. Diektrische Eigenschaften (II)
Phononen im Ionenkristall
t q q t p rative Aslenkng E M q M C E M q M C E q C M M Bewegngsgleichng der Aslenkngen: Ionische Polarisierbarkeit C: Kraftkonstante (Federkonstante) 3
Ionische Polarisierbarkeit Lösngsansatz: e it E E e it Es folgt: qe ion q E q 4 q E
Gesamte Polarisierbarkeit im Ionenkristall Ionische Polarisierbarkeit: ion q / q / m 4 e 4 j Ionische Polarisierbarkeit : gleiche Größenordnng wie die ektronische Polarisierbarkeit Gesamte Polarisierbarkeit des Ionenkristalls besteht as ionischen nd ektronischen Anteilen, die ngefähr gleich groß sind: tot ion ion Die Polarisation folgt as der Anzahldichte N V aller indzierter Dipolmomente zsammen: P N V p p N E q ion V 5
Freqenzabhängigkeit der ionischen Polarisierbarkeit Clasis-Mosotti-Gleichng: NV 3 ion NV 3 q NV 3 q ion NV 6 3 ω j = typische Freqenz eines optischen Übergangs
Ionischer Anteil der Polarisierbarkeit NV 3 NV 3 NV 3 q ion ion ion NV 3 NV 3 N V ion 3 Wir kommen af diese Beziehng später wieder zrück, nachdem erst ein Zsammenhang mit den optischen Phononen hergestlt ist. 7
Eigenschwingngen von Ionenkristallen 8
Eigenschwingngen von Ionenkristallen 9
Unterscheidng zwischen transversal optischen Wlen (TO) nd longitdinal optischen Wlen (LO), da die Entektrisierngsfder nterschiedlich sind: E N f P LO l TO l Entektrisierngsfd k k Netzebenen P Netzebenen P Geometriefaktor: f= E f= E Unterschiedliches Resonanzverhalten der Schwingngen
Lokale Fder (ohne äßere Fder E =)
Lokale Fder (ohne äßere Fder E =)
t i e E q Einsetzen in die Bewegngsgleichng: Ansatz: N N q q V ion V 3 3 3 3 V ion V N N Eigenfreqenzen der LO nd TO Schwingngen LO-Schwingngen: Entsprechend für die TO-Schwingngen: V ion V N N 3 3 3
3 3 V ion V LO N N 3 3 V ion V TO N N a. Longitdinale optische Phononen: b. Transversale optische Phononen: Eigenfreqenzen 4
Lyddane-Sachs-Tler (LST) Beziehng Einsetzen von: nd: N V ion 3 N V 3 (Folie 6) (Folie 7) in die Eigenfreqenzen liefert: LO TO LO TO Lyddane-Sachs- Tler-Beziehng 5
Diskssion Longitdinale Phononen Indzierte Dipolmomente sind dem Wlenvektor gleichgerichtet: P k k Drch die alen Fder werden Rückstlkräfte indziert, die die Phononenfreqenzen erhöhen: Transversale Phononen Indzierte Dipolmomente sind senkrecht zr Asbreitngsrichtng: P k Indzierte Polarisation liefert keine zsätzliche Kraft in der Bewegngsgleichng. k Die Phononenfreqenz wird abgesenkt: Jeder Ionenkristall hat zwei charakteristische Eigenfreqenzen, die mit der longitdinalen nd der transversalen Gitterschwingngen verbnden sind. Für nicht-polare Kristalle sind die beiden Eigenfreqenzen entartet. 6 LO TO
Phononendispersion von zweiatomigen Gittern Beispi: Si [] k LO k TO Entartng der Moden am -Pnkt hat man in den Diamant-Gittern von Ge, Si, C. 7 Si : TO : LO LA TO LO TA [] [] X L
Phononendispersion von ionischen Kristallen Falls es Verschiebngspolarisation (d.h. ale ektrische Fder) daz gibt: Entartng der Moden wird afgehoben. NaCl: NaCl LO TO L T LA TO LO TA [] [] X L Beispi: NaCl. Keine Entartng der TO nd LO Moden am -Pnkt. Die Größe der Afspaltng ist ein Maß dafür, wie polar der Kristall ist. z.b. GaAs, InP sw zeigen kleine Afspaltng, sind also polarer als Si, Ge, C. Die Afspaltng der optischen Phononenzweige hat nichts mit der Wechswirkng mit externen ektrischen Fdern z tn. Die Afspaltng entsteht asschließlich drch innere, ale Fder! 8
Diektrizitätskonstante von Ionenkristallen R..8.6.4.. L T L Reflexionsvermögen eines Ionenkristalls T T L Totalreflexion Reflexionskoeffizient (für senkrechten Lichteinfall): R n n 9
n, i ( ) n R n n R..8.6.4.. T L n,
Plasmafreqenz von Metallen Plasmafreqenz von Metallen: P NLe m* Diese ist die Eigenfreqenz einer Longitdinalschwingng des Elektronengases. Es gilt: P
