Kalkulation versicherungstechnischer Risiken

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Maximilian Mann
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1 Kalkulation versicherungstechnischer Risiken mit Beispielen aus den Sparten Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Lebensversicherung AG Wiesbaden

2 Begriff des Risikos Definition: Risiko bedeutet die Möglichkeit des Eintritts von Ereignissen mit nachteiligen (wirtschaftlichen) Folgen Zufallscharakter: Ereignisse sind nach Art, Höhe, Zeitpunkt und Häufigkeit ungewiß => Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Materialisierung eines Risikos bezeichnet man als Schaden => Schadenverteilung Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 2/14

Häufigkeit ungewiß => Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Materialisierung eines Risikos bezeichnet man als

3 Beschreibung von Schadenereignissen Hauptkriterien: Schadenhäufigkeit / Schadenanzahl und Schadenhöhe => diskrete oder kontinuierliche Schadenverteilung N n S s Summenversicherung: Keine Berücksichtigung der Schadenhöhe, statt dessen festgelegte Versicherungssumme als Leistungsbasis (Beispiel: Lebensversicherung) Schadenversicherung: Berücksichtigung der Schadenhöhe, konkreter Schadenersatz als Leistungsbasis (Beispiele: KrankheitskostenvollV, Kfz-HaftpflichtV) Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 3/14

Leistungsbasis (Beispiel: Lebensversicherung) Schadenversicherung: Berücksichtigung der Schadenhöhe, konkreter Schadenersatz als

4 Quantitative Schätzung von Risiken Voraussetzungen zur Schätzung von Risiken: - Anwendbarkeit statistischer Methoden - ausreichende (statistisch verwertbare) Datenbasis Voraussetzungen sind in der Praxis nicht immer erfüllt! Bei gesamtwirtschaftlichem Interesse, Versicherungsschutz anzubieten: - Versicherungskonsortien, Risikoteilung => Idee der Rückversicherung - Staatsgarantien Andererseits: Es gibt unversicherbare Risiken! Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 4/14

Bei gesamtwirtschaftlichem Interesse, Versicherungsschutz anzubieten: - Versicherungskonsortien, Risikoteilung => Idee der

5 Anwendung stochastischer / wahrscheinlichkeitstheoretischer und statistischer Methoden: 1. Wahl des Modells 2. Schätzung der Parameter 3. Anpassungstest 4. Fragestellung untersuchen 5. Plausibilisierung Oft fehlen exakte Informationen bezüglich der zugrunde liegenden Zusammenhänge und Wirkmechanismen => Prüfung des gewählten wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells unter empirischen Aspekten => Die Risikoannahmen von Versicherungsprodukten bedürfen permanenter Kontrolle Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 5/14

Plausibilisierung Oft fehlen exakte Informationen bezüglich der zugrunde liegenden Zusammenhänge und Wirkmechanismen => Prüfung des gewählten

6 Versicherungstechnisches Risiko Definition: Versicherungstechnisches Risiko bedeutet die positive Abweichung der tatsächlichen von der modellierten Schadenverteilung Gesetz der großen Zahl => Beobachtete Schadenverteilung S konvergiert im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn gegen Wahrscheinlichkeitsverteilung Versicherungstechnische Interpretation: => Ausgleich im Kollektiv, Ausgleich in der Zeit Erwartete Schadenverteilung bestimmt Preis des Versicherungsschutzes => Versicherungstechnisches Äquivalenzprinzip: erwarteter Schaden = erwartete (Netto-)Versicherungsprämie Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 6/14

Versicherungstechnische Interpretation: => Ausgleich im Kollektiv, Ausgleich in der Zeit Erwartete Schadenverteilung bestimmt Preis des Versicherungsschutzes =>

7 Bestandteile des versicherungstechnischen Risikos: - Zufällige Abweichungen vom erwarteten Schadensverlauf (Schwankungsrisiko) => Kalkulation: Sicherheitszuschläge / Schwankungszuschläge => Solvabilität: Schwankungsrückstellung - Inadäquate Modellwahl (Irrtumsrisiko) => Risikopolitik, Kontrolle der kalkulatorischen Annahmen - Einflußfaktoren ändern sich (Änderungsrisiko) => Risikopolitik, Kontrolle der kalkulatorischen Annahmen - Die Bestimmung der Zuschläge erfolgt mit Hilfe geeigneter Prämienprinzipien Erwartungswertprinzip P = (1 + α) * E[S] Varianzprinzip P = E[S] + α * Var[S] etc. Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 7/14

Einflußfaktoren ändern sich (Änderungsrisiko) => Risikopolitik, Kontrolle der kalkulatorischen Annahmen - Die Bestimmung der Zuschläge erfolgt mit Hilfe geeigneter

8 Beispiel 1: Sterblichkeitsrisiko in der Lebensversicherung Risiko: Sterbewahrscheinlichkeit (Sterblichkeit) q x 1. Schritt: Rohdatenbasis Bevölkerungsstatistik (z. B. Statist. Bundesamt) Geburts- und Sterbedaten => Sterbealter tagesgenau 2. Schritt: Wieviele Personen sind im Beobachtungszeitraum x-jährig gestorben? - Geburtstag des x-jährigen kann schon im Vorjahr liegen => Betrachte drei benachbarte Jahre - Sterblichkeit x-jähriger ist heute eine andere als vor 20 Jahren => Generationenbetrachtung Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 8/14

Schritt: Wieviele Personen sind im Beobachtungszeitraum x-jährig gestorben?

