Dynamische Geometrie Software in der Oberschule Teil 3

Transkript

1 Landesinstitut für Schule - Bremen Hauptseminar 31 - Fachdidaktisches Seminar für Mathematik Dynamische Geometrie Software in der Oberschule Teil 3 Heinz-Jürgen Harder Fachleiter für Mathematik Januar 2011

2 Zusammenfassung Zunächst wird die grundlegende Philosophie dynamischer Geometriesoftware (DGS) kurz vorgestellt. Hierbei sind insbesondere der Zugmodus und die Möglichkeit, eine Spur bewegter Objekte aufzuzeichnen von Interesse. Danach gebe ich einen Überblick über einige wichtige Dynamische Geometrie Programme, die in den Schulen zum Einsatz kommen. Es gibt sicher noch einige weitere Programme, wobei ich mich auf solche beschränke, die entweder kostenlos verfügbar sind, oder von denen ich weiß, dass sie in Bremen zum Einsatz kommen. Im Folgenden werden dann die verschiedenen Einsatzmöglichkeiten dynamischer Geometrieprogramme beschrieben. Hierbei lege ich zunächst den Schwerpunkt auf den Einsatz in der Mittelstufe der Oberschule, in späteren Versionen werde ich auch den Einsatz in der Oberstufe mit berücksichtigen. Die wichtigsten Funktionen der dynamischen Geometrie Software werde ich anhand des Programms GeoGebra erläutern, da dieses zum einen kostenlos verfügbar ist, zum anderen ein Programm ist, das aktuell immer weiter entwickelt wird. In dieser ersten Version habe ich zunächst auf eine Behandlung der Tabellenkalkulation verzichtet, dies werde ich später ergänzen. Im letzten Kapitel werden dann anhand einiger Unterrichtsbeispiele typische Einsatzmöglichkeiten für dynamische Geometrie vorgestellt. Auch diese werden in folgenden Versionen noch auf Beispiele aus der Oberstufe erweitert. Für die Veröffentlichung im Internet wurde das Skript in zwei Teile aufgeteilt. Aus diesem Grund können einige Referenzen noch fehlerhaft sein. Bremen, im Januar 2011 Heinz-Jürgen Harder

3 Kapitel 1 Philosophie der DGS siehe in Teil 1 1

4 Kapitel 2 Beispiele für DGS-Pakete siehe in Teil 1 2

5 Kapitel 3 DGS im Unterricht siehe in Teil 1 3

6 Kapitel 4 Das DGS-Beispiel GeoGebra siehe in Teil 2 und auch die Anleitung von Markus und Judith Hohenwarter (Hohenwarter und Hohenwarter (2009)). 4

7 Kapitel 5 Unterrichtsbeispiele mit DGS Hier stelle ich nur eine Auswahl aus vielen möglichen Beispielen zum Einsatz der dynamischen Geometrie im Unterricht vor. Nach Möglichkeit habe ich versucht, Beispiel zu allen Jahrgangsstufen zu finden. Weitere Beispiele findet man u.a. in den Didaktik-Zeitschriften. Insbesondere im Themenheft zur DGS mit dem Basisartikel von Greefrath u. a. (2010). Darüber hinaus möchte ich noch die Artikel von Mann (2007) sowie Hohenwarter und Lindner (2008) erwähnen. 5.1 Klassische Beispiele aus der Geometrie Spiegeln und Drehen Für untere Klassenstufen bietet es sich an, dynamische Arbeitsblätter vorzubereiten, mit denen die Schülerinnen und Schüler Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten untersuchen können, ohne selbst zu konstruieren. Im Zusammenhang mit dem Thema Spiegeln und Drehen können die entsprechenden Werkzeuge benutzt werden, um damit eine Umgebung zu erstellen in der die Schülerinnen und Schüler beliebige Objekte, die in das Arbeitsblatt importiert werden können auf Symmetrieeigenschaften zu untersuchen, oder ihr Verhalten bei Spiegelung und Drehung zu untersuchen. Im vorliegenden Beispiel ist es ein aus Quadraten zusammengesetzter Buchstabe, der bezüglich einer Spiegelachse bewegt werden kann. Außerdem kann die Spiegelachse verschoben und gekippt werden. Mit einem Schieberegler (nicht im Bild) kann der Buchstabe gedreht werden, wobei der Drehpunkt C noch bewegt werden kann. Abbildung 5.1: Ein gespiegeltes und gedrehte F Umkreise Im Sinne von entdeckenden Lernen dient dieses Beispiel der Erforschung des Umkreises eines Dreiecks. Im ersten Schritt kann die Konstruktion des Mittelpunktes problematisiert werden. Dies kann über ein Anwendungsproblem geschehen, z.b.: 5

