Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07

Transkript

1 Differentialgleichngen für Ingeniere WS 6/7 4. Vorlesng Michael Karow Themen hete:. Gewöhnliche Lineare Differentialgleichngen. Ordnng (a) Das gedämpfte Pendel als Beispiel (b) Fndamentalsysteme (Lösngsbasen) (c) Variation der Konstanten

2 Ziel dieser nd der nächsten Vorlesng: Verallgemeinerng der in der letzten VL gefndenen Resltate für die skalare lineare DGL ẏ(t) = a(t) y(t) + b(t) af den ektoriellen Fall ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t). Die Haptschwierigkeit dabei ist, das homogene Problem ẏ(t) = A(t)y(t) allgemein z lösen. Man bracht daz ein Fndamentalsystem (synonym: eine Lösngsbasis) (Definition später). Das inhomogene Problem löst man dann, wie im skalaren Fall, drch Variation der Konstanten.

3 Znächst ein Beispiel Af den folgenden Seiten wird anhand eines einfachen Beispiels, des gedämpften Pendels, erscht eine anschaliche Vorstellng der Problems nd der geschten Lösngen z geben. Ein mittelfristges Ziel der VL ist es, die dort gemachten Behaptngen über die Pendelbewegng mathematisch z beweisen nd z erstehen.

4 Das gedämpfte Pendel s d Notation: m=masse s=federsteifigkeit d=dämpfngskonstante A=Anfangsaslenkng =Aslenkng der Masse as der Rhelage A A m Bewegngsgleichng: mü = s d Einführen der Geschwindigkeit = als nee Variable ergibt das homogene System. Ordnng ] [ [ ] [ ] =. s/m d/m Aslenkng (t) des Pendels, wenn () = A, () = : keine Dämpfng schwache Dämpfng aperiod. Grenzfall starke Dämpfng (d = ) ( < d < 2 ms) (d = 2 ms) (d > 2 ms)

5 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt [ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t= > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t= Phasenebene

6 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt[ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t=.3 > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t=.3 Phasenebene

7 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt [ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t= > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t= Phasenebene

8 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt [ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t= 4 > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t= 4 Phasenebene

9 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt [ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t= 7 > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t= 7 Phasenebene

10 Darstellng der Pendelbewegng in der Phasenebene In der Phasenebene stellt [ man] Ort nd Geschwindigkeit zr als Pnkt (t) (oder Ortsektor) y(t) = dar. (t) Während der Bewegng drchläft der Pnkt y(t) eine Kre (Trajektorie). Geschwindigkeit Ort Ort Zeit Diagramm t= Geschwindigkeit Zeit Diagramm t= 3 > [ ] (t) y(t) = (t) -> > t= 3 Phasenebene

11 Orts- Geschwindigkeits- nd Phasendiagramme des gedämpften Federpendels keine Dämpfng schwache Dämpfng aperiod. Grenzfall starke Dämpfng (d = ) ( < d < 2 ms) (d = 2 ms) (d > 2 ms) Ort Zeit Diagramm Ort Zeit Diagramm Ort Zeit Diagramm Ort Zeit Diagramm Ort Ort Ort Ort Geschwindigkeit Zeit Diagramm Geschwindigkeit Zeit Diagramm Geschwindigkeit Zeit Diagramm Geschwindigkeit Zeit Diagramm Geschwindigkeit.5.5 Geschwindigkeit.5.5 Geschwindigkeit.5.5 Geschwindigkeit Phasenebene Phasenebene Phasenebene Phasenebene

12 3-dimensionale Darstellng der Pendelbewegng Beispiel: schwache Dämpfng (Schrabenlinie) Ort Zeit Diagramm.5 Ort Geschwindigkeit Zeit Diagramm Geschwindigkeit Phasenebene Graph der Trajektorie y(t) = [ ] (t) (t) Im Phasenportät fehlt die Information über den zeitlichen Verlaf. Der Graph gibt die olle Information.

