O1 - Optische Abbildung

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1 O1 - Optische Abbildung Ziel des Versuches Im ersten Teil stehen die Bildkonstruktion an dünnen Sammellinsen sowie die Bestimmung der Brennweite im Vordergrund. Sie werden einfache Verfahren zum Abschätzen und Ermitteln der Brennweite kennenlernen, die im Wesentlichen auf der Bildentstehung beruhen. Des Weiteren untersuchen Sie die Vergrößerung reeller und virtueller Bilder sowie den Zusammenhang zwischen Vergrößerung und Gegenstandsweite bei reellen Bildern. Im zweiten Teil steht die Anwendung der Sammellinse als Mikroskop im Vordergrund. Durch den eigenständigen Aufbau eines Mikroskops sollen Sie ein tieferes Verständnis für seinen Funktionsweise entwickeln. Auf dieser Grundlage untersuchen Sie unter Zuhilfenahme eines Liniengitters und einer Irisblende den Zusammenhang zwischen numerischer Apertur und Auflösung Ihres Mikroskops. Abschließend werden Sie das Mikroskopieren anhand einer vom Betreuer ausgegeben Probe üben. Hinweise zur Vorbereitung Zur Vorbereitung können Sie mit dem Applet von Universität Colorado Boulder Geometric Optics spielen ( Zusätzlich nutzen Sie die Standardliteratur zur Optik (vgl. Literatur ), um sich über die folgenden Themen zu informieren: Bildkonstruktion an dünnen Sammel- und Zerstreuungslinsen Gaußsche Abbildungsgleichung Vergrößerung reeller und virtueller Bilder Auge, Lupe Aufbau und Vergrößerung eines Mikroskops optische und mechanische Tubuslänge, Apertur- und Feldblende Abbesche Theorie: numerische Apertur und Auflösungsvermögen Abbildungsfehler Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 1 von 11

2 Theoretischer Hintergrund Bildkonstruktion an dünnen Sammellinsen Zur Beschreibung der Bildentstehung an abbildenden Systemen genügt in der Regel die einfache Anschauung der geometrischen Optik. Es wird angenommen, dass sich Licht geradlinig ausbreitet, so dass der Lichtweg vereinfacht durch Strahlen dargestellt werden kann. Um das Bild eines Punktes hinter einer dünnen Sammellinse zu finden, genügen drei solcher Strahlen: ein Brennpunktstrahl, ein Mittelpunktstrahl und ein Parallelstrahl. Der Brennpunktstrahl und der Parallelstrahl tauschen nach ihrem Durchgang durch die Linse ihre Rollen. Der Schnittpunkt der drei resultierenden Strahlen beschreibt den Ort des Bildpunktes (Abb. 1). Abbildung 1: Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. Die Brechung an den Glas-Luft- Grenzflächen kann vereinfacht durch eine Brechung an der Hauptebene H dargestellt werden. Die optische Achse (o.a.) verläuft senkrecht zur Hauptebene durch den Mittelpunkt der Linse. Für abbildende Systeme wie Spiegel und dünne Linsen beschreibt die gaußsche Abbildungsgleichung 1 f = 1 g + 1 b den Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f. Gegenstands- und Bildweite werden im Falle dünner Sammellinsen von der Hauptebene aus bestimmt. Diese vereinigt vereinfachend die Brechung an beiden Oberflächen in einer Ebene. Die Brennweite f ist bestimmt über den Krümmungsradius der Grenzflächen der Linse (bzw. der Krümmung der Spiegeloberfläche). E ektiv beschreibt sie den Abstand jener Ebene, in der sich die Strahlen eines parallel einfallenden Lichtbündels schneiden. 1 Abhängig von der Lage des Gegenstandes in Bezug auf die Brennweite unterscheidet man zwischen reellen (g > f) und virtuellen (g < f) Bildern. Im ersten Fall konvergieren die Strahlen hinter der Linse und das entstehende Bild kann auf einem Schirm aufgefangen werden (vgl. Abb. 1). Im zweiten Fall divergieren die Strahlen hinter der Linse und es entsteht erst ein (1) 1 Die hierdurch auftretenden hohen Intensitäten, mit denen es möglich ist, flammbare Gegenstände zu entzünden, führten im Deutschen schließlich zu der Bezeichnung Brennebene. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 2 von 11

