Um die Kosten für ein Gatternetz messen zu können, führen wir den sog. Kostenfaktor ein.

Transkript

1 5..5. Minimirung Ggbn si in BLEsch Funktion in inr blibign Schribwis, gsucht di funktionsglich DNF (NF), dr das "infachst", d. h. kostngünstigst zwistufig ANDRGattrntz (R ANDGattrntz) ntspricht ostn Um di ostn für in Gattrntz mssn zu könnn, führn wir dn sog. ostnfaktor in. Df.: ostnfaktor Summ dr Anzahln dr Eingäng dr vrwndtn AND und RGattr; ggf. rfordrlich Ngatorn wrdn nicht mitgzählt. Anm.: Di gwählt Dfinition ght zurück auf di ontaktntz dr Schaltalgbra (s. Bispil..). Man zählt di Anzahl dr Pfad und di Anzahl dr ontakt pro Pfad (DNF) bzw. di Anzahl dr Ebnn und di Anzahl dr ontakt pro Ebn (NF). Da Arbits und Ruhkontakt twa glichvil kostn, muß zwischn ihnn nicht untrschidn wrdn. Bispil 5.. In Bispil 5.0. hn wir di DNF bcd bcd acd gfundn. ontakt und Gattrntz shn so aus b /c d /b c d /a c d b & c d & a & 57

2 Dr ostnfaktor rgibt sich zu Pfad + DNF ontakt im obrn Pfad + ontakt im mittlrn Pfad + ontakt im untrn Pfad REingäng + * ANDEingäng Auf analog Wis (s. Bispil 5..) findt man di NF d(b c)(a b c) ontakt und Gattrntz shn so aus b /a d /b c /c d b & c a Dr ostnfaktor rgibt sich zu Ebnn + NF ontakt in dr linkn Ebn + ontakt in dr mittlrn Ebn + ontakt in dr rchtn Ebn 9 bzw. für das Gattrntz REingäng + ANDEingäng + ANDEingäng 8 NF Bispil 5.. Analog zu Bispil 5.. rgbn sich di ostnfaktorn für di Gattrntz aus dn Bispiln 5.5. bis 5.8. zu

3 Wir haltn fst: Di Umstzung dr DNF (NF) führt zum "turstn" Gattrntz. Di ostn für das DNFGattrntz und für das NFGattrntz sind nicht notwndig glichgroß. Di Umstzung inr (nichtkanonischn) DNF (NF) führt zu inm Gattrntz, das "billigr" als das ntsprchnd DNFGattrntz (NFGattrntz) ist. Di ostn für das "billigst" DNFGattrntz und für das "billigst" NFGattrntz sind bnfalls nicht notwndig glichgroß. Ein möglich Stratgi für das Findn ds "billigstn" Gattrntzs könnt so ausshn, daß zunächst gtrnnt di ostn für das DNF und für das NFGattrntz rmittlt wrdn. Anschlißnd vrinfacht man so gut wi möglich das "billigr" dr bidn Gattrntz und rhält so das "billigst" Gattrntz übrhaupt. Di Allgmingültigkit disr Stratgi darf r bzwiflt wrdn. Es ist nicht ausgschlossn, daß das "billigst" Gattrntz in DNFGattrntz (NFGattrntz) ist, obwohl das DNFGattrntz (NFGattrntz) "turr" ist als das NFGattrntz (DNFGattrntz). Man wird also nicht umhinkommn, sowohl das "billigst" DNFGattrntz als auch das "billigst" NFGattrntz zu rmittln, um mit dm "billigstn" davon das "billigst" Gattrntz übrhaupt zu findn ARNAUGHPlan Dr ARNAUGHPlan hilft, zu inr ggbnn DNF (NF) di minimal (d. h. kostngünstigst) funktionsglich DNF (NF) zu findn. In Bispil 5.0 hn wir knnnglrnt, daß DNF durch "gschickts" Zusammnfassn von Elmntarkonjunktionn zu DNF vrinfacht wrdn könnn. Das Vrfahrn bstand darin, Paar von Elmntarkonjunktionn i und j zu suchn, di sich in nur gnau inr Variln x k untrschidn, und zu inr (nichtlmntarn) onjunktion zusammnzufassn.... i j x...x x x... x x...x x x...x... k k k+ n k k k+ n... (x x )x...x x... x... k k k k+ n... x...x x... x... k k+ n Anm.: x j stht für x j odr x j, r in bidn onjunktionn glich! 59