13 Af den folgenden Seiten disktieren wir die Strktr der Lösngsmenge der ektorwertigen linearen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t). Dabei wird on ornherein zgelassen, dass die Vektoren nd Matrizen komplexe Zahlen als Einträge haben. Grnd: Die Theorie wird dadrch einfacher. (wie wir in der folgenden VL sehen werden)

14 Der Existenz-nd Eindetigkeitssatz Satz: Seien A(t) C n n, b(t) C n stetige Fnktionen on t in einem Interall J R. Sei asserdem t J nd C n. Dann hat das AWP ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t), y(t ) = gena eine Lösng. Sie existiert für alle t J. C n = y(t ) y(t ) y(t) 2 t t y(t ) Bemerkng: Dieser Satz folgt as dem Satz on Picard-Lindelöf nd einer Abschätzng (Gronwall-Lemma) die insbesondere besagt, dass die Lösng nicht in endlicher Zeit nendlich groß werdem kann.

15 Das Sperpositionsprinzip (Überlagerngsprinzip) Das Sperpositionsprinzip für lineare DGL ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t) latet: Sei y ( ) die Lösng des AWP ẏ (t) = A(t)y (t) + b (t), y (t ) =, nd sei y 2 ( ) die Lösng der AWP ẏ 2 (t) = A(t)y 2 (t) + b 2 (t), y 2 (t ) = 2. Dann ist die Linearkombination (Sperposition) y(t) := c y (t) + c 2 y 2 (t) c, c 2 C die eindetige Lösng des AWP ẏ(t) = A(t)y(t) + c b (t) + c 2 b 2 (t), y(t ) = c 2 + c 2 2. Dies gilt sinngemäss ach für beliebige Linearkombinationen y(t) = m k= c k y k (t). Beweis drch Nachrechnen (siehe nächste Seite).

16 Nachrechnen des Sperpositionsprinzips Asgangsgleichngen: ẏ (t) = A(t)y (t) + b (t) ẏ 2 (t) = A(t)y 2 (t) + b 2 (t) Erste Gleichng mit c mltipliziert: c ẏ (t) = A(t) c y (t) + c b (t) Zweite Gleichng mit c 2 mltipliziert: Addition ergibt: c ẏ (t) + c 2 ẏ 2 (t) }{{} ẏ(t) c 2 ẏ 2 (t) = A(t) c 2 y 2 (t) + c 2 b 2 (t) = A(t)(c y (t) + c 2 y (t)) + c b (t) + c 2 b 2 (t) } {{ } y(t)

17 Das Sperpositionsprinzip für homogene DGL Angenommen die Fnktionen y ( ), y 2 ( ) sind Lösngen der homogenen DGL mit Anfangswerten ẏ(t) = A(t)y(t) y (t ) =, y 2 (t ) = 2. Dann ist die Linearkombination (Sperposition) y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t), c, c 2 C ebenfalls eine Lösng der homogenen DGL, nd zwar zm Anfangswert y(t ) = c + c 2 2 =: y = c y + c 2 y 2 y Dies gilt sinngemäss ach für mehrere Lösngen y,y 2,...,y p 2 y 2 y t Achse t=t t=t

18 Terminologie as der linearen Algebra: Lineare Räme (Vektorräme) Eine Menge M on mathematischen Objekten nennt man einen linearen Ram (synonym: Vektorram) wenn folgendes gilt. () Man kann die Objekte as M addieren nd mit Skalaren (d.h. Zahlen) mltiplizieren (wobei bestimmte Rechenregeln gelten. Siehe VL Lineare Algebra ). (2) Wenn man die nter () genannten Rechenoperationen mit Objekten as M drchführt, kommt als Rechenergebnis stets wieder ein Objekt as M heras. Formal:, 2 M + 2 M nd M, c K c M Dabei ist K= Menge der Skalare, z.b. K = R oder K = C. In dieser Definition kann man die Bedingng (2) drch die folgende gleichwertige Bedingng (2 ) ersetzen. (2 ) Eine beliebige Linearkombination on Objekten as M ergibt wieder ein Objekt as M. Formal:, 2,... p M, c, c 2,..., c p K c c p p M

