Prozent- und Zinsrechnung Ziele/Inhalte Diese Selbstlernunterlage soll den Kursteilnehmern den Einstieg in finanzmathematische Grundlagen erleichtern und den Lernenden für die Elementare Finanzmathematik vorbereiten und soll auch immer wieder als Nachschlagewerk dienen. Inhaltsverzeichnis Seite 1. Rundungsregeln 5 2. Prozentrechnung 5 3. Zinsrechnungsarten 7 4. Die antizipative und dekursive Verzinsung 9 5. Faustformeln: Laufende Verzinsung und Börseformel 9 6. Auf den Barwert abzinsen / Present Value 13 7. Auf den zukünftigen Wert aufzinsen / Future Value 14 8. Effektivzins 15 8.1 Effektivzins Zerobond 15 8.2 Effektivzins kuponzahlender Bonds / Iteration 17 8.3 Von unterjährig auf Jahresbasis und retour 18 8.4 Unterschiedliche Renditen? 19 (Moosmüller oder ISMA?)
Die ökonomische Beurteilung von Zahlungungen, die sich über längere Zeiträume erstrecken (Zahlungsreihen), muß selbstverständlich unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen geschehen; deshalb ist die Auseinandersetzung mit finanzmathematischen Grundlagen unerlässlich. Diese sollen daher nachfolgend exkursartig abgehandelt werden. 1. Rundungsregeln Bei der kaufmännischen Rundung werden Ergebnisse in der Regel auf zwei Dezimalstellen gerundet. Das heißt, bei dem Ergebnis fallen alle der zweiten Kommastelle folgenden Dezimalen weg. Es wird die zweite Kommastelle um 1 erhöht, wenn die dritte Kommastelle gleich oder größer 5 ist, in allen anderen Fällen bleibt die zweite Kommastelle unverändert. Beispiel: Es sollen folgende Beträge auf 2 Kommastellen kfm. gerundet werden 4,3751 = 4,38 4,3749 = 4,37 2. Prozentrechnung Die Prozentrechnung findet heute in allen Lebensbereichen Anwendung (25 % Mehrinhalt, 40 % Rabatt, 20 % Umsatzsteuer, 3 % Skonto, 7 % Zinsen, 16 % Dividende,...). Der Name kommt aus dem Lateinischen und drückt aus, worum es geht. Pro centum bedeutet "für hundert". Es ergibt sich daher, dass 100 die Bezugsgröße ist und andere Größen (wie Zinsen, Dividende, Ust...) immer in Hundertstel (Prozent) oder Tausendstel (Promille) angeführt werden. Man könnte also ohne Prozentzeichen auch die oben in Klammer angeführten Beispiele als Brüche anführen. 40/100stel Rabatt, 7/100stel Zinsen, 16/100stel Dividende usw. Für die Prozentrechnung werden folgende Rechengrößen benötigt: Grundwert G: Ist die Basis der Prozentrechnung und beträgt immer 100 % els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 2
Prozentsatz p: Gibt an, wie viele Hundertstel von der Basis genommen werden sollen Prozentwert P: Ist der wertmäßige Betrag, der dem Prozentsatz entspricht (man sagt auch der absolute Wert) Man unterscheidet folgende Prozentrechnungsarten: Von Hundert: Bezugsgröße = 100 % Auf Hundert: Bezugsgröße = > 100 % (über 100 %) In Hundert: Bezugsgröße = < 100 % (unter 100 %) Prozentrechnung von Hundert Bei der Prozentrechnung von Hundert wird immer 1 % des gegebenen Betrages errechnet und das Ergebnis mit dem Prozentsatz des gesuchten Betrages multipliziert. Beispiel: 6 % von 8.000,- = 8000 / 100 x 6 = 480,- Wenn Sie nicht nur einen Prozentwert von einem Grundwert suchen, sondern einen Grundwert um einen Prozentwert erhöhen wollen, so können Sie dies mit dem Vermehrungsfaktor tun. Vermehrungsfaktor V + = 1 + (Prozentsatz / 100) Sie wollen die 6 % vom vorigen Beispiel gleich zum Grundwert addieren und nicht zwei Rechengänge durchführen (das ist der Vorteil des Vermehrungsfaktors), so sieht die Rechnung folgendermaßen aus: Grundwert x Vermehrungsfaktor = Kapital inkl. Zinsen 8.000,- x 1,06 = 8.480,- Sie sehen bereits, dass der Faktor aus einer 1 besteht (steht stellvertretend für den Grundwert) und die Zinsen gleich dazugezählt werden (= 6/100 = 0,06). Mit dem Vermehrungsfaktor rechnen ist auch die übliche, weil schnellere Rechenform. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 3