4 Das Problm di bstht darin, kins disr Paar zu übrshn. ARNAUGH und VEITCH hn unhängig voninandr in Diagramm anggbn, in dm all möglichn Mintrm (Maxtrm) inr DNF (NF) so angordnt sind, daß Mintrm (Maxtrm), di sich in nur inr Variln untrschidn, unmittlbar bnachbart sind. Auf dis Wis lassn sich Paar (Quarttt, kttt,...) von Mintrmn (Maxtrmn), di sich zusammnfassn lassn, lichtr rknnn. Wir wrdn hir immr von ARNAUGHPlan sprchn. Üblich sind auch di Bzichnungn VEITCHDiagramm odr VDiagramm. bwohl dr ARNAUGHPlan sowohl zur Darstllung dr DNF als auch dr NF gignt ist, wrdn wir ihn hir immr nur als Darstllungsmittl für di DNF vrwndn. Ein shr gründlich und thortisch xakt Einführung in di Minimirung findn Si in dn Folin Dr. önigs (Folin bis ). Wir wrdn hir di Minimirung anhand ins schon mhrfach vrwndtn Bispils knnnlrnn. Bispil 5.. In Bispil 5.0. hn wir di DNF cd D B 7 5 zur DNF bcd bcd acd vrinfacht. Im ARNAUGHPlan spiglt sich das so widr: 0 0 c 0 0 c 0 0 d 0 0 d > C D F E B A Dr ARNAUGHPlan bstht aus inm zwidimnsionaln Fld mit n Plätzn, wnn di darzustllnd Funktion f(x) in Funktion von n Variln ist. Jdm Platz ist gnau in dr n möglichn Elmntarkonjunktionn zugordnt. Di Zuordnung rfolgt so, daß sich unmittlbar bnachbart Elmntarkonjunktionn in gnau 60

5 inr Variln untrschidn. Dazu wird di Mng dr Eingangsvariln in zwi twa glichgroß Tilmngn aufgtilt, und di möglichn Blgungn dr Eingangsvariln dr Tilmngn wrdn als Randbschriftung im GRAYod aufgtragn. Für n, und ist dr ARNAUGHPlan shr übrsichtlich. Ab n 5 wird r immr unübrsichtlichr. In dr Litratur findn Si ARNAUGHPlän bis n 6. Wir wrdn hir dn ARNAUGHPlan nur bis n vrwndn. Im konkrtn Fall ist n, und dr ARNAUGHPlan hat 6 Fldr. Di Mng dr Eingangsvariln {a,b,c,d} wird in zwi glichgroß Tilmngn {a,b} und {c,d} aufgtilt, und di möglichn Blgungn dr Eingangsvariln dr bidn Tilmngn wrdn im GRAYod als Randbschriftung aufgtragn, z. B. in dr Rihnfolg 00, 0,, 0. Dr obn links dargstllt Plan dint nur dr bssrn Vrständigung. Wir wrdn ihn spätr nicht mhr bnötign. In dism Plan sind di 6 Plätz mit dm Hxadzimaläquivalnt dr jwilign Eingangsblgung cd gknnzichnt (das Hxadzimaläquivalnt dr Eingangsblgung, di in bstimmt onjunktion rfüllt, wurd brits in Bispil 5.0. als rdnungskritrium vrwndt!). Dr obn rchts dargstllt Plan untrschidt sich vom linkn Plan dadurch, daß in dn 6 Plätzn di Funktionswrt dr ihnn zugordntn Elmntarkonjunktionn ingtragn sind (vgl. di "ausführlich" Schribwis dr DNF!). Nur disn Plan wrdn wir zukünftig brauchn. Bnachbart sind di in dr glichn Rih unmittlbar nbninandr bfindlichn Plätz, z. B. 0,, r auch 0! Bnachbart sind witrhin di in dr glichn Spalt unmittlbar untr/übrinandr bfindlichn Plätz, z. B. 0, C, C8 r auch 80! C D F E C D F E 8 9 B A 8 9 B A Zusammnfassn lassn sich bnachbart Plätz dann, wnn si (im rchtn Plan) dn Funktionswrt tragn, also twa 6

