Ähnlichkeitstheorie. Realistische Probleme sind selten durch exakte Lösungen der Erhaltungsgleichungen zu beschreiben.

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1 Ähnihkeisheorie Reaisishe Probeme sind seen drh eake Lösngen der Erhangsgeihngen z beshreiben. Lösng mies Nmerik oder Eerimen Eerimen : Panng Überragbarkei der Ergebnisse Ähnihkeisheorie Ähnihkei : Beziehng zwishen Mode nd Reaasführng Mehoden : Mehode der GL imensionsanase

2 imensionsanase Pieine-Probem : saionär inkomr. rkers ro Einheisänge? Panng des Eerimens f (?) hier : f ( ) f( ) mies Eerimen besimmen! Eerimen der Form : f ( 1 ) mi 3 4 konsan

3 : kons. : kons. : kons. : kons. Berag on f ( ) afwendig nd shwierig aen iefern nih aomaish f( ).

4 Asweg : Bidng on Kennzahen (dimensionsose Parameer) as hier : φ 1 Kre as den Eerimenen? E. : einfaher nd kosengünsiger

5 φ Wie geang man z? Basis : imension der Variaben qaiaie Beshreibng des Probems Basisdimensionen : M : Masse L : Länge T : Zei Pieine-Probem : M L M L 3 L M [ ] L L φ : dimensionsos

6 mies imensionsanase wird die Anzah der Variaben redzier. Grndage der imensionsanase is das Kennzah- oder PI-Theorem on Bkingham. # der nöigen dimensionsosen Parameer PI-Theorem : Sofern eine Geihng mi k Variaben bezügih der imensionen homogen is kann sie af eine Beziehng mi k-r nabhängigen dimensionsosen Variaben redzier werden wobei r der minimaen Anzah on Referenzgrößen ensrih die zr Beshreibng der rsrüngihen Variaben nöig is. dimensionsose Größen : Kennzahen oder PI-Terme

7 .h. nah PI-Theorem fog af 1 f... der Zsammenhang π ( 3 4 k ) 1 Φ( π π3... π k r Im Agemeinen is r3 (MLT) ) Besimmng der PI-Terme mies der Mehode der wiederkehrenden Variaben. 1. Angabe aer reeanen Variaben i. a. geomerishe aen ( ) Fiddaen ( ) äßere Effeke ( ). Ahng : Variaben müssen nabhängig sein ( nih nd A )

8 . Ae Variaben in Referenzgrößen shreiben 3. k : # der Variaben 4. r : # der Referenzgrößen k-r : # der Kennzahen Wah der wiederkehrenden Variaben # der wiederkehrenden Variaben # der Referenzdimensionen wiederkehrende Variabe besizen ae Bezgsdimensionen; wiederkehrende Variabe müssen dimensiona nabhängig sein; Bemerkng : die wesenihe z besimmende Größe soe nih Tei der Lise der wiederkehrenden Variaben sein. 5. Besimmng der Kennzah: Miikaion einer nihwiederkehrenden Variaben mi den wiederkehrenden Variaben derar dass die Kennzah dimensionsos is Berahng für jede nihwiederkehrende Variabe.

9 6. Chek : Kennzah dimensionsos? 7. Angabe on π1 Φ( π π3... π k r ) Bemerkng : Besimmng on Φ mies Eerimen Anwendng af das Pieine-Probem 1. f ( ). M M M L L & & & & L 3 L L k 5 r 3 k r 3. Kennzahen

10 4. wiederkehrende Variabe 5. a b π a 1 b 3 M L & M L L ( L ) ( ML ) M L : 0 1 : 0 a b 3 : 0 b a 1 b 1 π 1 a b π a 1 b 3 M L & M L L ( L ) ( ML )

11 6. Chek : os dimensions 1 π π 7. b b a L M 1 0 : : 1 0 : b a π 7. ϕ ϕ φ φ - oder - Fnkion as Eerimen

12 Paen-Beisie : h w gesh : Widersand bzw. geeignee Kennzahen zr Beshreibng ) ( h w f Kennzahen zr Beshreibng k 6 r 3 # der Kennzahen k r L ML ML L h L w ML & & & & & &

13 wiederkehrende Variabe : w a π w b a 1 b 3 M L & ML L ( L ) ( ML ) M : 0 1 L : 0 1 a b 3 : 0 b a b 1 π1 w a b π hw a 1 b 3 M L & L L ( L ) ( ML )

14 M L : 0 : 0 1 a b 3 : 0 b a 1 b 0 0 π h w a b π w a 1 b 3 M L & ML L ( L ) ( ML ) a 1 b 1 1 π 3 w w w φ h w

15 Mehode der iffereniageihngen Beshreibng anhand der -dim. inkomressiben Srömng Erhangsgeihngen : 0 Rand- nd Anfangsbedingngen sind bekann Variaben des Probems : g

16 Referenzgrößen : τ dimensionsose Variabe : in GL einsezen : τ z. Bs. in GL einsezen : ) ( z. Bs.

17 0 τ g τ F I I F F G F F

18 F F F F F I I G V : okae Trägheiskraf / V : konekie Trägheiskraf / V : rkkraf / V : Graiaionskraf / V : Reibngskraf / V dimensionsose Geihngen : F I iision drh (i. a.) Asdrüke sind die Kennzahen

19 Sr τ E : Sroha Zah reean für insaionäre Vorgänge; Verhänis der Zeien nd τ Sr : Srömng qasisaionär : Eer Zah Verhänis on rk- nd Trägheiskraf / Fr Re g : Frode Zah Verhänis on Trägheis- nd Shwerekräfen; reean bei Füssigkeissrömngen mi freier Oberfähe : Renods Zah Verhänis on Trägheis- nd Reibngskraf

20 weiere hsikaish bedeende Kennzahen : Ma Pr υ a λ : Mah Zah Verhänis on Srögs. nd Shageshwindigkei Ma < 0.3 inkomressibe Srömng : Prand Zah Verhänis on drh Reibng erzeger nd abgeeieer Wärme; a : Tem. eifähigkei; Soffgröße Pr 0.7 (Lf) S α N λ N α RePr : Nsse Zah Verhänis der übergehenden zr geeieen Wärme; α : Wärmeüberragngszah : Sanon Zah Verhänis der übergehenden zr konek. ransorieren Wärme

21 Pe λ α : Pée Zah Verhänis der konek. zr geeieen Wärme Kn : Kndsen Zah Verhänis der mieren freien Wegänge z einer harakerishen geomerishen Länge; Kn << 1 Koninmsmehanik Kn >> 1 kineishe Gasheorie zr Mehode der iffereniageihngen : Kennzahen geih Lösngen des GLs simmen überein sogenanne dnamishe Ähnihkei einfahes Eerimen für komee Srömngen

22 imensionsanase hsik. Iniion is Vorassezng sons Feher Mehode der GL Asgangsgeihngen iefern ensheidende Kennzahen abhängig on den Bezgsgrößen