3 Bild, wenn der Gegenstand durch die Linse hindurch betrachtet wird. Der Gegenstand erscheint in diesem Fall vergrößert. Für reelle Bilder kann der Abbildungsmaßstab aus dem Verhältnis von Bild- zu Gegenstandsgröße ermittelt werden = B G. (2) Das Minuszeichen berücksichtigt die Invertierung des Bildes hinter der Linse (vgl. Abb. 1). Betrachtet man in Abbildung 1 die grünen Dreiecke, welche sich aus den Größen und Weiten von Gegenstand und Bild zusammensetzen, so ist festzustellen, dass diese ähnlich sind. Aus den Strahlensätzen folgt damit = b g. (3) Für die Vergrößerung virtueller Bildern wird eine verallgemeinerte Definition verwendet = tan Á tan Á 0. (4) Á 0 beschreibt den Sehwinkel, unter dem der Gegenstand ohne Instrument erscheint, und Á den Sehwinkel mit Instrument (bspw. eine Linse). Mikroskop Das Mikroskop setzt sich im einfachen Fall aus zwei Sammellinsen zusammen. Das Objektiv ist die dem abzubildenden Gegenstand zugewandte Linse, welche ein reelles Zwischenbild innerhalb des sogenannten Tubus erzeugt. Das Okular wird so positioniert, dass dessen Brennebene mit der Ebene des Zwischenbildes übereinstimmt. Dies erzeugt ein virtuelles Bild des Gegenstandes (vgl. Abb. 2), das beim Betrachten durch das Okular vergrößert erscheint. Die Vergrößerung der Bildes setzt sich multiplikativ aus den Vergrößerungen der Bestandteile zusammen = Ob Ok. (5) Die Vergrößerung des Objektivs kann mit einem Blick auf die grün markierten Dreiecke in Abbildung 2 durch Gleichung (3) bestimmt werden zu Ob = L f Ob. (6) f Ob ist hier die Brennweite des Objektivs und L die sogenannte optische Tubuslänge. Diese beschreibt den Abstand zwischen den zwei innen liegenden Brennebenen. Die Vergrößerung des Okulars muss durch die verallgemeinerte Definition aus Gleichung (4) bestimmt werden. Für den Fall, dass die Zwischenbildebene und die Brennebene übereinstimmen, akkommodiert das Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 3 von 11

4 Abbildung 2: Strahlengang innerhalb eines zusammengesetzten Mikroskops. Farblich gekennzeichnet sind wichtige geometrische Zusammenhänge zur Bestimmung der Gesamtvergrößerung. Auge auf unendlich. Der Tangens des Sehwinkels Á ergibt sich somit aus den geometrischen Verhältnissen im rot markierten Dreieck in Abbildung 2: tan Á = B f Ok. (7) Um den Sehwinkel ohne optisches Instrument (in diesem Fall ohne Okular) zu bestimmen, betrachtet man den Fall, dass der Gegenstand (in diesem Fall das Zwischenbild) in der Entfernung der deutlichen Sehweite s 0 =250mm betrachtet wird. In diesem Abstand ist es möglich, Gegenstände mit entspanntem Auge zu beobachten. Aus analogen geometrischen Beziehungen ergibt sich so dass die Vergrößerung des Okulars schließlich tan Á 0 = B s 0, (8) Ok = s 0 f Ok (9) ist. Die resultierende Gesamtvergrößerung des Mikroskops ist folglich = L s 0 f Ob f ok. (10) Diese Gleichung gilt selbstverständlich nur für den speziellen Fall, dass Bild- und Brennebene innerhalb des Tubus übereinstimmen. Auflösungsvermögen des Mikroskops Aus der strahlenoptischen Betrachtung der Bildentstehung im Mikroskop folgt, dass eine beliebige Vergrößerung des Objektes durch Anpassen der Tubuslänge und Verkleinern der Objektiv- Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 4 von 11