Das gleiche gilt, wenn Sie einen Grundbetrag um einen bestimmten Prozentwert vermindern wollen, dann rechnen Sie dies mit dem Verminderungsfaktor V -. Statt dem Plus nach der 1 wird bei diesem Faktor ein Minuszeichen eingesetzt. Wollen Sie also den Grundwert unseres Beispiels um 6 % verringern, dann ist der Verminderungsfaktor: 1 - (6/100) = 0,94. 8.000,- x 0,94 = 7.520,- Prozentrechnung in Hundert Bei Prozentrechnungen in Hundert soll der ursprüngliche Grundwert (100 %) ermittelt werden. Es wird 1 % des gegebenen Betrages errechnet und das Ergebnis mit 100 multipliziert. Beispiel: Nehmen wir dazu eine Aktie, die seit ihrem Höchststand (den Sie ermitteln wollen) um 40 % gefallen ist und heute mit 12 je Aktie notiert. Welchen Höchststand hatte die Aktie? Lösung mittels Schlussrechnung: 60 % 12,- 100 % X X = 12 x 100/60 = die Aktie hatte ein Höchst von 20,- Schnellere Lösung mittels Verminderungsfaktor Schneller geht es wieder mit dem Verminderungsfaktor [1 - (40/100) = 0,60]. Bei Prozentrechnungen in Hundert wird einfach der verminderte Grundwert durch den Verminderungsfaktor dividiert, also 12 / 0,60 = 20. Prozentrechnung auf Hundert Bei Prozentrechnungen auf Hundert soll der ursprüngliche Grundwert (100 %) ermittelt werden. Es wird 1 % durch Division des gegebenen Betrages durch den erhöhten Prozentsatz errechnet und mit 100 multipliziert. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 4
Beispiel: Nehmen wir dazu wieder eine Aktie, die um 66,67 % gestiegen ist und nun bei 20,- notiert. Welchen Kurs hatte sie vorher? Lösung mittels Schlussrechnung 166,67 % 20,- 100,00 % X X = 20 x 100 / 166,67 = die Aktie hatte vorher einen Kurs von 11,9998 aufgerundet 12,- Schnellere Lösung mittels Vermehrungsfaktor: Schneller geht es wieder mit dem Vermehrungsfaktor [1+ (66,67/100) = 1,6667]. Bei Prozentrechnungen auf Hundert wird einfach der vermehrte Grundwert durch den Vermehrungsfaktor dividiert, also 20 / 1,6667 = 11,9998 aufgerundet 12,- Vielleicht ist Ihnen auch aufgefallen, dass in unserem Aktienbeispiel die Aktie ursprünglich um 40% gefallen ist, aber 66,67 % steigen musste, um wieder auf den Ausgangskurs zu kommen. Beachten Sie dies bei Ihren Überlegungen. Was fällt, muss prozentuell noch stärker steigen, um auf den Ausgangswert zu kommen, umgekehrt was gestiegen ist fällt prozentuell weniger stark, um auf den Ausgangswert zu gelangen. Eine schnelle Möglichkeit, sich einen prozentuellen Unterschied auszurechnen: Bisher haben wir nur absolute Beträge errechnet, aber noch keine prozentuellen. Dies kommt aber in der Praxis häufig vor. Wenn ein Index z.b. von 4000 Punkten auf 3420 Punkte fällt, wird dieser Unterschied meist auch in Prozent angeführt, um den Kursrückgang noch griffiger zu machen. Was sagen schon 580 Punkte, wenn nicht der prozentuelle Rückgang angeführt wird. Und hier gibt es eine ganz einfache Rechnung. (Aktueller Wert : Ausgangswert 1) x 100 els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 5
Auf unser Indexbeispiel: (3420 / 4000 1) x 100 = -14,50 % ist der Index gefallen. Um wie viel müsste der Index prozentuell steigen, um wieder auf 4000 zu gelangen? Verwenden Sie wieder die schnelle Formel und setzen Sie nun den gewünschten Wert an den Beginn der Formel: Zukünftiger Wert / aktuellen Wert - 1 x 100 Auf unser Indexbeispiel: (4000 / 3420 1) x 100 = + 16,96 % muss der Index steigen. 3. Zinsrechnungsarten Zinsen sind die Vergütung (= Gegenleistung) für die zeitlich begrenzte Überlassung von Geld oder Kapital. Die Höhe wird in Form eines Zinssatzes angegeben und dieser bezieht sich auf einen bestimmten Zeitraum. Daher wird nach dem Zinssatz durch Zusätze auch der Zeitraum definiert. für ein Jahr (p.a.) für ein Monat (p.m.) für ein Quartal (p.q.) Da es in der Regel aber nicht nur Zinsen genau für ein Jahr, ein Monat oder ein Quartal gibt, muss z.b. ein Jahreszinssatz auf die tatsächliche Laufzeit umgerechnet werden. Die Zinsenrechnung kann daher als Prozentrechnung angesehen werden, bei der zusätzlich der Zeitfaktor berücksichtigt wird. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 6
