Lösung besteht, also keine Menge pareto-optimaler Lösungen bestimmt werden. Ansätze mit wechselnden Zielen Bei Vorliegen von g verschiedenen Zielkriterien teilt man die Selektion in g Schritte auf: in jedem Teilschritt wählt man aus der Gesamtpopulation eine gleichgroße Anzahl Individuen, die in dem spezifischen Zielkriterium gute Ergebnisse bieten, in den mating pool; somit ist die Wahrscheinlichkeit für Individuen mit guten Werten in mehreren Zielkriterien, sich zu reproduzieren, sehr hoch. Daraufhin werden Crossover und Mutation auf den gesamten mating pool angewandt. Einsatz von Nischentechniken Bei der Mehrzieloptimierung werden oft Nischentechniken eingesetzt. Ein Beispiel: der niched pareto GA. Bei diesem wird eine erweiterte Wettkampfselektion eingesetzt: Zwei Individuen (Kandidaten) werden stochastisch aus der Population gezogen und mit einer gleichfalls stochastisch bestimmten Teilmenge der Population (Vergleichsmenge) verglichen. Dominiert einer der Kandidaten die Vergleichsmenge, darf er sich reproduzieren, dominieren beide oder keiner der Kandidaten, wird einer mittels einer speziellen Form des sharing ausgewählt: Der Kandidat, in dessen Nische sich weniger Individuen befinden, also der mit dem kleineren niche count, darf sich reproduzieren. Pareto-basierte Ansätze Eine weitere Art der Mehrzieloptimierung ist z.b. das pareto-ranking: Es basiert auf einer Form der rangbasierten Selektion. Nicht-dominierte Individuen erhalten den höchsten Rang und werden bei der weitergehenden Einteilung nicht mehr berücksichtigt. Auf der Restmenge wiederholt man diesen Schritt, bis alle Individuen einen Rang haben. Individuen mit gleichem Rang haben dieselbe Selektionswahrscheinlichkeit. Die reine pareto-basierte Selektion liefert oft sehr viele pareto-optimale Lösungen, was Entscheidungsträger bei der Auswahl einer Lösung überfordern könnte. Aus diesem Grund bietet sie sich in der praktischen Verwendung nicht unbedingt an Berücksichtigung von Nebenbedingungen Praktisch alle Optimierungsprobleme sind durch Nebenbedingungen, wie z.b. - Grenzwerte für Variablen - Ganzzahligkeitsbedingungen für Variablen - (Un-) Gleichungsbeschränkungen gekennzeichnet, um den Raum zulässiger Lösungen zu begrenzen. Folglich werden Konzepte benötigt, die aussagen, wie ungültige Lösungen zu behandeln sind. Seite 5/11

6 Eine einfache Herangehensweise wäre, Nachkommen solange zu generieren, bis eine Lösung gültig ist, d.h. alle Nebenbedingungen erfüllt, bei Problemstellungen mit vielen Beschränkungen ist dies jedoch aus Laufzeitgründen nicht praktikabel. Die angewandten Verfahren zur Behandlung ungültiger Lösungen lassen sich grob in zwei Klassen aufteilen: - die Verfahren der ersten Klasse behindern das Entstehen ungültiger Lösungen nicht (z.b. Straffunktionen, Techniken der Mehrzieloptimierung) - die Verfahren der zweiten Klasse vermeiden ungültige Lösungen von vorneherein (z.b. Intelligente Decodierung, spezialisierte Lösungsrepräsentation) Einige der möglichen Verfahren werden im folgenden kurz vorgestellt. Straffunktionen (penalty functions) Sind das gebräuchlichste Mittel, um in GAs Nebenbedingungen zu berücksichtigen, da der Lösungsansatz einfach und universell verwendbar ist: ungültige Lösungen werden bei der Fitnessermittlung bestraft, z.b. mit einer eigenen Straffunktion Z : R n R +, die einen Wert >0 besitzt, wenn nicht alle Nebenbedingung des Optimierungsproblems des Individuums erfüllt werden. Die Fitnessfunktion Φ sieht dann folgendermaßen aus: Φ (a) = F(x)-Z(x) (F(x) ist die Zielfunktion) Techniken der Mehrzieloptimierung Auch Techniken der Mehrzieloptimierung (siehe 1.3.) sind prinzipiell dazu geeignet, die Einhaltung von Nebenbedingungen zu gewährleisten. Dazu wird die ursprüngliche Zielfunktion F(x) nur noch als eine von mehreren Zielkriterien betrachtet, die restlichen Zielfunktionen sind