5 brennweite möglich ist. Allerdings steht diesem Sachverhalt eine Begrenzung des Auflösungsvermögens entgegen, die erst im Rahmen der Wellenoptik verstanden werden kann. Hierfür muss die Beugung an den zu beobachtenden Objekten berücksichtigt werden. In der Abbeschen Theorie des Mikroskops wird dies mit Hilfe der Abbildung eines Liniengitters veranschaulicht. Das Liniengitter steht in der Abbeschen Theorie stellvertretend für alle kleinen, periodischen Strukturen, die mit dem Mikroskop aufgelöst werden können. Das Licht wird an diesen Objekten gebeugt und propagiert nach dem Huygensschen Prinzip von der entsprechenden Ö nung als Kugelwelle weiter. Im Falle des Liniengitters propagieren die einzelnen Beugungsordnungen gemäß m = g sin m m =0, 1,... (11) in unterschiedliche Richtungen. Die Lage ( m ) der Beugungsordnungen m im Fernfeld hängt davon ab, mit welcher Wellenlänge das Gitter bestrahlt wird und wie groß der Linienabstand g ist. Diese divergierenden Beugungsordnungen müssen vom Objektiv aufgefangen werden. Das entstehende Bild resultiert aus der Interferenz der einzelnen Beugungsordnungen in der nach Gleichung (1) festgelegten Bildebene. Das Interferenzmuster weißt jedoch erst Ähnlichkeit mit dem Gitter auf, wenn mindestens zwei benachbarte Ordnungen miteinander interferieren können. Der Grund hierfür ist in Abbildung 3 veranschaulicht. Das zu der Beugungsordnung m gehörende Licht kann vereinfacht durch ein in Richtung des Divergenzwinkels m propagierendes, paralleles Strahlenbündel approximiert werden. Diese Reduzierung auf ein strahlenoptisches Problem gibt einen ersten Eindruck für die Notwendigkeit mehrerer Beugungsordnungen. Aus der geometrischen Optik ist bekannt, dass zur Konstruktion einer Abbildung mindestens zwei unterschiedliche Strahlen benötigt werden. Dies bedeutet, dass die Strahlen einer Beugungsordnung, welche alle den gleichen Winkel zur optischen Achse aufweisen und somit äquivalent sind, nicht ausreichen, um eine Bildebene zu beschreiben. Erst mit einer zusätzlichen Ordnung und somit weiteren Strahlen, die in einem anderen Winkel auf die Linse tre en, kann ein Bild geformt werden. Die wellenoptische Beschreibung bringt zusätzlich die Intensität in der Bildebene mit ins Spiel. Eine einfache Ordnung führt dort zu einer gleichmäßigen Intensitätsverteilung. Konstruktive und destruktive Interferenz mehrerer Ordnungen führen zur Verstärkung bzw. Abschwächung der Intensität an verschiedenen Orten, wodurch sich das Bild des Gitters ausbildet. Um die Position der Spalte zu bestimmen, reichen dabei bereits zwei zur Interferenz gebrachte Ordnungen aus. Das Bild weist in diesem Fall minimale Ähnlichkeit auf. Je mehr Beugungsordnung interferieren, umso detaillierter wird das resultierende Bild, d.h. die Auflösung des Mikroskops wird besser. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 5 von 11

6 Abbildung 3: Veranschaulichung der Bildentstehung an beugenden Objekten. Das Bild eines Gitters mit minimaler Ähnlichkeit entsteht durch die Interferenz mindestens zweier benachbarter Beugungsordnungen. Das Bild ist eine Bearbeitung eines Bildes des Skriptes "Grundpraktikum Physik"der Freien Universität Berlin (siehe Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 6 von 11