9 3. Schritt: Ausgleichsverfahren zur Glättung zufälliger Schwankungen 4. Schritt: Versicherungstechnische Zuschläge - Sicherheitszuschlag - Schwankungszuschlag - Zuschlag wegen Irrtumsrisiko - Zuschlag wegen Änderungsrisiko q x q x q x x x x Rohdaten Glättung Zuschläge Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 9/14

Zuschlag wegen Irrtumsrisiko - Zuschlag wegen Änderungsrisiko q x q x q x x x x Rohdaten

10 Vergleich verschiedener Sterbetafeln (1000 * q x ): - Todesfallrisiko vs. Erlebensfallrisiko: DAV 1994 T M vs. DAV 1994 R M Alter T 11,687 0,334 6, ,691 R 0,113 0,113 2,677 98,056 - Abhängigkeit vom Geschlecht: DAV 1994 T M vs. DAV 1994 T F Alter M 11,687 0,334 6, ,691 F 9,003 0,261 3, ,375 - Ältere vs. aktuelle Tafeln: Alter ,38 1,42 10,30 284, ,83 0,95 8,25 241, ,00 1,00 7,84 297, ,687 0,334 6, ,691 Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 10/14

M 11,687 0,334 6,751 253,691 F 9,003 0,261 3,425 206,375 - Ältere vs. aktuelle Tafeln: Alter 0 10 50 90.

11 Beispiel 2: Elemente der Risikokalkulation in der Kfz-Haftpflichtversicherung Genaue Schadenursache ist für Tarifierung nicht von Bedeutung Schadenhäufigkeiten und Schadenhöhen können sich schneller ändern als Sterblichkeiten in der LV In Deutschland Versicherungspflicht für alle Fahrzeughalter Empirische Erfassung wird erschwert durch hohe Fluktuation der Bestände Prämiendifferenzierung nach Risikomerkmalen: In Märkten mit Differenzierung kommt es zur Wanderung schlechter Risiken zu Unternehmen ohne Differenzierung (Antiselektion) => Zwang zur Differenzierung Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 11/14

erschwert durch hohe Fluktuation der Bestände Prämiendifferenzierung nach Risikomerkmalen: In Märkten mit Differenzierung kommt es zur Wanderung schlechter Risiken zu

12 Klasseneinteilung anhand von Risikomerkmalen: allgemein: Halterwohnort / Region personenbezogen: Geschlecht, Alter, Fahrpraxis, Fahrleistung, Zweitnutzer typabhängig: Hubraum / Leistung, Fahrzeugtyp Fragen: - Sind die Ausprägungen der Risikoklassen statistisch noch aussagekräftig? => Zahl der Merkmale darf nicht zu groß werden - Welche Risikomerkmale sind überhaupt signifikant? => Einfluß der Einzelmerkmale muß geschätzt werden Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 12/14

noch aussagekräftig? => Zahl der Merkmale darf nicht zu groß werden - Welche Risikomerkmale sind überhaupt signifikant?

13 Eine Möglichkeit: Geschachtelte (lineare) Modelle Beispiel mit zwei Merkmalen A und B: Schadenbeobachtungen S klm mit Ausprägungen k = 1,...,K für Merkmal A, l = 1,...,L für Merkmal B, jeweils M Beobachtungen Dreifach geschachteltes Modell: M 1 : E[S klm ] = µ, geschätzt durch µ => 1 Parameter M 2 : E[S klm ] = µ k für festes k, geschätzt durch µ k => K Parameter M 3 : E[S klm ] = µ kl für feste k,l, geschätzt durch µ kl => K*L Parameter Fehlerquadrate Q 1 = Σ (S klm µ) 2, Q 2 = Σ (S klm µ k ) 2, Q 3 = Σ (S klm µ kl ) 2 erfüllen Q 1 Q 2 Q 3 Kriterium: Wenn (Q 1 Q 2 )/(K 1) >> (Q 2 Q 3 )/(KL K), dann verzichte auf Merkmal B Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 13/14

µ k => K Parameter M 3 : E[S klm ] = µ kl für feste k,l, geschätzt durch µ kl => K*L Parameter Fehlerquadrate Q 1 = Σ (S klm µ) 2, Q 2 = Σ (S klm µ k ) 2, Q 3 = Σ (S klm µ kl ) 2

14 Allgemeine Probleme der Schadenversicherung - Schäden können u. U. erst sehr spät gemeldet werden, Schadenbearbeitung kann bei Rechtsunklarheit lange dauern (Beispiel: Öltankversicherung) => Spätschadenreservemodelle, Chain-Ladder-Verfahren - Risiken treten auf, die bei Vertragsabschluß noch unbekannt waren (Beispiel: Asbestschäden in der US-Haftpflichtversicherung) => Hoher Nachreservierungsaufwand kann für VU existenzbedrohend sein - Ein einziges Großschadenereignis kann den Schadenverlauf erheblich verändern => Deutliche Auswirkungen auf Prämienverlauf (Beispiel: Unfallversicherung) Fachhochschule Bochum: Campus meets Company Dr. Arnd Grimmer DBV-Winterthur Blatt 14/14

Chain-Ladder-Verfahren - Risiken treten auf, die bei Vertragsabschluß noch unbekannt waren (Beispiel: Asbestschäden in der US-Haftpflichtversicherung) => Hoher

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