5. Sinusförmige Wechselgrößen 5.1. Grundlegende Begriffe: Ein Wechselstrom ändert beim Fließen durch einen Leiter seine Größe und seine Richtung. Er ist ein Strom, dessen Augenblickswerte sich periodisch mit der Zeit ändern und dessen zeitlich linearer Mittelwert über eine Periode des Wechselstromes gleich Null ist, gemäß der Tatsache, dass über eine Periode des Wechselstromes die positive Fläche des Liniendiagramms oberhalb der Zeitachse genau so groß ist wie die negative Fläche unterhalb der Zeitachse. Die Erzeugung einer Wechselspannung mit sinusförmigem Verlauf ist bei Kraftwerksgeneratoren mit großer Annäherung durchführbar. Die Form des Stromes aber hängt stets von der Art des Verbrauchsgerätes ab und kann z. B. in Spulen mit Eisenkern durch den Einfluss gekrümmter Magnetisierungslinien sehr verzerrt sein. Bei der Behandlung von Wechselstromvorgängen wird zunächst die Kurvenform einer idealen "Sinuslinie" vorausgesetzt. Eine Sinuslinie entsteht dadurch, dass man in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem den Winkel α im Bogenmaß auf der Abszisse und in der Richtung der Ordinate den zugehörigen Sinuswert aufträgt. Die sinusförmig verlaufende Wechselspannung (bzw. den sinusförmig verlaufenden Wechselstrom) kann man sich durch Rotieren (Drehen) eines Zeigers vorstellen. 2004, Georg Strauss 40
5.1.1. Kenngrößen von Wechselspannungen und Wechselströmen: Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz nter der Geschwindigkeit v versteht man bei einer gleichförmigen Bewegung allgemein das Verhältnis des Weges s zur dazugehörigen Zeit t, also v = s/t. Entsprechend wird bei einer Drehbewegung die Winkelgeschwindigkeit ω gleich dem Verhältnis des Winkels α zur dazugehörigen Zeit t, also α ω = Kreisfrequenz t Bezeichnet man mit u den Momentanwert der Wechselspannung und mit max den Höchstwert (Maximalwert), so wird die Gleichung einer sinusförmig verlaufenden Wechselspannung u = u sin( α) = u sin( ω t) Sinusschwingung max max max ω ωt Augenblickswert der Spannung (Wert der zeitabhängigen Größe in einem bestimmten Zeitpunkt), Μαξιµαλωερτ (Η χηστωερτ, Σχηειτελωερτ, Αµπλιτυδε), σοµιτ δερ γρ τε Αυγενβλιχκσωερτ εινερ ζειτλιχη σινυσφ ρµιγ ϖερλαυφενδεν Γρ ε, Kreisfrequenz; sie entspricht der Winkelgeschwindigkeit eines sich gleichförmig drehenden Zeigers, zeitproportionaler Winkel, wodurch eine von der Frequenz unabhängige Darstellung ermöglicht wird. Wenn die Sinusschwingung um den Winkel ϕ u früher durch den Nullwert geht, dann lautet die Gleichung: u = u max * sin (ωt + ϕ u ) Sinusschwingung mit Phasenverschiebung 2004, Georg Strauss 41
(ωt + ϕ u ) ϕ u Phasenwinkel oder kurz "die Phase" zurzeit t, Argument des Sinus, Nullphasenwinkel (Winkel des Nulldurchganges vor dem Koordinatenursprung). Bei jeder periodisch verlaufenden Funktion, also z. B. bei Strömen und Spannungen in der Wechselstromtechnik, versteht man unter der Frequenz f die Anzahl der Perioden pro Sekunde. Es wird daher f T Frequenz des Wechselstromes in Perioden/s oder Hertz Periodendauer, die Zeit, die verstreicht, von irgendeinem Zustand der Wechselspannung gemessen, bis zur Wiederkehr des gleichen Zustandes Es wird daher 1 Hz = 1 Periode/s. Da "Perioden" einen Zählvorgang darstellen, wird die Maßeinheit der Frequenz 1/s = s -I. Definition der SI-Einheit von f: Das Hertz ist gleich der Frequenz eines Schwingungsvorgangs mit einer Vollschwingung (Periode) in 1 Sekunde [1Hz = 1/(1 * s)]. Beispiel: In der elektrischen Energietechnik werden Wechselspannungen mit 50Hz (in Amerika 60 Hz) und im Bahnbetrieb vorwiegend mit 16 2 / 3 Hz verwendet. Für f = 50Hz wird T = 1/ 50 s = 20ms. T= 1 / f oder f = 1 / T Frequenz und Periodendauer Scheitelwert: Der Scheitelwert m, I m ist der höchste Spannungs- bzw. Stromwert, der innerhalb einer Periode einmal positiv und einmal negativ auftritt. Augenblickswert: Der Augenblickswert u bzw. i ist der Spannungs- bzw. Stromwert, der in einem gegebenen Augenblick herrscht bzw. fließt. Er kann zwischen Null und dem Scheitelwert liegen und positiv oder negativ sein. Effektivwert: Der Effektivwert bzw. I ist der Wert jener Gleichspannung bzw. jenes Gleichstroms, der die gleiche Wärmewirkung hat (den gleichen Effekt) wie die Wechselspannung bzw. der Wechselstrom. 2004, Georg Strauss 42
Für Sinusspannungen bzw. Ströme Scheitelwert Effektivwe rt = für Sinusschwingungen 2 Der Effektivwert beschreibt somit eine differentielle Mittelung über eine Größe. Immer mehr setzt sich hierfür auch der englische Begriff RMS (root mean square) durch. 5.1.2. Kurvenform, Fourieranalyse, Fouriersynthese: Die Kurvenform ist der zeitliche Verlauf der Spannung oder des Stromes. Häufig vorkommende Kurvenformen sind Sinus, Rechteck, Dreieck und Sägezahn. Dreieck Sägezahn Rechteck Gleichrichter Nach dem Fourier-Theorem, das auf Arbeiten des französischen Mathematikers Jean- Baptiste-Joseph de Fourier zurückgeht, lässt sich jede periodische Funktion f(t) mit der Periodendauer T als unendliche Summe harmonischer Funktionen darstellen, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache von ω 0 = 2 π/t sind. Man nennt diese harmonischen Funktionen mit den Frequenzen n ω 0 Oberschwingungen zur Grundschwingung mit der Grundfrequenz ω 0 und bezeichnet die Summendarstellung als trigonometrische Reihe oder Fourierreihe. Sie ist gegeben durch: Die Koeffizienten a 0, a n und b n heißen Fourierkoeffizienten. 2004, Georg Strauss 43
Beispiele: 2004, Georg Strauss 44
2004, Georg Strauss 45
5.2. Induktion: Induktion nennt man die Spannungserzeugung mit magnetischen Feldern. Die elektrischen Spannungen aus Generatoren in Kraftwerken, Fahrraddynamos, Transformatoren, Wirbelstrombremsen, Transformatoren und Zündspulen sind ausnahmslos Induktionsspannungen. Die Stärke eines Magnetfeldes wird durch die magnetische Flussdichte B beschrieben, die man sich etwa als Anzahl der Feldlinien pro Flächeneinheit (z. B. pro Quadratzentimeter) vorstellen kann. Eine Fläche der Größe A umschließt daher insgesamt den magnetischen Fluss. Eine zeitliche Änderung des Flusses dφ/dt induziert in einer Leiterschleife (Windung), die die Fläche A umfasst, die Induktionsspannung. Besteht der Leiter aus einer Spule mit n Windungen, so addieren sich die in jeder Windung induzierten Spannungen zur Gesamtspannung. Wenn sich der von einer Leiterschleife (Drahtwindung, Spule) umfasste magnetische Fluss ändert, wird in dieser Leiterschleife eine Spannung induziert. Die induzierte Spannung ist umso größer, je größer die Änderung des magnetischen Flusses pro Zeiteinheit ist (Änderungsgeschwindigkeit). Lorentzkraft: nter der Lorentzkraft versteht man die Kraft, die auf eine bewegte elektrische Ladung in einem Magnetfeld wirkt. Ist B die magnetische Flussdichte, Q die elektrische Ladung und v ihre Geschwindigkeit, so gilt für die Lorentzkraft F: 2004, Georg Strauss 46
