Numerische Methoden I FEM/REM

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1 Numerische Methoden I FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: Markus.Kaestner@tu-dresden.de Dresden,

2 Zusammenfassung 9. Vorlesung Numerische Integration 1D 1 I = f(x) = 0 i a i f(ξ i )+Rest Integrand wird durch Polynom (Grad p) approximiert, das exakt integriert wird Anzahl und Lage derintegrationspunkte ξ i verfahrensabhängig: 1. Newton-Cotes p n 1 2. Gauss p 2n 1 n... Anzahl der Integrationspunkte Integrationspunkte ξ i und Gewichte a i tabelliert (Skript S. 76) Numerische Integration 2D sukzessive Anwendung der 1D-Verfahren reduzierte Integration zur Verringerung des Rechenaufwandes Problem: Null-Energiemoden Spannungsberechnung in den Gauss-Punkten Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 1 von 8

3 Analogien I Magnetostatik Elektrostatik Mechanik Grundgleichungen H =J D =q σ +ρf =0 B =0 E =0 ( ε) =0 B = A E = ϕ ε = ( u+( u) 1 T) 2 H =H(B) D =D(E) σ = σ(ε) Sprung- bzw. Randbedingungen [[A]] =0 [[ϕ]] =0 [[u]] =0 n [[H]] K =0 n [[D]] q =0 n [[σ]]+t =0 mit [[a]] =a + a Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 2 von 8

4 Analogien I Magnetostatik Elektrostatik Mechanik Grundgleichungen H =J D =q σ +ρf =0 B =0 E =0 ( ε) =0 B = A E = ϕ ε = ( u+( u) 1 T) 2 H =H(B) D =D(E) σ = σ(ε) Sprung- bzw. Randbedingungen [[A]] =0 [[ϕ]] =0 [[u]] =0 n [[H]] K =0 n [[D]] q =0 n [[σ]]+t =0 mit [[a]] =a + a Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 2 von 8

5 Maschinenwesen IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik Beispiel 1: Zylinder mit remanenter Magnetisierung (a) B1 (b) B2 Abbildung: Komponenten des B-Feldes Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 3 von 8

6 Maschinenwesen IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik Beispiel 1: Zylinder mit remanenter Magnetisierung (a) Br (b) Bϕ Abbildung: Komponenten des B-Feldes in Polarkoordinaten Verhalten an Materialgrenzen: Bl,l = 0 [[Bl ]]nl = 0 Normalkomponente der Flußdichte ist stetig mit Coulomb-Eichung Al,l = 0 folgt [[A]] = 0 Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 4 von 8

7 Maschinenwesen IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik Beispiel: Zylinder mit remanenter Magnetisierung (a) Hr (b) Hϕ Abbildung: Komponenten des H-Feldes in Polarkoordinaten Verhalten an Materialgrenzen: eijk Hk,j = 0 eijk [[Hj ]]nk = K i Tangentialkomponente der Feldstärke ist stetig (für K i = 0) Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 5 von 8

8 Two-dimensional RVE 1 Unit cell of periodic microstructure containing three cylindrical inclusions ( 20 vol%) Plane strain assumption for mechanical BVP Particles BASF CC carbonyl iron Nonlinear isotropic magnetic behavior M S = Am 1 and δ = A 1 m Linear isotropic mechanical properties E C = MPa and ν C =0.3 Diameter5µm Matrix materialwackerelastosil RT 745 Nonmagnetizable µ rm =1 Linear isotropic mechanical properties E M =0.2MPa and ν M =0.4 x 2 x 3 x 1 12 µm 24 µm 1 SpielerC,Kästner M.et al. Acta Mechanica, Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 6 von 8

9 Macroscopic behavior I Macroscopic deformation ε =0with fluctuation fieldũ + i =ũ i Little anisotropic effects, insignificant shear stress components Initiallystressquadraticin B,saturationforlargervaluesofinduction 0.26 µm B B u 2 u µm Deformation factor = 3 Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 7 von 8

10 Macroscopic behavior I ht i/kpa Macroscopic deformation ε =0with fluctuation fieldũ + i =ũ i Little anisotropic effects, insignificant shear stress components Initiallystressquadraticin B,saturationforlargervaluesofinduction ht i/kpa B /T B /T ht 11 i ht 22 i ht 12 i ht 21 i Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 7 von 8

11 Macroscopic behavior I ht i/kpa Macroscopic deformation ε =0with fluctuation fieldũ + i =ũ i Little anisotropic effects, insignificant shear stress components Initially stress quadratic in B,saturation forlarger valuesof induction ht i/kpa B /T B /T ht 11 i ht 22 i ht 12 i ht 21 i 2 GalipeauE, Ponte Castañeda P. International Journal of SolidsandStructures, Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 7 von 8

12 Macroscopic behavior II ht i/kpa Macroscopic induction 45 to particle cluster orientation, with ε =0 Unsymmetric macroscopic stress tensor Resultant torque acting on the RVE alignment of clusters parallel to B B /T ht 11 i ht 22 i ht 12 i ht 21 i B 1 Dresden, Numerische Methoden I FEM/REM Folie 8 von 8 B