(X ) (X ) g [L X ] (X ) X (X ) dx g [L X ]X () Vershiebngsgradient (X ) nd materieller Deformationsgradient. (X ) F Veshiebngsgradient (X ) ist als pa

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1 - Msterlosng Hasafgaben von Vergleih des Prinzips vom Minimm des Gesamtpotenzials nd dem Prinzip der virtellen Vershiebngen. Normalspannngsfeld (X ) eine Drk- bzw. gbeansprhng N wirkend af die Qershnittsahe A wird eine Drh erzegt. Allgemein lat sih diese Beziehng drh folgende Gleihng asdrken. Spannng N A den Lastfall ins wird ein konstanter Verlaf der Normalkraft N (X ) ber die Stablangsahse Fr erzegt. Somit ist der Spannngverlaf (X ) ebenfalls konstant. N (X )r onst (X ) r Lastfall wei wird der Stab drh die Gleihstrekenlast p ga entlang der Stabahse Im Normalkraftverlaf N (X ) verlaft nn linear abnehmend, wobei sih der Maxi- belastet. N max N (X ) gl am Aager bendet. Daras folgt, da die maximale malwert max (X )N max A gla ebenfalls am Aager aftritt. Spannng. Vershiebngsfeld (X ) (X ) (X ) (X ) (X ) (X ) ga [L X ]g[l X ] () A Verzerrngen (X )entlang der Stabahse werden ber die partielle Ableitng des Vershiebngsfelds Kleine (X )nah der physikalishen Koordinate X deniert. (X ) (X (X ) (X Lastfall ins ergibt sih mit den Gleihngen (4) nd (5) die allgemeine Losng des Vershiebngsfelds Fr (X ). (X ) (X ) r A onst (X ) X X r dx r A A X + (6) insetzen der homogenen Dirihlet Randbedingng (X )vershwindet die Drh. s stellt sih ein linearer Verlaf des Vershiebngsfelds ein. Integrationskonstante (X ) r X (7) A Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember Finite lemente Methoden I Afgabe - Stab Monika Bredow nd Detlef Khl () Inhaltsverzeihnis Afgabe - Stab. Normalspannngsfeld (X ) Vershiebngsfeld (X ) onst () A. Vershiebngsgradient (X ) nd materieller Deformationsgradient F (X ) inzellast r (X ) Maximalen Lange fr Lastfall wei Lineare Verzerrng (X )ndgreen-lagrange Verzerrng (X ) Afgabe -d Kontinmsmehanik 5 N (X )ga[l X ]. Vershiebngsgradienten r Green-Lagrange Verzerrngstensor nd Verzerrngstensor Materieller Deformationsgradient nd Beweis von Gleihng Verzerrngsvektor Spannngsvektor nd transversale Normalspannng Das konstittive Gesetz des Stabs wird mit Hilfe des lastizitatsmodls formliert..6 Spannngstensor nd dessen Divergenz (4) Afgabe - Dissoltion-Dision Prozess. Starke Form Shwahe Form Afgabe 4 - nergieprinzipe 9 (X ) dx (5) 4. Herleitng der shwahen Form der lastodynamik mit dem Hamilton'shen Prinzip Stationaritat des Hamilton'shen Fnktionals Shwahe Form der lastodynamik Literatrverzeihnis Normalverzerrng im Lastfall wei is linear ber die Stabahse veranderlih. Drh die der Fnktion ersten Grades erhalt man eine qadratishe Losng. Integrations- Integration konstante vershwindet afgrnd der homogenen Dirihlet Randbedingng.