Sie kennen doch sicher noch die bewährten Gleichungen bzw. Zinsformeln aus der Schulzeit, die wir auch hier wieder verwenden und in Erinnerung rufen. Zinsen = K x p x t / 100 x 360 Zinssatz = Z x 100 x 360 / K x t Zeit = Z x 100 x 360 / K x p Kapital = Z x 100 x 360 / p x t Mit Hilfe dieser Formeln können Sie also eine Rechengröße ermitteln, wenn die anderen drei bekannt sind. Beispiel: Kapital: 1000 Zinssatz: 4% p.a. Zeit: 90 Tage (bei 360 Tagen für das Jahr) Zinsen: 10 Sie wollen die Höhe der Zinsen wissen: Zinsen = 1000 x 4 x 90 / 100 x 360 = 10 Euro Sie wollen den Zinssatz errechnen: Zinssatz = 10 x 100 x 360 / 1000 x 90 = 4% Sie möchten sich die Zeit errechnen: Zeit= 10 x100 x360 / 1000 x 4 = 90 Tage Oder Sie benötigen das Kapital: Kapital 10 x 100 x360 / 4 x 90=1000 Usancen bei der Tageberechnung Hier wurde das Jahr mit 360 Tagen gerechnet. Vor jeder Berechnung oder Überprüfung einer Berechnung sollte festgestellt werden, welche Usance der Berechnung zugrunde liegt. Folgende Usancen sind bei Veranlagungsgeschäften üblich: els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 7
Kurzbezeichnungen Verwendung Beschreibung Actual / 360 (act / 360 oder 365 / 360) Geldmarkt, Eurozinsmethode, Money market yield Tatsächliche Zinstage dividiert durch 360 Zinstage pro Jahr 30 / 360 (360 / 360) Spareinlagen Bondbasis (alt) 30 Zinstage pro Monat dividiert durch 360 Zinstage pro Jahr Ausnahme: Endet die Verzinsung mit dem 28. Feber dann sind auch nur 28 Tage zu berechnen. Actual/Actual (act / act) Bondbasis (neu) 365 Zinstage pro Jahr dividiert durch 365 Zinstage bzw. in Schaltjahren durch 366 pro Jahr 4. Antizipative und dekursive Verzinsungsart Werden die Zinsen zu Beginn einer Verzinsungsperiode fällig, so spricht man von einer Verzinsung im vorhinein oder auch "antizipative Verzinsung". Die Zinsen werden dabei vom Kapital berechnet und sofort abgezogen. Ausbezahlt wird daher nur das um die Zinsen verminderte Kapital, rückgezahlt wird das reine Kapital am Ende der Laufzeit. Diese Verzinsungsart findet man noch beim Wechseldiskont, sonst wird fast ausschließlich die dekursive Methode angewendet. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 8
Werden hingegen die Zinsen am Ende einer Verzinsungsperiode fällig, so spricht man von einer Verzinsung im nach hinein oder "dekursive Verzinsung". Ausbezahlt wird das reine Kapital zu Beginn der Laufzeit, rückgezahlt wird am Ende der Laufzeit das um die Zinsen vermehrte Kapital. Diese Art der Verzinsung ist die übliche bei Veranlagungen. Hier nochmals der Unterschied am Beispiel eines 8 % p.a. Kredites über 100.000,-: DEKURSIV: Ausbezahlt rückgezahlt 100.000,- 108.000,- (K) (K + Z) ANTIZIPATIV: Ausbezahlt rückgezahlt 92.000,- 100.000,- (K-Z) (K) Bei gleichem Kapital und Zinssatz liefert die antizipative Verzinsungsart eine höhere Effektivverzinsung. In diesem Beispiel 8,7 % (Erinnern Sie sich noch an die schnelle Prozentrechnung? 100.000 / 92.000-1 x 100 = 8,7 %p.a.). Die dekursive Methode liefert hingegen genau 8 %. 5. Faustformeln: Laufende Verzinsung und Börseformel Vorab sei gesagt, dass mit dem Wort Rendite die tatsächliche Verzinsung des angelegten Kapitals gemeint ist. Jeder Anleger benötigt zur Beurteilung seines effektiven Anlageerfolges eine zentrale Richtgröße. Diese Richtgröße ist für in- und ausländische Investoren die Rendite. Vielleicht hören Sie auch einmal im Zusammenhang mit dem Begriff Rendite den Ausdruck effektive Verzinsung. Rendite und Effektivverzinsung bezeichnen dieselbe Größe. Jemand der Geld anlegt fragt nach der Rendite, jemand der Geld ausleiht nach der Effektivverzinsung ist eine künstliche Unterscheidung. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 9