19 Wir haben bereits gesehen, dass eine Linearkombination on Lösngen der homogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) wieder eine Lösng dieser DGL ist. Diese Tatsache kann man formal ach so hinschreiben: Sei L := {y : J C n ẏ(t) = A(t)y(t) für alle t J } die Lösngsmenge der homogenen DGL. Dann gilt y,...,y p L, c,..., c p C c y c p y p L. Mit der Terminologie on der origen Seite kann man also sagen: Lösngsmenge der homogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) ist ein linearer Ram. Af den folgenden Seiten geht es darm, noch etwas mehr über den Ram L heraszfinden. Insbesondere geht es m die Lösng on Anfangswertproblemen. Z diesem Zweck bracht man weitere Begriffe nd Techniken as der linearen Algebra.

20 Erinnerng: Basis nd Koordinaten n Vektoren, 2,..., n bilden eine Basis des R n oder C n, falls sich jeder Vektor R n (bzw. C n ) in eindetiger Weise als Linearkombination = c + c c n n darstellen lässt. Die Zahlen c, c 2,..., c n R (oder C) nennt man die Koordinaten on bezüglich der Basis, 2,..., n. Beispiel: Zwei Vektoren, 2 R 2 bilden eine Basis gena dann, wenn sie nicht af einer Geraden liegen. Basis: c + c = 2 2 keine Basis: 2 c 2 2 c 2 ist nicht als Linearkombination on nd 2 darstellbar

21 Zr Berechnng on Koordinaten Eine Linearkombination = c + c c n n kann man ach als Matrix-Vektor-Prodkt schreiben. Sei V = [, 2..., n ] C n n, c = V ist die Matrix deren Spalten die Vektoren k sind. Dann gilt: c.. c n = c + c c n n = [, 2..., n ] c. = Vc. c n Um die Koordinaten c z bestimmen, mss man also das lineare Gleichngssystem Vc = lösen. Man kann die Lösng formal in der Form c = V schreiben. Vorassetzng für die eindetige Lösbarkeit ist, dass die k tatsächlich eine Basis bilden. Dann gilt nämlich, dass det(v), V existiert.

22 Die allgemeine Lösng der homogenen DGL, Fndamentalsysteme Seien, 2,..., n eine Basis des C n. Angenommen man kennt die Lösngen y ( ),y 2 ( ),...,y n ( ) der AWPs Dann kann man die Lösng des AWP ẏ k (t) = A(t)y k (t), y k (t ) = k. ẏ(t) = A(t)y(t), y(t ) =, ( ) für einen beliebigen Anfangswert wie folgt erhalten:. Bestimmme die Koordinaten c, c 2,..., c n on bezüglich der Basis, 2,..., n, d.h. löse das lineare Gleichngssystem Vc =. Dann ist also = c + c c n n. 2. Setze y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) c n y n (t), ( ) Sperpositionsprinzip y( ) löst ( ). Eindetigkeitssatz Alle Lösngen der homogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) sind on der Form ( ). Es gibt keine weiteren. As diesem Grnde nennt man die Basislösngen y ( ),y 2 ( ),...,y n ( ) ein Fndamentalsystem (oder Haptsystem) on Lösngen.