nun Straffunktionen Z k (x) (k=anzahl der Nebenbedingungen), die im Laufe der Optimierung minimal werden sollen. Intelligente Decodierung Bei dieser Methode werden i.a. nicht binäre Lösungsrepräsentationen und wenig spezialisierte Lösungsoperatoren verwendet. Im Rahmen der Fitnessfunktion kommt eine Decodierungsfunktion Γ dazu, die entsprechend der Codierung der Zielwerte anwendungsbezogen implementiert werden muss. Diese Decodierungsfunktion korrigiert die Zielwerte ungültiger Individuen automatisch bei der Fitnessbewertung. Spezialisierte Lösungsrepräsentation und Operatoren Durch eine problemspezifische Form der Lösungsrepräsentation und darauf abgestimmte Suchoperatoren können ungültige Lösung von vorneherein vermieden werden. Die Suchoperatoren haben somit gewisse Nebenbedingungen, wie z.b. Werte bei Permutationen nicht doppelt zuzulassen (siehe auch letzter Vortrag). Seite 6/11

7 2. Wie funktioniert ein GA? Analyse Obwohl GAs in praktischen Anwendungen mittlerweile sehr erfolgreich eingesetzt werden, sind die theoretischen Grundlagen, die deren Funktionsweise erklären, bewerten und vorhersagen sollen, bislang noch unzureichend erforscht. Von einer einheitlichen und universell akzeptierten Theorie der GA ist man gegenwärtig noch weit entfernt Das Schema-Theorem und seine Bedeutung 1975 legte J. Holland in seinem Buch Adaption in Natural and Artificial Systems die Basis für viele nachfolgende theoretischen Arbeiten zu den GAs. Holland analysierte darin die Funktionsweise adaptiver Systeme, worunter auch GAs einzuordnen sind. Um die Auswirkungen einer Anwendung von genetischen Operatoren (Crossover, Mutation, Selektion) auf eine Population von Chromosomen formalisieren zu können, führte er den Begriff des Schemas ein. Ein Schema ist eine Schablone, die eine Menge von Individuen beschreibt, deren Allele an definierten Positionen übereinstimmen. Anstelle von manchen Genen steht die Variable # don t care, die Positionen von Allelen sind fest definiert. Bsp.: h = < 1, 0, 1, 0, #, #> ist ein Schema der Länge 6. h 1 = < 1, 0, 1, 0, 1, 0> bezeichnet man als eine Instanz des Schemas h. Die Ordnung o(h) eines Schemas h ist durch die Anzahl der nicht-variablen Positionen definiert, also wäre z.b. o(< 1, 0, 1, 0, #, #>) = 4. Unter der definierenden Länge δ(h) eines Schemas h versteht man den Abstand zwischen der ersten und letzten von # verschiedenen Positionen, im Beispiel wäre δ(< 1, 0, 1, 0, #, #>) = 4 1 = 3. Mathematisch gesehen definiert ein Schema der Länge n einen Unterraum des M n, also einen Unterraum des gesamten Suchraumes. So repräsentiert obiges Schema h eine Hyperebene als Unterraum des M 6. Im M n gibt es 3 n verschiedene Instanzen von Schemata, da als Ausprägung jeweils 3 Elemente ( 0, 1 und #) auf den n Positionen vorkommen können. Jeder String aus M n stellt eine Instanz von 2 n Schemata dar und liegt damit gleichzeitig in 2 n Hyperräumen des M n. Folglich repräsentiert eine Population von p Chromosomen der Länge n jeweils zwischen 2 n und p*2 n Schemata. J. Holland untersuchte empirisch die Anzahl der Hyperebenen, die während eines Zyklus verarbeitet werden. Er kam zu dem Ergebnis, dass bei einer Population der Größe p mindestens p 3 Hyperebenen gleichzeitig untersucht werden, so liegt die Anzahl der Schemata, die bei einer Population von p Chromosomen pro Generierung indirekt verarbeitet werden, in der Größenordnung O(p 3 ). Folglich untersucht ein GA während seiner Abarbeitung demnach mit minimalem Aufwand (p Individuen werden bewertet) parallel die Güte von O(p 3 ) Unterräumen. Diesen Mechanismus nennt man implicit parallelism. Bei der zufälligen Initialisierung eines GA liegen unterschiedlichste Individuen, also auch Schemata, noch in gleichberechtigter Anzahl (wohlverteilt) vor. Durch die Generation neuer Populationen konzentriert sich der Suchprozess durch Selektion immer mehr auf erfolgversprechende Bereiche des Suchraumes, wobei sich implizit bessere Schemata gegen schlechtere durchsetzen (Evolution). Gleichzeitig variieren Seite 7/11