2 (X ) (X ) g [L X ] (X ) X (X ) dx g [L X ]X () Vershiebngsgradient (X ) nd materieller Deformationsgradient. (X ) F Veshiebngsgradient (X ) ist als partielle rentation des Vershiebngsfelds (X ) der physikalishen Koordinate X deniert. Im eindimensionalen Fall ist nah Gleihng nah (X ) (X (X ) materielle Deformationsgradient besteht lediglih as der skalaren Komponente F (X ), [5]. + ] F + (X (X ) den Lastfall ins ergibt sih ein von der physikalishen Koordinate nabhangiger Vershiebngsgradient Fr (X ) bzw. materieller Deformationsgradient F (X ). (X ) r A (X )+ r F A Lastfall wei wird ein linearer Verlaf (X ) nd F (X ) festgestellt, vgl. Gleihng Fr (). (X ) g [L X ].4 inzellast r (X ) (X )+ g F [L X ] () ermittelten Vershiebngsfelder der Lastfalle ins nd wei werden an der Stelle X L nd gleihgesetzt. asgewertet r die maximale Lange L max des Stabs fr den Lastfall wei z ermitteln, wird die gegebene Um Spannng max der gfestigkeit max gleihgesetzt nd nah der Lange afgelost maximale ntshldigng, se Frage kann afgrnd der Vorlesng FM I niht beantwortet werden. s wird erst max L max A max X L max X N 4 Losng lineare Stabelemente Konvergenzdiagramm exakte max (X )gl max gl max max max max L g X 4 X X 6 X max () max (L max ) max analytishen Losngen des Vershiebngs- nd Spannngsfelds sind gegeben in Abbildng..6 Lineare Verzerrng (X ) nd Green-Lagrange Verzerrng (X ) Bezg der Green-Lagrange Verzerrngen (X ) af die lineare Verzerrng ergibt Drh ein Ma zr Abshatzng des nihtlinearen Anteils. sih (X ) (X ) + (X ) () Maximalwert nimmt dieser Qotient fr X an. Fr realistishe Materialparameter, Den sie etwa einem hohlegiertem Stahl entsprehen, wie X 4 Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember p Ag qadratishes Stabelement Resltate der Hasafgabe 5 folgen spater (5) der Vershiebngsgradient der Normalverzerrng identish. Abbildng : Analytishe nd nmerishe Losngen des langs belasteten Stabs (4) In diesem Fall ist die maximale Vershiebng gegeben drh: () (5) lineare Verzerrng (X ) entspriht dem Vershiebngsgradienten (X ). Green- Verzerrngen (X )werden nah [5] als Fnktion des materiellen Deformations- Lagrange gradienten angegeben. (X ) [F (X ) ] F (X )+ (X ) (6) r gl L A Hiermit ergibt sih die Green-Lagrange Verzerrng: gal () (X ) [[ + (X )] ] (X )+ (X ) (7).5 Maximalen Lange fr Lastfall wei (siehe Abshnitt.). in FM II in nahsten Semester gelehrt. D. Khl

3 N m 4 kg m (X ) (X ) + max max +gl g m s 4 N m +:5 :5 () ist detlih zerkennen, dass der nihtlineare Anteil der Verzerrng ah bei vollkommener Hieras Asreizng des Materialfestigkeit marginal ist.. Vershiebngsgradienten r Gradient des Vershiebngsfelds wird nah [4] berehnet. Da es sih im vorliegenden m eine zweidimensionale Problemstellng handelt beinhaltet der Vershiebngsgradient Fall i j e i e j i j 64 X [X ] X [X ] 4 X [ + X ][ + X ] 4 X [ + X ][ + X ]. Green-Lagrange Verzerrngstensor nd Verzerrngstensor Green-Lagrange Verzerrngstensor wird drh den oben berehneten Vershiebngsgradienten r nah berehnet, siehe [4]. setzt sih zsammen as dem linearen Verzerrngstensor nd dem nihtlinearen Anteil r nl r T r [ + ] nl X [ + X ] [ + X ] +X [X ] {z nl } nl 5X X [ + X ][ + X ][65 6X +X [4X ]] nl X [ + X ] [ + X ] +X [X ]. Materieller Deformationsgradient nd Beweis von Gleihng () materielle Deformationsgradient wird deniert drh die Transformation des dierentiellen dx der Referenzkongration in die Momentankongration dx. Bewegng Linienelements materiellen Pnkts