Boolesche Operationen und lokale Manipulationen

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1 1 Boolesche Operationen und lokale Manipulationen Mit Hilfe Boolescher Operatoren werden komplexe Körper aus Instanzen generischer Grundkörper konstruiert.. Grundkörper Aus den Grundkörpern erzeugter Körper Beschreibung des Problems Die Eingabe des Booleschen Operation sind 2 Halbkanten Datenstrukturen a und B. A und B werden als korrekt angenommen, d.h. sie sind 2.Mannigfaltigkeiten, das bedeutet sie erfüllen folgende Kriterien:

2 2 1. Jede Kante gehört zu genau 2 Flächen 2. Jeder Knoten ist umgeben von genau einem Zykel von Kanten und Flächen. 3. Flächen schneiden sich nur an gemeinsamen Kanten und Punkten. Die Booleschen Operationen sind allerdings nicht angeschlossen für 2- Mannigfaltigkeit, d.h. z.b. kann der Differenz eines Würfels mit einem Prisma einen Körper ergeben, der keine 2 Mannigfaltigkeit ist. Um dieses Problem zu lösen, werden Pseudomanifolds benutzt. Dabei wird auf Kriterium 3 verzichtet und stattdessen eingeführt: 3': Flächen dürfen sich nicht in ihren inneren Punkten schneiden. Die anderen Schnitte dürfen die folgenden Formen haben: Zwei Kanten des Polyeders können koinzident sein. Dann müssen ihre Nachbarschaften disjunkt sein. Eine Kante K kann auf einer Fläche F liegen. Dann müssen beide zu K adjazenten Flächen auf der gleichen Seite von F liegen. Ein Punkt V kann auf einer Fläche F liegen. Dann müssen alle zu V adjazenten Kanten und Flächen auf der gleichen Seite von F liegen. Ein Punkt V kann auf einer Kante E oder einem Punkt V2 liegen. Dann müssen alle Kanten und Flächen adjazent zu V auf der gleichen Seite der Oberfläche liegen, auf der die Kante E oder der Punkt V2 liegen.

3 3 Die Oberfläche eines Körpers A kann in Bezug zu einem anderen Körper B klassifiziert werden in: = Teil von A der außerhalb B liegt. AinB = Teil von A der innerhalb B liegt. Wenn die beiden Körper A und B keine Flächen haben, an denen sie sich berühren und auch keine Kanten und kein Punkt eine Fläche des anderen Körpers berührt, kann man die Booleschen Operationen beschreiben mit: Definition 1 A B = A B = AinB A \ B = () -1 () -1 bedeutet dabei, dass die Orientierung alle Kanten umgedreht wird.

4 4 Um auch den Fall zu behandeln, dass Flächen sich berühren muss eine 8 Wege Klassifizierung benutzt werden. Aon B+ = Teile von b(a) die auf b(b) liegen, wo die Orientierung der Fläche gleich ist. Aon B= Teile von b(a) die auf b(b) liegen, wo die Orientierung der Fläche ungleich ist. Analog BonA+ und BonA-.

5 5 Die Booleschen Operationen können dann wir folgt berechnet werden: A B = Aon B+ A B = AinB Aon B+ A \ B = ()-1 Aon BUm die Berechnung zu vereinfachen werden für jede Operation die Kanten die auf den sich berührenden Flächen liegen jeweils einer der anderen Klassen zugeteilt. Tabelle 1

6 6 Aufbau des Algorithmus Teilen der Kanten Ermittlung der Spuren Ermittlung der Restkanten Aus der BRep Datenstruktur können die Beziehungen zwischen den Punkten(V), Kanten (E) und Flächen (F) abgeleitet werden. Zu jeder Fläche wird die Normaldarstellung ax+by+cz+d=0 notiert und auf welcher Seite innen ist. Wenn die Außenberandung jeweils gegen den Uhrzeigersinn erfolgt zeigt das Vektorprodukt a x b von zwei adjazenten Kanten a und b, wobei b auf a folgt, nach außen. Gilt für den Punkt c= (xc,yc,zc)= a x b : a*xc+b*yc+c*zc+d>0 so wird bei der Fläche +1 notiert, sonst -1. So kann später bei 2 Flächen, die auf der gleichen Ebene liegen festgestellt werden, ob sie die gleiche Orientierung haben. D:\CA DV orlesung\bool2.k OG n F n 2 n V 2 n E Teilen der Kanten Jede Kante eines Körpers wird mit allen Flächen des anderen Körpers geschnitten Kante e soll mit Fläche F geschnitten werden Es gibt folgende Möglichkeiten: 1. Die Kante e liegt ganz auf einer Seite von F => kein Schnitt 2. Die Knoten von e liegen auf verschiedenen Seiten von F, der Schnittpunkt vi kann berechnet werden. vi liegt: a. innerhalb von F b. außerhalb von F c. auf einer Kante von F d. auf einem Knoten von F 3. Ein oder beide Knoten von v liegen auf F. Knoten wie bei (2) klassifizieren Bei 2a, 2c und 2d wird die Kante jeweils am Schnittpunkt geteilt.