Die Rendite (effektive Verzinsung; effektiver Zinssatz) berechnet immer einen (Ganz-)Jahreszinssatz und wird daher auch als jährlich effektiver Kapitalzuwachs bezeichnet. Dabei wird die Annahme getroffen, dass alle Rückflüsse während der Laufzeit wie Zinsen oder Tilgungen zu diesem ermittelten Jahreszinssatz sofort wiederveranlagt werden. Bitte beachten Sie aber folgende Unterschiede: Der Nominalzinssatz - soviel erhält der Anleger vom Nennwert Der Nominalzinssatz ist der auf dem Papier aufgedruckte Zinssatz = Kupon. Dieser kann fix für die gesamte Laufzeit, oder auch variabel sein. Immer ist der Nominalzinssatz aber nur ein Teil des effektiven Ertrages für den Anleger. Entscheidend ist auch, zu welchem Preis der Kunde kauft, mit welchem Preis seine Anlage getilgt wird bzw. er diese verkaufen kann und die Laufzeit. Die Kaufrendite - soviel erhält der Anleger rechnerisch (vom Kaufpreis) Das ist diejenige, die alle Banken bei ihren Angeboten anführen. Diese Rendite, die bei Emission oder bei Kauf angegeben ist, stimmt nur selten mit der Rendite überein, die am Ende der Laufzeit erzielt wird. Die Erklärung liegt in der Tatsache, dass wir heute noch nicht sagen können, zu welchen Marktzinsen der Kunde seine Kupon- u./od. Tilgungserlöse während der Laufzeit wiederveranlagen kann. Wir haben daher als einzige Orientierungshilfe die heutigen Marktzinsen und legen diese auch der Renditeberechnung zugrunde. Die Kaufrendite dient daher Vergleichszwecken, um aus einer Vielzahl von Angeboten das im Moment günstigste auszuwählen. Nur bei Nullkuponanleihen stimmt die Kaufrendite mit der tatsächlich erzielbaren dann überein, wenn der Anleger diese bis zum Ende der Laufzeit behält. Die realisierte Rendite so viel erzielt der Anleger tatsächlich Die realisierte Rendite ist jene Jahresverzinsung, die der Anleger auch tatsächlich realisiert hat. Erst am Ende der Laufzeit steht für den Anleger els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 10
eindeutig ein bestimmter Betrag - das Endkapital fest. Der Unterschied zwischen Anfangskapital und Endkapital unter Berücksichtigung der Laufzeit ergibt die realisierte Rendite. Das waren nur einige von vielen Beispielen, die Ihnen zeigen sollen, dass die Renditen Ihrer Veranlagungen nicht exakt vorhersagbar sind. Ihre tatsächlich erzielte Rendite können Sie immer erst am Ende der Laufzeit für Ihre Anlageprodukte berechnen. Sie kann niedriger aber auch höher sein als die zum Anlagezeitpunkt errechnete Rendite. Und dennoch ist die Rendite notwendig, um eine sichere Entscheidung heute treffen zu können. Renditeberechnung nach der Faustformelmethode Die Berechnung der Rendite von kuponzahlenden Anleihen wird in der Praxis finanzmathematisch ermittelt und bei den Angeboten ausgewiesen. Doch nicht immer hat man Formeln parat oder sofort einen Finanzrechner zur Hand. In diesem Falle können Sie mit einer einfacheren Methode, der Faustformelmethode, die Berechnung vornehmen. Das Ergebnis der Berechnung ist zwar nicht ganz so exakt, aber für Prüfzwecke durchaus geeignet. Die Renditeberechnung nach der Faustformelmethode hat drei wichtige Teile: Erster Teil: Die laufende Verzinsung, die je nach Kaufkurs höher, gleich oder geringer sein kann als die Nominalverzinsung. Laufende Verzinsung: Nominalzinssatz x 100 / Kaufkurs Zweiter Teil: Immer wenn Kaufkurs und Tilgungskurs unterschied-lich sind, entsteht entweder ein Tilgungsgewinn oder ein Tilgungsverlust. Dieser Gewinn bzw. Verlust wird auf die Laufzeit bzw. Restlaufzeit der Anleihe gleich-mäßig verteilt. Tilgungsgewinn bzw. Tilgungsverlust p.a. = Tilgungskurs Kaufkurs/Laufzeit (Restlaufzeit) els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 11