F = q v B Hierbei ist vorausgesetzt, dass v und B einen rechten Winkel bilden, F steht dann wiederum auf v und B senkrecht. Ein von einem Strom durchflossener Leiter wird im Magnetfeld abgelenkt. Die Richtung der Ablenkung hängt von der Richtung des Polfeldes und der Stromrichtung ab. Motorprinzip: Vom Strom durchflossene Leiter im Magnetfeld erzeugen Bewegung. F = B I l z Kraft auf den Leiter F... Ablenkkraft B... magnetische Flussdichte I... Stromstärke L... wirksame Leiterlänge z... Leiterzahl N S a) b) c) d) e) a) Polfeld d) mgekehrte Stromrichtung b) Leiterfeld e) Pole und Stromrichtung vertauscht c) Resultierendes Feld Induktion der Bewegung: Die Induktionsspannung tritt durch Bewegung einer Spule in einem Magnetfeld oder eines Magnetfeldes in einer Spule auf. Das Generatorprinzip lässt sich auf die Lorentzkraft zurückführen, die auf elektrische Ladungen in einem veränderlichen Magnetfeld wirkt. Bewegt sich ein Leiter quer zum Magnetfeld, so wirkt die Lorentzkraft auf die Ladungen im Leiter in Richtung dieses Leiters und setzt sie so in Bewegung. An den Enden des Leiters tritt also eine Spannung auf. 2004, Georg Strauss 47
Induktion der Ruhe: Die Induktionsspannung entsteht durch Änderung der Stärke des magnetischen Feldes ohne dass eine Bewegung stattfindet (Ein- und Ausschalten eines Stromes in einer Spule). Transformatorprinzip: Eine an die erste Spule ("Primärspule") angelegte Wechselspannung erzeugt einen veränderlichen Primärstrom und damit ein veränderliches Magnetfeld im Kern, dieses Feld durchsetzt die zweite Spule ("Sekundärspule") und erzeugt hier durch Induktion wiederum eine Spannung. Spannungen in Spule 2 beim Ein- und Ausschalten des Stromes in Spule 1 Ein Transformator (kurz Trafo) ist eine elektrische Baugruppe aus zwei oder mehr Spulen auf einem gemeinsamen weichmagnetischen Kern. Mit Hilfe von Transformatoren lassen sich elektrische Spannungen herauf- oder herunter transformieren, das heißt erhöhen oder verringern, und damit den technischen Erfordernissen anzupassen. Erst der Transformator machte die weite Verbreitung der Elektrizität möglich, weil 2004, Georg Strauss 48
Hochspannungsleitungen den Transport über große Entfernungen ohne allzu große Verluste ermöglichte. Viele Haushaltsgeräte enthalten ebenfalls einen Transformator, der in den meisten Fällen die Netzspannung von 230 Volt auf die Kleinspannung von zum Beispiel 12 Volt transformiert. Auf der Eingangswicklung wird ein sich änderndes Magnetfeld, durch die anliegende Wechselspannung, erzeugt. Auf der Ausgangswicklung wird eine Induktionsspannung erzeugt. Die Höhe dieser Spannung ist abhängig vom Wicklungsverhältnis der Primärund Sekundärseite des Transformators. Übersetzungsverhältnis Spannung zu Windungsanzahl: E ü = = A N E N A Übersetzungsverhältnis Spannung zu Strom: E ü = = A I I A E Lenz sche Regel: Alle durch eine Änderung des magnetischen Flusses induzierten Spannungen sind stets so gerichtet, dass die von ihnen hervorgerufenen Ströme die rsache der Induktion zu hindern versuchen. Beispiel: Beim Aufbau eines magnetischen Feldes (z.b. durch eine Spule) wird in einer geschlossenen Leiterschleife ein Strom induziert, dessen Magnetfeld dem Feld der Spule entgegen wirkt. Die Lenz sche Regel entspricht einer Art Energiesatz, die ein Perpetuum mobile verhindert. Wirbelströme: Wird Metall (elektrisch leitender Körper wirkt wie eine geschlossene Leiterschleife) in einem Magnetfeld bewegt, so entstehen im Metall durch Induktion Wirbelströme, deren Magnetfeld die Bewegung bremst (Lenz sche Regel). Anwendung findet dies z.b. bei der Wirbelstrombremse (Messgeräte, Kraftfahrzeugen, Leistungszählern). 2004, Georg Strauss 49