8 6 KAPITEL 5. UNTERRICHTSBEISPIELE MIT DGS Für drei Orte (hier Bremen, Hannover und Bielefeld) soll ein zentrales Hubschrauberdepot gefunden werden. Liegt auch Osnabrück und Walsrode in der gleichen Reichweite? Welche Orte liegen noch in gleicher Reichweite für den Hubschrauber? Für dieses Beispiel kann ein Bild (hier eine Landkarte, siehe Abbildung 5.2) als Hintergrundbild der Zeichenfläche in der Grafik-Ansicht eingefügt werden. Abbildung 5.2: Der Umkreis eines Dreiecks Ohne Hintergrundbild kann das fertige Arbeitsblatt (siehe Abbildung 5.3) für die Untersuchung der Lage des Mittelpunktes benutzt werden: Unter welchen Bedingungen liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks? Wann liegt er auf einer Dreiecksseite? Ist es dann eine beliebige Dreiecksseite? Abbildung 5.3: Lage des Umkreismittelpunktes beim Ändern des Dreiecks Hierfür sollte das Winkelmesswerkzeug den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung stehen. Als weiterer Schritt könnte dann untersucht werden, ob Vierecke auch einen Umkreis durch alle Eckpunkte besitzen, bzw. welche Bedingungen ein Viereck erfüllen muss, damit es einen Umkreis besitzt. Dies führt zum geometrischen Objekt Sehnenviereck (siehe hierzu bei Krauter (2005) Seite 75).

9 5.2. FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE Das Mittenviereck Dieses ist ein Beispiel, dass von den Schülerinnen und Schülern eigenständig konstruiert werden kann. Dabei wird ein beliebiges Viereck konstruiert, indem... zunächst vier Punkte auf der Zeichenebene gesetzt werden, die man dann mit dem Vieleck-Werkzeug zu einem Viereck verbindet. Dadurch ist das Viereck jetzt beliebig zu verziehen. Nun werden mir dem Mittelpunkt-Werkzeug die Seitenmitten des Vierecks markiert. Diese werden dann wieder mit dem Vieleck-Werkzeug verbunden. Um die beiden Vielecke besser unterscheiden zu können, kann man sie noch mit Rechtsklick Eigenschaften mit unterschiedlichen Farben versehen. Abbildung 5.4: Gestalt des Mittenvierecks beim Verziehen des äußeren Vierecks Indem sie das äußere Viereck verziehen, können die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften des Mittenvierecks beobachten. Zu den Zusammenhängen und zum Beweis siehe Krauter (2005) auf Seite Funktionale Zusammenhänge Im Zusammenhang mit Funktionen ist die Abhängigkeit des Graphen von dem Funktionsterm von Interesse. Schülerinnen und Schüler können selbstständig diese Zusammenhänge entdecken, wenn sie die Möglichkeit haben, viele Funktionsterme und die zugehörigen Graphen zu Untersuchen. Am besten geschieht dies in Versuchsreihen, bei denen immer ein Parameter verändert wird während die anderen fest gelassen werden. Dieses entspricht dem naturwissenschaftlichen Arbeiten bei Versuchen Quadratische Funktionen erkunden Bei linearen Funktionen können im Funktionsterm f(x) = m x + b die Bedeutung von m und b untersucht werden. Bei quadratischen Funktionen können die Schülerinnen und Schüler in Gruppen die Parameter in den verschiedenen Formen des Funktionsterms: f(x) = a x 2 + b x + c f(x) = a (x + d) 2 + e f(x) = a (x + r)(x + s) auf ihren Einfluss auf den Graphen hin untersucht werden. Auf dem Papier ist es allerdings recht mühsam, viele Graphen zu zeichnen um auf diese Weise eine große Zahl von Beispielen zu bekommen. Hier bietet die DGS mit der Möglichkeit, Graphen

10 8 KAPITEL 5. UNTERRICHTSBEISPIELE MIT DGS schnell zu zeichnen und zu manipulieren eine gute Möglichkeit das Entdecken zu unterstützen. Am Beispiel der quadratischen Funktion soll dieses vorgestellt werden: Im Fall der Scheitelpunktform ist die Abhängigkeit des Graphen von den drei Parametern a; d und e zu untersuchen. Hierfür eignet sich ein Arbeitsblatt (Abbildung 5.5), das so vorbereitet wurde, dass sich die Parameter mit Hilfe von Schiebereglern verändern lassen (Siehe hierzu die Abbildung?? auf Seite??). Auf diese Weise können sich die Schülerinnen und Schüler ganz auf die Zusammenhänge konzentrieren und sind von der Zeichenarbeit entlastet, zumal diese auch Fehlermöglichkeiten beinhaltet, die der Erkenntnis entgegenstehen. Das Arbeitsblatt könnte wie folgt aussehen, wobei auch noch ein Funktionsterm integriert wurde, bei dem sich die Zahlenwerte dynamisch mit verändern: Abbildung 5.5: Arbeitsblatt zur Erforschung der Parameter der Scheitelpunktform In der Algabra-Ansicht können die Schülerinnen und Schüler die Koordinaten der wichtigsten Punkte auf der Parabel ablesen. Diese Koordinaten können auch in der Grafik-Ansicht eingeblendet werden, dies führt aber nicht zu mehr Übersicht Modellierung mit einem Funktionsgraphen Das Einbinden von Bildern (siehe dazu das Werkzeugmenü in Abbildung?? auf Seite??) ermöglicht es, Kurvenverläufe mit Hilfe von Funktionsgraphen zu modellieren. Das Bild wird in die Grafik-Ansicht eingesetzt und dann über das Eigenschaftenmenü entweder in ein Hintergrundbild umgewandelt oder, wie in Abbildung 5.6 geschehen, transparent gemacht. Mit Hilfe von Schiebereglern können die Parameter der Funktionsgleichung verändert und damit die Kurve dem Sonnenlauf angepasst werden.