7 Um eine hohe Auflösung zu erzielen, müssen folglich möglichst viele Ordnungen durch das Objektiv aufgefangen und abgebildet werden. Die Ausmaße dieser Linsen sind jedoch begrenzt und somit auch die Anzahl abbildbarer Beugungsordnungen. Um die Lichtsammelleistung von Objektiven zu charakterisieren, hat Ernst Abbe den Begri der numerischen Apertur N. A. eingeführt. Sie ist definiert als Produkt des Brechungsindex n des Immersionsmediums (Medium zwischen Präparat und Objektiv) und dem Sinus des halben Ö nungswinkels max des maximal einfangbaren Lichtkegels (vgl. Abb. 3) N.A. = n sin max. (12) Alle Beugungsordnungen, für die m Æ max ist, können abgebildet werden und tragen somit zum Auflösungsvermögen bei. Der Brechungsindex des Immersionsmediums muss aufgrund der Brechung des Lichts beim Übergang vom Präparat zum Medium berücksichtigt werden. Diese Brechung führt e ektiv zu kleineren Ö nungswinkels, da der Übergang in der Regel vom optisch dichteren (Deckglas) zum optisch dünneren Medium (Luft) erfolgt. Um eine möglichst kleine Änderung des Ö nungswinkels zu erzielen, sollte also der Brechungsindexunterschied der beiden Medien möglichst klein sein. Das Auflösungsvermögen ist nach Abbe definiert als der minimale Abstand d min, den zwei Linien haben dürfen, damit sie gerade noch getrennt wahrnehmbar sind. Aus der vorangegangenen Betrachtung ist o ensichtlich, dass dieser Abstand umso kleiner wird, je größer die numerische Apertur wird, d.h. d min Ã (n sin max ) 1. Aus Gleichung (11) geht jedoch hervor, dass der Divergenzwinkel m der Beugungsordnungen von der Wellenlänge des verwendeten Lichts abhängt. Je größer, umso größer ist der Abstand zwischen den einzelnen Beugungsordnungen. Dies bedeutet jedoch auch, dass bei der Verwendung von rotem Licht ( 630 nm) unter Umständen weniger Ordnungen durch das Objektiv eingesammelt werden können als bei blauem Licht ( 450 nm). Dies hätte eine Verringerung des Auflösungsvermögens zur Folge. Berücksichtigt man also auch die Wellenlänge, so ergibt sich für das Auflösungsvermögen d min = n sin max. (13) Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 7 von 11

8 Teil 1. Brennweiten und Bildentstehung Zubehör Optische Schiene mit Halogenlampe, Schirm, Dia-Bild mit Halterung, 2 Linsen mit Halterung, Maßband Zum Versuch Hinweis: Nicht alle nachfolgenden Fragen müssen während des Versuches bearbeitet werden. Konzentrieren Sie sich im Experiment auf die für die Messungen relevanten Aufgaben. Blau markierte Abschnitte sind für die Auswertung relevante, weiterführende Fragen/Aufgaben und sollten spätestens im Protokoll von Ihnen diskutiert werden. Schätzen Sie für beide Linsen an ihrem Platz die Brennweite. Halten Sie dafür die Linse mitsamt Halterung parallel zur Tischoberfläche und erzeugen Sie auf dem Tisch ein scharfes, reelles Bild der Deckenbeleuchtung über Ihnen. Der Abstand zwischen dem Tisch und der Mitte der Linse dient Ihnen als Schätzwert der Brennweite. Ist die Abschätzung größer oder kleiner als die reale Brennweite der Linse? Welche Auswirkungen hätte es, die Sonne bzw. eine Schreibtischlampe als abzubildendes Objekt zu nutzen? Stellen Sie eine der Linsen auf die optische Schiene zwischen Objekthalter und Schirm. Legen Sie das Dia-Bild L-Muster in die Halterung und schalten Sie die Halogenlampe ein. Suchen Sie durch Verschieben der Linse und des Schirms ein scharfes, reelles Bild des L-Muster. Messen Sie die Gegenstandsweite g, Bildweite b und Bildgröße B und abschließend die Gegenstandsgröße G. Berechnen Sie aus den gemessenen Größen die Brennweite f. Überlegen Sie, welche Fehler Sie hier machen können. Wann betrachten Sie das Bild als scharf? Welche Auswirkungen haben folglich kleine Änderungen g bzw. b auf die Brennweite f? Schätzen Sie diesen Fehler. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Abschätzung und beurteilen Sie beide Methoden. Eignet sich die erste Methode für eine Angabe der Brennweite? Was passiert mit dem Bild, wenn Sie die Gegenstandsweite ändern? Vergrößern und verkleinern Sie die Gegenstandsweite jeweils ein Mal signifikant. Messen Sie in beiden Fällen (verkleinertes reelles und vergrößertes reelles Bild) g, b und B. Berechnen Sie die Vergrößerung der Bilder aus G und B und vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit den Werten, die Sie über die Berechnung mit g und b erhalten. Bestimmen Sie ebenfalls die Brennweite für diese beiden Positionen. Tauschen Sie die Linsen und nehmen Sie für drei verschiedene Positionen g und b auf. Berechnen Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 8 von 11