Reflexionsvermögen verschiedender Metalle Al Al P 5. ev Al Ag Rh P : Plasmafreqenz Pt C A ev ˆ.4 m
Plasmonen Die Plasmafreqenz entspricht einer kollektiven Eigenschwingng der Elektronen. Es gibt keine Transversalschwingng (fehlende Rückstlkräfte). Die dazgehörigen Energieqanten sind die Plasmonen mit typischen Energien von: 3 ev P + + + + + + + + + + + + + + + + 3
Beispi Sn-dotierte In O 3 Schicht : Reflexionsvermögen R nd Drchlässigkeit D einer.3 mm dicken, mit Sn dotierten In O 3 Schicht für sichtbares nd infrarotes Licht. Die Ladngsträgerkonzentration ist.3 cm -3. In Halbleitern kann die Dotierngskonzentration N L über einen weiten Bereich variiert werden, damit lässt sich die Plasmafreqenz P ~ N L so einstlen, dass dünne Halbleiter-Schichten zr Wärmeisolation bentzt werden können. In O 3 ist ein Beispi dafür. 4
Dynamische Leitfähigkeit von Metallen Bewegngsgleichng für die freien Elektronen im Drde-Modl: e it x x E mit E E e m* Lösngsansatz für die Geschwindigkeit der Elektronen: x x e d.h., bei nicht z hohem Fd folgen die Elektronen ohne Phasen-Verschiebng dem äßeren Fd. Einsetzen: e ee ix x E x m* m* i Stromdichte: Komplexe Leitfähigkeit: j N L e x NLe E m* i 5 N L e m * i E i it
* i * lim lim m e N m e N L L i i i i i * i * L L L L m e N m e N L i Die diektrische Fnktion der Leitngsektronen ist mit der Leitfähigkeit verknüpft. Dynamische Leitfähigkeit von Metallen : Stationärer Fall 6
Diskssion. Statisches ektrisches Fd : lim i Metall Ein Metall reagiert af statische ektrische Fder nicht drch Polarisation sondern drch Strom.. Hohe Freqenzen d.h., Freqenz ist vi größer als typische oder : reziproke Raxationszeiten. Dann können keine Verlste mehr aftreten: NLe m* i i P i i mit P N Le m* 7
Halbleiter: Zsammenhang zwischen Bandlücke nd Brechngsindex Die statische Diektrizitätskonstante von Halbleitern hängt von der Bandlücke ab: je größer die Bandlücke, desto kleiner ist ε nd damit der Brechngsindex n. Im statischen Fall gilt: Dabei ist NVe P m* P g Bandlücke: E g = ħω g die Plasmafreqenz des Valenzbandes. 8
Orientierngspolarisation Asrichtng permanenter Dipole im äßeren Fd (nd damit im alen Fd): p p N P p V p N P p V Potentile Energie eines Dipols im Fd: V Dipol pe p E cos p E E - E f + V Dipol wird maximal für p E 9
Boltzmannverteilng im thermischen Gleichgewicht Wahrscheinlichkeit, den Dipol in Richtng z finden: f V k e Dipol B T e pe k B cos T Wärmebewegng (thermische Energie) wirkt der Asrichtng entgegen. Wir erwarten: für T=: cos wird maximal für T>: cos mit nimmt mit T ab cos wächst mit E an cos ~ E T Berechnen von cos als Fnktion der Temperatr: 3
Mittwert des Dipolmoments p E p E f f d d p E pcos d sindd f sind cos sin cose sine pe k pe k B B cos T cos T d d coth pe k T B pe k T B cos L pe k T B : Langevin Fnktion 3
Langevin-Fnktion L a coth a a L a L pe k T B Sättigng der Asrichtng TTN p E p L pe k T B HTN a pe k T B HT-Näherng: pe k B T TT-Näherng: pe k B T coth L a a 3 a a... a 3 45 a a.. 3 a 3 a pe 3k T B 3 L a a coth a Sättigng der Asrichtng der Dipolmomente
Polarisation in Hochtemperatrnäherng P N V N N p E pe p cos ~ V V 3k T B E T : entspricht Erwartng p E Dipol E Dipolare Polarisierbarkeit zeigt ein detliches Temperatrverhalten (Crie-Verhalten ~/T) Dipol p 3k T B ~ T Dipol 33 T
Temperatrabhängigkeit der Polarisierbarkeit Nr die dipolare Polarisierbarkeit zeigt eine Temperatrabhängigkeit, alle anderen Polarisierbarkeiten sind temperatrnabhängig. ion Dipol ion p 3k B T tot Dipol As der Steigng: p 3 k B ion T 34
Zsammenfassng Lyddane-Sachs-Tler-Beziehng L T Phonondispersion von Ionenkristallen Ionenkristalle nicht polar polar Metalle 35