8 die Suchoperatoren, vor allem der Crossover, die Schemata immer wieder und testen somit neue Bereiche des Suchraums aus. Die Balance zwischen den beiden Strategien exploitation (Ausnutzen schon bekannter guter Strukturen) und exploration (Suche nach neuen, noch besseren Strukturen) ist für den Sucherfolg des GA von großer Bedeutung. I(h) sei im folgenden die Menge aller Instanzen des Schemas h und N(h,t) bezeichne die Anzahl von Instanzen des Schemas h in der Population P(t) zum Zeitpunkt t. Mit diesen Definitionen lässt sich dann die durchschnittliche Fitness aller Instanzen des Schemas h in P(t) bestimmen als Φ(h, t) = (1/N(h,t)) * a(t) I(h) P(t) Φ(a(t)). Die durchschnittliche Fitness aller Individuen in P(t) ist gegeben durch Φ (t) = (1/µ) * i=1 µ Φ(a i (t)) gegeben. Vernachlässigt man zunächst Mutation und Crossover und betrachtet nur den Einfluss fitnessproportionaler Selektion auf das Schema h, so gilt N(h, t+1) = N(h, t) * [ Φ(h, t)/φ (t) ] (1) Das bedeutet in Worten, dass gute Schemata mit überdurchschnittlicher Fitness in der Population im Verlauf der Generationen zunehmen, was der Strategie der exploitation entspricht. Die Mutation und der Crossover hingegen verkörpern die Strategie der exploration. Anhand der Ordnung o(h) und der definierenden Länge δ(h) können Überlebenswahrscheinlichkeiten für ein Schema h berechnet werden: p survive (mutation) = (1 - p m ) o(h) 1 p m * o(h) für p m << 1 (2) Bei der Mutation wird jedes Bit unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit p m invertiert, p survive drückt also die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Schemas h aus. Beim 1-point-Crossover wird das Schema zerstört, wenn der Crossover zwischen das erste und letzte fixierte Bit, also innerhalb der definierenden Länge, fällt. Sind beide Eltern jedoch eine Instanz desselben Schemas, bleibt es erhalten. Daraus ergibt sich: p survive (xover) = 1 p c * (δ(h)/l-1) * (1 N(h)/µ) (3) Fasst man (1) (3) zusammen, ergibt sich das Schema-Theorem: N(h,t+1) N(h,t) * Φ(h,t)/Φ (t) * [ 1-p c * (δ(h)/(l-1)) * (1 N(h)/µ) ] * (1 p m ) o(h) Oder auch näherungsweise N(h,t+1) N(h,t) * Φ(h,t)/Φ (t) * [ 1-p c * (δ(h)/(l-1)) p m * o(h) ] Das Schema-Theorem kann so interpretiert werden, dass Schemata mit überdurchschnittlicher Fitness, kurzer definierender Länge und niedriger Ordnung eine hohe Überlebenschance haben, also häufiger zur Erzeugung von Nachkommen herangezogen werden. Praktisch bedeutet dies: Die Codierung eines Problems sollte, um optimale Effizienz des GA zu gewährleisten, kompakt erfolgen, d.h. zusammengehörige Informationen sollten auf einem Chromosom eng beieinander abgelegt werden. Seite 8/11

9 2.2 Die Building-Block-Hypothese (BBH) Aus dem Schema-Theorem kann man, wie oben gezeigt, ableiten, daß Schemata mit den genannten Eigenschaften (kurze def. Länge, niedrige Ordnung, hohe Fitness) gute potentielle Lösungen über die Generationen aufbauen, d.h. solche Schemata erfüllen praktisch die Funktion von Bausteinen, mit deren Hilfe sukzessive die optimale Lösung Schritt für Schritt zusammengesetzt wird. Die Building-Block- Hypothese verdankt dieser Annahme ihren Namen. 2.3 Kritik am Schema-Theorem und der BBH Ein Kritikpunkt am Schema-Theorem ist, dass in Populationen endlicher Größe unweigerlich stichprobenbedingte Schätzfehler bei der Bestimmung der Fitness von Schemata entstehen, da sich die wahre statische Fitness eines Schemas h von der durchschnittlichen Fitness aller Instanzen von h unterscheidet, denn die Fitness unter den Instanzen ein und desselben Schemas variiert normalerweise beträchtlich. Ebenso geht das Schema-Theorem von der Unabhängigkeit der einzelnen Schemata aus, da sich diese jedoch oft überlappen, ist dies nicht gewährleistet. 