Theorie der Kondensierten Materie I WS 2014/2015

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1 Karlsrher Institt für Technologie Institt für Theorie der Kondensierten Materie Theorie der Kondensierten Materie I WS /5 Prof. Dr. A. Mirlin, Dr. I. Gorni Blatt 7: Lösngen U. Briskot, N. Kainaris, Dr. E. König Besprechng... Harmonische Kette = Pnkte N identische Massen m können sich af der -Achse reibngsfrei bewegen nd sind abwechselnd mit nterschiedlichen Federn mit Federkonstanten K > G verbnden: = n a = na a = n+a d K G K G K G K G n sn Mit den Aslenkngen n nd s n as den jeweiligen Rhelagen bei = na nd = na + d s. Abbildng latet die elastische Energie: U = K n s n + G n+ s n. n a Schreiben Sie die klassischen Bewegngsgleichngen für n nd s n mit periodischen Randbedingngen n+n t = n t, s n+n t = s n t. Bestimmen Sie die Freqenzen ω ± k der akstischen nd optischen + Eigenmoden der Kette. Wie verhalten sich ω ± k für kleine k π/a? Skizzieren Sie ω ± k für alle erlabten k. Lösng: Die Lagrange-Fnktion der Kette ist Hierbei ist die kinetische Energie n L = T U. T = m n [ n + ṡ n ]. Die Bewegngsgleichngen ergeben sich dann as den Eler-Lagrange-Gleichngen, z Wir machen den Ansatz d L = L, dt n n d L = L, dt ṡ n s n mü n = K n s n G n s n, m s n = Ks n n Gs n n+. n t = e ik ωt s n t = s e ik ωt, = n a As den periodischen Randbedingngen ergibt sich n+n = n e ikna = k = π a m N, m =, ±, ±,...

2 Wir fordern die Eindetigkeit der Lösng. D.h. der Phasenfaktor e ikna ist für zwei k, die sich m G = π l nterscheiden, gleich: a e ikna = e ik+gna, G = π a l, l =, ±, ±,... Daher mß k eingeschränkt werden af k = π m, m =,,,..., N. a N Alternativ können wir ach schreiben: m = N/ +, N/ +,...,,,,..., N/ π a < k π a Einsetzen des Ansatz in die Bewegngsgleichngen ergibt [ mω K + G ] + [ K + G e ika ]s = [ K + G e ika ] + [ mω K + G ]s = Dies können wir ach als Matri Gleichng schreiben mω K + G K + G e ika K + G e ika mω =. K + G s Nichttriviale Lösng erhalten wir nr, wenn die Determinante der Matri verschwinden, d.h. [ mω K + G ] K + Ge ika K + Ge ika = mω = K + G ± K + G + KG coska. Die Dispersion ist in Abb. dargestellt. Für kleine Implse gilt: k π/a : coska ka Damit folgt für die Dispersionsrelationen: mω = K + G ± K + G KG ka [ ] KG = K + G ± K + G ka ω + = m K + G, ω KG = mk + G ka c a k b Die in Afgabe a berechneten Gitterschwingngen können qantisiert werden. Geben Sie den Hamilton-Operator für jede Mode λ k, ± an. Berechnen Sie die kanonische Zstandssmme. Lösng: Die Moden der Kette seien mit λ bezeichnet, also λ k, ±, ± steht für optisch/akstisch, mit den entsprechenden Eigenfreqenzen ω λ. Jeder Mode λ wird nn ein harmonischer Oszillator zgeordnet, λ : H λ = a λ a λ + /, H λ n λ = n λ + / n λ, n λ =,,,,... Dann latet die kanonische Zstandssmme der nterscheidbaren Oszillatoren: Z = e βeα = e βn λ +/ = e β e β α λ n λ = λ

3 g= g= ka/ π Abbildng : Die Dispersion von optischer + nd akstischer Mode für nterschiedliche Federn G =.5 K nten nd identische Federn G = K oben. Für K = G verschwindet die optische Mode bzw. geht in die zrückgefaltete akstische über. c Betrachten Sie den Limes hoher Temperatren nd zeigen Sie, dass Sie die klassischen Resltate für die innere Energie Gleichverteilngssatz nd die spezifische Wärme c V Dlong-Petit finden. Lösng: Die innere Energie folgt as der Zstandssmme gemäß U = Z Z β = β lnz = [ β ln ] e β β = λ [ + g ]. Hierbei ist g = e β, die Bose-Verteilng. Im Hochtemperatrlimes k B T, entwickeln wir die Eponentialfnktion e β + β, nd erhalten U = λ + k BT = λ λ k B T + ω λ k B T ωλ = Nk B T + O. k B T }{{} In führender Ordnng ist dies gena der Gleichverteilngssatz, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad, der qadratisch in der Lagrange-Fnktion aftritt mit k B T/ zr inneren Energie beiträgt N Atome oder Moden, die jeweils in der kinetischen nd potentiellen Energie qadratisch aftreten.