9 Sie hieraus die Brennweite. Sollten Sie diese im späteren Verlauf benötigen, so nutzen Sie für die jeweilige Linse den entsprechenden Mittelwert aus den drei Messungen. Geben Sie einen Messfehler für die Mittelwerte der Brennweiten an. Teil 2. Das zusammengesetzte Mikroskop Zubehör Siehe Brennweite und Bildentstehung ; Liniengitter mit 20, 50, und 80 Linien/mm, Farbfilter (rot und blau), Irisblende mit Halterung Zum Versuch Warnung: Die verwendete Lampe sendet ein intensives Licht aus. Dieses kann beim direkten Schauen durch die Linsenanordnung in die Lampenö nung am das Auge Schäden verursachen. Deshalb: NUR! durch die Linsenanordnung in Richtung Lampe schauen wenn die Probe: TEXT eingelegt ist. NIEMALS! bei eingelegtem L-Muster oder Gitter! (Die jeweiligen Beschriftungen beachten!) Aufbau des Mikroskops: Konstruieren Sie aufbauend auf Ihren vorangegangenen Ergebnissen mit Hilfe der beiden Linsen ein Mikroskop, mit dem Sie den ausgegebenen Text-Probe gut lesen können. Besprechen Sie Ihr Vorgehen mit dem Betreuer. Notieren Sie sich alle wichtigen Kenngrößen Ihres Mikroskops, den Text sowie mögliche Abbildungsfehler für das Protokoll. Bestimmen Sie näherungsweise die Vergrößerung Ihres Mikroskops (Gl. (10)). Diskutieren Sie mögliche Verbesserungen hinsichtlich Vergrößerung und Abbildungsfehler. Abbesche Theorie der Abbildung: Warnung: In diesem Teil sollten Sie die Kamera (BMS.pix auf dem Computers Desktop) benutzen um die Gitter zu abbilden, nicht Ihre Augen! Untersuchen Sie jetzt die Abbesche Theorie der Abbildung. Hierzu stehen Ihnen eine Reihe von Liniengittern unterschiedlicher Gitterkonstante, sowie eine Irisblende zur Verfügung. Betrachten Sie zuerst das Beugungsbild der drei Gitter im bildseitigen Fokus des Objektives mit Hilfe des Schirms. Warum erscheint dort überhaupt ein Beugungsbild? Wie und warum unterscheiden sich die einzelnen Muster? Schätzen Sie die freie numerische Apertur anhand der Anzahl der sichtbaren Beugungsordnungen für ein Gitter. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 9 von 11