6 0 0 c 0 0 c 0 0 d 0 0 d > C D F E B A cd (a a)bcd bcd 8 0 Nbn Paarn bnachbartr Plätz sind im ARNAUGHPlan r auch Quarttt, kttt und ggf. witr Mngn bnachbartr Plätz rknnbar, wobi jwils nur Platzmngn M bnachbart sin könnn, für di gilt M i, i,,,... Wir rknnn twa di Quarttt 05, 57, 67 r auch 06 und sogar 08A C D F E C D F E 8 9 B A 8 9 B A C D F E 8 9 B A Das Quarttt 08A wolln wir gnaur btrachtn: 6

7 0 0 c 0 0 c 0 0 d 0 0 d > C D F E B A A 8 0 cd bd(ac ac ac ac) bd(a(c c) a(c c)) bd(a a)(c c) bd Analog dazu findn wir di möglichn kttt C D F E C D F E 8 9 B A 8 9 B A z. B. 0567, 0589CD r auch 089AB. 6

8 0 0 c 0 0 c 0 0 d 0 0 d > C D F E B A 0 B A cd b(acd acd acd acd acd acd acd acd) b(a(cd cd cd cd) a(cd cd cd cd)) b(a(c(d d) c(d d)) a(c(d d) c(d d))) b(a(c c)(d d) a(c c)(d d)) b(a a)(c c)(d d) b und schlißlich könnn auch all 6 Fldr dn Funktionswrt tragn und zusammngfaßt wrdn: 0 0 c 0 0 c 0 0 d 0 0 d > C D F E B A 0... F 0 6

9 Wir haltn fst: J mhr Elmntarkonjunktionn zu inr (nichtlmntarn) onjunktion zusammngfaßt wrdn könnn, dsto "billigr" ist drn Ralisirung. Anstll dr Bzichnung "Zusammnfassung" vrwndt man thortisch xaktr auch di Bzichnung "Implikant". Größtmöglich Zusammnfassungn hißn auch "Primimplikantn". Wir wolln nun di gwonnnn Erknntniss auf ds obn anggbn Bispil anwndn und findn vir zusammnfaßbar Paar: 0 0 c 0 0 d < bcd < acd < d < bcd < bcd bcd acd d Di ltzt, ftt markirt onjunktion hn wir bi dr obn, durch "gschickts" Zusammnfassn rmittltn Lösung nicht gfundn! Hn wir si übrshn? Da für jd BLEsch Funktion nur gnau in DNF xistirt, sind di bidn Lösungn dann korrkt, wnn si sich in in und dislb DNF übrführn lassn. Prüfn Si das nach! Es gibt offnsichtlich Zusammnfassungn, di nicht zwingnd in di Lösung übrnommn wrdn müssn. Wlch Zusammnfassungn müssn übrnommn wrdn, wlch dürfn wgglassn wrdn? Jd aus inr DNF glitt DNF ist funktionsglich dr DNF, wnn di onjunktionn dr DNF all Elmntarkonjunktionn dr DNF übrdckn. Das ist in notwndig Bdingung! Um di minimal DNF zu findn, muß dijnig Übrdckung gsucht wrdn, di mit inr minimaln Anzahl von maximal großn Zusammnfassungn all Elmntarkonjunktionn übrdckt. 65

10 In dr Mhrzahl dr Fäll führt folgnd Stratgi zum Zil:. Für jd Elmntarkonjunktion Eintragn allr größtmöglichn Zusammnfassungn in dn ARNAUGHPlan.. Suchn solchr Elmntarkonjunktionn, di nur durch in inzig Zusammnfassung übrdckt wrdn und Übrnhmn disr Zusammnfassungn ("PI, rnprimimplikantn") in di Lösung. Falls damit brits all Elmntarkonjunktionn übrdckt sind, ist di Lösung gfundn.. Für di noch nicht übrdcktn Elmntarkonjunktionn Auswähln inr minimaln Übrdckung. Für unsr Bispil rgibt sich nach Schritt dr brits anggbn ARNAUGHPlan: 0 0 c 0 0 d < bcd < acd < d < bcd < Schritt lifrt: D B 7 5 cd wird übrdckt durch bcd cd wird übrdckt durch bcd cd wird übrdckt durch acd und d cd wird übrdckt durch d und bcd cd wird übrdckt durch acd und bcd 66