4 Die spezifische Wärme erhält man drch Ableiten nach T nd wir finden c V = Nk B. Im allgemeinen latet das Dlong-Petit sche Gesetz c V = dnrk B mit der Ramdimension d, der Anzahl der Einheitszellen N nd der Anzahl der Atome pro Einheitszelle r. d Nehmen Sie an, dass für tiefe Temperatren nr noch akstische Phononen zm phsikalischen Verhalten beitragen nd nähern Sie ω k = c a k. Bestimmen Sie die innere Energie nd c V in diesem Limes. Lösng: Wir machen die Annahme, ω λ = ω akstisch = c a k. Die Grndzstandsenergie ist U = λ U U = = = k B T c π a = k V π. Es gilt dann also ck e β ck π a π a ck dk e β ck Na k B T π c Na k B T π c Naπ 6 Die spezifische Wärme ergibt sich dann z k B T c c V = U T = Naπk B c π c ak B T T. d e d e Man kann leicht zeigen in einer analogen Rechnng, dass im Allgeimenen gilt c V T d, was dann für d = das bekannte T Gesetz ergibt. e Verwenden Sie nn die noch stärkere Näherng ω λ = ω = const für alle λ Einstein- Modell. Berechnen Sie wiederm c V. Lösng: Man erhält mit den Annahmen vom Übngsblatt die innere Energie nd daras sofort die spezifische Wärme U = U + N ω e β ω c V = U T = Nk ω e β ω ΘE B k B T [ ] e β ω = Nk B T mit der charakteristischen Einstein-Temperatr k B Θ E = ω. e Θ E/T [ e Θ E /T ]

5 Abbildng : Das Kristallgitter von Graphen.. Phononen in Graphen Pnkte Betrachten Sie das Gitter von Graphen. Nehmen Sie an, dass die Kohlenstoff-Atome sich nr innerhalb der zwei-dimensionalen Ebene bewegen können. Bentzen Sie die harmonische Näherng mit Kraftkonstanten zwischen nächsten Nachbarn nd berechnen Sie das Spektrm der Phononen. Lösng: Im Folgenden sei die Gitterkonstante a =. Die Position jedes Ions läßt sich drch die mittlere Ionenposition R nd eine Abweichng Verschiebngsfeld asdrücken. Es gibt zwei Ionen A nd B pro Elementarzelle. Wir wählen als nsere Elementarzelle das horizontalen Verbindngselement A B s. Abb.. Dann bezeichnen wir die Rhepositionen als nd R A = ma + na, R B = ma + na δ, wobei die Gittervektoren gegeben sind drch a = δ δ =,, a = δ δ =,. Die Vektoren δ j zeigen af den nächsten Nachbarn s. Abb. nd sind gegeben drch, δ =,, δ =,, δ =,. Jetzt können wir die Positionen des Ions A nd B afschreiben: R A = ma + na + A, R B = ma + na δ + B. Wir betrachten nr die Kopplng zwischen nächsten Nachbarn mit Kraftskonstante K. Jedes Ion A hat drei B Nachbarn nd die elastische Energie ist demnach U A = K [ R A R B R + A R B ] R + A R B m,n. Die gesamte elastische Energie ist U = U A.

6 Hierbei sind bereits alle Verbindngselemente berücksichtigt. Wir bentzen nn die Harmonische Näherng, d.h. die Entwicklng von U in. Ordnng in : U A = K { [ A ] B + [ A B A + ] B + [ A B m,n + A ] } B m,n. Die Bewegngsgleichngen ergeben sich, wie in Afgabe, as den Eler-Lagrange- Gleichngen, welche die folgende Form annehmen: M d A,B dt Eplizit ergeben sich daras die Gleichngen, = U d A dt = [ A B + A,B,. B + + [ ] B B m,n, ] B m,n d A dt = A [ ] B + B m,n [ ] + B B m,n, d B dt = [ B A + A + [ ] A + A m+,n, + d B dt = Weiter verwenden wir jetzt die Forier-Transformation A,B + ] A m+,n B [ ] A + + A m+,n +, = AA,B, [ ] A + A m+,n. e iωt e ir A q,

7 wobei R A die Koordinate der Elementarzelle ist. Dann schreiben wir die Bewegngsgleichngen in Matri-Form af, wobei A T = A A M K ω A = DA,, A A, A B, A B, nd 6 [ + e iaq + e iaq ] [e ia q e iaq ] D = 6 [e ia q e iaq ] [e iaq + e iaq ] [ + e iaq + e iaq ] [e ia q e iaq ] 6. [e ia q e iaq ] [e iaq + e iaq ] 6 Die Eigenwerte von D E =, E =, E ± = 6 ± liefern ns die Dispersionsrelation gemäß + cos q cos q + cos q, Die Entwicklng für kleine q hier q = q ergibt M K ω ± = E ±. 5 E q, E + q. Deswegen finden wir zwei akstische Phononen ω =, ω K 8M q, nd zwei optische Phononen ω K M, ω + K M q. 6 Die zwei Phononen ω nd ω haben keine Dispersion. Das ist ein Artefakt nserer Näherng. Um die Phononen in Graphen besser z beschreiben, mss man weitere d.h. etwa übernächste Nachbar Wechselwirkng betrachten.