10 Entfernen Sie den Schirm und justieren Sie Ihr Mikroskop so, dass Sie das Bild des 80er Gitters gut sehen können (mit der Kamera nicht Augen!). Notieren Sie sich wieder alle wichtigen Parameter zu Bestimmung der Vergrößerung Ihres Mikroskops. Was beobachten Sie, wenn Sie bewusst höhere Beugungsordnungen mit der Irisblende aussortieren? Können Sie Ihre Beobachtungen erklären? Teil 3. Numerische Apertur und Auflösungsvermögen Das Linienmuster der Probe Auflösungs-Testplatte ist in Abhängigkeit von der numerischen Apertur (verschiedene Objektive) bei blauen und roten Licht (Farbfilter) mit dem kommerziellen Mikroskop zu beobachten. Das jeweilige Auflösungsvermögen ist zu berechnen. Zubehör Kommerzielles Durchlichtmikroskop mit verschiedenen Objektiven und Okularen, Probe Auflösungs- Testplatte Zum Versuch Legen Sie das blaue Filterglas auf die Austrittsö nung der Mikroskop-Leuchte. Betrachten Sie das Linienmuster der Auflösungstestplatte mit einer Gesamtvergrößerung 50 (zum Beispiel: Objektiv 4x und Okular 12,5x). Stellen Sie das Bild so scharf wie möglich ein. Beobachten Sie, welches Linienmuster noch aufgelöst wird und ab wann keine Struktur mehr erkennbar ist. Wiederholen Sie die Beobachtung mit einer anderen Kombination aus Objektiv und Okular (bei gleicher Gesamtvergrößerung 50). Zur Berechnung des Auflösungsvermögens notieren Sie die numerische Apertur beider Objektive. Wiederholen die Messung mit dem roten Filter. Wird das Auflösungsvermögens dadurch verbessert oder verschlechtert? Welcher Filter (rot oder blau) ist für eine bessere Auflösungsvermögens am geeignetsten? Zusatzaufgabe: Das Auge Sie haben im ersten Teil gesehen, dass eine Sammellinse ein reelles, umgekehrtes Bild erzeugt, wenn sich das abzubildende Objekt außerhalb der Brennweite befindet. Das menschliche Auge funktioniert ebenfalls wie eine Sammellinse, die ein Bild auf der Netzhaut erzeugt. Dieses Bild sollte nach unserer bisherigen Erfahrung umgekehrt sein. Unsere Alltagserfahrung hingegen lehrt uns, dass alles, was wir sehen, aufrecht ist statt umgekehrt! Ist das auf der Netzhaut entstehende Bild also tatsächlich invertiert? Finden Sie es in einem Experiment heraus: Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 10 von 11

11 Bewegen Sie Ihre Augen, so dass Sie so weit wie möglich nach links sehen. Berühren Sie vorsichtig mit ihrem Finger die äußere Ecke Ihres rechten Auges. Schließen Sie eventuell die Augen, damit Sie u.u. nicht den Augapfel durch ihren Fingernagel verletzen. Üben Sie mit dem Finger leichten Druck auf die Stelle aus. Sie sollten nun einen farbigen Fleck am Rand des Sichtfeldes bemerken. Dieser Fleck wird durch die Stimulation der lichtsensitiven Bereiche auf der Retina erzeugt. Sie haben also gewissermaßen ein Bild ihrer Fingerkuppe durch Berührung statt durch Licht erzeugt! Die Frage ist nun: Was passiert mit dem Fleck, wenn Sie ihren Finger vorsichtig nach oben oder nach unten bewegen? Klären Sie mit Ihrer Beobachtung, das im ersten Absatz geschilderte Problem. Literatur [1] Bergmann, L.; Schäfer, C.: Lehrbuch der Experimentalphysik Bd. 3: Optik. Berlin : Walter de Gruyter, 2004 [2] Hecht, E.: Optik. München : Walter de Gruyter, 2014 [3] Demtröder, W.: Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik. Berlin Heidelberg : Springer Spektrum, 2013 [4] Eichler, H. J. ; Kronfeldt, H.-D. ; Sahm, J.: Das neue Physikalische Praktikum. Berlin Heidelberg : Springer Spektrum, 2016 [5] Meschede, D. (Hrsg.): Gerthsen Physik. Berlin Heidelberg : Springer Spektrum, 2015 [6] Tipler, P.A. ; Mosca, Gene ; Wagner, J. (Hrsg.): Physik: für Wissenschaftler und Ingenieure. Berlin Heidelberg : Springer Spektrum, 2015 Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 11 von 11