23 Die Fndamentalmatrix Die Lösngen y(t) der homogenen DGL y(t) = A(t)y(t) lassen sich ach in folgender Form schreiben Dabei ist y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) c n y n (t) = [ y (t), y 2 (t)..., y n (t)] = Y(t) c. c. c n Y(t) = [ y (t), y 2 (t)..., y n (t)] die Matrix, deren Spalten die Basislösngen y k (t) sind. Die Matrix Y(t) heisst Fndamentalmatrix, ach Wronski-Matrix. Ihre Determinante w(t) = det(y(t)) heisst Wronski-Determinante. Für ein Fndamentalsystem gilt w(t) nd Y(t) existiert für alle Zeiten t, denn die Vektoren eines Fndamentalsystems y ( ),y 2 ( ),...,y n ( ) bilden z allen Zeiten t eine Basis des C n, nicht nr zr Anfangszeit t. Insbesondere ist folgende Sitation nmöglich: (siehe Bemerkng af der nächsten Seite) y t Achse y 2 t=t t=t

24 Nebenbemerkng zr linearen Abhängigkeit on Lösngen. Seien y,y 2,...,y p Lösngen on ẏ = A(t)y. Angenommen, es gilt Dann ist die Fnktion c y (t ) + c 2 y 2 (t ) c n y p (t ) = für ein t J ( ) y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) c n y p (t) die eindetige Lösng des AWP ẏ = A(t)y nd y(t ) =. Die einzige Lösng dieses AWP ist aber die Nllfnktion. Folglich ist y(t). Anders asgedrückt: Man hat Es gilt also ( ) ( ). c y (t) + c 2 y 2 (t) c n y p (t) = für alle t J. ( ) Folgerngen: Wenn die Vektoren y (t),y 2 (t),...,y p (t) für einen Zeitpnkt t = t linear abhängig sind, dann sind sie für alle Zeiten t J linear abhängig. Umkehrschlss: Wenn die Vektoren y (t),y 2 (t),...,y p (t) z einem Zeitpnkt t = t J linear nabhänging sind, dann sind sich ach z jedem anderen Zeitpnkt t = t J linear nabhängig.

25 Beispiel as P.Frlan: Das Gelbe Rechenbch Gegeben sei die homogene DGL ẏ(t) = [ ] 2/t /t y(t). 3/t Man rechnet leicht nach, dass die Fnktionen [ ] /t 3 y (t) = /t 3, y 2 (t) = Lösngen sind. Man bestätigt ach leicht, dass y (t) nd y 2 (t) z.b. für t = linear nabhängig sind. Also sind sie für alle t linear nabhängig nd bilden eine Lösngsbasis (Fndamentalsystem). Die zgehörige Fndamentalmatrix (Wronsky-Matrix) ist [ ] /t 3 t Y(t) = [y (t) y 2 (t)] = /t 3. 3t Die allgemeine Lösng der DGL ist y(t) = c y (t) + c 2 y 2 (t) = Y(t) [ c c 2 ] = [ ] t 3t [ ] [ ] /t 3 t c /t 3 3t c 2 mit beliebigen Konstanten c, c 2 C. Will man z.b. die Lösng des AWP [ ] [ ] 2/t /t 3 ẏ(t) = y(t), y(2) = 3/t 2 berechnen, dann mss man das lineare Gleichngssystem [ ] [ ] [ ] /8 2 c 3 = /8 6 c 2 2 }{{} Y(2) lösen nd so die Koeffizienten c, c 2 bestimmen.

26 Wie findet man ein Fndamentalsystem (d.h. eine Lösngsbasis)?. Im Fall konstanter Koeffizienten, d.h. A(t) = const = A findet man ein Fndamentalsystem indem man Eigenwerte nd Eigenektoren on A bestimmt. Mehr daz in der nächsten VL. 2. Wenn A(t) tatsächlich zeitabhängig ist, dann lässt sich in den meisten Fällen kein Fndamentalsystem in geschlossener Form angeben. Manchmal kann man eines drch klges Raten oder einen geschickten Ansatz finden. Wenn das nicht gelingt, dann mss man sich mit einer nmerischen Näherng zfrieden geben.