von der Referenz- in die Momentankongration kann mit Hilfe des des x X + beshrieben werden, vgl., [5]. Niht Afgabe der Hasafgabe 6 Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember 5 (9) + + L max 4 m + + ergibt sih der Anteil der nihtlinearen Verzerrng an den totalen Verzerrng. +] + [ +] +[ +] [ +[ +] 4 kg m m s 4 m + () {z } Komponenten des linearen Verzerrngstensors nd des Green-Lagrange Verzerrngstensors: Afgabe - d Kontinmsmehanik X [X ] X [X ] + X [ + X ][ + X ] 4 X [ + X ][ + X ] (4) lediglih vier Komponenten. () r lineare Verzerrngstensor is identish dem linearen Anteil von, () nd + ] + r F [X 4 + (5) + [F T F ] [rt + r + r T r] ()

4 Gleihng (5) in Gleihng ().4 Verzerrngsvektor Verzerrngsvektor beinhaltet die drei vershiedenen Komponenten des Verzerrngstensors, wobei die Shbverzerrng mit dem Faktor zwei mltipliziert wird, vgl. Gleihng (). + (7).5 Spannngsvektor nd transversale Normalspannng [ + ] + +[ + ] X [[X [ + ] [ + X ][ + X ]] + ] Spannngskomponente wird af Basis der Normalverzerrngen nd nah [4] ermittelt. Spannngstensor beinhaltet die Normalspannngskomponenten nd sowie die Shbspannngskomponenten. Divergenz angewendet af den Spannngstensor liefert einen volmenspezisshen Kraftvektor, vgl. [4]: + + 4X [X + + [ + X ]] starke Form des Dissoltion-Disionsprozesses ist drh die Massebilanz nd die Nemann Randbedingng gegeben. Mltiplikation der Gleihngen (4) mit der Testfnktion (virtelle Konzentration), Integration Drh ber das Volmen bzw. ber den Nemann Rand nd Addition der Integrale entsteht divq(()) dv + [_s _] dv + q Anwendng des Gass'shen Integralsatzes wird die Integration ber das Volmenelement Drh dv af eine Integration ber die Oberahenelement da redziert. q] dv div[ q n da q Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember 7.6 Spannngstensor nd dessen Divergenz [[r + ]T [r + ] ] [[rt + T ] [r + ] ] (6) [[rt + ] [r + ] ] [rt r + r + r T + ] () [r + rt + r T r] beweist Gleihng (). + div + () [[ + ][X ] + [ + X ][ + X ]] + 4 X [ + X ] T [[X ] + [ + X ][ + X ]] + 4 X [+X ] () 4X [X + [ + X ]] Afgabe - Dissoltion-Dision Prozess Konstittives Gesetz des ebenen Verzerrngszstands, vgl. [4]: C ev. Starke Form () _s _ divq(()) X q n q? X q (4) Daras ergeben sih die Spannngskomponenten ij fr i j.. Shwahe Form X [[ + ][X ] + [ + X ][ + X ]] folgende shwahe Formlierng. (9) [q n q? ] da (5) [ + ] Term divq(()) wird drh Anwendng der Prodktregel fr die Divergenz mgeformt. X [[X ] + [ + X ][ + X ]] divq div[ q] r q div[ q]+ q (6) [ + ] [ + ] () q n da (7) X [[X ] + [ + X ][ + X ]]

5 q q dv + q dv + [ s] dv + q [_s _] dv + q Vergleih des Prinzips vom Minimm des Gesamtpotenzials nd dem 4. der virtellen Vershiebngen Prinzip Prinzip vom Minimm des Gesamtpotenzials fordert, wie der Name shon sagt, dass das Das fr die Losng des Vershiebngsfelds das Minimm annimmt. Gesamtpotential int ext notwendige Bedingng hierfr ist erfllt, wenn die Variation des Gesamtpotenzials vershwindet. int + : der Denition des spezishen elastishen Potenzials kann dessen Variation bezglih des Mit ) gebildet werden. Verzerrngstensors W () : C : : W() [ : C : + : C : ] : (4) insetzen in die notwendige Bedingng kann die Identitat vom Prinzip der virtellen Drh nd dem Prinzip vom Minimm des Gesamtpotenzials fr den Spezialfall der lastostatik Arbeit int + ext Herleitng der shwahen Form der lastodynamik mit dem Hamilton'shen 4. Prinzip zr lastodynamik von Bedford [] oder der Dynamik von Massenpnkten