11 Di Elmntarkonjunktionn D und B wrdn nur durch jwils in inzig Zusammnfassung übrdckt. Dis Zusammnfassungn müssn in di Lösung übrnommn wrdn (nicht mhr ftt markirt). Di bidn Zusammnfassungn übrdckn di Elmntarkonjunktionn D, B, 5 und (nicht mhr ftt markirt), um di wir uns fortan nicht mhr kümmrn müssn. Di Elmntarkonjunktion 7 ist als inzig Elmntarkonjunktion noch nicht übrdckt. 0 0 c 0 0 d < bcd < acd < d < bcd < In Schritt hn wir di Wahl zwischn zwi Zusammnfassungn, di glichrmaßn di onjunktion 7 übrdckn, und rhaltn zwi glichgut Lösungn (ostnfaktor ): d bcd bcd acd bcd bcd Schritt ist nicht in jdm Fall so trivial. Es kommt vor, daß in Schritt übrhaupt kin Elmntarkonjunktion gfundn wird, di nur durch in inzig Zusammnfassung übrdckt wird. Dann muß di gsamt Lösung in Schritt gfundn wrdn. PETRIC hat dafür in algbraischs Vrfahrn anggbn. Dr PETRICAusdruck PA ist in aussagnlogisch Formulirung, di angibt, wlch Zusammnfassungn in di Lösungn übrnommn wrdn müssn bzw. könnn. Man bzichnt dazu di Zusammnfassungn gignt und stllt di Vrhältniss tllarisch dar. Für unsr Bispil rgibt sich: 67

12 D B 7 5 cd cd cd cd cd p d x x p acd x x p bcd x x p bcd x x Ein ruz in dr Tll (Zil p i, Spalt j ) bdutt, daß dr Primimplikant p i di Elmntarkonjunktion j übrdckt. PETRIC dfinirt für jdn Primimplikantn p i in BLEsch Varil i mit i wnn p i in Elmntarkonjunktion j übrdckt 0 wnn p i in Elmntarkonjunktion j nicht übrdckt und gibt für jd Elmntarkonjunktion di Altrnativn dr si übrdckndn Primimplikantn in Form ins aussagnlogischn Ausdrucks (PETRICAusdruck) an. Für unsr Bispil rgibt sich: PA um D zu übrdckn, muß p in di Lösung D übrnommn wrdn PA um B zu übrdckn, muß p in di Lösung B übrnommn wrdn PA um 7 zu übrdckn, müssn ntwdr p odr p 7 in di Lösung übrnommn wrdn PA um 5 zu übrdckn, müssn ntwdr p odr p 5 in di Lösung übrnommn wrdn PA um zu übrdckn, müssn ntwdr p odr p in di Lösung übrnommn wrdn Da all Primimplikantn j übrdckt wrdn müssn, folgt für dn PETRICAusdruck dr gsamtn Funktion di onjunktion dr PE TRICAusdrück dr Elmntarkonjunktionn. Im Bispil rgibt sich: 68

13 PA PA PA PA PA PA D B 7 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Es gibt dri Lösungn p p p p d acd bcd bcd ( 6) p p p d bcd bcd ( ) p p p acd bcd bcd ( ) di kostnmäßig zu bwrtn sind. Dr ostnfaktor nimmt für di rst Lösung dn Wrt 6 an, für di bidn andrn dn Wrt. Wnn kin witrn ritrin zu bachtn sind, sind di bidn ltztn Lösungn glichgut und billigr als di rst Lösung. Man wird folglich in dr bidn ltztn Lösungn auswähln. 69

14 Wir wolln schlißnd di ganz Prozdur noch für di minimal NF xrzirn. Wir ghn so vor, daß wir di minimal DNF für dn ngirtn Funktionswrt rmittln und dis dann mit Hilf dr DMorganschn Rgl in di minimal NF umschribn. 0 0 c 0 0 d p p p d bc c Dn Aufwand für dn PETRICAusdruck könnn wir uns sparn. Di dri Primimplikantn sind PI (rnprimimplikantn), da jdr von ihnn mindstns in Elmntarkonjunktion xklusiv übrdckt: p :,,, 5 C p :, 9 p : F Es gibt nur in minimal Lösung: d bc c d(b c)(a b c) ( 8) 70