Dritter Teil: Liegt ein Gewinn vor, so wird dieser zur laufenden Verzinsung dazugezählt. Ein Verlust wird von der laufenden Verzinsung subtrahiert. Laufende Verzinsung p.a. Laufende Verzinsung p.a. + Tilgungsgewinn p.a. -Tilgungsverlust p.a. = RENDITE nach Faustformel =RENDITE nach Faustformel Überprüfen wir nun gemeinsam anhand eines Anleihebeispiels die Rendite mittels Faustformel: Beispiel: Nominalzinssatz: 4,30 % Kaufkurs: 100,95 % Tilgungskurs: 100,00 % Laufzeit: 5 Jahre Berechnung:Laufende Verzinsung: 4,30 x 100/100,95 = 4,26 % Tilgungsverlust p.a.: 100-100,95/5 = - 0,19 % Bruttorendite nach Faustformel: 4,07 % Die finanzmathematisch ermittelte Rendite bei diesem Beispiel wäre 4,09 %. Wie Sie sehen beträgt die Abweichung zur Faustformelrendite nur 0,02 %. In der Banksprache würde man hier von einer Abweichung von 2 Basispunkten = 0,02 % sprechen. Bei einem Anlagebetrag von EUR 10.000,- würde diese Unschärfe einem Betrag von EUR 2,- entsprechen. Der Unterschied zwischen den beiden Berechnungsmethoden wird jedoch umso größer, je mehr Kaufpreis und Tilgungskurs auseinanderliegen. Die soeben ermittelte Faustformelrendite berücksichtigt noch keine Kapitalertragsteuer (KESt) und keine Spesen weshalb sie auch Bruttorendite genannt wird. Was aber Kunden interessiert ist die Nettorendite. Doch wie wird diese mit der Faustformel ermittelt? els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 12
Ermittlung der Nettorendite unter Berücksichtigung von KESt und Transaktionsspesen. Zur Ermittlung der Nettorendite nehmen wir gleich die Daten unseres obigen Beispiels und arbeiten in die Formel die KESt und Transaktionsspesen von 0,70 % des Kurswertes ein. Bevor Sie also mit der bekannten Faustformel zu rechnen beginnen, verändern Sie bitte zwei Daten. Kupon: 4,30 minus 25 % KESt = 3,23 % Nettokupon Kaufkurs: 100,95 plus 0,70 % Kaufspesen = 101,66 % inkl. Spesen Unsere neue Ausgangslage sieht nun folgendermaßen aus: Nominalzinssatz netto: 3,23 % Kaufkurs inkl Spesen: 101,66 % Tilgungskurs: 100,00 % Laufzeit: 5 Jahre Berechnung: Laufende Verzinsung: 3,23 x 100/101,66 = 3,18 Tilgungsverlust p.a.: 100-101,66/5 = - 0,33 Nettorendite nach Faustformel: 2,85 Sie sehen, dass sich die Rendite nach KESt und Transaktionsspesen deutlich reduziert. 6. Auf den Barwert abzinsen / Present Value Das Barwertkonzept Für eine fix verzinste Anleihe erhalten Sie jedes Jahr zu einem bestimmten Kupontermin Ihre Zinsen ausbezahlt. Je früher Sie Zinsen aus einer Rentenanlage kassieren, desto mehr sind diese für Sie wert, da Sie die Zinsen ja wieder anlegen können. Je weiter ein Zinsertrag in der Zukunft liegt, desto geringer ist der Wert dieser Zahlung bezogen auf den jetzigen Zeitpunkt. Nehmen wir einmal an, Sie haben heute für Ihr Depot eine Anleihe mit Nominale EUR 10.000,- gekauft. Sie wissen, dass Sie aus dieser Anleihe nächstes Jahr EUR 500,- an els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 13
Zinsen gutgeschrieben bekommen. Diesen Betrag könnten Sie (heute) mit 5 % wiederveranlagen. 500 / 1,05 1 = 476,19 Diese EUR 476,19 werden auch als Barwert (heutiger Wert) der (künftigen) Zinszahlung von EUR 500,- bezeichnet. Mit anderen Worten ausgedrückt: Erhält man EUR 500,- in einem Jahr, so sind diese (bei diesem Marktzinsniveau) heute genau EUR 476,19 wert. Es ist also gleichgültig, ob man heute EUR 476,19 erhält oder in einem Jahr EUR 500,-. Denn: Man kann die EUR 476,19 heute zu einem Zinssatz von 5 % für ein Jahr anlegen und hat am Ende des Jahres einen Gesamtwert von EUR 500,-. Die Ermittlung des Barwertes (also des heutigen Wertes), wird auch noch als Abzinsen oder Diskontieren eines zukünftigen Wertes bezeichnet. Das Abzinsen funktioniert ganz einfach. Sehen Sie sich dazu folgende Darstellung an: Ein Freund möchte nach 5 Jahren EUR 50.000 erreichen. Da er eher ein auf Sicherheit bedachter Anleger ist wählen Sie mit ihm eine Anlageform, die einen durchschnittlichen Ertrag von 4 % pro Jahr bringt. Was muss der Freund heute anlegen um sein Ziel zu erreichen? 