Animation: Wirbelstrombremse1, Wirbelstrombremse2, Wirbelstrombremse3 Durchdringt ein magnetisches Wechselfeld Metall, so werden im Metall Wirbelströme erzeugt. Wirbelströme durch magnetische Wechselfelder verwendet man z.b. zur induktiven Erwärmung oder zur Abschirmung hochfrequenter Magnetfelder Selbstinduktion: Beim Öffnen des Stromkreises einer Spule wird in der Spule eine hohe Spannung erzeugt. Das zusammenbrechende Magnetfeld induziert in der Spule selbst eine Spannung, die man daher Selbstinduktionsspannung nennt. Bei einer Spule an Wechselspannung verringert die Selbstinduktionsspannung die Stromaufnahme. di ind = L dt Skineffekt: Fließt Wechselstrom durch einen Leiter, so ist der Strom ungleichmäßig über den Leiter verteilt. Die Stromdichte j nimmt nach dem Inneren des Leiters hin ab. Das wechselnde Magnetfeld induziert im Leiter eine Gegenspannung, die in der Leitermitte am größten ist. Wechselstrom sehr hoher Frequenz fließt durch einen Leiter wegen dieser Stromverdrängung nur an der Oberfläche. Für sehr hohe Frequenzen verwendet man versilberte Kupferrohre 5.3. Die Induktivität: Die Selbstinduktionsspannung verzögert das Ansteigen des Stromes beim Einschalten und verzögert das Abfallen des Stromes beim Ausschalten (mag. Feld muss auf und abgebaut werden). Eine Spule hat also gewissermaßen eine magnetische Trägheit und wehrt sich gegen jede Stromänderung mit einer Gegenspannung. Die magnetische Trägheit einer Spule nennt man ihre Induktivität L. Die Einheit der Induktivität ist das Henry H. µ r N L = 0 µ l 2 A Vergleich mit Kondensator: Induktivität einer Spule µ 0... mag. Feldkonstante µ r... Permeabilitätszahl (Material) N... Windungszahl A... Spulenquerschnitt in m 2 l... mittlere Feldlinienlänge in m 2004, Georg Strauss 50
Zahlenwerte für µ r (Beispiele): Material Luft 1 Aluminium, Silizium >1 Eisen 300-10000 Ferrit 400-5500 Blei, Kupfer, Zinn <1 Mumetall (NiFe) 50000-140000 Amorphe Metalle 700-500000 Nanokristalline Metalle 20000-150000 µ r Spulen/Induktivitäten als Bauelement: Eine klassische Spule ist um einen festen Körper gewickelter Draht. Dieser Körper muss allerdings nicht zwingend vorhanden sein. Er dient meist nur der Stabilisation des dünnen Drahtes. Spulen gibt es auch in Flachbauweise und in Rechteckformwicklung. Weil es Spulen in vielfältigen Bauweisen gibt, spricht man auch von einer Induktivität. Schaltzeichen für Induktivitäten und Spulen Verschiedene Bauteilformen von Spulen Induktivität an Gleichspannung: Die Verzögerung des Stromanstieges hängt von der Zeitkonstanten τ ab, ist also umso stärker, je höher die Induktivität L im Verhältnis zum Widerstand R des Stromkreises ist. L τ = R 2004, Georg Strauss 51
Schaltvorgänge: di = 0 + ind = 0 L Spannung am Widerstand dt R I + I = L I( t) I( t) 0 t / τ ( e ) DGl für den Stromverlauf = 0 1 Lösung für das Einschalten R t / τ t / τ ( e ) = I ( e ) 0 = 0 Lösung für das Ausschalten R L τ = Zeitkonstante R Phasenverschiebung: Im Wechselstromkreis ändert sich der Strom laufend, so dass auch laufend eine Wechselspannung induziert wird. Der Strom eilt der Spannung in der Phase nach. Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom 2004, Georg Strauss 52