11 5.2. FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE 9 Abbildung 5.6: Modellierung des Mitternachtssonnenlaufs mit einer Sinusfunktion Der Spurmodus Neben der Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den Funktionstermen und den Graphen bietet die DGS auch Werkzeuge, um funktionale Zusammenhänge zwischen geometrischen Objekten zu entdecken und zu untersuchen. Im folgenden Beispiel ist ein Dreieck ABC mit den drei Höhen h a, h b und h c gezeichnet. Die beiden Eckpunkte A und B liegen (verschiebbar) auf der x Achse eines Koordinatensystems und der Eckpunkt C beweglich auf einer (ebenfalls verschiebbaren) Parallele zur x Achse. Die Aufgabe besteht nun darin zu beschreiben, wie sich der Schnittpunkt S h der drei Höhen verhält, wenn der Punkt C auf der Parallelen verschoben wird (siehe Abbildung 5.7). Abbildung 5.7: Der Höhenschnittpunkt im Dreieck Mit Papier und Bleistift bleibt hier nur die Möglichkeit, eine algebraische Lösung zu finden. Mit Hilfe der DGS kann die Beschreibung des Verhaltens zunächst experimentell ermittelt werden, indem für den Punkt eine Spur eingeschaltet wird (siehe Abbildung 5.8). Auf diese Weise

12 10 KAPITEL 5. UNTERRICHTSBEISPIELE MIT DGS hinterlässt der Punkt beim Verziehen von C in der Grafik-Ansicht eine Spur seines Weges (siehe Abbildung 5.9), die dann geometrisch oder algebraisch analysiert werden kann. Abbildung 5.8: Über das Kontextmenü wird die Spur eingeschaltet Abbildung 5.9: Die Spur des Punktes S h beim Verziehen von C Es bleibt dem Leser hier überlassen, eine algebraische Beschreibung der Kurve, die offensichtlich eine Parabel darstellt, zu finden.

13 5.2. FUNKTIONALE ZUSAMMENHÄNGE 11

14 Literaturverzeichnis [Baptist 2004] Baptist, Peter (Hrsg.): Lernen und Lehren mit dynamischen Arbeitsblättern. Friedrich Verlag, 2004 [Barzel u. a. 2009] Barzel, Bärbel (Hrsg.) ; Hußmann, Stephan (Hrsg.) ; Leuders, Timo (Hrsg.): Computer, Internet & Co im Mathematik-Unterricht. Cornelsen Scriptor, 2009 [Bayreuth 2010] Bayreuth, Universität: GEONExT Homepage. Dezember 2010 [Greefrath u. a. 2010] Greefrath, Gilbert ; Hußmann, Stephan ; Fröhlich, Ines: Geometrie bewegen. In: Praxis der Mathematik in der Schule 52 (2010), August, Nr. 34 [Henn und Jock 1993] Henn, Hans-Wolfgang ; Jock, Werner: Arbeitsbuch CABRI Géomètre. Dümmler Verlag, 1993 [Hohenwarter 2010] Hohenwarter, Markus: GeoGebra Homepage. Dezember 2010 [Hohenwarter und Hohenwarter 2009] Hohenwarter, Markus ; Hohenwarter, Judith: GeoGebra Hilfe - Offizielles Handbuch April 2009 [Hohenwarter und Lindner 2008] Hohenwarter, Markus ; Lindner, Andreas: Beweisen und Visualisieren mit Vektoren. In: Praxis der Mathematik in der Schule 50 (2008), Juni, Nr. 21, S [Koepsell und Tönnies 2007] Koepsell, Andreas ; Tönnies, Dirk: Dynamische Geometrie im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. Aulis Verlag Deubner, 2007 [Krauter 2005] Verlag, 2005 Krauter, Siegfried: Erlebnis Elementargeometrie. Spektrum Akademischer [Mann 2007] Mann, Markus: Fit für das Parkett. In: mathematik lehren (2007), April, Nr. 141, S [Pallack und Barzel 2008] Pallack, Andreas (Hrsg.) ; Barzel, Bärbel (Hrsg.):... aller Anfang ist leicht. Texas Instruments, 2008 [Ulm 2004] 2004 Ulm, Volker: Mathematikunterricht für individuelle Lernwege öffnen. Kallmeyer, [Weigand und Weth 2002] Weigand, Hans-Georg ; Weth, Thomas: Computer im Mathematikunterricht - Neue Wege zu alten Zielen. Spektrum Akademischer Verlag, 2002 [Wikipedia 2010] Wikipedia: Dynamische Geometrie. Dezember