von Hamilton Literatr [, ]. q Hamilton'she Prinzip der lastodynamik fordert die Stationaritat des Hamilton'shen Das H. Fnktionals sind die Kongrationen (Deformationszstande) z den eiten t < t vorgeshrieben Dabei die kinetishe nergie des elastishen Korpers kann mit der folgenden Beziehng berehnet nd _) K( dv (45) Verzerrngsenergie des elastishen Korpers int ist in Gleihng (4) als Fnktion der spezishen Verzerrngsenergie W () gegeben. renz von kinetisher nd innerer nergie shwahe Form der lastodynamik gewinnt mandrh Formlierng der notwendigen Bedingng zr Sationaritat des Hamilton'shen Fnktionals (44). kennzeihnet die beliebige, innitesimal kleine nd den Feldbedingngen gengende Dabei der momentanen Kongration. Term der kinetishen nergie (45) kann infolge Variation Vertashbarkeit der Integration von Ort nd eit sowie der Bedingng, dass die Kongrationen der z den eiten t nd t vorgeshrieben sind (t t )(t t ), mgeformt Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember 9 Gleihng (7) in (5) eingesetzt, 4.. Stationaritat des Hamilton'shen Fnktionals q n da q? da () q n da H K + ext dt stat (44) int ergibt die in der Afgabenstellng angegebene shwahe Form. q? da (9) werden. 4 Afgabe 4 - nergieprinzipe deniert die Lagrange'she Fnktion. L( _) K( _) int (()) (46) Das Potenzial der externen Volmen- nd Oberahenlasten ext ist in (4) gegeben. W () dv (4) 4.. Shwahe Form der lastodynamik int + ext min t? da b dv H K + ext dt (47) int (4) werden. K dt dt dv dtdv gezeigt werden. dt] dv (4) dv dt : dv b dv t? da W i nn + W ext (4) Term der Verzerrngsenergie wrde bereits in Gleihng (4) variiert. dt int : dv dt () :(()) dv dt (49)

6 (47,4,49,5) ergeben die notwendige Bedingng fr die Stationaritat des Hamilton'shen Gleihngen Fnktionals. im eitintervall [t t ] eine beliebige Testfnktion ist, m die Smme der Gebietsnd Da Randintegrale Nll sein. se Smme entspriht der virtellen Arbeit W des elastishen rgebniss ist dem Prinzip der virtellen Vershiebngen identish. Hag wird Gleihng ses infolge der Tragheitsanteile als das Prinzip von d'alembert bezeihnet. In Krzform ergibt (5) sih das Prinzip von d'alembert dyn ( t) W ext (t) W :(()) dv () () :C : () dv (55) b(t) dv + A. Bedford. Hamilton's Priniple in Continm Mehanis. Pitman Pblishing Limited, [] 95. London, W.R. Hamilton. On a general method in dynamis by whih the stdy of the motions of [] free systems of attrating or repelling points is reded to the searh and dierentiation all one entral relation, or harateristi fntion. Philosophial Transations of the Royal of of London, pages 47{, 4. Soiety W.R. Hamilton. Seond essay on a general method in dynamis. Philosophial Transations [] the Royal Soiety of London, pages 95{44, 5. of D. Khl and G. Meshke. Finite lemente Methoden I. 4. Aage. Tehnial report, Lehrsthl [4] fr Statik nd Dynamik Rhr-Universiat Bohm, Bohm,. D. Khl and G. Meshke. Finite lemente Methoden II.. Aage. Tehnial report, [5] fr Statik nd Dynamik Rhr-Universiat Bohm, Bohm,. Lehrsthl Bredow &Khl Hasafgaben - Finite lemente Methoden I - Dezember Term des Potenzials aerer Lasten wrde ebefalls in Abshnitt 4. variiert. (t) dt ext [ b(t) dv + t? (t) da] dt (5) H dv + () :(()) dv (5) b(t) dv t? (t) da dt Korpers. W( t) dv + () :(()) dv (5) b(t) dv t? (t) da W( t)w dyn ( t)+w int ( t) W ext (t) (5) mit der virtellen Arbeit der Tragheitskrfte, dv (54) der inneren virtellen Arbeit int ( t) W nd der virtellen Arbeit der externen Lasten. t? (t) da (56) Literatr