4 % p.a.? EUR > EUR 50.000 5 Jahre Die Berechnung: 1. Berechnen Sie den Abzinsungsfaktor Tippen Sie folgendes in den Taschenrechner 1,04 y x 5 = 1,21665290 Dies bedeutet folgendes: Das eingesetzte Kapital wird sich bei 4 % (d.i. 0,04) in diesen 5 Jahren um 21,665290 % vermehren! (Die Eins vor dem Komma repräsentiert das eingesetzte Kapital.) 2. Berechnen Sie das Anfangskapital Um ein Endkapital von EUR 50.000 zu erzielen, benötigen Sie heute ein Anfangskapital von: EUR 50.000 / 1,21665290 = EUR 41.096,36 els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 14
Endkapital / Abzinsungsfaktor = Anfangskapital Die Excel-Formel =BW(0,04;5;;50000) liefert ebenfalls dieses Ergebnis: - 41.096,36 (kaufm. gerundet; das Ergebnis hat ein negatives Vorzeichen -> Sie müssen heute diese Auszahlung tätigen um nach 5 Jahren die Einzahlung von + 50.000,- zu haben. 7. Auf den zukünftigen Wert aufzinsen / Future Value Beim Aufzinsen ermittelt man auf der Basis des heutigen Wertes den zukünftigen Wert. Zukünftiger Wert = Barwert x (1 + Rendit) Laufzeit Dazu nun Beispiele. Nehmen Sie also wieder Ihren Rechner mit der Potenzfunktionstaste y x zur Hand und rechnen Sie mit. Berechnen des Endkapitals Ein Sparer legt EUR 20.000 mit einer garantierten 3%igen Verzinsung an. Nun möchte er bereits jetzt wissen: Welches Kapital habe ich dann in 5 Jahren? Viele beginnen nun die Berechnung mit der Zinsstaffel. Den Betrag für das erste Jahr ausrechnen, Zinsen kapitalisieren und dann wieder ein Jahr berechnen usw. Das ist eine Möglichkeit. Bei langer Laufzeit eine mühevolle els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 15
Aufgabe und dabei darf man sich nicht einmal verrechnen. Eine weitere, schnellere Berechnungsart ist folgende: Stellen Sie sich diese Frage graphisch vor: 3 % p.a. EUR 20.000 >? EUR 5 Jahre Die Berechnung: 1. Berechnen Sie den Aufzinsungsfaktor: Tippen Sie bitte folgendes in den Taschenrechner 1,03 y x 5 = 1,159274074 Dies bedeutet folgendes: Das eingesetzte Kapital vermehrt sich in diesen 5 Jahren um 15,9274074%! (Die Eins vor dem Komma repräsentiert das eingesetzte Kapital) 2. Berechnen Sie das Endkapital: Lassen Sie nun diesen Aufzinsungsfaktor gleich in Ihrem Rechner und multiplizieren Sie mit dem Kapitaleinsatz des Kunden. Da Ihr Kunde 20.000 EUR eingelegt hat, bekommt er: 1,159274074 x 20.000 = EUR 23.185,48 Aufzinsungsfaktor x Anfangskapital = Endkapital Die Excel-Formel =ZW(0,03;5;;-20000) liefert ebenfalls dieses Ergebnis. Das negative Vorzeichen (- 20.000) bedeutet, dass Sie heute eine Auszahlung (Veranlagung) tätigen und in 5 Jahren ein Einzahlung ihv. 23.185,48 (positives Vorzeichen) erhalten. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 16
8. Effektivzins 8.1 Effektivzins Zerobond Ein Kunde stellt nach Ablauf von 10 Jahren folgende Frage: Er hat damals EUR 20.000 angelegt, jetzt sind es EUR 28.212. Während der Anlagedauer wurden keine Zinsen bezahlt und keine zusätzlichen Einlagen oder Behebungen getätigt. Welcher Verzinsung pro Jahr entspricht das? Die Berechnung: Stellen wir uns diese Frage wiederum graphisch vor:? p.a. EUR 20.000 > EUR 28.212 10 Jahre 1. Berechnung des Aufzinsungsfaktors: 28.212 / 20.000 = 1,41060 Endkapital / Anfangskapital = Aufzinsungsfaktor Das bedeutet: Das eingesetzte Kapital hat sich in diesen 10 Jahren um 41,060 % vermehrt. Dieser Faktor ist uns mittlerweile bekannt. Bei der folgenden Berechnung des Jahreszinssatzes müssen Sie nun die Laufzeit els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 17