27 Die Fndamentalmatrix löst die homogene DGL Für eine Fndamentalmatrix Y(t) der homogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) gilt Ẏ(t) = [ ẏ (t), ẏ 2 (t)..., ẏ n (t)] = [ A(t)y (t), A(t)y 2 (t)..., A(t)y n (t)] = A(t)[ y (t), y 2 (t)..., y n (t)] = A(t) Y(t). Diese Tatsache bracht man zr Herleitng der Variation der Konstanten Formel für die inhomogene DGL (siehe die folgenden Seiten).

28 Af den folgenden Seiten geht es m die Lösng der inhomogenen linearen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t).

29 Wichtige Folgerng as dem Sperpositionsprinzip Sei y p ( ) eine (partikläre) Lösng der inhomogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t) Dann sind alle weiteren Lösngen dieser DGL on der Form y(t) = y p (t) + y h (t), ( ) wobei y h (t) eine beliebige Lösng der homogenen DGL ist. Merkregel: ẏ(t) = A(t)y(t) allgemeine Lösng partikläre Lösng allgemeine Lösng der inhomogenen DGL = der inhomogenen DGL + der homogenen DGL. Beweis: Dass ( ) die inhomogene DGL löst, rechnet man nach. Sei mgekehrt y(t) eine beliebige Lösng der inhomogenen DGL. Dann ist ẏ(t) ẏ p (t) = (A(t)y(t) + b(t)) (A(t)y }{{} p (t) + b(t)) ẏ h (t) = A(t)(y(t) y p (t)) }{{} y h (t) Die Differenz zweier Lösngen der inhomog. DGL ist eine Lösng der homogenen DGL.

30 Lösng der inhomogenen DGL ẏ(t) = A(t) y(t) + b(t): Variation der Konstanten Wir haben gesehen, dass die homogenen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) die allgemeine Lösng y(t) = c y (t) c n y n (t) = Y(t)c hat, wobei Y(t) die Fndamentalmatrix nd c ein beliebiger aber fester Vektor ist. Zr Lösng der inhomogenen DGL macht man den Ansatz y(t) = c (t)y (t) c n (t)y n (t) = Y(t)c(t) (Variation der Konstanten). As dem Ansatz folgt: ẏ(t) = Ẏ(t) c(t) + Y(t) ċ(t) = A(t)Y(t)c(t) + Y(t)ċ(t) A(t)y(t) + b(t) = A(t)Y(t)c(t) + b(t). Gleichsetzen der linken nd damit ach der rechten Seiten ergibt die Bedingng Y(t)ċ(t) = b(t). Mltiplizieren mit Y(t) ergibt ċ(t) = Y(t) b(t). Somit ist c(t) eine Stammfnktion on Y(t) b(t): c(t) = c + Y(t) b(t) dt beliebige Konstante fest gewählte Stammfnktion

31 Wir halten fest: Für die Lösngen der linearen DGL ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t) gilt die folgende Variation der Konstanten -Formel beliebige Konstante y(t) = Y(t) Fndamentalmatrix ( c + fest gewählte Stammfnktion Y(t) ) b(t) dt } {{ } c(t) Bemerkng: Der Integrand Y(t) b(t) =: β (t). ist der Vektor, der die Koordinaten β n (t) on b(t) bzgl. der Basislösngen y (t),...,y n (t) als Komponenten hat, d.h. es gilt b(t) = β (t)y (t) β n (t)y n (t). Die Komponenten c (t),... c n (t) des Vektors c(t) sind Stammfnktionen der Koordinaten β k (t). Es ist y(t) = Y(t)c(t) = c (t)y (t) c n (t)y n (t).

32 Anfangswertprobleme Wählt man in der Variation der Konstanten -Formel y(t) = Y(t)c(t) = Y(t) ( c + ) Y(t) b(t) dt für die Integrationskonstante bzw. die Stammfnktion c = Y(t ), Y(t) b(t) dt = t t Y(τ) b(τ) dτ, so bekommt man die Lösng des AWP ẏ(t) = A(t)y(t) + b(t), y(t ) =, nämlich y(t) = Y(t) ( Y(t ) + t t Y(τ) b(τ) dτ ).