2.4 Konvergenz auf das globale Optimum Bei Optimierungsverfahren stellt sich grundsätzlich die Frage, ob und wie schnell die Lösung auf ein globales Optimum der Zielfunktion konvergiert. Wie jedoch bewiesen werden kann, konvergiert der kanonische GA nicht auf das globale Optimum. Dies ist für die Praxis zwar enttäuschend, doch der kanonische GA ist dazu ausgelegt, in möglichst kurzer Zeit eine nahe-optimale Lösung zu finden. Ergänzt man den kanonischen GA um eine Elite-Sektion (d.h. die besten Individuen werden separat abgelegt, damit ihre Fitness nicht durch Crossover oder Mutation verringert wird, sie sind somit auf jeden Fall in der nächsten Population noch erhalten siehe auch 1.1. steady-state-ga), lässt sich allerdings beweisen, dass dieser erweiterte GA für t auf das globale Optimum konvergiert. 2.5 Schwierige und leichte Probleme für GAs Für eine praktische Verwendung von GAs ist es wichtig, Kriterien zu finden, nach denen man die Tauglichkeit eines GAs für bestimmte Probleme bewerten kann. Die Verfahren, die diese Kriterien einsetzen, machen den Aufbau einer Beispielpopulation für das spezifische Problem notwendig, anhand der die Schwierigkeit des Problems für den GA ersehen werden kann. Im folgenden sind einige solcher Kriterien kurz umrissen: Epistasie In der Biologie wird ein Gen als epistatisch bezeichnet, wenn es ein anderes Gen daran hindert, seine Wirkung zu entfalten. Bei den GAs bedeutet Epistasie, dass die Fitness eines Individuums von Änderungen der codierten Werte der Entscheidungsvariablen abhängt, aber auch von anderen Entscheidungsvariablen auf dem Chromosom beeinflusst wird. Epistasie bemisst sich im Bereich von 0% bis 100%, wobei i.a. gilt, dass GAs für Probleme im Bereich von ca. 30% - 70% sinnvoll sind. Seite 9/11

10 Da Epistasie eine sehr schlecht messbare Größe ist, ist der praktische Nutzen dieses Ansatzes umstritten. Die statistische Korrelationsanalyse Bei den Bemühungen um ein universelles Maß zur Beurteilung der Eignung eines Problems für GAs sind einige Ansätze der statistischen Korrelationsanalyse von Interesse: Sie beruhen auf der Vorstellung einer Fitnesslandschaft ( Hügel und Täler, also lokale Extrema der Fitnessfunktion), die über dem Suchraum aufgespannt ist. Diese Fitnesslandschaft kann durch die in der Population enthaltenen Individuen analysiert werden und daraus dann ein Korrelationskoeffizient r op gebildet werden. Ist der Wert von r op hoch, bedeutet dies, die Suchlandschaft erscheint glatt, was einem GA erleichtern sollte, Regelmäßigkeiten der Fitnesslandschaft auszunutzen. Die Fitness-Distanz-Korrelationsanalyse (FDKA) Diese Methode ist universeller als die statistische Korrelationsanalyse. Aus der Korrelation zwischen Fitness eines Individuums und seiner Distanz zum nahegelegensten globalen Optimum (z.b. per Hamming-Distanz) ergibt sich ein Maß für die Schwierigkeit des Problems unpraktischerweise setzt dieser Ansatz das Wissen um die i.a. unbekannte Lage des globalen Optimums voraus. Seite 10/11

11 3. Zusammenfassung Wie dieser Vortrag hoffentlich zeigen konnte, existieren sehr viele unterschiedliche Spielarten der GAs, die ihre verschiedenen Stärken und Schwächen haben. Ebenso sollte verdeutlicht werden, wie die theoretischen Grundlagen der GAs nach heutigem Wissensstand aussehen und wie der kanonische GA funktioniert. Die Forschung in der GA-Theorie steckt immer noch in den Kinderschuhen, und man wird in Zukunft sicher noch mehr von dieser Art der Evolutionären Algorithmen hören. 4. Literaturverzeichnis Nissen, Volker: Einführung in Evolutionäre Algorithmen; Vieweg Verlag 1997 Schöneburg E., Heinzmann F., Feddersen F.: Genetische Algorithmen und Evolutionsstrategien; Addison Wesley 1996 Netz: Claassen, Manfred: Einführung in genetische Algorithmen, Seite 11/11