7 7 Der erzeugte Knoten ist adjazent zu beiden Teilkanten und zu allen Flächen die adjazent zu beiden Knoten der Kante sind und zur Fläche, die die Kante geschnitten hat. Damit sind alle Knoten, die im Ergebniskörper vorkommen erzeugt. Die Kanten der Ausgangskörper können klassifiziert werden. AinB,,, bzw. minus(d.h. mit umgedrehter Kantenrichtung. Ermittlung der Spuren Spuren sind die Kanten, die bei der Operation neu entstehen. Dazu werden alle Flächen des einen Körpers mit den Flächen des anderen Körpers geschnitten. Bei einem Polyeder ist dies eine Gerade. Von dieser Geraden werden die Teile genommen, die in beiden Flächen liegen. Die Endpunkte dieser Linie liegen auf einem der vorher ermittelten Punkte. Diese Kanten gehören auf jeden Fall zum Ergebniskörper Die Spurkanten sind jeweils adjazent zu den geschnittenen Flächen. Ermittlung der neuen Flächen Aus den originalen Kanten und den beim Teilen der Kanten ermittelten Kanten und den Spurkanten werden die zugehörigen Flächen ermittelt. Zu den Flächen werden die adjazenten Kanten ermittelt. Aus diesen werden die Umrandungen ermittelt, ähnlich wie im 2D. Diese Flächen können wie folgt klassifiziert werden: : AinB: AonBhaben. Flächen von A außerhalb von B Flächen von A innerhalb von B Flächen von B außerhalb von A Flächen von B innerhalb von A Flächen von A die B berühren und die gleiche Orientierung haben. Flächen von A die B berühren und die unterschiedliche Orientierung Gleiche Orientierung bedeutet, dass auf der gleichen Seite außen ist. Da die entstandenen Flächen alle disjunkt sind kann leicht festgestellt werden, in welche Klasse eine Fläche gehört. Es gilt: wenn ein Knoten von A echt außerhalb von B AinB wenn ein Knoten echt innerhalb von B Für und analog. Für die restlichen Flächen von A sind alle Knoten auf dem Rand von B. Es gilt, wenn die Orientierung gleich ist und AonB- sonst.

8 8 E:\CadVorlesung\2quader.PIC AinB A sei der tiefere Quader und B der breitere In das Ergebnis werden folgende Flächen übernommen: A B = Aon B+ A B = AinB Aon B+ A \ B = () -1 Aon B- () -1 bedeutet, dass die Orientierung geändert wird.

9 9 E:\CadVorlesung\2quaderUnion.PIC Anschließend müssen noch die koplanaren Flächen zusammengefasst werden. Im Beispiel sind dies auf der oberen Fläche, und Auf der linken Fläche: und Beim Durchschnitt erhält man: E:\CadVorlesung\2quaderInters.PIC AinB Hier müssen keine Flächen zusammen gefasst werden. Und bei der Differenz A-B:

10 10 E:\CadVorlesung\2quaderMinus.PIC Auch hier sind keine Flächen zusammen zu fassen. Lokale Manipulationen C:\CadVorlesung\runden0.PIC Bei dem Quader soll die Kante oben rechts abgerundet werden. Dazu wird ein Quader mit der Seitenlänge des Radius beim Runden an die Kante gelegt. Ferner ein Zylinder mit dem Rundenradius und einer Achse durch die innere Kante des zweiten Quaders.

11 C:\CadVorlesung\runden1.PIC C:\CadVorlesung\runden2.PIC 11 Der Zylinder wird vom zweiten Quader abgezogen. Das Ergebnis wird dann vom Quader abgezogen und ergibt die Rundung.

12 C:\CadVorlesung\runden3.PIC C:\CadVorlesung\runden6.PIC 12 Analog kann auch die Kante oben vorne gerundet werden. Erzeugen eines Schnittes Für technische Zeichnungen werden Schnitte durch einen Körper benötigt. Dazu muss der Körper an der Schnittebene in 2 Körper geteilt werden. Dies kann mit einem ähnlichen Algorithmus wie bei den booleschen Operationen geschehen. Es werden die Schnitte aller Kanten mit der Schnittebene ermittelt.

13 13 Dies sind im Beispiel die Punkte 1,2,3,4,5,6,7,8. An den Schnittpunkten werden Nullkanten eingefügt. Die Nullkanten einer Fläche werden verbunden und ergeben das Ergebnis.