IV. Parabolische Probleme

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Frauke Biermann
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1 IV. Parabolisce Probleme IV. Vorüberlegngen IV.2 Rote-Metode Kapitel IV ()

2 Parabolisce Randwertafgabe Wärmeleitngsgleicng Wir scen eine Fnktion = (,t) für [,] nd t > mit mit den Randbedingngen nd der Anfangsbedingng t +L = f mit L = ν 2 2 (,t) = (,t) = für t > (,) = () für [,]. Für f = nd ν = latet die eakte Lösng (,t) = c n e (nπ)2t sin(nπ) mit c n = 2 n= ()sin(nπ)d. Kapitel IV (parabolisc) 2

3 Finite Differenzen: vertikale Linienmetode Diskretisierng bezüglic des Ortes liefert mit f i (t) = f(t, i ): d dt i(t) + ν i (t) + 2 i (t) i+ (t) 2 =f i (t), i =,...,n, t >, (t) = n (t)=, t >, i ()= ( i ), i =,...,n. Dies ist ein System von gewönlicen Differenzialgleicngen d dt (t) + νa FD(t) = f FD (t) mit () = für = (,..., n ). θ Metode für die Zeitintegration liefert mit = k+ k t + νa FD (θ k+ + ( θ) k) = oder äqivalent mit g k+ = t ( θf k+ ) FD + ( θ)fk FD ( θf k+ ) FD + ( θ)fk FD für k =,,... (I+νθ ta FD ) k+ = (I ν t( θ)a FD ) k +g k+. Kapitel IV (parabolisc2) 3

4 Finite Differenzen: orizontale Linienmetode Rote Metode Diskretisierng bezüglic der Zeit liefert mit dem eplizitem nd f k () = f (t k,) k+ () k () t ν 2 2k () = f k () für k =,,2,... mit Anfangsdaten () = () nd Randdaten k () = k () =. Die Ortsdiskretisierng liefert dann mit f k i = f (t k, i ): k+ i k i t + ν k i + 2k i k i+ 2 = f k i für i =,...,n. Mit k = ( k,..., k n ) nd f k FD = (fk,...,f k n ) folgt daras k+ k t + νa FD k = f k FD. Kapitel IV (parabolisc6) 4

5 Vergleic zwiscen vertikaler nd orizontaler LM t vertikale Linienmetode t orizontale Linienmetode t j t j i vertikale LM: In jedem Zeitscritt gleices Ortsgitter orizontale LM: In jedem Zeitscritt kann Ortsgitter ne gewält werden Ist i für alle t j konstant, so fallen die beiden Verfaren zsammen Fazit: Horizontale LM ist fleibler Kapitel IV (parabolisc8) 5

6 Wärmeleitng: Beispiel (a,b) = (,π) t = (t,t) = (,2) () = (π ) (,t) = (π,t) =, t > (,t) = i= t =.5 8e (2i )2 t π(2i ) 3 sin(2i ) pi/4 pi/2 3pi/4 pi t = t =2 Kapitel IV (parabolisc4) 6

7 Wärmeleitng: Beispiel fest, t variabel, : θ =, CN: θ =.5 = π/ = π/2 = π/ O( t) O( t 2 ) t = π/ O( t) O( t 2 ) t = π/ O( t) O( t 2 ) t = π/ O( t) O( t 2 ) t O( t) O( t 2 ) t O( t) O( t 2 ) t 3 Kapitel IV (parabolisc5) 7

8 Wärmeleitng: Beispiel () variabel, t fest, : θ =, CN: θ =.5 t =.8 t =.4 t = O( 2 ) t = O( 2 ) t = O( 2 ) t = O( 2 ) O( 2 ) O( 2 ) 3 Kapitel IV (parabolisc6) 8

9 Wärmeleitng: Beispiel = π/ i+ = i /2 t =.2 t i+ = t i /4 t C N i+ = tc N i /2 3 4 O( 2 ) + O( t) O( 2 )+ O( t 2 ) N *N 5 6 t Kapitel IV (parabolisc8) 9

10 Wärmeleitng: Finite Differenzen θ =, = π/2, Stabilitätsbed.: ρ(i ν ta FD ) < 5 5 t =.293 N t = t =.282 N =56.5 t t = N t = t = t = t = N =58 t 2 3 N =59 t 2 3 N =6 t 2 3 Kapitel IV (parabolisc)

11 Wärmeleitng: Finite Differenzen θ =.25 (oben) vs. θ =.75 (nten), = π/2 () t= N t = t= ().4.35 t= N t = t= ().4.35 t= N t = t= ().2 ().2 () N =7 t N =75 t N =8 t Kapitel IV (paraboliscb)

12 Wärmeleitng Unstetige Anfangsdaten Impliziter Crank Nicolson t t.5 t.5 Bemerkng: Crank Nicolson (θ =.5) at nr bei nstetigen Anfangsdaten Stabilitätsprobleme Kapitel IV (parabolisc5) 2

13 Wärmeleitng: (t,) = e t ( ) θ =, impliziter t 3 3 t Fazit: Für bei festem t get der Feler gegen einen von t abängigen Wert Für t bei festem get der Feler gegen einen von abängigen Wert Optimales Verältnis t = C 2 Kapitel IV (parabolisc3) 3

14 Wärmeleitng: Beispiel θ = /2, Crank Nicolson t 3 3 t Fazit: Für bei festem t get der Feler gegen einen von t abängigen Wert Für t bei festem get der Feler gegen einen von abängigen Wert Optimales Verältnis t = C Kapitel IV (parabolisc4) 4

15 Unstetige Anfangsbedingngen Problemstellng Ω = (,) 2, = in Ω (, ), = af Ω (, ),, <.3, (,) =,.3 <.5,, sonst., : Lagrange-Interpolation Ortsdiskretisierng: Fünf-Pnkte-Stern, Zeitdiskretisierng: θ-metode. Löse in jedem Zeitscritt: (I +θ ta ) n+ = (I ( θ) ta ) n. Kapitel IV (parabolisc9) 5

16 Eplizites Verfaren: Stabilitätsbetractngen θ = t =. t =. t =. t = Kapitel IV (parabolisc2) 6

17 Prof. Dr. Barbara Wolmt Lerstl f r Nmerisce Matematik Einflss von θ t =., Lo sng nac einem Zeitscritt θ =.25 θ =.25 θ =.375 θ =.5 θ =.625 θ =.75 θ =.875 θ= Kapitel IV (parabolisc22) 7

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