umformen. Da wir ja nicht einen Gesamtertrag, sondern einen Ertrag pro Jahr errechnen wollen, ist nach der Potenzfunktionstaste Y x ein Zehntel der Laufzeit (1/10), also 0,1 einzugeben. 2. Berechnung des Jahreszinssatzes: 1,41060 y x 0,1 = 1,0350000 Um die gesuchte jährliche Verzinsung zu finden müssen wir eine 1 (stellvertretend fürkapitaleinsatz) abziehen und mit 100 multiplizieren. Die gesuchte jährliche Verzinsung beträgt dann: 1,0350000-1 x 100 = 3,5 %. Die Excel-Formel =ZINS(10;;-20000;28212) liefert ebenfalls dieses Ergebnis. Wie Sie gesehen haben, handelt es sich bei beiden Berechnungen um einen Rechenvorgang, bei dem man von zwei verschiedenen Richtungen starten kann. Und das Wichtigste: Für diese Berechnung haben Sie nur folgende Informationen benötigt: Anfangskapital, Endkapital, Laufzeit. Anmerkung: Die hier dargestellte finanzmathematische Renditeberechnung eignet sich für die Berechnung von Nullkuponanleihen, zur Prüfung von Expertenaussagen auf Glaubwürdigkeit (z.b. Dow steht in 20 Jahren bei 100.000 Punkten) und immer dann, wenn Ihnen Anfangskapital, Endkapital und Laufzeit bekannt sind aber kein Jahreszinssatz angeführt wurde. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 18
Die Rendite kuponzahlender Anleihen lässt sich mit dieser Methode nicht berechnen. Hier benötigen Sie einen Finanzrechner der nach einem Probierverfahren (Iteration) die finanzmathematisch richtige Rendite ermittelt. 8.2 Effektivzins kuponzahlender Bonds / Iteration Die Rendite kuponzahlender Anleihen lässt sich mit obiger Methode nicht berechnen, da während der Laufzeit Zahlungsströme (Kuponzahlungen) und deren Wiederanlage nicht berücksichtigt werden. Hier benötigen Sie einen Finanzrechner der nach einem Probierverfahren (Iteration) die finanzmathematisch richtige Rendite ermittelt. Zum besseren Verständnis, warum bei einer kuponzahlenden Anleihe die Rendite mittels probieren ermittelt werden muss, folgendes Beispiel: Beispiel: Erwerb einer Schuldverschreibung: 104,50 % Kupon: 5 % Restlaufzeit: 6 Jahre Tilgung: zu 100 = zum Nennwert (100 %) Rendite:???? Sie haben sofort bemerkt, dass eine 5 % Anleihe, die über pari mit 104,50 % gekauft wird eine Rendite haben muss, die unter der Nominalverzinsung liegt. Aber wie viel darunter? Gedanklich können Sie sich dieses Geschäft auch als Spareinlage vorstellen: Wenn Sie heute 104,50 einzahlen, dann jährlich 5,00 entnehmen (Kupon), mit wieviel % ist dann das restliche Kapital zu verzinsen, dass genau nach 6 Jahren ein Endkapital von 100,00 herauskommt? Sie müssen also einen Zinssatz annehmen und 6 Jahre durchrechnen. Wenn dann am Ende nicht exakt 100 herauskommt, müssen Sie mit einer neuen Annahme rechnen. Ein wahrlich mühevoller Weg und dabei dürfen Sie sich nicht einmal verrechnen. Diesen nimmt Ihnen ein Finanzrechner ab und ermittelt in Bruchteilen von Sekunden das richtige Ergebnis. Wenn Sie also einen Finanzrechner haben, dann geben Sie diese Daten wie folgt ein: els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 19
Present Value / PV -104,50 Kupon /PMT 5,00 Future Value / FV 100,00 Laufzeit / N 6 Rendite /I/Y? Wenn Sie nun auf Ihrem Rechner die Taste für "Berechnen" drücken, wird sofort das Ergebnis von 4,1377 % sichtbar. Die Excel-Formel =ZINS(6;5;-104,5;100) liefert ebenfalls dieses Ergebnis. 8.3 Von unterjährig auf Jahresbasis und retour Ist die Zahlungsfrequenz kürzer als ein Jahr, d.h. werden mehr als einmal pro Jahr Zinsen gezahlt, ergibt sich die Notwendigkeit der Berechnung von Jahreseffektivzinsen, welche die Zinseszinseffekte aus der Wiederanlage der unterjährigen Zinszahlungen berücksichtigen. Beispiel: Eine Veranlagung von EUR 100,- wird zu einem Zinssatz von 3,80 %. nach Methode 30/360 veranlagt. Die Zinszahlungen erfolgen quartalsweise. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 20
Wie hoch ist der Jahreseffektivzins? Betrachten Sie zunächst die Zinszahlungen und die Zinseszinsen: Sie sehen hier die erste Zinszahlung von 0,95 nach 90 Zinstagen (1/4 eines Jahres). Die Wiederanlage der ersten Zinszahlung zu ebenfalls 3,8 % erbringt nach 6 Monaten EUR 0,9590. Werden diese zusammen mit der zweiten Zinszahlung erneut zu 3,8 % angelegt, ergeben sich nach 9 Monaten 1,9272 usw. Das Gesamtergebnis inkl. der Zinseszinsen ist EUR 3,8545 oder (weil wir als Anlagebetrag die Basis 100 haben) 3,8545 % p.a. Sie sehen, dass sich bei 3,8 % mit quartalsweiser Auszahlung und sofortiger Wiederanlage ein Jahreseffektivzins von 3,8545 % errechnet - in der Fachsprache sagt man, es errechnet sich ein um 5 Basispunkte höherer Zinssatz. Die Formel dazu lautet: (1+ 3,8 % /4)^4 1) = 3,8545% Die Excel-Formel =EFFEKTIV(0,038;4) liefert ebenfalls dieses Ergebnis. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 21
Der Zinseszinseffekt ist umso größer, je - größer die Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr und - je höher das Zinsniveau. Aber auch der umgekehrte Weg lässt sich mittels Formel errechnen. Angenommen eine Bank möchte ein Produkt mit Nennwert 1.000,- zu 7 % p.a. verzinsen. Das Veranlagungsprodukt ist so konstruiert, dass monatlich die Zinsen gutgeschrieben werden und sich sofort weiterverzinsen. Wie hoch wäre hier der monatliche Zinssatz, damit die Bank nicht mehr als effektiv 7 % p.a. zahlt? Die Formel dazu lautet: [(1+7%)^1/12-1 ] = 0,005654 bzw. 0,5654 % Kontrolle: Kapital+Zinsen (KapitalxAufzinsungsfaktor) = 1000 x 1,005654 12 = 1070,- Die Excel-Formel =NOMINAL(0,07;12)/12 liefert ebenfalls dieses Ergebnis. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 22
Beachten Sie, dass das Ergebnis noch durch 12 (Monate) dividiert werden muss Weiteres Beispiel: Ein Unternehmen möchte für einen 10jährigen endfälligen Kredit statt jährlich 7 % monatliche Zinsen zahlen. Welchen Jahreseffektivzins verrechnet die Bank? Die Formel von oben wird nur um eine Zahl erweitert und lautet: [(1+7%)^(1/12) - 1 ]*12 = 0,06785 bzw. 6,785 % Die Excel-Formel =NOMINAL(0,07;12) liefert ebenfalls dieses Ergebnis. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 23
8.4 Unterschiedliche Renditen? (Moosmüller oder ISMA?) Sie wissen bereits, dass die Rendite jener Zinssatz ist, mit dem alle Zins- und Tilgungszahlungen (Cashflow) auf den Kauftag diskontiert werden, damit die Summe der Barwerte dem Kurs zuzüglich Stückzinsen entspricht. Der Barwert der Auszahlungsreihe entspricht dem Barwert der Einzahlungsreihe, Zins- und Tilgungszahlungen werden dabei auch als Cashflow bezeichnet. Nun kann dieser Zinssatz bei ein und derselben Anleihe abweichen. Das hängt damit zusammen, ob die Rendite nach Formel der ISMA (International Securities Market Association) oder nach Methode Moosmüller berechnet wird. Der Unterschied beider Methoden ist in der Behandlung der unterjährigen Laufzeiten (gebrochene Periode) zu suchen. Dies bedeutet, dass beide Renditemethoden immer dann das gleiche Ergebnis aufweisen, wenn zum einen mit Jahreskupons und zum anderen mit vollen Jahren gerechnet wird. Die heute übliche Renditeberechnung ist jene nach ISMA. Hier eine Vergleichstabelle, welche die Unterschiede dieser beiden Methoden im Endergebnis deutlich machen: els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 24
Wenn Sie wissen wollen, nach welcher Methode Ihr Taschenrechner rechnet, geben Sie einfach eines dieser Beispiele ein und vergleichen Sie die Rendite. els 2012 I Prozent- und Zinsrechnung Seite 25